人教版九年级上册数学课后基础练习：二次函数的图像和性质(含答案)
人教版2022-2023学年九年级数学上册二次函数y=ax^2的图象和性质练习题含答案
人教版2022-2023学年九年级数学上册 二次函数y=ax^2的图象和性质练习题学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．对于二次函数y ＝x 2-4x -1的图象，下列叙述正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴为直线x ＝2C ．顶点坐标为（-2，-5）D ．当x ≥2时，y 随x 增大而减小2．一次函数y kx k =+与二次函数2y ax =的图象如图所示，那么二次函数2y ax kx k =--的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，正方形OABC 的边长为2，OC 与y 轴正半轴的夹角为30°，点A 在抛物线()20y ax a =<的图象上，则a 的值为（ ）A ．3-B ．C ．D ．13-4．已知：10a -<<，且点()()()1232,,,,2,a y a y a y -+都在函数2y x 的图像上，那么123,,y y y 的大小关系是（ ）A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．321y y y <<D ．312y y y <<5．抛物线y ＝2x 2与y ＝－2x 2相同的性质是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是y 轴C ．有最低点D ．对称轴是x 轴6．已知226A x x n =++，222423B x x n =+++，下列结论正确的个数为( ) ①若226A x x n =++是完全平方式，则3n =±； ①B －A 的最小值是2；①若n 是0A B +=的一个根，则2216549n n +=； ①若()()202220192A A --=，则()()22202220194A A -+-= A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．若二次函数2y ax =的图象经过点()2,5P ，则a 的值为（ ） A ．54B ．54-C ．45D ．45-8．如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点1,0对称轴为直线1x =．则下列结论：①0abc >；①20a b +=；①函数2y ax bx c =++的最大值为4a -；①若关于x 的方数21ax bx c a ++=+无实数根，则105a -<<．正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x 轴的直线2y =，与二次函数2y x ，2y ax =分别交于A 、B 和C 、D ，若2CD AB =，则a 为（ ）A ．4B ．14C ．2D ．1210．已知点（1，y 1），（2，y 2）都在函数y ＝﹣x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2 B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1，y 2大小不确定二、填空题11．已知抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，4），则当x ≤0时，y 随x 的增大而 _____． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P ，点()3,2Q ，如果二次函数2y ax =的图象与线段PQ 有交点，那么a 的取值范围为__________． 13．如果函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，那么m =____．14．如图，点A 是y 轴正半轴上一点，直线AC 平行于x 轴，分别交抛物线21(0)y x x =≥与22(0)2x y x =≥于,B C 两点，过点C 作y 轴的平行线交1y 的图像于点D ，直线DE AC ∥，交2y 的图像于点E ，则DEAB=_____．15．已知0a <，二次函数2y ax =-的图象上有三个点()()()1232,,1,,3,A y B y C y -，请比较123,,y y y 的大小：___________．（用“＜”连接） 三、解答题16．如图，已知抛物线26y ax bx +＝＋经过A (-1,0)，B (3,0)两点，C 是抛物线与y 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)点P(m，n)在平面直角坐标系的第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S求S关于m的函数解析式(指出自变量m的取值范围)和S的最大值．17．函数y=ax2 (a≠0)的图象与直线y=2x-3交于点(1，b)．（1）求a和b的值；（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）x取何值时，y随x的增大而增大?（4）求抛物线与直线y=-2的两个交点及其顶点所构成的三角形的面积．参考答案：1．B【分析】根据题目中的抛物线的解析式以及二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确．【详解】解：①224125y x x x =--=--（）， ①该函数图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为（2，-5）， ①当2x ≥时，y 随x 的增大而增大， 故选项B 符合题意， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．B【分析】由二次函数2y ax =的图象知：开口向上，0a >，一次函数y kx k =+图象可知0k >，然后根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：由二次函数2y ax =的图象知：开口向上，0a >，一次函数y kx k =+图象可知0k >，∴二次函数2y ax kx k =--的图象开口向上，对称轴2kx a-=-在y 轴的右侧，交y 轴的负半轴，①B 选项正确， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和一次函数的图象，熟记二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 3．D【分析】过点C 、A 分别作CD ①x 轴，AE ①x 轴，垂足分别为D 、E ，可得①COD ①①OAE ，在Rt COD 中，由①COD =60°， 可得①OCD =30°，从而得到112OD OC == ，CD =，进而得到1OE AE == ，可得到点)1A- ，即可求解．【详解】解：如图，过点C 、A 分别作CD ①x 轴，AE ①x 轴，垂足分别为D 、E ，根据题意得①AOC =90°，OA =OC =2，①COD =90°-30°=60°， ①①AOE +①COD =90°， ①CD ①x 轴，AE ①x 轴， ①①CDO =①OEA =90°， ①①AOE +①OAE =90°， ①①COD =①OAE ， ①①COD ①①OAE ， ①AE =OD ，OE =CD ， 在Rt COD 中，①COD =60°， ①①OCD =30°，①112OD OC == ，①CD =，①1OE AE == ，①点)1A - ，把)1A-代入()20y ax a =<，得：21a -=⨯，解得：13a =- ．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据题意得到①COD ①①OAE 是解题的关键． 4．B【分析】计算对应的函数值，后作差比较大小，判断即可． 【详解】①点()()()1232,,,,2,a y a y a y -+都在函数2yx 的图像上，①221(2)44y a a a =-=-+，22y a =，223(2)44y a a a =+=++，①10a -<<，①-4a ＞0，-4a +4＞0，4a ＜0，4a +4=4（a +1）＞0，①22324444y y a a a a -=++-=+＞0，223144448y y a a a a a -=++-+-=＜0， ①31y y <，23y y <， ①231y y y <<， 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，正确进行作差进行实数大小的比较是解题的关键． 5．B【分析】根据二次函数的性质即可判断．【详解】解：抛物线22y x =的开口向上，对称轴为y 轴，有最低点； 抛物线22y x =-开口向下，对称轴为y 轴，有最高点； 故抛物线22y x =与22y x =-相同的性质是对称轴都是y 轴， 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 6．B【分析】①利用完全平方式求解；①利用整式的加减运算和配方法求解；①利用求根公式和完全平方公式求解；①利用完全平方公式求解． 【详解】解：①①A =x 2+6x +n 2是完全平方式， ①n =±3，故结论正确； ①①B -A=2x 2+4x +2n 2+3-（x 2+6x +n 2） =x 2-2x +n 2+3 =（x -1）2+n 2+2， 而（x -1）2+n 2≥0，①B -A ≥2，①B -A 的最小值是2，故结论正确；①①A +B =x 2+6x +n 2+2x 2+4x +2n 2+3=3x 2+10x +3n 2+3， 把x =n 代入3x 2+10x +3n 2+3=0， 得3n 2+10n +3n 2+3=0，即6n 2+10n +3=0，解得n =当n =1102,3n n +==- 22211100644(2)4499n n n n ∴+=+-=-=当n =11023n n +==- 22211100644(2)44;99n n n n ∴+=+-=-=故结论错误；①①（2022-A +A -2019）2 =（2022-2019）2=（2022-A ）2+（A -2019）2+2（2022-A ）（A -2019） =（2022-A ）2+（A -2019）2+2×2 =9，①（2022-A ）2+（A -2019）2=5；故结论错误； 故选B ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方方法的应用，完全平方公式，正确的计算是解题的关键． 7．A【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式可得到a 的值． 【详解】解：二次函数2y ax =的图象经过点(2,5)P ，54a ∴=，解得54a =． 故选：A ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．8．C【分析】由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12ba-=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b += 图象与y 轴的交点为正半轴，则c ＞0，由此可知abc ＜0，故①错误，由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，计算出函数图象与x 轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：()()12y a x x x x =--，将交点坐标代入得化简得：223y ax ax a =--，将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，、21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将c =-3a ，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a ＜0，对称轴为x =1，故12ba-=，故b ＞0，且2b a =-，则20a b +=故①正确， ①图象与y 轴的交点为正半轴， ①c ＞0，则abc ＜0，故①错误， 由图象可知当x =1时，函数取最大值，将x =1，代入2y ax bx c =++，中得：y a b c =++，由图象可知函数与x 轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x =1，故函数图象与x 轴的另一交点为（3,0），设函数解析式为：()()12y a x x x x =--， 将交点坐标代入得：()()13y a x x =+-， 故化简得：223y ax ax a =--，将x =1，代入可得：234y a a a a =--=-，故函数的最大值为-4a ，故①正确，21ax bx c a ++=+变形为：210ax bx c a ++--=要使方程无实数根，则24(1)0b a c a ---<，将c =-3a ，2b a =-，代入得：22040a a +<，因为a ＜0，则2040a +>，则15a >-，综上所述105a -<<，故①正确， 则①①①正确，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 9．B【分析】先求出点A 、B 的坐标由此得到AB 的长，由此得到CD 的长，点D 的坐标，代入解析式即可得到答案．【详解】解：如图，设直线AB 交y 轴于点E ， ①直线2y =与二次函数2yx 交于A 、B ，①当2y =时，2=2x ，得x =①2),(2,2)A B ，①AB = ①2CD AB =，①CD由二次函数的对称性可得CE=DE ①D（，2），将点D 的坐标代入2y ax =，得8a =2，解得a =14，故选：B ．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键． 10．B【分析】分别求出1y 和2y 的值即可得到答案．