探求动点轨迹 破解最值问题

探求动点轨迹 破解最值问题

最值问题是近几年中考的热点与难点之一，尤其是一类线段的最值问题备受命题人青睐.这类线段有以下特点:线段的一个端点为定点，另一个端点为动点.解决此类问题的关键是构建动点的轨迹(直线型、曲线型).下面，笔者略举数例加以说明. 一、直线型轨迹

当动点在线段、射线、直线上运动时，则称动点轨迹为直线型，这样的动点主要有三类:定线定距离、定线定夹角、定点等距离。此时可将“点点距离”转化为“点线距离”，利用“垂线段最短”求解最值. 1.定线定距离

例1 ( 2019年泰安中考题)如图1，矩形ABCD 中，4,2,AB AD E ==为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连结PB ，则PB 的最小值是( )

(A)2 (B)4 (D)

分析如图1，过点P 作PQ CE ⊥交CE 于点Q ，可证PQF DEF ??:，于是

1

2

PQ DE ==可知点P 到CE ，即点P 在平行于CE 的直线l 上运动.故线段PB 的最小值转化为点B 到直线l 的垂线段BM 的长(如图2)，

BM = 评注若动点P 到定直线l 的距离为定值，则动点P 的轨迹是平行于l 的直线. 2.定线定夹角

例2 如图3，在矩形ABCD 中，3AB =，30DCA ∠=?，点F 是对角线AC 上的一个动点，连结DF ，以DF 为斜边作30DFE ∠=?的直角三角形DEF ，使点E 和点A 位于DF 两侧，点F 从点A 到点C 的运动过程中，则CE 的最小值是 .

分析 如图4，以AD 为斜边作30DAG ∠=?的Rt DAG ?，连接EG .因为

1

2

DE DG DF AD ==，EDG FDA ∠=∠，所以EDG FDA ??:，故60DGE DAF ∠=∠=?.可知动点E 在与DG 成60?夹角的射线GE 上运动，CE 的最小值转化为点C 到该射线的垂线段CH 的长(如图5)。

易得AD =

DG =

，34DH =，所以94

CH =.

评注 若动点P 与定线段AB 形成的PAB ∠为定值，则动点P 的轨迹是一条射线.

3.定点等距离

例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知(2,4)A ，(1,0)P ，B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造ABC ?，使点C 在x 轴上，90BAC ∠=?. M 为BC 的中点，则PM 的最小值为 .

分析 如图7，连结,AM OM .在Rt OBC ?中，90BOC ∠=?，M 为BC 的中点，则

12OM BC =

.同理1

2

AM BC =，所以OM AM =.可知动点M 的运动轨迹是线段AO 的垂直平分线l ，故PM 的最小值是点P 到l 的垂线段PN 的长(如图8).

易知5(0,)2

D ，(5,0)

E ，所以DE =

在DEP ?中，由等积法，可得PN =. 评注 若动点P 到两定点,A B 的距离相等，则动点P 的轨迹是线段AB 的垂直平分线.

二、曲线型轨迹

当动点在圆或圆弧上运动时，则称动点轨迹为曲线型，这样的动点主要有两类:定点定距离、定线定张角.此时可将“点点距离”转化为“点圆距离”，求解时常用到以下模型:如图9，P 是⊙O 外一点，直线PO 分别交⊙O 于点,A B ，则点P 到⊙O 上各点距离最大值为线段PA 的长，最小值为线段PB 的长.

1.定点定距离

例4 如图10，在矩形ABCD 中，3,2,AB BC M ==是AD 边的中点，N 是AB 边上的动点，将AMN ?沿MN 所在直线折叠，得到'A MN ?，连结'A C ，则'A C 的最小值是 .

分析 由翻折，得'1MA MA ==，所以点'A 在以M 为圆心，半径为1的圆上运动(如

图11).由模型，可知'A C 的最小值为CG 的长，1CG CM MG =-=.

