比例线段解题方法解题技巧经典例题与练习题

比 例 线 段

◆比例线段

1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形

2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例

线段，简称比例线段

3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、

d 叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；

比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a ∶b ＝b ∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的

比例中项。

4. 比例的性质

（1）基本性质:

bc ad d

c b a =⇔=， a ∶b ＝b ∶c ⇔b 2=ac 例1：6∶x = (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5x -)∶x 中的x = 例2：若，则＝________

（2）合、分比性质:d

d c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.想想是否可以拓展呢？即分母加（减）分子，不变

的是分子

例1：若43=-b b a ，则b

a =_________ 例2：如果，则＝________

（3）等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则b

a n f d

b m e

c a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 例1：若9

810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x 例2：已知：，则＝________；如果，那么＝________

例3:若a b+c =b c+a =c a+b

=k ，求k 的值.

（4）比例中项:若c a b c a b c

b b a ,,2是则即⋅==的比例中项. 例1：已知：线段

，若线段b 是线段a,c 的比例中项，则c ＝________

例2： 2:)3(-a = )3(-a :8,则a ＝

【练一练】

1、 若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , ___________,____,===c b a ；

2、 已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且12=++z y x , 那么_________,____,===z y x ；

3、已知d

c b a =＝f e ＝2 （b ＋

d ＋f ≠0），求：（1）f d b

e c a ++++；（2）

f d b e c a +-+-； （3）f d b e

c a 3232+-+-；（4）f b e

a 55--．

4、 已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② )(y x +∶____)(=+z y ；

5、 若322=-y y x , 则_____=y

x ； 6、若345

x y z ==，则x y z z ++＝ ．若x:y:z=2:3:4，则=+-+y x z y x 232 ．

7、如果 ，则 ，

。 9、已知052=-y x ,则x :y ＝ ；=-y y x ；

=+y x y 。 9、如果线段a=2 cm ，且a 、b 的比例中项为10cm ，那么线段b ＝ cm 。

10、已知线段a =3cm ，b =2cm ，

c =6cm ，则线段c,b,a 的第四比例项为_____cm ．线段a ，c 的比例中项为_____cm ． ◆比例尺 = 实际长度

图上长度 （做题之前注意先统一单位） 拓展：两个物体的图上长度之比等于实际长度之比（同一时刻的物高之比等于影长之比）

例1：在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ．

例2：在比例尺为1:50000的地图上,一图形的周长为20cm,面积为50cm,那么此图形的实际周长

为 m ；实际面积为 千米2

。

【练一练】

1、在同一时刻，小明测得一棵树的影长是身高为1.6米的小华影长的4.5倍，则这棵树的高度为 米．

2、在比例尺1∶8000000的地图上，量得A 地到B 地的距离为6.4厘米，则A 地到B 地的实际距离为

千米；

3、在比例尺是1:10000的地图上，图距25mm ，则实距是 ；如果实距为500m ，其图距

为 cm 。

4、 图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 ；

◆黄金分割：如果点C 在线段AB 上，分AB 为两部分AC 与BC ，AC ＞BC ，且AB AC =AC

BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.

小：大 = 大：全=≈-2

150.618 另外一个黄金分割点382.0253≈- 注意： 一条线段都有两个黄金分割点，且关于中点对称。长与宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。

底边和腰的比等于黄金比的三角形叫做黄金三角形，黄金三角形可以一直“黄金”下去

例1：.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 ｃｍ

例2：对一段长为20cm 的线段进行黄金分割，那么分得的较长线段长为________cm

【练一练】

1、线段AB=6cm,C 为AB 上的一点（AC>BC ）,若BC=__________cm 时，点C 为AB 的黄金分割点

2、已知：线段AB ＝10cm ，点C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则BC ＝_____cm

3、一个舞台长20米，主持人至少走 米看起来比较恰当，再往前走 米的位置也较恰当。