【详解】解：①点（1，y 1），（2，y 2）都在函数y ＝﹣x 2的图象上，①2111y =-=-，2224y =-=-，①12y y >，故选B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，正确求出1y 和2y 是解题的关键．11．减小【分析】根据该二次函数的对称轴和开口方向可判断增减性．【详解】解：①抛物线y ＝ax 2（a ≠0）过点（﹣2，4），①4＝4a ，即a ＝1；①a ＝1＞0，①抛物线开口向上，①对称轴x ＝0，①当x ≤0时，y 随x 的增大而减小．故答案为：减小【点睛】本题主要考查了二次函数()20y ax a =≠ 的图象和性质，熟练掌握二次函数()20y ax a =≠ 的图象和性质是解题的关键．12．292a ≤≤ 【分析】线段PQ 在第一象限，当开口向下时显然无交点；当开口向上时，开口越大|a|越小，当2y ax =经过点()3,2Q 求出a 的最小值；当2y ax =经过点()1,2P 求出a 的最大值．【详解】解：由题意可知：线段PQ 在第一象限，当a ＜0时开口向下，显然2y ax =的图象与线段PQ 没有交点；当开口向上时，由抛物线性质“开口越大|a|越小”可知：当2y ax =经过点()3,2Q 时，a 有最小值，此时29a =，解出29a =， 当2y ax =经过点()1,2P 时，a 有最大值，此时2a =，解出2a =，故a 的取值范围为：292a ≤≤．【点睛】本题考查抛物线的性质：a 的正负决定抛物线的开口方向，|a |决定抛物线的开口大小，|a |越大，开口越小；|a |越小，开口越大．13．2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m 的值．【详解】①函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，①m 2−m ＝2，（m−2）（m ＋1）＝0，解得：m 1＝2，m 2＝−1，①m ＋1≠0，①m≠−1，故m ＝2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m 的方程是解题关键．14．22 【分析】设2,,2m C m 再分别求解,,DE AB 从而可得答案. 【详解】解：设2,0,2m C m m 2,,2m OAAC m 22,,22BB m y x m 2,2AB m DC y ∥轴，2,,D D x m y mDE AC ∥，2,E y m 则22,2x m 2,Ex m 221,DE m m m12 2.2m DEAB故答案为：2【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形，熟练的应用函数图象上点的坐标满足函数的解析式建立方程是解本题的关键.15． y 2< y 1< y 3【分析】二次函数的抛物线开口向上，对称轴为y 轴，根据点的横坐标距离对称轴的远近来判断点的纵坐标的大小．【详解】解：①二次函数2y ax =-（a ＜0），①-a >0，①该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为y 轴．①()()()1232,,1,,3,A y B y C y -为二次函数y=ax 2-3ax+c （a ＜0）的图象上三个点，且三点横坐标距离对称轴y 轴的距离远近顺序为：（3，y 3）、（-2，y 1）、（1，y 2），①三点纵坐标的大小关系为：y 2< y 1< y 3．故答案为：y 2< y 1< y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．16．(1)2246y x x =-++(2)2327324S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0＜m ＜3)，当m =32时，△PBC 的面积取得最大值，最大值为274【分析】(1)应用待定系数法将A (-1，0)，B (3，0)代入26y ax bx +＝＋中，可得609360a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解方程组即可得出答案；(2)过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ，如图，当x =0时代入二次函数解析式2246y x x =-++=6，即可算出点C 的坐标．设直线BC 的解析式为y =kx +c ，把B (3,0)，C (0,6)代入y =kx +c 中，求出k ，b 的值即可算出直线BC 的解析式，根据点P 在抛物线上可设的坐标为(m ，2246m m -++)，则点F 在直线BC 上可设坐标为(m ，-2m +6)，即可算出PF =2246m m -++-(-2m +6)，再由()212632PBC S m m =⨯-+⨯=239m m -+=2327324m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，当m =32时，△PBC 的面积取得最大值点P (m ，n )在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，即可算出m 的取值范围．（1）解：将A (-1,0)，B (3,0)代入26y ax bx ++＝中，得：609360a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：24a b =-⎧⎨=⎩， ①抛物线的解析式为2246y x x =-++；（2）解：过点P 作PF ∥y 轴，交BC 于点F ，如图所示，由(1)知：当x =0时，y =6，①点C 的坐标为(0，6)；设直线BC 的解析式为y =kx +c ，把B (3，0)，C (0，6)代入y =kx +c 中，得：306k c c +=⎧⎨=⎩，解得：26k c =-⎧⎨=⎩， ①直线BC 的解析式为y =-2x +6．设点P 的坐标为(m ,2246m m -++)，则点F 的坐标为(m ,-2m +6)，①PF =2246m m -++-(-2m +6)=226m m -+， ①12PBC S PF OB =⋅ ①S =()212632m m ⨯-+⨯=239m m -+ =2327324m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ①点P (m ，n )在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，①0＜m ＜3． 故2327324S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭(0＜m ＜3)， ①-3<0，①当m =32时，①PBC 的面积取得最大值，最大值为274． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及二次函数的最值的计算方法进行求解是解决本题的关键．17．（1）a =-1，b =-1；（2）y =-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x =0；（3）x ＜0；（4）【分析】（1）把(1，b )代入直线y =2x -3中，解得b 的值，得到交点坐标是(1，-1)，再把交点坐标代入函数y =ax 2即可解题；（2）由（1）中结论得到抛物线解析式为y =-x 2，再根据抛物线的性质解题；（3）根据抛物线的图象性质解题：当a <0时，抛物线图象开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大；（4）联立抛物线y =-x 2与直线y =-2成方程组，解方程组即可解得点A(，-2)，B-2)，再解得AB 的长为2，最后根据三角形面积公式解题．【详解】解：（1）将x =1，y =b 代入y =2x -3，得b =-1，所以交点坐标是(1，1-)， 将x =1，y =1-代入y =ax 2，得a =1-，所以a =1-，b =1-；(2)抛物线的解析式为y =-x 2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x =0(即y 轴)；(3) a =1-<0，抛物线图象开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，即当x ＜0时，y 随x 的增大而增大．(4)设直线y =- 2与抛物线y =-x 2相交于A 、B 两点，抛物线顶点为O (0，0)．由22y y x =-⎧⎨=-⎩，得112x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩222x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩①A (，-2)，B -2)①AB(，|-2|=2①122AOB S ∆=⨯= 【点睛】本题考查一次函数与抛物线综合题，是重要考点，涉及抛物线与一元二次方程、一次函数解析式、抛物线的图象与性质、三角形面积等知识，掌握相关知识是解题关键．。
人教版九年级上册数学课后基础练习：二次函数的图像和性质(含答案)
bx+ c的图像和性质二次函数y = ax+一、填空题1 .二次函数y = -x2 +2x +3的最大值为.2.（2019徐州）已知二次函数的图象经过点P（2,2）,顶点为O（0,0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为.3.（2019广元）如图，抛物线y =ax2+bx+c（a #0）过点（-1,0） , （0,2）,且顶点在第一象限，设M =4 a +2 b +c,则M的取值范围是.4.（2019天水）二次函数y = ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a + 2b, N=a- b .贝U M、N的大小关系为M N .（填>\ J”或之”）5.（2019河南中考模拟）已知函数y= - x2+2x- 2图象上两点A （2, y1），B （a, V9,其中a>2, 则y1与y2的大小关系是.（填之"，4"或匕”）6.已知二次函数f（x ）=2x2+ax+b ,若f（a 尸f（b+1 ）,其中a/b+1,则 f（1）+f（2）的值为.1 O 57.把二次函数丫=2^2+3*十2的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是. 8 9 108 （2019重庆）抛物线y = -3x2+6x+2的对称轴是（）A.直线x = 2B.直线x = -2C.直线x =1D.直线x = -19 （2019泸州）已知二次函数y =（x-a-1）（x-a+1）-3a+7（其中x是自变量）的图象与x轴没有公共点，且当x<-1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A. a 2B. a -1C. Ta"D. 一1 三a ：210 （2019河池）如图，抛物线y =ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,则下列结论中，错误的是（）ii. （20i9娄底）二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） ① abc<0 ② b 2 -4ac <0 ③ 2a>b ④(a+c)2<b 2i3. (20i9 福建)若二次函数 y 二|a|x 2+bx+c 的图象经过 A(m,n)、B(0,y i )、C(3- m,n)、D(>/2 , y 2)、E(2y 3),则y i 、y 2、y 3的大小关系是（）.15 . （20i9温州）已知二次函数y=x 2-4x + 2,关于该函数在-i&x&的取值范围内，下列说法正确 的是（ ）A.有最大值-i,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-iC. 2a-b=0D. a-b c = 0 A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个 12. (2019成都) 如图，二次函数 y =ax 2+bx + c 的图象经过点A （i,0）, B （5,0）,下列说法正确的是2 . B. b -4ac ：C. a -b c ； 0D.图象的对称轴是直线x = 3 A. y i < y 2< y 3 B. y i < y 3< y 2 C. y 3< y 2V y i D. y 2< y 3< y ii4. （20i9浙江中考模拟）当x=affi x= b a+b 时,函数y = 2x 2 — 2x+3的值是（（a 巾）时，二次函数y=2x 2 —2x+3的函数值相等、当x=A. 0B. - 2C.D. 3 -10A. c ：二0C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-216. (2019湖北中考模拟)如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab<0；②方程ax2+bx+c=0的根为x i=-1, X2=3;③a+b+c>0;④当x<1时，y随x值的增大而增大；⑤ 当y>0时, x<-1或x>3.其中，正确的说法有( )A.①②④B.①②⑤C.①③⑤D.②④⑤三、解答题17.关于x的二次函数y =ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0)和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3)(1)求二次函数的解析式；(2)求二次函数的对称轴和顶点坐标.18.二次函数的图象如图所示，求二次函数的解析式.19.已知二次函数y=ax2+bx-3 (aw。
人教版九年上册数学22.1：二次函数的图形和性质+同步练习(含答案和解析)
