云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练数学(理)试题(图片版)
z1z2 2 i1 i 1 3i ，所以 z1z2 12 32 10 .选 D.
2. 解析：由1 x2 0 得 1 x 1 ，所以 A x 1 x 1 ，函数 y 2x1 的值域 B y y 0 ，所以
A I B 0, 1 ，选 A.
3. 解析：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得： 1 月份的利润为 3 2.5 0.5 万元；2 月份的利润为 3.5 2.8 0.7 万元； 3 月份的利润为 3.8 3 0.8 万元；4 月份的利润为 4 3.5 0.5 万元； 5 月份的利润为 5 4 1万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，选 C．
D.
23
3
6
7. 解析：由俯视图可知侧视图是宽为 2 3 ，高为 2 的矩形，所以侧视图面积为 4 2 3 ，选 B．
8. 解析： 因为 OF 1，由抛物线的定义可得 MF xM 1 4 ，所以点 M 的坐标为 3 ， 2 3 ，
所以△ MOF
的面积为
1 2
OF
yM
1 1 2 2
3
f x ex ex ，由导数的几何意义知 f x 在点 0, 0 处的切线斜率 k f 0 2 ，则 f x 在点
0, 0 处的切线方程为 y 2x ，故选 C.
6.
解析：
BE
1 2
BA
1 2
BD
1 2
BA
1 2
2 3
BC
1
BA
1
( AC
AB)
1
AC
5
AB
，选
， BM 0, 4,1 ，
设
n
x,
y,
z
为平面
AHB
的一个法向量，
则
n
AH
2
3x
2y
3z
0
可取
n
3,3, 4 ，
n AB 4 3x 4y 0
设直线 BM 与平面 AHB 所成角为 ，
所以
sin
|
cosBM , n
|
|BM
n|
4
119 ，
BM n 119
12 分
即直线 BM 与平面 AHB 所成角的正弦值为 4 119 . 119
且存在实数 x0 使得 f x0 x02 ax0 b ex0 0 ，即 x02 ax0 b 0 能成立，
故关于 x 的一元二次方程 x2 ax b 0 根的判别式 a2 4b 0 ，故 b a2 ， 4
故
f
x
x
2
ax
a2 4
ex ，则
f
x
x
2
(2 a )x
2
2
积减去
2
个正三角形面积，即
2 3
3
2
3 2 2
3 ，所以在勒洛
三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是
3 2 2
3
3 2(
，选 B． 3)
11. 解析：由题意可得，如图，平面 AEF 截该正方体所得的截面为平面
AD1EF ， EF
2 ， AD1 2
2 ，等腰梯形 AD1EF 的高为
因为 AC 平面 ACG ，所以平面 ACG 平面 BCG .
………
5分
(2)解： 连接 AC 与 BD 交于点 N ，连接 MN ，因为 AG ∥平面 BMD ，且平面 BMD∩平面
ACG MN ，
所以 AG ∥ MN ，所以 CM CN 1 ，所以 MG 2 ，所以 CG 3 ， MG NA 2
50 故 Y 的分布列为
Y 2000 6000
P 0.2 0.8
③安装 3 台光照控制仪的情形：
∴ EY 2000 0.2 6000 0.8 5200 （元）．
当 X 70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y 1 3000 2 1000 1000 （元），
P Y 1000 10 0.2 ，
故 C 的方程为： x2 y2 1 . 43
…......4 分
（2）直线 l ： y k (x 1) (k 0) ，代入 x2 y2 1得 (3 4k 2)x2 8k 2x 4k 2 12 0 ， 43
设 A(x1 ，y1) 、B(x2 ，y2 ) ，
则
x1
x2
8k 2 3 4k2
，x2
4k 2 9 3 4k2
，代入②得
x1
x2
4k 2 9 3 4k2
4k 2 9 3 4k2
4k 2 3
12 4k 2
，k2
5 4
，k
5， 2
所以直线 l 的方程为 y 5 (x 1) .………12 分 2
20. 解析：（1）由已知数据可得 x 2 4 5 6 8 5 ， y 3 4 4 4 5 4 ．
，
①
x1
x2
4k 2 3
12 4k 2
.
②
………6 分
因为 D 为 AE 的中点，且 D(x2 ， y2 ) ，
因为 y1 0 2( y2 ) ， y1 2 y2 ， 所以 k(x1 1) 2k(x2 1) x1 2x2 3 ， ③
………9 分
1
、③联立得
x1
4k 2 9 3 4k2
②安装 2 台光照控制仪的情形：
当 X 70 时，只有 1 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y 3000 1000 2000 （元），
P Y 2000 10 0.2 ，
50 当 30 X 70 时，2 台光照控制仪都运行，此时周总利润 Y 2 3000 6000 （元），
P Y 6000 40 0.8 ，
x
a 2
16. 解析：由题意对任意 x1 （0, 2），存在 x2 1, 2 ，使 f x1 g( x2) ，则 f x1 min g( x2)min
所以
f
x
(x
1)( x 4x2
3)
，可得
f
x1 min
1 2
，
g x =x2
2bx+4=(x
b)2 +4
b2 ,
x 1, 2 ，若
b
2
，g
50
当 50 X 70 时，有 2 台光照控制仪运行，此时周总利润 Y 2 3000 1 1000 5000 （元），
P Y 5000 35 0.7 ，
50
当 30 X 50 时，3 台光照控制仪都运行，周总利润 Y 3 3000 9000 （元），
P Y 9000 5 0.1 ，
，所以
AD
21
在△ ACD 中， AC 2 AD2 CD2 2AD CD cosADC 21 4 2 21 2 21 13 7
所以 AC 13 .
