《大学物理AI》 自感 互感 电磁场.

arcsin
r a
a 0
=
2µ0 Ia
故圆环与长直导线回路之间的互感系数为： M = Φ / I = 2µ0a
3．将一宽度为 l 个半径为 R 细圆筒，设 l >> R ，电流 I 均匀分布通过此铜片（如图）。
r
(1) 忽略边缘效应，求管内的磁感应强度 B 的大小。
(2) 不考虑两个伸展面部分(见图)，求这一螺线管的自感系数。
2a
连接形成一个回路。在两导线平面内，有一半径为 a 的圆环在两导线之间，
并与导线绝缘。 求圆环与长直导线回路之间的互感系数。
a
∫ (积分公式：
dx
x
= arcsin + C )
a2 − x2
a
解：在回路中通以电流 I，即两长直导线中通有等值反向电流，如图所示，
则在导线回路平面内二导线之间，距过圆环中心 O 的中线为 r 处的磁感应
2 µ0
=
1 2µ0
⋅( µ0I )2 2π a
d
I
2r0
4．两根很长的平行直导线，其间距离 d、与电源组成回路如图。已知导
I
线上的电流为 I，两根导线的横截面的半径均为 r0。设用 L 表示两导线
回路单位长度的自感系数，则沿导线单位长度的空间内的总磁能 Wm 为
[
]
(A) 1 LI 2
2
∫ (B) 1 LI 2 + I 2 ∞[ µ0 I − µ0 I ]2 2π r d r
当它们通以相同电流时，两螺线管贮存的磁能之比为 W1 / W2=______________。
解：由磁能密度 wm
=
1 2
B2 µ0
和螺线管内磁感应强度 B = µ0nI 有
长直螺线管 1 贮存的磁能：W1 =
B 2V 2µ0
=
µ
2 0
n
2
I
2l
π( d12
)
2µ0
4
长直螺线管
2
贮存的磁能： W2
=
⋅
d
v l′
∫ ⋅ ∑ L1
L2 v v
L1
L2
解：根据全电流安培环路定理 H dl ′ = (I0 +ID)，而题图表明穿过环路 L2的是全电流，
∫ ⋅ ∫ ⋅ L
v L内 v
vv
穿过环路 L1的是部分位移电流，故 H d l ′ < H d l ′
选C
L1
L2
6．如图所示。一电荷为 q 的点电荷，以匀角速度ω作圆周运动v，圆v 周 的半径为 R。设 t = 0 时 q 所在点的坐标为 x0 = R，y0 = 0 ，以 i 、 j 分
ωq
别表示 x 轴和 y 轴上的单位矢量，则圆心处 O 点的位移电流密度为：
RO
qω
源自文库
v
qω
v
[
]
(A) 4 π R 2 sin ω t i
(B) 4πR 2 cos ω t j
qω v
(C)
k
(D)
qω
v
v
(sin ω ti − cos ω t j )
解：设 φ
=
ω
t
，令4rvπ0 R代2表
r
4πR
L = 2Wm = µ0πR2
I2
l
（能量法求 L）
∫ ⋅ ∫ ⋅ ∫ ⋅ H 的环流与沿环路 Lv2 的v磁场强v度 Hv的环流两者，v 必有v ：
[ ] (A) H dl ′ > H dl ′ (B) H d l ′ = 0
L2
∫ ⋅ ∫ ⋅ L1 v v L2 v v
(C) H d l ′ < H d l ′
(D)
L1
∫
v H
⋅
d
v l
′
=
∫
v H
则导体轴线上一点的磁场能量密度为
ω mr
=
1 2
µ
0
I
2
r
2
/(8π 2 R 4 )
r =0
=00
与导体轴线相距 r 处( r <R)的磁场能量密度
ω mr
=
1 2
B2 µ0
= µ0 I 2r 2 /(8π 2 R 4 )
3．真空中两只长直螺线管 1 和 2，长度相等，单层密绕匝数相同，直径之比 d1 / d2 =1/4。
5．充了电的由半径为 r 的两块圆板组成的平行板电容器，在放电时
t −
两板间的电场强度的大小为 E = E0e RC ，式中 E0、R、C 均为常数。
则两板间的位移电流的大小为
；其方向与场强
方向
。
i+
P v ID E −
解：两板间的位移电流的大小 I D
=
dD dt
⋅S
= ε0
dE dt
⋅S
=
− ε0 E0 RC
(C) M12 = M21， 21 > 12
(D) M12 = M21， 21 <
12
解：由于两个线圈的相对位置固定且周围介质的磁导率为常数，故 M12 = M21，又因
d i1 dt
>
d i2 dt
，故互感电动势 �21
=
−M 21
d i1 dt
> �12
=
−M 12
d i2 dt
选C
3．真空中一根无限长直细导线上通有电流强度为 I 的电流，则距导线垂直距离为 a 的空 间某点处的磁能密度为：
强度为：
B(r) = µ0I ( 1
+
1 )
2π a + r a − r
2a
因此通过圆环的磁通量为：
∫∫ ⋅ ∫ Φ =
v B
d
v S
=
2
a
µ0I
(
1
+
1 ) a2 − r2 dr
−a 2π a + r a − r
O
r
r
∫ = 2µ0 I a 2a d r
π 0 a2 − r2
I dS dr I
=
4µ0 Ia π
π
t
r 2e − RC
其流向与场强方向相反。(参见教材 P332)
三、计算题
1线．圈一的无边限长长分载别有为电l流和Ib的，l直边导与线长旁直边导有线一平与行之。共线面圈的以矩速形度线vv 圈垂，直 离开直导线，如图所示。求当矩形线圈与无限长直导线间的互感系 I 数 M = µ0l 时，线圈的位置及此时线圈内的感应电动势的大小。
∫ ∑ v
H
L
v ⋅dl
=
n i=1
I
i
+
d Φe dt