人教版九年上册数学22.1：二次函数的图形和性质+同步练习一．选择题（共15小题）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x3﹣x2C．y＝1﹣x﹣x2D．y＝x2+ 2．开口向上，顶点坐标为（﹣9，3）的抛物线为（）A．y＝2（x﹣9）2﹣3B．y＝2（x+9）2+3C．y＝﹣2（x﹣9）2﹣3D．y＝﹣2（x+9）2+33．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知正确的结论是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为过点（﹣3，0）且与y轴平行的直线C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大4．已知抛物线y＝x2，则以下错误的是（）A．开口向上B．顶点是（0，0）C．对称轴是直线x＝0D．当x＝0时有y最大值为05．若函数y＝x m﹣1+mx+3是二次函数，则m＝（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．26．函数y＝ax2与y＝ax﹣a的图象大致是（）A．B．C．D．7．在二次函数y＝x2﹣3x﹣2的图象上的点是（）A．（1，1）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣1，3）8．抛物线y＝4x2﹣4的顶点坐标是（）A．（0，﹣4）B．（﹣4，0）C．（0，4）D．（4，0）9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，）所在的象限是（）A．一B．二C．三D．四10．抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4B．y＝﹣2x2+2x﹣4C．y＝x2+x﹣2D．y＝2x2+2x﹣411．将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝4（x+2）2+3B．y＝4（x+2）2﹣3C．y＝4（x﹣2）2+3D．y＝4（x﹣2）2﹣312．在函数①y＝3x2；②y＝x2+1；③y＝﹣x2﹣3中，图象开口大小按题号顺序表示为（）A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③13．如图，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．14．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．15．已知函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定二．填空题（共8小题）16．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为．17．将二次函数y＝5（x+2）2﹣4的图象向左平移3个单位，再向上平移8个单位，所得二次函数图象的表达式为．18．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．19．抛物线y＝﹣2x2的开口向，对称轴是，顶点是．20．函数y＝﹣x2+2x的图象是一条，开口向，对称轴是，顶点坐标为．21．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a0，b0，c0，b2﹣4ac0，a+b+c0，a﹣b+c0．22．已知（﹣1，y1），（﹣3，y2），（，y3）在函数y＝3x2+6x+12的图象上，则y1，y2和y3的大小关系为．23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点A（a，b）在第象限．三．解答题（共7小题）24．已知二次函数当x＝3时，函数有最大值﹣1，且函数图象与y轴交于（0，﹣4），求该二次函数的关系式．25．已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．26．已知二次函数y＝﹣x2+x+2．（1）求函数图象的开口方向，顶点坐标及对称轴；（2）画出函数的图象；（3）由图象回答：当x为何值时，y＜0；当x为何值时，y＞0．27．已知抛物线经过三个点A（2，6），B（﹣1，0），C（3，0），那么二次函数的解析式是？它的顶点坐标是？28．已知抛物线y＝ax2经过（﹣1，4），且与直线y＝ax+8交于点A，B．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积．29．填表并解答下列问题：（1）填表后发现：当x从﹣1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达16．（2）请你编拟一个二次项系数是1的二次函数，使得当x＝4时，函数值为16．编拟的函数表达式是什么？30．已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的k的值；（2）当K为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增加而减小？人教版九年上册数学22.1：二次函数的图形和性质+同步练习参考答案一．选择题（共15小题）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y＝3x3﹣x2C．y＝1﹣x﹣x2D．y＝x2+【解答】解：A、是一次函数，错误；B、最高次是3次，故错误；C、符合二次函数的一般形式y＝ax2+bx+c，正确；D、不是有关自变量的整式，故错误．故选：C．2．开口向上，顶点坐标为（﹣9，3）的抛物线为（）A．y＝2（x﹣9）2﹣3B．y＝2（x+9）2+3C．y＝﹣2（x﹣9）2﹣3D．y＝﹣2（x+9）2+3【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（﹣9，3），∴可设抛物线解析式为y＝a（x+9）2+3，∵抛物线开口向上，∴a＞0，故选：B．3．由二次函数y＝2（x﹣3）2+1，可知正确的结论是（）A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为过点（﹣3，0）且与y轴平行的直线C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大【解答】解：A、∵二次函数y＝2（x﹣3）2+1中，a＝2＞0，∴其图象的开口向上，故本选项错误；B、∵二次函数的解析式是y＝2（x﹣3）2+1，∴其图象的对称轴是直线x＝3，故本选项错误；C、∵由函数解析式可知其顶点坐标为（3，1），∴其最小值为1，故本选项正确；D、∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，故本选项错误．故选：C．4．已知抛物线y＝x2，则以下错误的是（）A．开口向上B．顶点是（0，0）C．对称轴是直线x＝0D．当x＝0时有y最大值为0【解答】解：由抛物线y＝x2可知，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），故对称轴为直线x＝0，当x＝0时，y有最小值0，选项D错误，故选D．5．若函数y＝x m﹣1+mx+3是二次函数，则m＝（）A．﹣3B．3C．3或﹣3D．2【解答】解：∵函数y＝x m﹣1+mx+3是二次函数，∴m﹣1＝2，∴m＝3．故选：B．6．函数y＝ax2与y＝ax﹣a的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：观察抛物线的图象可知a＞0，∴在直线y＝ax﹣a中，a＞0，﹣a＜0，直线经过一、三、四象限，故选B．7．在二次函数y＝x2﹣3x﹣2的图象上的点是（）A．（1，1）B．（0，2）C．（2，﹣4）D．（﹣1，3）【解答】解：A、x＝1时，y＝1﹣3﹣2＝﹣4，不符合；B、x＝0时，y＝﹣2，不符合；C、x＝2时，y＝4﹣6﹣2＝﹣4，满足；D、x＝﹣1时，y＝1+3﹣2＝2，不符合；故选：C．8．抛物线y＝4x2﹣4的顶点坐标是（）A．（0，﹣4）B．（﹣4，0）C．（0，4）D．（4，0）【解答】解：因为y＝4x2﹣4为抛物线解析式的顶点式，所以根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（0，﹣4）．故选：A．9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，）所在的象限是（）A．一B．二C．三D．四【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a＞0，b＜0，c＞0，则a＞0，＜0，因此P（a，）位于第四象限．故选：D．10．抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4B．y＝﹣2x2+2x﹣4C．y＝x2+x﹣2D．y＝2x2+2x﹣4【解答】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得8＝a（2﹣1）（2+2），解得a＝2，∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），化简得，y＝2x2+2x﹣4．故选：D．11．将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝4（x+2）2+3B．y＝4（x+2）2﹣3C．y＝4（x﹣2）2+3D．y＝4（x﹣2）2﹣3【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，3）．）可设新抛物线的解析式为：y＝4（x﹣h）2+k，代入得：y＝4（x+2）2+3．故选：A．12．在函数①y＝3x2；②y＝x2+1；③y＝﹣x2﹣3中，图象开口大小按题号顺序表示为（）A．①＞②＞③B．①＞③＞②C．②＞③＞①D．②＞①＞③【解答】解：∵抛物线的开口大小是由二次项系数a的绝对值的大小确定，|a|越大则开口越小．∴开口大小按题号顺序表示为②＞③＞①．故选：C．13．如图，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由一次函数y＝kx+b的图象可得：a＞0，b＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c 的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＜0，错误；B、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，错误；C、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＞0，b＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，正确．D、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＜0，b＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，错误；故选：C．14．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由解析式y＝a（x+m）2+n可知，a＞0，图象开口向上，其顶点坐标为（﹣m，n），又因为m＜0，n＜0；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D；C中，由二次函数图象可知a＜0，而由一次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，排除C；选项B正确．故选：B．15．已知函数y＝x2﹣2x+k的图象经过点（，y1），（，y2），则y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定【解答】解：∵对称轴为x＝﹣＝1，∴点（，y1）的对称点的横坐标为，即称点坐标为（，y2），∴y1＝y2．故选：B．二．填空题（共8小题）16．抛物线上有三点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3），此抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+．【解答】解：设此抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，把点（﹣2，3）、（2，﹣8）、（1，3）代入得，解得．所以此抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+，故答案为：y＝﹣x2﹣x+．17．将二次函数y＝5（x+2）2﹣4的图象向左平移3个单位，再向上平移8个单位，所得二次函数图象的表达式为y＝5（x+5）2+3．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝5（x+2）2﹣4的图象向左平移3个单位，再向上平移8个单位得到y＝5（x+5）2+3．故答案为：y＝5（x+5）2+3．18．如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是0．【解答】解：∵函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，∴k2﹣ak+2＝2，则k2﹣ak＝0，故k的值一定是0．故答案为：0．19．抛物线y＝﹣2x2的开口向向下，对称轴是y轴，顶点是（0，0）．【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2中，a＝﹣2＜0，b＝c＝0，∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，0）．故答案为：向下，y轴，（0，0）．20．函数y＝﹣x2+2x的图象是一条抛物线，开口向下，对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，1）．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴x＝＝1，顶点坐标为（＝1，＝1），即（1，1）．∴函数y＝﹣x2+2x的图象是一条抛物线，开口向下，对称轴是x＝1，顶点坐标为（1，1）．21．