18.（1）证明：因为 DCGH 为矩形，所以 CG CD ，又 CG AD ，所以 CG 平面 ADC ，故 CG AC ， 因为 AEFBCD 为正六边形，所以 ADC DCB 120 ， 故 DCA 30 ，所以 ACB 90 ，即 AC CB ， 又因为 CG CB C ,所以 AC 平面 BCG ，
由（1）知； AC CB ，CG 平面 ABC ，故以向量 CA ，CB ，CG
分别作为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图，则
A 4 3,0,0 ， B 0, 4,0 , M 0,0,1 , H 2 3, 2,3 ,
所以 AB
4
3, 4, 0
， AH
2
3, 2,3
2020 届昆一中高三联考卷第九期数学（理科） 参考答案及评分标准
命题、审题组教师 杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 D
A
C
B
C
D
B
A
B
B
D
A
1. 解 析 ： 由 图 可 得 ， 在 复 平 面 内 ， A2,1 ， B1, 1 ， 则 z1 2 i ， z2 1 i ， 所 以
a2 4
a
e
x
x
a 2
2
x
a 2
e x
，
若 x a 2 或 x a ，则 f (x) 0 ，故 f x 在 (, a 2) 和 ( a , ) 上单调递增，
2
2
2
2
若 a 2 x a ，则 f (x) 0 ，故 f x 在 ( a 2, a ) 上单调递减，
2
2
22
故
5
5
5
∵ xi x yi y 3 1 0 0 0 3 1 6 ， i 1
5
xi x 2 32 12 02 12 32 2 5 ，
i 1
5
yi y 2 12 02 02 02 12 2 ．
i 1
∴相关系数 r
x 5 i1 i
x yi
所以
OB
1 2
MF1
2 ，所以
OB OA
1 ，选 A .
二、填空题 13. 解析：作出不等式组对应的平面区域如图：
由图象知当直线 y 3x z 经过点 A2 ，1 时，直线的截距最大，此时 z
最小，最小值为 7 .
14.
解析：由 an1
3an ，得 1
2an 3
an1
1 an
2 3
，所以
17. 解：（1）由 cos ADC 21 得 sin ADC 2 7
7
7
所以 sin BAD sin(ADC B) sin ADC cos B cos ADC sin B
2020年4月云南省普通高中2020届高三下学期高考适应性考试理科数学试卷(A卷)及解析
【详解】A是∠ 与∠ 的角平分线的交点,∴ 是 的内切圆的圆心,设 是 中点,连接 ,如图,则 ,
由 得 ,
∴ 三点共线, ,∴ ．
由 既是角 平分线,又是 中线,得 , ,∴ , ,又 ,∴ ,
作 轴于 ,则 ,且 ,
∴ ,∴ ,解得 ．
故答案为：6．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知数列 的前 项和为 ,且满足 .数列 是首项为 ,公差不为零的等差数列,且 成等比数列．
正方体中 与 平行且相等,则 是平行四边形, , 平面 , 平面 ,∴ 平面 ,同理 平面 , , 都在平面 内,∴平面 平面 , 平面 ,∴ 平面 ,②正确；
与①同理可证 平面 ,当 是 与 交点时, 平面 , ,异面直线 与 所成角为 ,③错误；
由②知 平面 ,∴ 到平面 的距离不变,因此三棱 体积不变,④正确．
（2）甲班排在第二位,丙班和丁班在一起的情况有 种,将剩下的三个班全排列,安排到剩下的三个位置,有 种情况,此时有 种安排方案；
（3）甲班排在第三位,丙班和丁班排在一起的情况有 种,将剩下的三个班全排列,安排到剩下的三个位置,有 种情况,此时有 种安排方案；
由加法计数原理可知共有 种方案,
故选：B
9.如图,在正方体 中,点 在线段 上运动,则下列判断中正确的是（）
翻折后仍然 ,
且 ,
则 平面 .
2020年云南省昆明市高三考前第九次适应性考试理科综合能力测试试题-含答案
Байду номын сангаас
C.虚线框内
标注 2 的饱和碳原子与其所结合的 1，3，4 位的氧原子、碳原子不可能都处于
同一平面
D.因结构中含有醇羟基，则能被酸性高锰酸钾溶液或酸性重铬酸钾溶液氧化，还能发生苯环侧链氧
（1）群落
分解者
利用率
物质循环再生
（2）增加水中的溶解氧，提高鱼类的成活率，提高饵料的利用率
分）
（3）协调与平衡（1 分） 整体性（1 分）
（自然）生态 整体性（1
7.【答案】D 【解析】
A.使用含氟牙膏可预防龋齿。正确 B.含 4%硅的硅钢具有很高的导磁性，主要用作变压器铁芯。正确（回归教材，必修 1 第 78 页） C.二氧化硫常用来漂白纸浆、草帽辫等，还用于杀菌、消毒。正确（必修 1 第 90 页） D.提取化合态铀和重水不一定用化学方法。如从海水中提取化合态铀和重水都可用吸附法，提取重 水还可用蒸馏法，属物理方法。（必修 2 第 91 页改编） 8.【答案】D
化
9.【答案】C
【解析】
A.相同温度和压强下，CO、N2、C2H4 的相对分子质量相同，则它们的密度相等。正确 B.乙酸与丙醇相对分子质量都为 60，根据极值法判断，0.2NA˂ N(C) ˂ 0.3NA，乙酸含量越高，碳原 子数越趋于 0.2NA，故 6g 乙酸、丙醇混合物中碳原子数目至少为 0.2NA
2020年云南省昆明市高三考前第九次适应性考试 理科综合能力测试
生物
1．B 【解析】有氧呼吸的第一、二阶段，无氧呼吸第一阶段，光合作用的光反应都能产生[H],场所依次是 细胞质基质、线粒体基质、细胞质基质、叶绿体类囊体薄膜，而有氧呼吸第三阶段和光合作用的暗 反应消耗[H]，场所依次是线粒体内膜和叶绿体基质，因此 B 选项不能产生[H]。 2．D 【解析】减数第二次分裂的后期，着丝点也会分裂，D 选项错误。 3．A 【解析】下丘脑作为体温调节中枢，通过神经调节使骨骼肌收缩，通过分级调节使甲状腺激素分泌 量增多，调节细胞呼吸增强，而免疫系统的吞噬细胞、浆细胞等也参与调节，A 选项正确；免疫调 节中，B 细胞、T 细胞等也会参与调节，B 选项错误；抗利尿激素的作用结果是使尿量减少，C 选项 错误；稳态指内环境的化学成分和理化性质都维持稳定，温度恢复后不一定就是稳态，D 选项错误。 4．C 【解析】植物的生命活动是多种激素相互作用共同调节的结果，A 选项正确；植物体不同部位合成 的激素不同与基因选择性表达有关，B 选项正确；动物体内的激素是通过体液运输，但是植物没有 体液，植物激素不能通过体液运输，C 选项错误；不同激素，例如生长素和细胞分裂素都可作用于 根尖，促进根尖生长，D 选项正确。 5．C
昆明市第一中学2021届高中新课标高三第九次考前适应性训练理数答案
为 π 1002 10000π 平方米，选 D.
