3.1.1 椭圆(第一课时)(精讲)(解析版)

3.1.1 椭圆考点一椭圆的定义【例1】（1）（2020·上海徐汇.高二期末）已知1F ､2F 是定点，12||6F F =.若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ） A ．直线B ．线段C ．圆D ．椭圆（2）（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】（1）B （2）D【解析】（1）对于在平面内，若动点M 到1F 、2F 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点1F 、2F 的距离，则动点M 的轨迹是以1F ，2F 为端点的线段．故选：B ．（2）因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．【一隅三反】1．（2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考）若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ） A ．５ B ．３C ．２D ．１【答案】D【解析】由题意a=3,P 点到右焦点的距离为2a -5=12．（2020·东城.北京五十五中高二月考）若椭圆22110036x y +=上一点P 到其焦点1F 的距离为6，则P 到另一焦点2F 的距离为( ) A ．4 B ．194 C ．94 D ．14【答案】D【解析】依题意10a =，且1222622014PF PF PF a PF +=+==⇒=.故选：D 3.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 【答案】 ②【解析】 ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)．考点二 椭圆定义的运用【例2-1】（1）（2019·福建高二期末）如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,)+∞（2）（2019·江苏省苏州实验中学高二期中）方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（ ）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠【答案】（1）A （2）D【解析】（1）222x ky +=转化为椭圆的标准方程，得22122x y k+=，因为222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22k>，解得01k <<.所以实数k 的取值范围是()0,1.选A. （2）方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【一隅三反】1．（2020·广东高三月考（文））“35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为方程22153x ym m +=-+表示椭圆的充要条件是503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，即35m -<<且1m ≠，故“35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.2．（2017·浙江东阳.高二期中）如果方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a > B ．2a <- C ．3a >或2a <- D ．3a >或62a -<<-【答案】D 【解析】椭圆的焦点在x 轴上，260a a ∴>+>，解得3a >或62a -<<-，故选D.3．（2019·北京北师大实验中学高二期中）若方程2212y x m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()3-∞，B ．()23，C ．()2+∞，D ．()3+∞， 【答案】D【解析】因为方程2212y x m +=-表示椭圆，故：20m ->，且21m -≠；又该椭圆的焦点在y 轴上，故只需21m ->，解得3m >.故选：D.【例2-2】（1）（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））已知ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆221169x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．8B ．C ．16D ．24（2）（2019·广西田阳高中））已知P 是椭圆221259x y +=上一点，12,F F 为椭圆的两焦点，且01260F PF ∠=，则12F PF ∆面积为（ ）A ．B ．CD 【答案】（1）C【解析】（1）ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆221169x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 上，由椭圆的定义可得：ABC ∆的周长是44416a =⨯=．故选：C ． （2）由椭圆的标准方程可得：a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，设|PF 1|＝t 1，|PF 2|＝t 2，所以根据椭圆的定义可得：t 1+t 2＝10①， 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝60°，所以根据余弦定理可得：|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2＝（2c ）2＝64， 整理可得：t 12+t 22﹣t 1t 2＝64，②把①两边平方得t 12+t 22+2t 1•t 2＝100，③ 所以③﹣②得t 1t 2＝12，∴121212F PF S t t sin =∠F 1PF 2＝A ．【一隅三反】1．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ） A ．20 B ．16 C ．18 D ．14【答案】C【解析】根据椭圆方程可知5,4a c ==，根据椭圆的定义可知，12PF F ∆的周长为2210818a c +=+=，故选C.2．（2018·湖南高二期中（理））已知E 、F 分别为椭圆x 225+y 29=1的左、右焦点，倾斜角为60∘的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则△FAB 的周长为( ) A ．10 B ．12 C ．16 D ．20【答案】D 【解析】椭圆x 225+y 29=1，可得a =5，三角形AF 2B 的周长=|AF 2|+|BF 2|+|AB|，|AB|=|AF 1|+|BF 1|， 所以：周长=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|，由椭圆的第一定义，|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a =10，所以，周长=4a =20．故选：D ．3．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是______．【解析】∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，2FF =F 1PF 2＝60°， 由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60° 12＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|PF 1|·|PF 2|，∴1243PF PF ⋅=，∴12121sin 6023PF F S PF PF ︒∆=⋅=.考点三 椭圆的标准方程【例3】（2020·四川内江,高二期末）分别求适合下列条件的方程： （1）焦点在x 轴上，长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；（2）与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点(2,的椭圆的标准方程（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则此椭圆的标准方程 【答案】（1）2212521x y +=；（2）22186x y+或221252534y x +=（3）221106x y +=【解析】（1）由已知条件可得21024a c =⎧⎨=⎩，可得52a c =⎧⎨=⎩，22221b ac ∴=-=，因此，所求椭圆的标准方程为2212521x y +=；（2）易知椭圆22143x y +=的离心率12e =．当所求椭圆的焦点在x 轴上时，可设椭圆的方程为22221x y a b+=，把点(2,代入方程，得22431a b+=． 又224a c =，解得28a =，26b=，所以所求椭圆的方程为22186x y +．当所求椭圆的焦点在y 轴上时，同理可设椭圆的方程为22221x y b a+=，把点(2,代入方程，得22431b a+=． 又224a c =，解得2253a =，2254b =，所以所求椭圆的方程为221252534y x +=．（2）因设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，因为点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，所以22222591444a a b b a b ⎧⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩，所以椭圆的标准方程为221106x y +=．此椭圆的标准方程是22186x y +=或221252534y x +=.【一隅三反】1．（2019·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.（3）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点()0,2A 和12B ⎛⎝ 【答案】(1)2211612x y += (2)221169144x y +=或221169144y x +=（3）2214y x +=【解析】(1)由焦距是4，可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a 8==，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为22x y 11612+=.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又因为c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为22x y 1169144+=或22y x 1169144+=.（2）设椭圆的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠．将A ，B 两点坐标代入方程，得411314n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得114m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故所求椭圆的方程为2214y x +=． 考点四 离心率【例4】（1）（2020·武威第八中学高二期末（理））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 。