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则a＞0，b＞0，c＜0，b2﹣4ac ＞0，a+b+c＞0，a﹣b+c＜0．【解答】解：（1）∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＜0，∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0；（2）∵抛物线与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＞0，（3）∵x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0；（4）∵x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0；故答案为＞、＞、＜；＞；＞；＜．22．已知（﹣1，y1），（﹣3，y2），（，y3）在函数y＝3x2+6x+12的图象上，则y1，y2和y3的大小关系为y1＜y3＜y2．【解答】解：x＝﹣1时，y1＝3×（﹣1）2+6×（﹣1）+12＝3﹣6+12＝9，x＝﹣3时，y2＝3×（﹣3）2+6×（﹣3）+12＝27﹣18+12＝21，x＝时，y3＝3×（）2+6×+12＝0.75+3+12＝15.75，所以，y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点A（a，b）在第二象限．【解答】解：由图象开口向下，∴a＜0，根据对称轴x＝﹣＞0，∴b＞0，∴点A（a，b）在第二象限，故答案为：二．三．解答题（共7小题）24．已知二次函数当x＝3时，函数有最大值﹣1，且函数图象与y轴交于（0，﹣4），求该二次函数的关系式．【解答】解：根据题意可知顶点坐标为（3，﹣1），设顶点式y＝a（x﹣3）2﹣1，把点（0，﹣4）代入，得﹣4＝a（﹣3）2﹣1，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣3）2﹣1．25．已知二次函数的图象如图所示，求它的解析式．【解答】解：∵抛物线顶点坐标为（1，4），代入抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），得：y＝a（x﹣1）2+4，∵该抛物线又过点（﹣1，0），∴4a+4＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3．26．已知二次函数y＝﹣x2+x+2．（1）求函数图象的开口方向，顶点坐标及对称轴；（2）画出函数的图象；（3）由图象回答：当x为何值时，y＜0；当x为何值时，y＞0．【解答】解：（1）y＝﹣x2+x+2＝﹣（x2﹣x）+2＝﹣（x﹣）2+，∴开口向下，顶点坐标为（，），对称轴为直线x＝；（2）图象如图：（3）根据图象可知：x＜﹣1或x＞2时，y＜0；﹣1＜x＜2时，y＞0．27．已知抛物线经过三个点A（2，6），B（﹣1，0），C（3，0），那么二次函数的解析式是？它的顶点坐标是？【解答】解：设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得，解得．所以二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，∵y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的顶点坐标为（1，8）．28．已知抛物线y＝ax2经过（﹣1，4），且与直线y＝ax+8交于点A，B．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）把（﹣1，4）代入y＝ax2得：a＝4，∴直线的解析式为y＝4x+8，抛物线的解析式为y＝4x2；（2）由题意知，联立y＝4x+8及y＝4x2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，y1＝16，y2＝4，∴A（2，16），B（﹣1，4），如图所示，作BD垂直于x轴于点D，作AE垂直于x轴于点E，∴S△AOB＝S梯形ABDE﹣S△ODB﹣S△AOE＝×（4+16）×3﹣×1×4﹣×2×16＝12．29．填表并解答下列问题：（1）填表后发现：当x从﹣1开始增大时，预测哪一个函数的值先到达16．（2）请你编拟一个二次项系数是1的二次函数，使得当x＝4时，函数值为16．编拟的函数表达式是什么？【解答】解：填表．故答案为：1，3，5，7；1，0，1，4；（1）由于在第一象限内，两个函数都是y随x的增大而增大，当y＝16时，函数y1＝2x+3中的x＝6.5，函数y2＝x2中的x＝4，故函数y2＝x2值先到达16；（2）如：y3＝（x﹣4）2+16．30．已知函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的k的值；（2）当K为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x为何值时，y随x的增大而增大？（3）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x为何值时，y与x的增加而减小？【解答】解：（1）∵函数y＝（k﹣2）是关于x的二次函数，∴k满足k2﹣4k+5＝2，且k﹣2≠0，∴解得：k1＝1，k2＝3；（2）∵抛物线有最高点，∴图象开口向下，即k﹣2＜0，∴k＝1，∴最高点为（0，0），当x＜0时，y随x的增大而增大．（3）∵函数有最小值，∴图象开口向上，即k﹣2＞0，∴k＝3，∴最小值为0，当x＜0时，y随x的增大而减小．。
九年级数学上册《第二十二章 二次函数的图象和性质》练习题附答案-人教版
九年级数学上册《第二十二章二次函数的图象和性质》练习题附答案-人教版一、选择题1.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是 ( )A.y＝xB.y＝1xC.y＝﹣1xD.y＝x22.下列函数中，开口方向向上的是( )A.y＝ax2B.y＝﹣2x2C.y＝12x2 D.y＝﹣12x23.关于二次函数y＝﹣2x2＋1的图象,下列说法中,正确的是 ( )A.对称轴为直线x＝1B.顶点坐标为(﹣2,1)C.可以由二次函数y＝﹣2x2的图象向左平移1个单位长度得到D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降4.已知二次函数y＝ax2﹣1的图象开口向下，则直线y＝ax﹣1经过的象限是( )A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限5.在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图象可能是( )A. B. C. D.6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为( )7.抛物线y=2x2﹣3的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上8.下列图形中阴影部分的面积相等的是( )A.②③B.③④C.①②D.①④9.关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x＞10时，y随x的增大而减小；③当1＜x＜2时，－4＜y＜－1；④若点(m，p)，(n，p)是该抛物线上的两点，则m＋n＝0.其中正确的说法有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2(a＜0)的图象上，则a的值为( )A.﹣12 B.﹣26 C.﹣2 D.﹣33二、填空题11.已知抛物线y＝(m－1)x2＋4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取值范围是________.12.若二次函数7-2mmxy 的图象开口向上，则m的值为________.13.抛物线y＝﹣3x2的对称轴是，顶点是，开口，顶点是最点，与x轴的交点为 .14.如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx，则a、b、c、d的大小关系为 .15.如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝－x平移2个单位长度后，其顶点在直线上的点A处，则平移后抛物线的解析式是_______________.16.如图所示,在平面直角坐标系中,二次函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三顶点A,B,C,则ac的值是 .三、解答题17.已知二次函数y＝ax2＋c.当x＝1时，y＝﹣1；当x＝2时，y＝5，求该二次函数的表达式.18.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3).(1)a＝，b＝，顶点D的坐标( ，);(2)求此抛物线关于x轴对称后的函数解析式;(3)是否在抛物线上存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD?若存在，请求出B的坐标;若不存在，请说明理由.19.已知二次函数的图象经过点A(﹣2,0) B(1,3)和点C.(1)点C的坐标可以是下列选项中的______(只填序号)①(﹣2,2)；②(1,﹣1) ③(2,4) ④ (3,﹣4)(2)若点C坐标为(2,0)，求该二次函数的表达式；(3)若点C坐标为(2,m)，二次函数的图象开口向下且对称轴在y轴右侧，结合函数图象，直接写出m的取值范围.20.如图，已知抛物线的顶点为A(0，1)，矩形CDEF的顶点C.F在抛物线上，点D.E在x轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且矩形其面积为8，此抛物线的解析式.21.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ACB＝90°，AB＝AD，AC＝4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，求y与x之间的函数表达式.参考答案1.B2.C.3.D4.D5.D6.D.7.D.8.A.9.D.10.B11.答案为：m ＜1.12.答案为：3.13.答案为：y 、(0，0)、向下、低、(0，0) .14.答案为：a>b>c>d15.答案为：y ＝(x ＋2)2＋ 2.16.答案为：﹣217.解：由题意得 a ＋c ＝－1，4a ＋c ＝5，解得 a ＝2，c ＝－3.∴该二次函数的表达式为y ＝2x 2﹣3.18.解：(1)因为二次函数y ＝ax 2＋b 的最大值为4所以b ＝4.所以y ＝ax 2＋4.因为函数的图象经过点A(1，3)，所以3＝a ＋4，解得a ＝﹣1.所以y ＝﹣x 2＋4所以顶点D 的坐标为(0，4).(2)因为抛物线y＝﹣x2＋4关于x轴对称的抛物线为﹣y＝﹣x2＋4 所以所求解析式为y＝x2﹣4.(3)假设存在点B(x，y).由题意得＝2，所以＝2，所以x＝±2①当x＝2时，则有y＝﹣x2＋4＝0;②当x＝﹣2时，则有y＝﹣x2＋4＝0.所以在抛物线上存在点B，使得S△DOB ＝2S△AOD，点B的坐标为(2，0)或(﹣2，0).19.解：(1)(4)；(2)设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)(x﹣2)，代入(1,3)得3＝﹣3a∴a＝﹣1，∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2＋4；(3)由题意可知，二次函数的图象开口向下，若对称轴是直线m＝2，则m是最大值，由(1)可m<4，∴m的取值范围是0<m<4.20.解：∵抛物线的顶点为A(0，1)∴抛物线的对称轴为y轴∵四边形CDEF为矩形∴C.F点为抛物线上的对称点∵矩形其面积为8，OB＝2∴CF＝4∴F点的坐标为(2，2)设抛物线解析式为y＝ax2＋1把F(2，2)代入得4a＋1＝2，解得a＝1 4∴抛物线解析式为y＝14x2＋1.21.解：将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△ADE，过点D作DF⊥AC于点F则四边形AFDE 是矩形.∴AC ＝AE ＝DF ＝4BC ，AF ＝DE ＝BC∴CF ＝AC ﹣AF ＝4BC ﹣BC ＝3BC.∴在Rt △CDF 中CD ＝CF 2＋DF 2＝（3BC ）2＋（4BC ）2＝5BC ＝x.∴BC ＝15x.∴AE ＝AC ＝45x ，DE ＝15x. ∵S 四边形ABCD ＝S 梯形ACDE ＝12(DE ＋AC)×AE ∴y ＝12(15x ＋45x)×45x ＝25x 2.。
九年级数学上册《第二十二章 二次函数的图象和性质》练习题及答案-人教版