4.
解析：因为双曲线为 x2 9
y2 16
1，所以 a = 3 ；由双曲线的定义得
MF1
-
MF2
=
NF1
-
NF2
=
2a = 6 ，
所以 MF1 + NF1 = MF2 + NF2 + 4a = MN + 12 = 24 ，
所以 △MNF1 周长为 MF1 + NF1 + MN = 24 + 12 = 36 ，选 C．
m
5
5
………12 分
选择② 由（1）有 OF EM 2 ，取 AD 中点 N ，连接 FN ， ON ， BN
在△ ONF 中， FN 3 ， ON 1 ， OF 2 ，所以 ON FN
第 5 页 （共 8 页）
因为△ ADF 是正三角形，所以 AD FN 因为 AD I ON N ，所以 FN 平面 ABCD 因为△ ABD 是正三角形，所以 BN AD 下同①，略
3
，
所以
Sn
11 9
.
………12 分
18. 解：设事件 A 为第一次摸到红球；事件 B 为第二次摸到红球，则事件 A 为第一次摸到白球．
（1）第一次从10 个球中摸一个球共有10 种不同的结果，其中是红球的结果共有 3 种，
所以 P( A) 3 ． 10
………4 分
（2）第一次摸到红球的条件下，剩下的 9 个球中有 2 个红球， 7 个白球，第二次从这 9 个球中摸一
19. 解：（1）连接 AC 交 BD 于点 O ，连接 OM ， OF ，取 CD 的中点 G ，连接 GM ， GE
2020年高考模拟云南省昆明一中高考数学模拟测试卷(理科) 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2x+1≤3}，B＝|x|lnx≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，e]B．（﹣1，1]C．（﹣1，0）D．（0，e]2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．2B．C．D．33．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值≤50（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日﹣20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差4．若1717+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则a＝（）A．0B．1C．2D．35．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a＝（）A．2B．1C．﹣1D．8．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5．若球O1在圆锥SO内，则球O1的体积的最大值为（）A．B．9πC．D．12π9．若数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，则这个数列的通项公式为（）A．B．C．a n＝3n﹣2D．10．已知点A（3，4）是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若以F1F2为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．511．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]12．已知平面向量满足，且{||，||，||}＝{1，2，4}，则的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足，则z＝3x+2y的最大值为．14．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝20，则k＝．15．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝﹣恰好有三个不等的实根，则实数a的取值范围为．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，高为，侧棱长均为5，O为侧面△PCD的内心，则四棱锥O﹣ABCD的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos2C+3cos（A+B）＝1．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0＜x≤1010＜x≤2020＜x≤30票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．19．如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．20．过点（0，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）在y轴上是否存在定点M，使得∠OMA＝∠OMB？并说明理由．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），抛物线C的普通方程为y2＝2x．（1）求抛物线C的准线的极坐标方程；（2）设直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）求f（x）的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣2x+1≤3}，B＝|x|lnx≤1}，则A∩B＝（）A．（﹣1，e]B．（﹣1，1]C．（﹣1，0）D．（0，e]【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x≥﹣1}，B＝{x|0＜x≤e}，∴A∩B＝（0，e]．故选：D．2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．2B．C．D．3【分析】设出复数z，利用复数相等的条件求出a，b的值，然后由复数模的公式计算得答案．解：设z＝a+bi（a，b∈R），∵，∴2（a+bi）+a﹣bi＝3﹣i，即3a+bi＝3﹣i，解得a＝1，b＝﹣1，∴复数z＝1﹣i的模为．故选：C．3．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：AQI指数值≤50（50，100]（100，150]（150，200]（200，300]＞300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日﹣20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差【分析】根据AQI指数值越小，表明空气质量越好，及其折线图即可判断出正误．解：由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B错误，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，D错误，故选：C．4．若1717+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据若1717+a＝（18﹣1）17+a，把（18﹣1）17按照二项式定展开，分析可得a 的值．解：若1717+a＝（18﹣1）17+a＝1817﹣•1816+•1815﹣•1814+…+•18﹣+a（a∈Z，0≤a＜4）能被3整除，则﹣+a＝0，则a＝1，故选：B．5．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【分析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．解：抛物线y2＝﹣4x的焦点为（﹣1，0），∴c＝1，由离心率可得a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆的标准方程为+＝1，故选：A．6．函数f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．【分析】先结合二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求解：因为f（x）＝sin2x﹣cos2x+2sin x cos x＝﹣cos2x+＝2sin（2x﹣），又f（）＝2sin＝2取得函数的最大值，所以函数f（x）的图象的一条对称轴为x＝，故选：C．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a＝（）A．2B．1C．﹣1D．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出a的取值是以3为周期而变化的，从而得出程序运行后输出的a值．