评注 若动点P 到定点A 的距离为定长，则动点P 的轨迹是以A 为圆心，PA 长为半径的圆或圆弧. 2.定线定张角 (1)张角为直角

例5 如图12，点D 在半圆O 上，半径10OB AD =

=，点C 在弧BD 上移动，

连结,AC H 是AC 上一点，90DHC ∠=?.连结BH ，点C 在移动的过程中BH 的最小值是( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8

分析 因为10AD =是定值，90AHD ∠=?，根据“直径所对的圆周角是直角”，可

知点H 在以AD 为直径的⊙G 的圆弧?DPE

上运动(如图13).求BH 的最小值可应用模型，

连结BG 交⊙G 于点P ，PB 所求的最小值.因为AB 是直径，所以90ADB ∠=?，则

2222AB AD BG GD -=-，可得13BG =，所以8BP BG PG =-=.

评注 如果AB 为定线段，P 是动点，90APB ∠=?，那么动点P 的轨迹是以AB 为直径的圆或圆弧. (2)张角为锐角

例6 如图14，在直角坐标系xOy 中，已知正ABC ?的边长为2.点A 从点O 开始沿着轴的正方向移动，点B 在xOy ∠的平分线上移动，则点C 到原点的最大距离是( )

(A) 1+ (B)

(C) 2 (D) 1+

分析 如图15，作ABO ?的外接圆⊙D ，CD 交AB 于点F 。若将ABC ?看成静止

的，则O 点是动点，于是AB 是定线段，45AOB ∠=?是定角，

则动点O 的轨迹是优弧?AOB .

由模型，可知CO 的最大值为CE 的长.易得DE =

，CF =，1DF =，所以

1CE =.

评注 若AB 为定线段，P 是动点，APB ∠为定角且为锐角，作ABP ?的外接圆⊙O ，

则动点P 的轨迹是⊙O 上的优弧?

APB . (3)张角为钝角

例7 (2019年淄博中考题)如图16，顶点为M 的抛物线2

3y ax bx =++与x 轴交于

(3,0)A ，(1,0)B -两点，与y 轴交于点C .

(ⅰ)求这条抛物线对应的函数表达式.

(ⅱ)问在y 轴上是否存在一点P ，使得PAM ?为直角三角形?若存在，求出点P 的坐标;若不存在，说明理由二

(ⅲ)若在第一象限的抛物线下方有一动点D ，满足DA OA =，过D 作DG x ⊥轴于点G ，设ADG ?的内心为I ，试求CI 的最小值.

分析

(ⅰ) 这条抛物线对应的函数表达式为2

23y x x =-++.

(ⅱ)在y 轴上存在点P ，使得PAM ?为直角三角形，设点P 坐标为(0,)p . ∵2

2

23(1)4y x x x =-++=--+， ∴顶点(1,4)M . ∴2

20AM =，

229AP p =+，

22178MP p p =-+.

(1)若90PAM ∠=?，则

222AM AP MP +=，

∴2

2

209178p p p ++=-+， 解得32

p =-

， ∴3(0,)2

P -.

(2)若90APM ∠=?，则

222AP MP AM +=，

∴22

917820p p p ++-+=， 解得11p =，23p =， ∴(0,1)P 或(0,3)P (3)若90AMP ∠=?，则

222AM MP AP +=，

∴2

2

201789p p p +-+=+， 解得72

p =

， ∴7

(0,)2

P .

综上所述，点P 坐标为3(0,)2P -或(0,1)P 或(0,3)P 或7(0,)2

P 时使得PAM ?为直角三角形.

(ⅲ)如图17，连结,,AI DI OI ，由90DGA ∠=?，I 是ADG ?内心，易得135AID ∠=?.由

AO AD =，IAO IAD ∠=∠，AI AI =，得AIO AID ???，于是

135AIO AID ∠=∠=?，

又AO 是定线段，所以点I 在劣弧?AO 上运动(如图18).连结CE 交

⊙E 于点F .由135AIO ∠=?，可得90OEA ∠=?，则33(,)22

E -，OE =，

CE =由模型，可知CI 的最小值是线段CF 的长，CF CE EF =-= 评注 若AB 为定线段，APB ∠为定角且为钝角，作APB ?的外接圆⊙O ，则动点P 的轨迹是⊙O 上的劣弧AB .

本文探讨了一类线段的最值问题.通过探求动点的轨迹，将复杂的运动有序化、显性化，进而借助定理或模型快速破解此类问题.