九年级数学上册《第二十二章二次函数的图象和性质》练习题及答案-人教版一、选择题1.在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝2的是( )A.y＝2x2﹣4B.y＝2(x﹣2)2C.y＝2x2＋2D.y＝2(x＋2)22.在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝﹣2的是( )A.y＝(x＋2)2B.y＝2x2﹣2C.y＝﹣2x2﹣2D.y＝2(x﹣2)23.已知二次函数y＝3(x﹣2)2＋5，则有( )A.当x＞﹣2时，y随x的增大而减小B.当x＞﹣2时，y随x的增大而增大C.当x＞2时，y随x的增大而减小D.当x＞2时，y随x的增大而增大4.设A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为( )A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y3＞y2＞y1D.y3＞y1＞y25.由二次函数y＝6(x﹣2)2＋1，可知( ).A.图象的开口向下B.图象的对称轴为直线x＝﹣2C.函数的最小值为1D.当x＜2时，y随x的增大而增大6.在平面直角坐标系中，二次函数y＝a(x﹣h)2(a≠0)的图象可能是( )7.将函数y＝x2＋6x＋7进行配方正确的结果应为( )A.y＝(x＋3)2＋2B.y＝(x﹣3)2＋2C.y＝(x＋3)2﹣2D.y＝(x﹣3)2﹣28.已知点(x1，y1)(x2，y2)在抛物线y＝(x﹣h)2＋k上，如果x1＜x2＜h，则y1，y2，k的大小关系是( )A.y1＜y2＜k B.y2＜y1＜k C.k＜y1＜y2D.k＜y2＜y19.将抛物线y=（x﹣1）2+3向右平移1个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的表达式为（）A.y=（x﹣2）2B.y=x2C.y=x2+6D.y=（x﹣2）2+610.把抛物线y＝(x﹣1)2＋2绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为( )A.y＝﹣(x＋1)2﹣2B.y＝﹣(x﹣1)2﹣2C.y＝﹣(x﹣1)2＋2D.y＝﹣(x＋1)2＋2二、填空题11.若点A(－3，y1)、B(0，y2)是二次函数y＝－2(x－1)2＋3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是________(填y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2).12.将二次函数y＝2x2＋6x＋3化为y＝a(x﹣h)2＋k的形式是.13.将函数y＝ax2﹣5的图象向上平移m个单位长度后，经过点(2，6).如果新函数有最小值﹣2，那么a＝，m＝.14.已知抛物线y＝(k﹣1)x2＋3x的开口向下，那么k的取值范围是 .15.有一个二次函数的图象，三位同学分别说了它的一些特点：甲：与x轴只有一个交点；乙：对称轴是直线x＝3；丙：与y轴的交点到原点的距离为3.满足上述全部特点的二次函数的解析式为 .16.如图，点E是抛物线y＝a(x﹣2)2＋k的顶点，抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点B，与对称轴交于点D.点A是对称轴上一点，连结AC、AB.若△ABC是等边三角形，则图中阴影部分图形的面积之和是 .三、解答题17.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(0，2)和(1，﹣1)，求图象的顶点坐标和对称轴.18.已知函数y＝﹣12(x＋1)2﹣2(1)指出函数图象的开口方向是，对称轴是，顶点坐标为(2)当x 时，y随x的增大而增大(3)怎样移动抛物线y＝﹣12x2就可以得到抛物线y＝﹣12(x＋1)2﹣219.如图，已知直线l经过A(4，0)和B(0，4)两点，抛物线y＝a(x﹣h)2的顶点为P(1，0)，直线l与抛物线的交点为M.(1)求直线l的解析式;(2)若S△AMP＝3，求抛物线的解析式.20.已知二次函数y＝2x2﹣8x.(1)用配方法将y＝2x2﹣8x化成y＝a(x﹣k)2＋k的形式；(2)求出该二次函数的图象与x轴的交点A,B的坐标(A在B的左侧)；(3)将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移3个单位,请直接写出得到的新图象的函数表达式.21.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数y=﹣23x2+bx+c的图象经过B、C两点.(1)求该二次函数的解析式；(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围.22.如图, 已知直线l经过A(4,0)和B(0,4)两点,抛物线y＝a(x﹣h)2的顶点为P(1,0),直线l 与抛物线的交点为M.(1)求直线l的函数解析式；(2)若S＝3,求抛物线的解析式.△AMP参考答案1.B2.A.3.D.4.A5.C.6.D7.C8.D9.D10.A.11.答案为：y1＜y2.12.答案为：y＝2(x＋32)2﹣32.13.答案为：2,3.14.答案为：k＜1.15.答案为：y＝13(x﹣3)2或y＝﹣13(x﹣3)2.16.答案为：2 3.17.解：把点(0，2)和(1，﹣1)代入y＝x2＋bx＋c 得，解这个方程组得所以所求二次函数的解析式是y＝x2﹣4x＋2；因为y＝x2﹣4x＋2＝(x﹣2)2﹣2所以顶点坐标是(2，﹣2)，对称轴是直线x＝2.18.解：(1)∵函数y＝﹣12(x＋1)2﹣2∴该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是(﹣1，﹣2) 故答案为：向下，直线x＝﹣1，(﹣1，﹣2)；(2)∵函数y＝﹣12(x＋1)2﹣2∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大故答案为：x＜﹣1；(3)将抛物线y＝﹣12x2向左平移一个单位长度就可以得到抛物线y＝﹣12(x＋1)2﹣2.19.解：(1)设一次函数解析式为y＝kx＋b把A(4，0)，B(0，4)分别代入y＝kx＋b得解得所以直线l的解析式为y＝﹣x＋4.(2)设M点的坐标为(m，n)，连接PM因为S△AMP＝3，所以(4﹣1)n＝3.解得n＝2.把M(m，2)代入y＝﹣x＋4，得2＝﹣m＋4.所以m＝2.所以M(2，2).因为抛物线y＝a(x﹣h)2的顶点为P(1，0)，可得y＝a(x﹣1)2. 把M(2，2)代入y＝a(x﹣1)2，得2＝a(2﹣1)2，解得a＝2.所以所求抛物线的解析式为y＝2(x﹣1)2.20.解：(1)y=2(x﹣2)2﹣8；(2) 令y=0,则2x2﹣8x=0.∴2x(x﹣4)=0,解方程,得x1=0,x2=4.∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为A(0,0),B(4,0).(3)y=2x2﹣5.21.解：(1)∵正方形OABC的边长为2∴点B.C的坐标分别为(2,2),(0,2)将点B.C的坐标分别代入y=﹣23x2+bx+c得,解得.∴二次函数的解析式为y=﹣23x2+34x+2.(2)令y＝0,则﹣23x2+34x+2=0整理得,x2﹣2x﹣3＝0,解得x1＝﹣1,x2＝3.∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(﹣1,0)(3,0).∴当y＞0时,二次函数图象在x轴的上方,x的取值范围是﹣1＜x＜3.22.解：(1)设一次函数解析式为y＝kx＋b把A(4,0),B(0,4)分别代入解析式得,解得解析式为y＝﹣x＋4.(2)设M点的坐标为(m,n)∵S△AMP＝3∴12(4﹣1)n＝3,解得,n＝2把M(m,2)代入为2＝﹣m＋4得,m＝2,M(2,2)∵抛物线y＝a(x﹣h)2的顶点为P(1,0),可得y＝a(x﹣1)2 把M(2,2)代入y＝a(x﹣1)2得2＝a(2﹣1)2,解得a＝2函数解析式为y＝2(x﹣1)2.。
人教版初中数学九年级上册22.1二次函数的图像和性质同步练习含答案解析
九年级上册第二十二章《22.1二次函数的图像和性质》同步练习题一、单选题（每小题只有一个正确答案）1．下列函数中是二次函数的是( )A ． y ＝3x －1B ． y ＝3x 2－1C ． y ＝(x ＋1)2－x 2D ． y ＝ax 2＋2x －32．若y=（a 2+a ） 是二次函数，那么（ ）A ． a=﹣1或a=3B ． a≠﹣1且a ≠0C ． a=﹣1D ． a=33．抛物线y ＝－x 2不具有的性质是( )A ． 开口向下B ． 对称轴是y 轴C ． 与y 轴不相交D ． 最高点是原点4．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①2y ax =；②2y bx =；③2y cx =；④2y dx =，则,,,a b c d 的大小关系为( )A ． a b c d >>>B ． a b d c >>>C ． b a c d >>>D ． b a d c >>>5．对于 的图象下列叙述错误的是A ． 顶点坐标为（﹣3，2）B ． 对称轴为x=﹣3C ． 当x ＜﹣3时y 随x 增大而减小D ． 函数有最大值为26．已知二次函数 的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ． ＜0B ． ＜0C ． ＜0D ． ＜07．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ）A ． 先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B ． 先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度C ． 先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D ． 先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度8．如图，二次函数 的图象开口向下，且经过第三象限的点 若点P 的横坐标为 ，则一次函数 的图象大致是A．B．C．D．二、填空题9．二次函数y＝kx2－x－2经过点(1，5)，则k＝_________.10．函数y= –的图象是抛物线，则m=__________．11．开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝_____．12．如图，这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，则被墨迹污染的二次项系数是__________．13．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c=0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的是_____（只需填序号）三、解答题14．已知函数y=-(m+2)-(m为常数),求当m为何值时:(1)y是x的一次函数?(2)y是x的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标.15．某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用为1000元/m2.设矩形的一边长为xm，面积为ym2.(1)求出y与x之间的函数关系式，说明y是不是x的二次函数，并确定x的取值范围；(2)若x＝3时，广告牌的面积最大，求此时的广告费应为多少？16．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．参考答案1．B【解析】【分析】根据二次函数的定义:形如,则y是x的二次函数进行判定即可.【详解】A选项,y＝3x－1是一次函数,不符合题意,B选项,y＝3x2－1是二次函数,符合题意,C选项, y＝(x＋1)2－x2整理后y=2x+1是一次函数,不符合题意,D选项, y＝ax2＋2x－3,二次项系数不确定是否等于0,不一定是二次函数,不符合题意,故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的定义.2．D【解析】【分析】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．【详解】根据题意，得：a2﹣2a﹣1=2解得a=3或﹣1又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1所以a=3．故选D．【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义．3．C【解析】【分析】抛物线y=-x2的二次项系数为-1，故抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），最高点为原点，对称轴为y轴，与y轴交于（0，0）．【详解】∵抛物线 y=-x 2的二次项系数为-1，∴抛物线开口向下，顶点坐标（0，0），A 正确；∴最高点为原点，对称轴为y 轴，B 、D 正确；与y 轴交于（0，0），C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了基本二次函数y=ax 2的性质：顶点坐标（0，0），对称轴为y 轴，当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下．4．A【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合“二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：a b c d >>>.故选A.点睛：（1）二次函数()20y ax a =≠的图象的开口方向由“a 的符号”确定，当0a >时，图象的开口向上，当0a <时，图象的开口向下；（2）二次函数()20y axa =≠的图象的开口大小由a 的大小确定，当a 越大时，图象的开口越小.5．D 【解析】分析：根据二次函数的性质对照四个选项利用排除法即可得出结论.详解：根据二次函数的性质可知 的顶点坐标为（﹣3，2），故A 正确；对称轴为x =﹣3，故B 正确；开口向上，在对称轴右侧y 随x 增大而减小且函数有最小值2 ，故C 正确D 错误. 点睛：本题考查了二次函数的性质，在解题时可结合函数大致图象来判断.正确理解二次函数的基本性质是解题的关键.6．B【解析】【分析】根据抛物线的开口方向确定a ，根据抛物线与y 轴的交点确定c ，根据对称轴确定b ，根据抛物线与x 轴的交点确定b 2-4ac ，根据x=1时，y ＞0，确定a+b+c 的符号．【详解】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线交于y轴的正半轴，∴c＞0，∴ac＞0，A错误；∵-＞0，a＞0，∴b＜0，∴B正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，C错误；当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，D错误；故选B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．7．D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．故选：D．