解：n＝1，a＝；n＝2，a＝﹣1；n＝3，a＝2；n＝4，a＝；…，a的值构成3为周期的数列，因为2020＝3×673+1，所以当n＝2020时，a＝．故选：D．8．已知圆锥SO的底面半径为3，母线长为5．若球O1在圆锥SO内，则球O1的体积的最大值为（）A．B．9πC．D．12π【分析】由题意可得当球O1的轴截面是△SAB的内切圆时，内切球等体积最大，由题意求出轴截面的内切圆的半径，进而求出内切球的体积．解：设圆锥SO的轴截面为等腰△SAB，则球O1的体积最大时，球O1的轴截面是△SAB 的内切圆，所以S△SAB＝＝（SA+SB+AB）•r，解得：r＝，所以球O1的体积的最大值为（）3＝，故选：A．9．若数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，则这个数列的通项公式为（）A．B．C．a n＝3n﹣2D．【分析】利用数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，可得n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，两式相减，证明数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，即可求出这个数列的通项公式．解：∵数列{a n}的前n项的和S n＝3a n﹣2，①∴n≥2时，S n﹣1＝3a n﹣1﹣2，②①﹣②可得a n＝3a n﹣3a n﹣1，∴a n＝a n﹣1，∵n＝1，S1＝3a1﹣2，∴a1＝1，∴数列{a n}是以1为首项，为公比的等比数列，∴，故选：A．10．已知点A（3，4）是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，若以F1F2为直径的圆经过点A，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．5【分析】根据圆周角定理得到AF1⊥AF2，所以|F1F2|＝2|AO|＝10＝2c，由此求得c＝5；结合双曲线的定义求得a＝，所以根据双曲线离心率的公式解答．解：由已知得AF1⊥AF2，所以|F1F2|＝2|AO|＝10，所以c＝5，又﹣＝2a，所以a＝，所以双曲线C的离心率e＝＝＝，故选：C．11．设函数，若f（0）是函数f（x）的最小值，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2]【分析】讨论a＜0和a≥0时，得出f（0）是函数f（x）的最小值时满足的不等式，求出解集即可．解：当a＜0时，函数f（x）的最小值为f（a），不满足题意；当a≥0时，要使f（0）是函数f（x）的最小值，只须≥a2+2，即4+a≥a2+2，解得﹣1≤a≤2，综上知，实数a的取值范围是[0，2]．故选：D．12．已知平面向量满足，且{||，||，||}＝{1，2，4}，则的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由⊥知，当满足与+同向时，|++|取得最大值，讨论||＝1、2、3时，求出|+|的值，即可得出|++|的最大值．解：因为⊥，所以当满足与+同向时，|++|取得最大值，当||＝1时，|+|＝＝2，所以|++|的最大值为1+2；当||＝2时，|+|＝＝，所以|++|的最大值为2+；当||＝4时，|+|＝＝，所以|++|的最大值为4+；综上知，|++|的最大值是4+．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x，y满足，则z＝3x+2y的最大值为6．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，解得B（2，0），化目标函数z＝3x+2y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z＝3×2+2×0＝6．故答案为：614．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝20，则k＝4．【分析】求出＝n2，从而（k+2）2﹣k2＝20，由此能求出k的值．解：因为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，所以＝n2，因为S k+2﹣S k＝20，所以（k+2）2﹣k2＝20，解得k＝4．故答案为：4．15．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝﹣恰好有三个不等的实根，则实数a的取值范围为1＜a＜．【分析】画出函数的图象，利用方程根的个数，转化为直线与曲线位置关系，转化为方程，解出即可．解：要满足方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰好有三个不等的实根，则直线y＝x+a与y＝在x＞0相切以上（不含相切）和直线y＝﹣x+a过点（1，1）以下（不含过该点的直线），当直线y＝﹣x+a与y＝相切时，即＝﹣x+a，所以1＝﹣x2+ax，所以△＝0，所以a＝1（﹣1舍去），当直线y＝﹣x+a过点（1，1）时，a＝，所以1＜a＜．故答案为：1＜a＜．16．已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，高为，侧棱长均为5，O为侧面△PCD的内心，则四棱锥O﹣ABCD的体积为．【分析】由题意可得，底面ABCD的边长为6，在△PCD中，作PE⊥CD于E，通过角平分线的性质，＝＝，设底面正方形的边长为x，则＝2×，解得x．可得四棱锥O﹣ABCD的体积为V P﹣ABCD．解：由题意可得，底面ABCD的边长为6，在△PCD中，作PE⊥CD于E，通过角平分线的性质，＝＝，所以＝，设底面正方形的边长为x，则＝2×，解得x＝6．所以四棱锥O﹣ABCD的体积＝V P﹣ABCD＝×××62＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cos2C+3cos（A+B）＝1．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知可得（cos C﹣2）（2cos C+1）＝0，由于cos C≠2，可求cos C＝﹣，进而可求C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）由cos2C+3cos（A+B）＝1，可得2cos2C﹣3cos C﹣2＝0，（cos C﹣2）（2cos C+1）＝0，因为cos C≠2，所以cos C＝﹣，可得C＝．（2）由c2＝a2+b2﹣2ab cos C，得a2+b2+ab＝4，4﹣ab＝a2+b2≥2ab，ab≤，所以S△ABC＝ab sin C≤×＝，当a＝b＝时，△ABC面积的最大值为．18．某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站数x0＜x≤1010＜x≤2020＜x≤30票价（元）369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站．甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，．（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）利用古典概型，求解概率，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，转化求解即可．（2）由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18．求解概率，得到分布列，然后求解期望即可．解：（1）由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，则，所以甲、乙两人付费相同的概率是．（2）由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18.，，×，×，．因此X的分布列如下：X69121518P所以X的数学期望．19．如图所示的几何体中，正方形ABCD所在平面垂直于平面APBQ，四边形APBQ为平行四边形，G为PC上一点，且BG⊥平面APC，AB＝2．（1）求证：平面PAD⊥平面PBC；（2）当三棱锥P﹣ABC体积最大时，求平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值．【分析】（1）通过证明AP⊥BC，AP⊥BG，得到AP⊥平面PBC，面PAD⊥平面PBC．（2）利用V P﹣ABC＝V C﹣APB＝，求三棱锥P﹣ABC体积的最大值，只需求PA•PB的最大值．令PA＝m，PB＝n，由AP⊥PB，可得以m2+n2＝4，当且仅当m＝n＝，再建立空间直角坐标系求解．