……
…
④
试判断下列结论是包含或等效于哪一个麦克斯韦方程式的，将你确定的方程式用代号填
在相对应结论的空白处。
(1) 变化的磁场一定伴随有电流：
；
(2) 磁感应线是无头无尾的：
；
(3) 电荷总伴随有电场：
。
解：由麦克斯韦方程组建立的理论基础知代号顺序是②、③、①。
方向单位矢量，则
2
y
v 圆心处的电位移为 D
∵
rv0 = cosφ
= v i
q 4πR + sin
2
φ
v (−r0 v j
)
q
φ O
x
∴
v D=
q
v
v
(− cosφ i − sinφ j )
4v πR 2 v
位移电流密度 J = ∂D / ∂t
∴
v J=
qω
v
v
(sin ω ti − cosω tj )
导体轴线上一点的磁场能量密度为 wmo =____________，在与导体轴线相距 r 处( r <R)的
磁场能量密度 wmr =_____________。
解：由安培环路定理有均匀流有电流 I 的无限长柱形导体内、外区域磁场分布为
⎧ µ0 Ir
B
=
⎪⎪ ⎨ ⎪
2π R 2 µ0I
⎪⎩ 2π r
r<R r>R
∴ 线圈的位置为： r1 = b /(e −1)
线圈内的感应电动势的大小为：�= vB1l
− vB2l
=
µ0 Ivl 2π
1 ( r1
−
1 r2
)
= µ0 Ivlb = µ0 I (e −1)2vl
2πr1 (r1 + b)
2πeb
2．如图示，两根无限长直导线互相平行，间距为 2a，两导线在无限远处
1 2
µ0n2I
2lπ(d
2 2
/ 4)
则两螺线管贮存的磁能之比为： W1
: W2
=
d12
:
d
2 2
= 1:16
4．反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为：
vvn
∫ ∑ D ⋅ d S = S
qi ………… ①
i=1
∫v v
E ⋅dl
= − d Φm
……………
②
L
dt
vv
∫ B ⋅ d S = 0 ………… ③ S
R
r
I
解：(1) 铜片两个伸展面部分在管内产生rB = 0，而铜管相当于一
l
个通电密绕直螺线管，管内磁感应强度 B 的大小为
B
=
µ0nI ′
=
µ0
I l
∫ (2) 管内为匀强磁场，磁能为Wm =
wm dV
=
B2 2µ0
⋅ πR 2l
=
µ0I 2 2l
⋅πR 2
又磁能 Wm
=
1 2
LI
2 ，所以其自感系数为：
若它们分别流过 i1 和 i2 的变化电流且 d i1 > d i2 ，并设由 i2 变化在线圈 1 中产生的互感 dt dt
电动势为 12，由 i1 变化在线圈 2 中产生的互感电动势为 21，判断下述哪个论断正确。
[
]
(A) M12 = M21， 21 = 12
(B) M12≠M21， 21 ≠ 12
2
r0 2π r 2π(d + r)
(C) ∞
(D) 1 LI 2 + µ0 I 2 ln d
2
2π r0
解：两根很长的平行直导线与电源组成回路则构成一线圈，单位长度自感系数为 L，通有
电流 I，则由自感线圈贮能公式知沿导线单位长度的空间内的总磁能Wm
=
1 LI 2 2
选A
v
H
L1
5．v 如图，平板电容器(忽略边缘效应v)充电时，沿环路 L1 的磁场强度
[
]
(A)
1 2
µ0
(
µ0 2π
I a
)
2
(B) 1 ( µ0 I )2 2µ0 2π a
(C) 1 ( 2π a )2 2 µ0I
(D) 1 ( µ0 I )2 2µ0 2a
解：由安培环路定理有通有电流强度为 I 的无限长直细导线磁场分布为
B = µ0I 2π a
某点处的磁能密度为 wm
=
1 B2 ⋅
=
−L d I dt
，则流过线圈的电流为：
[ ] (A) �(t) / R
(B) [�(t) − �L ] / R
(C) [�(t) + �L ] / R
(D) �L / R
解：根据愣次定律自感电动势阻止交变电源电动势变化，故流过线圈的电流为
I = �(t) + �L
选C
R
2．有两个线圈，线圈 1 对线圈 2 的互感系数为 M21，而线圈 2 对线圈 1 的互感系数为 M12。
4πR 2
二、填空题 1．有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴 OO′上，则直导线与矩形线圈间
的互感系数为
。
解：设直导线通电流 I，由图知通过矩形线圈的磁通量 Φ = 0 所以直导线与矩形线圈间的互感系数 M = Φ = 0 。 I
2．半径为 R 的无限长柱形导体上均匀流有电流 I，该导体材料的相对磁导率µr =1，则在
2π
dr
l
r1
b
r2
解：设某时刻长直导线与矩形线圈左侧边之间距离为 r1，则通过线圈平面的磁通量为：
∫ ⋅ ∫ Φ =
v B
v dS
=
b + r1
µ0Il d r
=
µ0I
l
ln(1 +
b
)
r1 2πr
2π
r1
互感系数为：
M
=Φ
=
µ0
l ln(1 +
b)
I 2π
r1
将已知条件代入得： 1 + b / r1 = e
本习题版权归西南交大理学院物理系所有
《大学物理 AI》作业 No. 12 自感 互感 电磁场
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、选择题
1．一个电阻为 R，自感系数为 L 的线圈，将它接在一个电动势为 (t)的交变电源上，线
圈的自感电动势为 �L