点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．8．D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，，，当时，，的图象经过二、三、四象限，观察可得D选项的图象符合，故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.9．8【解析】分析：把（1，5）代入y=kx 2-x-2中，即可得到关于k 的一元一次方程，解这个方程即可求得k 的值． 详解：∵二次函数y=kx 2-x-2经过点（1，5），∴5=k-1-2，解得k=8；故答案为8．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点的坐标适合解析式．10．–1【解析】根据抛物线的定义，得 ＝，解得：m=–1． 11．－1【解析】由于抛物线y=（m 2-2）x 2+2mx+1的对称轴经过点（-1，3），∴对称轴为直线x=-1，x=()22222b m a m -=--=-1， 解得m 1=-1，m 2=2．由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m 2-2=2＞0，不合题意，应舍去，∴m=-1．故答案为：-1.12．－2【解析】由题意得,所以a =-2. 13．①②③⑤【解析】【分析】利用抛物线与x 轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=-2a,然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据二次函数的性质对④进行判断.【详解】①∵抛物线与x 轴有两个交点，∴△=b 2﹣4ac ＞0，∴4ac ＜b 2，结论①正确；②∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，结论②正确；③∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，∴﹣=1，∴b=﹣2a．∵当x=﹣1时，y=0，∴a﹣b+c=0，即3a+c=0，结论③正确；④∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，结论④错误；⑤∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴当x＜0时，y随x增大而增大，结论⑤正确．综上所述：正确的结论有①②③⑤．故答案为：①②③⑤．【点睛】二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a 与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．14．(1) m=±;(2) m=2, 纵坐标为-8的点的坐标是(±,-8).【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义求m的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m的值，从而求得二次函数的解析式，把y=-8代入解析式，求得x的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标.【详解】(1)由y=-(m+2)(m为常数),y是x的一次函数,得解得m=±,当m=±时,y是x的一次函数.(2)由y=-(m+2)(m为常数),y是x的二次函数,得解得m=2,m=-2(不符合题意的要舍去),当m=2时,y 是x的二次函数,当y=-8时,-8=-4x2,解得x=±,故纵坐标为-8的点的坐标是(±,-8).【点睛】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．15．(1)y＝－x2＋6x，是，0＜x＜6 ；（2）9000元【解析】试题分析：（1）矩形的一边长为x m，根据矩形的周长是12m，可得矩形的另一边长为（6－x）m，根据矩形的面积公式即可得出y与x之间的函数表达式；（2）把x＝3代入函数的解析式得出y的值即为广告牌的最大面积，再乘以1000即为此时的广告费．试题解析：解：（1）由题意得出：y＝x(6－x)＝－x2＋6x，是二次函数，0＜x＜6；（2）当x＝3时，y＝－32＋3×6＝9，1000×9＝9000元，即此时的广告费应为9000元．点睛：此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式以及求二次函数值，正确得出二次函数解析式是解题关键．16．（1）这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）S△BCP最大=；（3）当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．【解析】分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．详解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得＝＝，解得＝＝，这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得＝＝，解这个方程组，得＝＝直线BC的解析是为y=-x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，-t+3），PE=-t+3-（t2-4t+3）=-t2+3t，∴S△BCP=S△BPE+S CPE=（-t2+3t）×3=-（t-）2+，∵-＜0，∴当t=时，S△BCP最大=.（3）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）MN=m2-3m，BM=|m-3|，当MN=BM时，①m2-3m=（m-3），解得m=，②m2-3m=-（m-3），解得m=-当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，-，1，2．点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．。
人教版 九年级数学上册 22.1 二次函数的图象性质 课后训练(含答案)
人教版九年级数学22.1 二次函数的图象性质课后训练一、选择题1. 二次函数y＝2x2，y＝－2x2，y＝12x2的共同性质是()A．其图象开口都向上B．其图象的对称轴都是y轴C．其图象都有最高点D．y随x的增大而增大2. 抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是()A. 直线x＝1B. 直线x＝－1C. 直线x＝－2D. 直线x＝23. 对于函数y＝－2(x－m)2，下列说法不正确的是()A．其图象开口向下B．其图象的对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．其图象与y轴不相交4. 若二次函数y＝x2＋mx的对称轴是x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A. x1＝0，x2＝6B. x1＝1，x2＝7C. x1＝1，x2＝－7D. x1＝－1，x2＝75. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为()A．(2，3) B．(3，2) C．(3，3) D．(4，3)6. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，则下列结论：①abc>0；②9a＋3b＋c<0；③c>－1；④关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个根为－1 a.其中正确的结论个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，OA ＝OC ，由抛物线的特征写出如下含有a ，b ，c 三个字母的等式或不等式：①4ac －b 24a ＝－1；②ac ＋b ＋1＝0；③abc ＞0；④a －b ＋c ＞0.其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．18. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A ＝90°，BC ＝4，点P 是△ABC 边上一动点，沿B →A →C 的路径移动．过点P 作PD ⊥BC 于点D ，设BD ＝x ，△BDP 的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )9. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA＝OC.有下列结论：①abc<0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10. 如图，在Rt △PMN 中，∠P ＝90°，PM ＝PN ，MN ＝6 cm ，在矩形ABCD 中，AB ＝2 cm ，BC ＝10 cm ，点C 和点M 重合，点B ，C(M)，N 在同一直线上，令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线以每秒1 cm 的速度向右移动，至点C 与点N 重合为止．设移动x s 后，矩形ABCD 与△PMN 重叠部分的面积为y cm 2，则y 关于x 的大致图象是( )二、填空题11.抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．12. 某学习小组为了探究函数y ＝x 2－|x |的图象与性质，根据以往学习函数的经验，列表确定了该函数图象上一些点的坐标，表格中的m ＝________．13. 二次函数y ＝－x 2＋6x －5的图象开口________，对称轴是________，顶点坐标是________；与x 轴的两个交点坐标分别是________，与y 轴的交点坐标是________；在对称轴左侧，即x ________时，y 随x 的增大而________，在对称轴右侧，即x ________时，y 随x 的增大而________，当x ＝________时，y 有最________值为________；抛物线y ＝－x 2＋6x －5是由抛物线y ＝－x 2向________(填“左”或“右”)平移________个单位长度，再向________(填“上”或“下”)平移________个单位长度得到的．14. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a (x －2)2交于点B ，抛物线y ＝a (x －2)2交y 轴于点E ，过点B 作x 轴的平行线与两条抛物线分别交于D ，C 两点．若A 是x 轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD ，AC ，EC ，ED ，则四边形ACED 的面积为________．(用含a 的代数式表示)16. 如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A (1，0)和B (3，2)，不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为____________．17. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点为P(m ，n)．给出下列结论：①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③若关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ；④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx (a ＞0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)交于点B .若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是________．三、解答题19. 画出函数y＝－x2的图象，并回答问题．解：(1)列表(请完成下面的填空)：x …－2－1－0.500.512…y …－0.250－0.25－1－4…(2)描点、连线；(3)由函数图象可以看出，当x＜0时，y随着x的增大而________．(填“增大”或“减小”)20. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；(3)若直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B、C)部分有两个交点，求b的取值范围．21. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点M(1，3)和N(3，5)．(1)试判断该抛物线与x轴的交点情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A(－2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程．22. 抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a(x－3)2－1，且平移后的抛物线经过点A(2，1)．(1)求平移后的抛物线的解析式；(2)设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后的抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．人教版九年级数学22.1 二次函数的图象性质课后训练-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】B【解析】已知解析式为抛物线解析式的一般式，利用对称轴公式直接求解．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝－b2a＝－22×1＝－1 .3. 