【解答】（1）证明：因为平面ABCD⊥平面APBQ，平面APBQ∩平面ABCD＝AB，四边形ABCD为为正方形，即BC⊥AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面APBQ，又因为AP⊂平面APBQ，所以AP⊥BC，因为BG⊥面APC，AP⊂平面PAC，所以AP⊥BG，因为BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面PBC，所以AP⊥平面PBC，因为AP⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PBC．（2）解：V P﹣ABC＝V C﹣APB＝，求三棱锥P﹣ABC体积的最大值，只需求PA•PB的最大值．令PA＝m，PB＝n，由（1）知AP⊥PB，所以m2+n2＝4，当且仅当m＝n＝，即PA＝PB＝时，（V P﹣ABC）min＝mn≤•＝．以AB中点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图，则A（0，﹣1，0），B（0，1，0），C（0，1，2），P（1，0，0）．设为平面APC的一个法向量，则，可取x＝1，则，因为四边形APBQ为平行四边形，△APB为等腰直角三角形，所以四边形APBQ为正方形，取平面BCQ的一个法向量为，所以cos，＞＝＝，所以sin，＞＝，即平面APC与平面BCQ所成二面角的正弦值为20．过点（0，2）的直线l与抛物线C：x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB（O 为坐标原点）．（1）求抛物线C的方程；（2）在y轴上是否存在定点M，使得∠OMA＝∠OMB？并说明理由．【分析】（1）设直线l：y＝kx+2，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件x1x2+y1y2＝0，即可求出p＝1，从而求出抛物线C的方程；（2）假设存在满足条件的点M（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由∠OMA＝∠OMB得k MA+k MB＝0，由（1）知，代入上式化简得到＝0，显然k ≠0，所以t＝﹣2，故存在M（0，﹣2）满足条件．解：（1）设直线l：y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得x2﹣2pkx﹣4p＝0，则，所以y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4＝4，由OA⊥OB得，∴x1x2+y1y2＝0，∴﹣4p+4＝0，∴p＝1，所以抛物线C的方程为x2＝2y．（2）假设存在满足条件的点M（0，t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知，若∠OMA＝∠OMB，则k MA+k MB＝0，∴＝＝＝＝＝0，显然k≠0，∴t＝﹣2，∴存在M（0，﹣2）满足条件．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx．（1）求f（x）的最小值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值；（2）结合（1）对x进行赋值，然后结合数列的裂项求和及不等式的放缩法即可求．解：：（1），当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）单调递增；故f（x）≥f（1）＝1，故f（x）的最小值为1．（2）由（1）可得，f（x）＝x﹣lnx≥1即lnx≤x﹣1，所以ln（1+）≤＝＝，k∈N*，n≥2，则ln（1+）+ln（1+）+＝＜ln2，即ln（1+）（1+）…（1+）＜ln2，所以（1+）（1+）…（1+）＜2．又因为（1+）（1+）…（1+）＞1，故对任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m的整数m的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），抛物线C的普通方程为y2＝2x．（1）求抛物线C的准线的极坐标方程；（2）设直线l与抛物线C相交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时α的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．解：（1）依题意可得，抛物线C的普通方程为y2＝2x．则抛物线的准线的普通方程为x ＝﹣，化为极坐标方程即是．（2）将直线的参数方程程为（t为参数，0＜α＜π），代入抛物线的普通方程y2＝2x，化简整理得t2sin2α﹣2t cosα﹣1＝0，所以，．所以＝，当时，|AB|取得最小值2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）＜2；（2）求f（x）的最大值．【分析】（1）将a＝2代入f（x）中，然后利用零点分段法解不等式f（x）＜2即可；（2）直接利用绝对值三角不等式求出f（x）的最大值．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣4|﹣|2x+8|＝．∵f（x）＜2，∴x＞2或，∴x＞2或，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）∵f（x）＝|ax﹣4|﹣|ax+8|≤|（ax﹣4）﹣（ax+8）|＝12，∴f（x）的最大值为12．。
云南省2020届高三适应性考试数学试题(A卷)(理)
云南省2020届高三适应性考试数学试题（A 卷）（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|0}A x x x =+≤，{|ln(21)}B x y x ==+，则A B =（ ）A ．1(,0]2-B ．1[,0]2-C ．1[0,)2D ．1[1,]2--2．已知i 是虚数单位，复数2(12i)-的共轭复数虚部为（ ） A ．4iB ．3C ．4D ．4-3．已知向量(3,2)=a ，(1,1)=-b ，若()λ+⊥a b b ，则实数λ=（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．14．已知(1)n x +的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．15D ．205．已知命题:0p x ∀≥，1x e ≥或sin 1x ≤，则p ⌝为（ ） A ．0x ∃<，1x e <且sin 1x > B ．0x ∃<，1x e ≥或sin 1x ≤ C ．0x ∃≥，1x e <且sin 1x >D ．0x ∃≥，1x e <或sin 1x >6．已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当(,1]x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设41lo ()g 2a f =，13lo ()g 3b f =，3lo (9)gc f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<7．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.4＋12π 12π+ D.4+ 8．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭。
高三年 级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队 吃饭的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．188种C ．120种D ．156种9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是（ ）①平面1PB D ⊥平面1ACD ②．1A P ∥平面1ACD③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是π(0,]3④．三棱锥1D APC -的体积不变 A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ③④ 10．若函数)2,0)(sin(2)(πθπωθω<<>+=x x f 的图象过点)(,30x f ），（在 ），（π0 只有两个零点，则ω的最值情况为 A ．最小值为31，最大值为34B ．无最小值，最大值为34C ．无最小值，最大值为37D ．最小值为31，最大值为37 11．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果 是奇数，则乘3加1，如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终 总能够得到1。
2020届云南省名校高考适应性月考统一考试数学(理)试题(解析版)
【答案】D
【解析】由复数的四则运算求出 ，就能判别相应选项.
【详解】
因为 ，所以 ，则复平面内表示 的点位于第四象限.选D．
【点睛】
复数四则运算，属于简单题.
3．已知正项等比数列 中， ,若 ，则 ＝（）
A．2•5nB．2• C．5nD．
【答案】D
【解析】考查等比数列的定义，通过 , 就可以求出数列通项公式.
【详解】
由 得 ，即 ，解得 .又因为 ，即 ，解得 ，所以 .选D．
【点睛】
考查等比数列定义，属于简单题.
4．设a＝0.60.6，b＝log0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
【答案】C
【解析】这是三个不同类型的数字，所以和中间值0和1比较大小，从而得到 的大小关系.
【答案】C
【解析】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.
【详解】
因为球O与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长.设球的半径为R，则 ， .选C.
【点睛】
考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.多画图找关系.
7．函数 在 的图象大致是
A. B.
【详解】
解析： ，在点（1，1）处的切线斜率为 ，所以切线方程为 .
【点睛】
本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.
14．在公差为3的等差数列{an}中，a1，a3，a11成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝_____
【答案】
【解析】考查等差数列的定义，通过指定的三项的等量关系及公差的值求出 ，从而能完成本题.
云南省昆明市第一中学2024届高三下学期第九次考前适应性训练数学答案
昆明一中2024届高三第9次联考数学参考答案一、选择题题号12345678答案ACDBCCBC1．解析：因为{}2U B x x =≥ð，所以(){}2,3U A B = ð，选A ．2．解析：因为()()()2i 1i 12i a b ++=-，所以()i 34i a b a b -++=--，所以3a b -=-，选C ．4．解析：因为2PA =，所以P ，所以点P 的轨迹方程是以(01), 为半径的圆，即22(1)5x y +-=，选B ．5．解析：由题意可知，345a ⨯-=，即7a =，所以A 正确；乙组样本数据方差为9218⨯=，所以B 正确；设甲组样本数据的中位数为i x ，则乙组样本数据的中位数为37i x -，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C 错误；甲组数据的极差为max min x x -，则乙组数据的极差为max min max min (37)(37)3()x x x x ---=-，所以两组样本数据的样本极差不同，故D 正确，选C.6．解析：若存在12x x ≠，使得12()()f x f x =，等价于函数()f x 在ππ,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不是单调函数，()cos sin f x a x x '=-，若函数()f x 为单调递增函数，则()0f x '≥恒成立，即cos sin 0a x x -≥，sin tancos x a x x ≥=在ππ,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a ≥()f x 为单调递减函数，则()0f x '≤恒成立，得1a ≤，即若函数()f x 在ππ,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不单调，则1a <C ．7．解析：若函数()f x 有“和谐区间”，所以()f x 在()1,k 上单调递增，且2()2m f x x x=-=在定义域内有两个不等的实数根，22m x x =+≥，即m ≥，又2()g x x x=+在区间(单调递减，在区间)+∞单调递增，且N k *∈，所以2k ≥，又因为2()g x x x =+与直线2m y =在()1,k 有两个交点，(1)3g =，所以23k k +=，得2k =，所以正整数k 的最小值为2，(2)3g =，即32m=，6m =，此时，实数m 的取值范围是()，选B ．则222121111411πππ3π41π4π14414n n n nn S a a a -⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++⋅⋅⋅+=⨯=⨯-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选C ．二、多选题，，所不平10．解析：因为直线l 过定点(0,1)-，且点(0,1)-在圆C 内，所以直线l 与圆C 必相交，A 错误；若直线l 将圆C 的周长平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，所以B 正确；当2k =时，直线l 的方程为210x y --=，圆心C 到直线l d ，所以直线l 被C 截得的弦长为5=，C 错误；因为圆心C 到直线l 的距离为1d =≤，所以直线l 被C 截得的弦长为≥，D 正确，选BD ．11．解析：对于A ，因为点()3,1A 关于直线20x y -=的对称点为()1,3C -，所以将军在河边饮马的地点的坐标为()1,2，A 错误；对于B ，因为点()3,1A 关于直线0y =的对称点为()3,1D -，将军先去河流n 饮马，再返回军营的最短路程是5BD =，B 错误；对于C 和D ，因为点()6,3B 关于直线20x y -=，0y =的对称点分别为633,55E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()6,3F -，所以将军先去河流m 饮马，再去河流n 饮马，最后返回军营的最短路程CF =C 正确；将军先去河流n 饮马，再去河流m 饮马，最后返回军营的最短路程是5DE =，D 错误．选ABD ．三、填空题12．解析：由题意，3sin 5α=，4cos 5α=，且παβ+=，则3sin 5β=，4cos 5β=-，则7cos()cos cos sin sin 25αβαβαβ-=+=-．13．解析：由题意知双曲线的渐近线方程为by x a=±，因为,D E 分别为直线y b =与双曲线C 的两条渐近线的交点，所以不妨设(,),(,)D a b E a b -，所以1102ODE S b DE ab =⨯⨯== ，因为222220c a b ab =+≥=（当且仅当a b =时等号成立），所以c ≥C 的焦距的最小值为．四、解答题15．解：（1）如图，取AC 中点O ，连接OB ，1OA ，因为△ABC 是等边三角形，所以AC OB ⊥，又11AA A C =，所以1AC OA ⊥，所以AC ⊥平面1A OB ，所以1AC A B ⊥，又11A C AC ‖，所以111A C A B ⊥.………5分（2）在平面1A OB 中，作1A D OB ⊥，垂足为D ，由（1）知AC ⊥平面1A OB ，所以1A D AC ⊥，所以1A D ⊥平面ABC ，如图建立空间直角坐标系O xyz -，因为三棱柱111ABC A B C -的体积为3，所以112232A D ⨯⨯=，故1A D =，则(10,A t，()B ，()1,0,0C -，()1,0,0A ，所以(11,CA t =，()CB =，设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，则10m CA m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以(3,m t =- ，设平面ABC 的一个法向量为()0,0,1n =，因为二面角1A BC A --的余弦值为5，故cos ,m n m n m n ⋅==⋅，化简得：(23t =，即t =可得0t =，此时(1A ，(1CA =，所以111cos ,2CA n CA n CA n⋅==⋅ ，所以直线1AA 与平面ABC 所成角的正弦值为2，可得t =，此时，(1A，(1CA =，所以111cos ,4CA n CA n CA n⋅==⋅ ，所以直线1AA与平面ABC 所成角的正弦值为4.………13分16．