【答案】D4. 【答案】D【解析】∵二次函数y＝x2＋mx的对称轴为x＝－m2＝3，解得m＝－6，则关于x的方程为x2－6x＝7，解得，x1＝－1，x2＝7.5. 【答案】D6. 【答案】C【解析】由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，所以－b2a ＝2＞0，所以b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图象可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图象可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即－c ＜1，∴c ＞－1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝－1a ，把x ＝－1a 代入方程可得1a －ba ＋c ＝0，整理可得ac －b ＋1＝0，两边同时乘c 可得ac 2－bc ＋c ＝0，即方程有一个根为x ＝－c ，由②可知－c ＝OA ，而x ＝OA 是方程的根，∴x ＝－c 是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个．7. 【答案】A [解析] (1)∵抛物线的顶点的纵坐标是－1，∴4ac －b 24a ＝－1.故①正确．(2)∵OA ＝OC ＝|c|，∴A(c ，0)，∴ac 2＋bc ＋c ＝0.又c≠0，∴ac ＋b ＋1＝0.故②正确．(3)从图象中易知a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0.故③正确．(4)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ，由图象知点(－1，a －b ＋c)在第二象限，∴a －b ＋c ＞0.故④正确．综上所述，4个结论均正确，故选A.8. 【答案】B【解析】∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°.(1)当0≤x ≤2时，点P 在AB 边上，△BDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝BD ＝x ，y ＝12x 2 (0≤x ≤2)，其图象是抛物线的一部分； (2)当2＜x ≤4时，点P 在AC 边上，△CDP 是等腰直角三角形，∴PD ＝CD ＝4－x ，∴y ＝12BD ·PD ＝12x (4－x ) (2＜x ≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B 的图象能大致反映y 与x 之间的函数关系．9. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0， 而a ＜0，∴b 2－4ac4a ＜0，故②错误．∵C(0，c)，OA ＝OC ，∴A(－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0， ∴ac －b ＋1＝0，故③正确． 设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴x 1·x 2＝ca .又∵x 1<0，∴OA·OB ＝－ca ，故④正确．故选B.10. 【答案】A [解析] (1)当点D 位于PM 上时，x ＝2.当0≤x ＜2时，重叠部分是等腰直角三角形，y ＝12x2，图象是顶点为(0，0)且开口向上的抛物线的一部分．(2)当点D 位于PN 上时，x ＝4.当2≤x≤4时，重叠部分是直角梯形，y ＝12×(x －2＋x)×2＝2x －2，图象是直线的一部分；(3)当4＜x≤6时，重叠部分是一个五边形，y ＝12×(2＋6)×2－12(6－x)2＝8－12(6－x)2，图象是顶点为(6，8)且开口向下的抛物线的一部分．故选A.二、填空题11. 【答案】下 y 轴 (0，0) 减小 增大12. 【答案】0.75【解析】根据表格可得该图象关于y 轴对称，故当x ＝1.5和x＝－1.5时，y 的值相等．∴m ＝0.75.13. 【答案】向下 直线x ＝3 (3，4) (1，0)，(5，0) (0，－5) ＜3 增大 ＞3 减小 3 大 4 右 3 上 414. 【答案】21(4)2y x =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =，设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-， 解得0b =(舍去)或4b =， 所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．15. 【答案】8a[解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ，∴BD ＝BC ＝2， ∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ， ∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.16. 【答案】x<1或x>3 【解析】∵直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A(1，0)和B(3，2)，∴根据图象可知，不等式x 2＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为x ＜1或x ＞3.17. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误； (2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n (x －m)2＋n ＝0.∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．18. 【答案】－2 [解析] 抛物线y ＝ax 2＋bx 的顶点C 的坐标为(－b 2a ，－b 24a)．把x ＝－b 2a 代入y ＝ax 2，得点B 的坐标为(－b 2a ，b 24a )．在y ＝ax 2＋bx 中，令y ＝0，则ax 2＋bx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－b a ，∴A(－ba ，0)．∵四边形ABOC 为正方形，∴BC ＝OA ，∴2·b 24a ＝－b a ，即b 2＋2b ＝0.解得b ＝－2或b ＝0(不符合题意，舍去)．三、解答题19. 【答案】解：(1)－4 －1 (2)如图：(3)增大20. 【答案】解：(1)把B(－2，6)，C(2，2)代入抛物线的解析式得： ⎩⎨⎧6＝a·（－2）2＋b·（－2）＋22＝a·22＋b·2＋2，(1分)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－1，(2分)∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－x ＋2.(3分)(2)抛物线解析式化为顶点式：y ＝12(x －1)2＋32，则抛物线顶点D(1，32)，(4分) 如解图①所示，过点B 、D 、C 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点M 、N 、H ，则有：S △BCD ＝S 梯形BMHC －S 梯形BMND －S 梯形DNHC ＝12(6＋2) ×4－12(6＋32)×3－12(32＋2) ×1 ＝3.(6分)解图①解图②(3)如解图②所示，连接BC ，∵直线BC 斜率k BC ＝2－62－（－2）＝－1＜－12， ∴过点C 作直线MN 与直线y ＝－12x 平行，设直线MN 的解析式为y ＝－12x ＋b 1，代入C(2，2)，∴b 1＝3.(7分)作直线EF 与抛物线相切，且与直线y ＝－12x 平行，设直线EF 的解析式为y ＝－12x ＋b 2，联立抛物线解析式得，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2－x ＋2y ＝－12x ＋b 2， ∴x 2－x ＋4－2b 2＝ 0，∵直线EF 与抛物线相切，∴b 2－4ac ＝0，即(－1)2－4(4－2b 2)＝0，(9分)∴b 2＝158，(11分)∴158＜b ≤3.(12分)注：斜率知识为高中知识，但常渗透于中考压轴题，与二次函数相结合考查，做题时注意其性质的应用．21. 【答案】解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋5＝3，9a ＋3b ＋5＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.∴抛物线的解析式为y ＝x2－3x ＋5.∵Δ＝b2－4ac ＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0，∴抛物线与x 轴没有交点．(2)∵△AOB 是等腰直角三角形，A(－2，0)，点B 在y 轴上，∴点B 的坐标为(0，2)或(0，－2)．设平移后的抛物线的解析式为y ＝x2＋mx ＋n.①若抛物线过点A(－2，0)，B(0，2)，有⎩⎪⎨⎪⎧4－2m ＋n ＝0，n ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. ∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x2＋3x ＋2，∴该抛物线的顶点坐标为(－32，－14)． 而原抛物线的顶点坐标为(32，114)， ∴将原抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度即可获得符合条件的抛物线(其他平移方式合理也可)．②若抛物线过点A(－2，0)，B(0，－2)，有⎩⎪⎨⎪⎧4－2m ＋n ＝0，n ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2.∴平移后的抛物线的解析式为y ＝x2＋x －2，∴该抛物线的顶点坐标为(－12，－94)． 而原抛物线的顶点坐标为(32，114)， ∴将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度即可获得符合条件的抛物线(其他平移方式合理也可)．22. 【答案】解：(1)把(2，1)代入y ＝a(x －3)2－1，得1＝a(2－3)2－1，整理，得1＝a －1，解得a ＝2.故平移后的抛物线的解析式为y ＝2(x －3)2－1.(2)由(1)知，平移后的抛物线的解析式为y ＝2(x －3)2－1，则M(3，0)．∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝2(x －3)2－1， ∴平移前的抛物线的解析式为y ＝2(x －1)2－1，∴P(1，－1)．在y ＝2(x －1)2－1中，令x ＝0，得y ＝1，故B(0，1)，∴BM ＝10，BP ＝PM ＝ 5.∵BM 2＝BP 2＋PM 2，∴△BPM 为直角三角形，且∠BPM ＝90°，∴S △BPM ＝12BP·PM ＝12×5×5＝52.。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章 二次函数的图像和性质》同步练习题含答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十二章二次函数的图像和性质》同步练习题含答案(人教版）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列函数中是二次函数的是（）A．y=1x2B．y=2x+1C．y=12x2+2x3D．y=−4x2+52．二次函数y=x2−2x+3的一次项系数是（）A．1 B．2 C．-2 D．33．在同一平面直角坐标系中作出y=2x2，y=−2x2，y=12x2的图象，它们的共同点是（）A．关于y轴对称，抛物线的开口向上B．关于y轴对称，抛物线的开口向下C．关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点D．当x>0时，y随x的增大而减小4．抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标是（）A．（－2，0）B．（0，1）C．（0，－1）D．（－2，0）5．已知A(0，y1)，B(3，y2)为抛物线y=(x−2)2上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1>y2B．y1=y2C．y1<y2D．无法确定6．已知抛物线y=−(x−b)2+2b+c（b，c为常数）经过不同的两点(−2−b，m)，(−1+c，m)那么该抛物线的顶点坐标不可能是下列中的（）A．(−2，−7)B．(−1，−3)C．(1，8)D．(2，13)7．关于x的二次函数y=ax2+bx+c图象经过点(1，0)和(0，−2)，且对称轴在y轴的左侧，若t= a−b，则t的取值范围是（）A．−2<t<2B．−2<t<0C．−4<t<0D．−4<t<2 8．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a>0）经过(0，0)，(4，0)两点．则下列四个结论正确的有（）①4a+b=0；②5a+3b+2c>0；③若该抛物线y=ax2+bx+c与直线y=−3有交点，则a的取值范围是a≥34；④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c−t=0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．当函数y=(a−1)x a2+1+2x+3是二次函数时，a的值为．10．抛物线y=−12x2+1在y轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．11．将二次函数y=2x2−8x+13化成y=a(x+ℎ)2+k的形式为. 12．对于二次函数y=−2(x+3)2−1，当x的取值范围是时，y随x的增大而减小．13．点P(m，n)在抛物线y=x2+x+2上，且点P到y轴的距离小于1，则n的取值范围是.三、解答题14．已知抛物线的顶点是(−3，2)，且经过点(1，−14)，求该抛物线的函数表达式．15．指出函数y=−12(x+1)2−1的图象的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线y=-12x2就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−116．二次函数图象的对称轴是y轴，最大值为4，且过点A（1，2），与x轴交于B、C两点．求△ABC 的面积．17．如图，已知抛物线y=ax2＋bx−3过点A(−1，0)，B(3，0)点M、N为抛物线上的动点，过点M 作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E.过点N作NF⊥x轴，垂足为点F（1）求二次函数y=ax2+bx−3的表达式；（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；18．在直角坐标系中，设函数y=m(x+1)2+4n（m≠0，且m，n为实数）（1）求函数图象的对称轴.（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.（3）已知当x=0，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若2q<p+r，求证：m<0.参考答案1．D2．C3．C4．B5．A6．B7．A8．C9．-110．下降11．y=2(x−2)2+512．x＞-313．74≤n<414．解：∵抛物线的顶点是(−3，2)∴可设抛物线的函数表达式为y=a(x+3)2+2∵抛物线经过点(1，−14)∴−14=a(1+3)2+2，解得a=−1∴抛物线的函数表达式为y=−(x+3)2+2．15．解：由y=−12(x+1)2−1得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是（-1，-1）；∵抛物线y=−12x2的顶点坐标是（0，0）∴由顶点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到顶点（-1，-1）∴抛物线y=−12x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位就可以得到抛物线y=−12(x+1)2−1．16．解：设该二次函数的表达式为y=ax2+4把点A（1，2）代入y=ax2+4，得a+4=2 解得a=-2∴该二次函数的表达式为y=−2x2+4当y=0时解得x 1=−√2，x 2=√2∴BC =2√2∴S △ABC =12×2√2×2=2√2．17．（1）解：把A(−1，0)，B(3，0)代入y =ax 2+bx −3得：{a −b −3=09a +3b −3=0解得{a =1b =2故该抛物线解析式为：y =x 2−2x −3（2）解：由(1)知，抛物线解析式为：y =x 2−2x −3=(x −1)2−4∴该抛物线的对称轴是x =1，顶点坐标为(1，−4).如图，设点M 坐标为(m ，m 2−2m −3)∴ME =|−m 2+2m +3|∵M 、N 关于x =1对称，且点M 在对称轴右侧∴点N 的横坐标为2−m∴MN =2m −2∵四边形MNFE 为正方形∴ME =MN∴|−m 2+2m +3|=2m −2分两种情况：①当−m 2+2m +3=2m −2时，解得：m 1=√5，m 2=−√5（不符合题意，舍去） 当m =√5时，正方形的面积为(2√5−2)2=24−8√5；②当−m2+2m+3=2−2m时，解得：m3=2+√5，m4=2−√5(不符合题意，舍去) 当m=2+√5时，正方形的面积为(2+2√5)2=24+8√5；综上所述，正方形的面积为24−8√5或24+8√5.18．（1）解：∵函数y=m(x+1)2+4n（m≠0，且m，n为实数）∴函数图象的对称轴为x=−1（2）证明：令y=0，则0=m(x+1)2+4n即(x+1)2=−4nm∵ m，n异号>0∴−4nm∴一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；（3）证明：由题可知p=m+4n，q=16m+4n，r=25m+4n，∵2q−(p+r)=2(16m+4n)−(m+4n+25m+4n)=6m<0∴m<0.。
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二次函数
2y ax bx c =++的图像和性质 一、填空题
1．二次函数2y x 2x 3=-++的最大值为_________.
2．（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__．
3．（2019·广元）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)-，(0,2)，且顶点在第一象限，设4 2 M a b c =++，则M 的取值范围是___．
4．（2019·天水）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42M a b =+，N a
b =﹣．则M 、N 的大小关系为M _____N ．(填“>”、“=”或“<”)
-
5．（2019·河南中考模拟）已知函数y ＝﹣x 2+2x ﹣2图象上两点A （2，y 1），B （a ，y 2），其中a ＞2，则y 1与y 2的大小关系是_____．（填“＜”，“＞”或“＝”）
6．已知二次函数()22f x x ax b =++，若()()1f a f b =+，其中1a b ≠+，则(1)(2)f f +的值为____ . 7．把二次函数215322
y x x =++的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________．
二、单选题
8．（2019·重庆）抛物线2362y x x =-++的对称轴是（ ）
A ．直线2x =
B ．直线2x =-
C ．直线1x =
D ．直线1x =-
9．（2019·泸州）已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共
点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( )
A ．2a <
B ．1a >-
C ．12a -<≤
D ．12a -≤< 《
10．（2019·河池）如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =，则下列结论中，错误的是（ ）
A ．0ac <
B ．240b ac ->
C ．20a b -=
D ．0a b c -+=
11．（2019·娄底）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中正确的是( )
①0abc < ②240b ac -< ③2a b > ④22()a c b +<
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．（2019·成都）如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是（ ）
{
A ．0c <
B ．240b ac -<
C ．0a b c -+<
D ．图象的对称轴是直线3x =
13．（2019·福建）若二次函数y =|a |x 2+bx+c 的图象经过A(m ,n )、B(0,y 1)、
C(3－m ,n )、2, y 2)、E(2,y 3)，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ).
A ．y 1< y 2< y 3
B ．y 1 < y 3< y 2
C ．y 3< y 2< y 1
D ．y 2< y 3< y 1
14．（2019·浙江中考模拟）当x ＝a 和x ＝b （a ≠b ）时，二次函数y ＝2x 2﹣2x +3的函数值相等、当x ＝a +b 时，函数y ＝2x 2﹣2x +3的值是（ ）
A ．0
B ．﹣2
C ．1
D ．3
15．（2019·温州）已知二次函数242y x x =-+，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
]
A ．有最大值﹣1，有最小值﹣2
B ．有最大值0，有最小值﹣1
C ．有最大值7，有最小值﹣1
D ．有最大值7，有最小值﹣2 16．（2019·湖北中考模拟）如图为二次函数y =ax 2+bx +c 的图象，给出下列说法：①ab ＜0；②方程ax 2+bx +c =0的根为x 1=-1，x 2=3；③a +b +c ＞0；④当x ＜1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，x ＜-1或x ＞3．其中，正确的说法有（ ）
A ．①②④
B ．①②⑤
C ．①③⑤
D ．②④⑤
三、解答题 17．关于x 的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点()0,3C （1）求二次函数的解析式；
!
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标.
18．二次函数的图象如图所示，求二次函数的解析式.
<
19．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0），且a+b＝3．
（1）若其图象经过点（﹣3，0），求此二次函数的表达式．
（2）若（m，n）为（1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m，n的取值范围．
（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2且x1＜x2，试比较y1和y2的大小关系．
[
}
20．（2019·云南中考模拟）如图，二次函数y＝﹣1
4
x2+bx+c的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），
且与y轴交于点C．
（1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO平分∠BAC；
（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P 使得AP ＝BP 若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
| · 参考答案 1．4
2．21
(4)2y x =-．
3．66M -<<.
（
4．<
5．＞
6．8.
7．(－1，1)
8．C 9．D 10．
C 11．A 12．
D 13．D 14．D 15．D 15．B
17．解：（1）设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x-3），
将C （0，3）代入得：3=-3a ，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3．
（2）y=-x 2+2x+3=-
2x 14-+（）． ∴对称轴：直线1x =；顶点坐标为()1,4.
{
18．解：由图象可知，抛物线对称轴是直线x =1，与y 轴交于（0，3），与x 轴交于（-1，0）
设解析式为y =ax 2+bx +c ，
1230b a c a b c ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩
＝＝解得123a b c -⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝． ∴解析式为：y =-x 2+2x +3
19．解：（1）由题意得：39330a b a b +=⎧⎨--=⎩
， 解得：12
a b =⎧⎨=⎩， ∴此二次函数的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3；
（2）如图，∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4，且（m ，n ）是二次函数图象在第三象限内的点，
(
∴﹣4≤n ＜0，
当y ＝0时，x 2+2x ﹣3＝0，
x ＝﹣3或1，
∴图象过（1，0）和（﹣3，0），
∴﹣3＜m＜0；
（3）由条件可得：y1＝ax12+（3﹣a）x1﹣3，y2＝ax22+（3﹣a）x2﹣3，∴y2﹣y1＝（x2﹣x1）[a（x2+x1）+3﹣a]，
∵x1+x2＝2且x1＜x2，
—
∴y2﹣y1＝（x2﹣x1）（a+3），
①当a＞﹣3时，y2＞y1，
②当a＝﹣3时，y2＝y1，
③当a＜﹣3时，y2＜y1．
20．解
（1）∵点A（4，0）与点B（﹣4，4）在二次函数的图象上，
∴044
444
b c
b c
=-++
⎧
⎨
-=--+
⎩
，
！
解得
1
2
2
b
c
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴二次函数的解析式为y＝2
11
2
42
x x
-++；
（2）设直线AB的解析式为y＝ax+n
则有
40
40
a n
a n
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，
解得
1
2
2
a
b
⎧
=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
故直线AB的解析式为y＝1
2
x﹣2，
设直线AB与y轴的交点为点D，x＝0，
.
则y＝﹣2，
故点D为（0，﹣2），
由（1）可知点C为（0，2），∴OC＝OD
又∵AO⊥CD，
∴AO平分∠BAC；
（3）存在．
∵y＝﹣1
4x2+1
2
x+2＝﹣1
4
（x﹣1）2+1
4
+2，
∴二次函数的对称轴为直线x＝1，
设点P的坐标为（1，m），
AP2＝（4﹣1）2+m2，BP2＝（1+4）2+（m4）2，当AP＝BP时，AP2＝BP2，
则有9+m2＝25+m2+16+8m，
解得m＝﹣4，
∴点P的坐标为（1，﹣4）；。