解：（1）由22(1)3a c =-+得：2224=-+a c c ，又因为2b =，所以2222a c c b =-+，所以22222421cos 22242+-+-====⋅b c a c a c A bc c c ，又因为0π<<A ，所以π3=A .………5分（2）在△ABC 中，由4sin sin aA B =得：a B =，由正弦定理sin sin a b AB=，得:2πsin sin 3=B B ，解得：sin 2=B ，由π3=A ，得2π3<B ，所以π4B =，因为在△ABC 中，πA B C ++=，所以ππππcos cos()(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )3434=-+=--=--C A B A B AB ，所以cos4=C .………10分17．解：（1）依题意随机变量X 服从超几何分布，且10000,400N M ==.所以()40010004010000E X =⨯=.………5分（2）当1380N <时，()200P X ==；当1380N ≥时，()209804004001000C C 20C N NP X -⋅==.令()20400400100980C C C N Nf N -⋅=，则()()()()()()20980400140010001209804004001000C C 1110001400C 11400980C C C N N N Nf N N N f N N N +-+-⋅++-+-==++--⋅22139899939913781379N N N N -+⨯=--.由22139899939913781379,N N N N -+⨯≥--解得19999N ≤.所以138019999N ≤≤时，()()1f N f N ≤+；当20000N ≥时，()()1f N f N >+.从而当19999N =或20000时，()f N 最大，所以N 的估计值为19999或20000.………15分18．解：(1)由题意知，1PF =，2PF =，所以122PF PF a +=，22124PF PF cx -=，所以()221124PF a PF cx --=，所以21444a PF a cx =+，所以1c PF a x a=+.………5分（2）设T 的坐标为)x y （，，原点坐标为O ，因为122PF PF a +=，12MF a =，所以2PM PF =，因为22PTF π∠=，20TF ≠，所以T 为线段2MF 的中点，所以在△12MF F 中，OT 是中位线，所以点T 的轨迹C 的方程222x y a +=………10分（3）假设存在点00()N x y ，，使得△12F NF 的面积为2b ，则22200x y a +=，所以0y a ≤，因为1220122F NF S c y b ∆=⨯⨯=，所以20b y c =，所以2b a c ≥又因为()100,NF c x y =--- ，()200,NF c x y =-- ，所以2222221200NF NF x c y a c b ⋅=-+=-= ，又因为121212cos NF NF NF NF F NF ⋅=⋅∠ ，所以21212cos b NF NF F NF ⋅=∠ ，又因为12212121sin 2F NF S NF NF F NF b ∆=⋅∠=，所以2212121sin 2cos b F NF b F NF ∠=∠，所以12tan 2F NF ∠=………17分19．解：（1）当2a =时，22log ()xf x x =，()f x 的定义域为()0,+∞，224312log 12ln ln 2()ln 2x x xxx f x x x -⋅-⋅'==⋅，当(x ∈时，()0f x '>，当)x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x在(内单调递增，在)+∞单调递减，即()f x的单调增区间为(，单调减区间为)+∞；……………7分（2）证明：因为曲线()y f x =与直线21y a =有且仅有两个交点，所以方程2log 1()a a x f x x a==有且仅有两个不同的实数根，即方程ln 1ln a a x a x a=⋅，即()ln ln aa x a x a=有且仅有两个不同的实数根，构造()ln x F x x =，则()21ln xF x x -'=，当()0,e x ∈时，()0F x '>，当()e,x ∈+∞时，()0F x '<，故()F x 在()0,e 内单调递增，在()e,+∞单调递减，所以()()max 1e eF x F ==，又()10F =，当x →+∞时，则()0F x →，因为()0,a t x =∈+∞，故()()F t F a =有且仅有两个不同的实数根的充要条件为ln 10ea a <<，即()()()1e F F a F <<，故实数a 的取值范围为()()1,e e,+∞ .………17分。
函数问题的灵魂-定义域问题-学会解题之高三数学多题一解(解析版)
函数问题的灵魂——定义域【高考地位】在函数的三要素中，函数的定义域是函数的灵魂，对应法则相同的函数只有在定义域相同时才算同一函数．定义域问题始终是函数中最重要的问题，许多问题的解决都是必须先解决定义域，不要就会出现问题．通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．试题难度较小．方法一 直接法万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式已知的情况下解题模板第一步 找出使函数()f x 所含每个部分有意义的条件，主要考 虑以下几种情形：（1） 分式中分母不为0； （2） 偶次方根中被开方数非负； （3） 0x 的底数不为零；（4） 对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0； （5） 正切函数tan y x =的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈．第二步 列出不等式（组）；第三步 解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数()f x 的定义域．【例1】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =-- ） A ．[]1,2 B ．()1,2C ．(]1,2D ．[)1,2【答案】C【分析】根据二次根式的性质以及分数分母不为0求出函数的定义域即可.【详解】解：由题意得：1020x x ->⎧⎨-≥⎩ 解得12x x >⎧⎨≤⎩，即()f x 的定义域为(]1,2.故选：C.【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()261xf x x x x =-++-的定义域为（ ）A ．(][)23∞∞--⋃+，，B ．[)(]3112-⋃，，C ．[)(]2113-⋃，，D ．()()2113-⋃，，【答案】C【分析】由具体函数的定义域列出方程式即可得出答案.【详解】由26010x x x ⎧-++≥⎨-≠⎩，解得：23x -≤≤且1x ≠.故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可 【详解】由题意，得2sin102x π-≥，1sin22x π≥，所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈， 解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B【变式演练2】5．（2023·全国·高三专题练习）若函数()22ln 2y x x a x =+++的定义域为[)1,+∞，则=a （ ） A ．-3 B ．3C ．1D ．-1【答案】A【分析】根据题意可知1x =为方程220x x a ++=的一个根，从而可求出a 的值【详解】由22020x x a x ⎧++≥⎨+>⎩，得2202x x a x ⎧++≥⎨>-⎩，由题意可知上式的解集为[)1,+∞，所以1x =为方程220x x a ++=的一个根，所以120a ++=，得3a =-， 故选：A例3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（ ） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,4【答案】D【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解.【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤； 当0a <时，无法满足定义域为R ． 综上所述：04a ≤≤，D 正确． 故选：D【变式演练3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【答案】[1，+∞）【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x =++的定义域为R ， 即为ax 2+2x +1≥0恒成立， 若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立； 当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0， 解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立． 综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）．方法二 抽象复合法 万能模板 内 容使用场景涉及到抽象函数求定义域解题模板 利用抽象复合函数的性质解答：(1)已知函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域．(2)已知复合函数的定义域为，求函数的定义域： 只需根据求出函数的值域，即为函数的定义域．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（ ） A ．(0,)+∞ B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∈函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∈112x -≤≤，1122x ≤+≤∈函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ ∈24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为[24，]． 故选：D【变式演练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()()31g x x =-的定义域为（ ） A ．1,43⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据抽象函数的定义域的求解，结合具体函数单调性的求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以()f x 的定义域为()1,6-.又因为310x ->，即13x >，所()f x (,)a b [()]f g x ()a g x b <<[()]f g x [()]f g x (,)a b ()f x a x b <<()g x ()f x以函数()g x 的定义域为1,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.【变式演练5】11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21log xf x x-=，()1f x +的定义域为M ，()2f x 的定义域为N ，则（ ） A ．M N B ．M N ⋂=∅C ．M ⊆ND ．N ⊆M【答案】B【分析】分别求出()1f x +的定义域为M 和()2f x 的定义域为N 即可求解. 【详解】()21log 1xf x x -+=+，则{}10M x x =-<<， ()2122log 2xf x x -=，则102N x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，所以M N ⋂=∅，故选：B ．方法三 实际问题的定义域万能模板 内 容使用场景 函数的实际应用问题解题模板第一步 求函数的自变量的取值范围； 第二步 考虑自变量的实际限制条件；第三步 取前后两者的交集，即得函数的定义域．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为40cm ，底边长()y cm 是腰长()x cm 的函数，则函数的定义域为( ) A ．()10,20 B ．()0,10C ．()5,10D ．[)5,10【答案】A【分析】利用两边之和大于第三边及边长为正数可得函数的定义域. 【详解】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围. 【变式演练7】（2021·全国课时练习）一枚炮弹发射后，经过26s 落到地面击中目标，炮弹的射高为845m ，且炮弹距地面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系为.①21305h t t =-求①所表示的函数的定义域与值域，并用函数的定义描述这个函数. 【答案】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ，描述见解析. 【解析】定义域为{|026}t t ≤≤，值域为{|0845}h h ≤≤， 对于数集{|026}t t ≤≤中的任一个数t ，在数集{|0845}h h ≤≤中都有唯一确定的数21305h t t =-与之对应. 【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.【高考再现】1．【2017山东理】设函数的定义域A ，函数的定义域为B ，则A B ⋂=（A ）（1，2） （B ） （C ）（-2，1） （D ）[-2，1)【答案】D【考点】 1．集合的运算2．函数的定义域3．简单不等式的解法．【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理． 2．【2016·全国卷①】 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D【解析】 y ＝10lg x ＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意． 3．【2014山东．理3】 函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为（ ）A ．)21,0(B ．),2(+∞C ．),2()21,0(+∞D ．),2[]21,0(+∞ 【答案】C【解析】由已知得22(log )10,x ->即2log 1x >或2log -1x <，解得2x >或102x <<，故选C ． 【名师点睛】本题考查函数的概念、函数的定义域．解答本题关键是利用求函数定义域的基本方法，建立不等式组求解．本题属于基础题，注意基本概念的正确理解以及计算的准确性． 4．【2015高考重庆，文3】函数的定义域是（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】由解得或，故选D ． 【考点定位】函数的定义域与二次不等式．【名师点睛】本题考查对数函数的定义域与一元二次不等式式的解法，由对数的真数大于零得不等式求解．本题属于基础题，注意不等式只能是大于零不能等于零．5．【2015高考湖北，文6】函数的定义域为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．【解析】由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选．【考点定位】本题考查函数的定义域，涉及根式、绝对值、对数和分式、交集等内容．【名师点睛】本题看似是求函数的定义域，实质上是将根式、绝对值、对数和分式、交集等知识联系在一起，重点考查学生思维能力的全面性和缜密性，凸显了知识之间的联系性、综合性，能较好的考查学生的计算能力和思维的全面性．6.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________． 【答案】(0,)+∞【解析】要使得函数1()ln 1f x x x =++有意义，则100x x +≠⎧⎨>⎩，即0x >，∴定义域为(0,)+∞． 【专家解读】本题考查了分式函数、对数函数定义域的求法，考查数学运算学科素养．22(x)log (x 2x 3)f [3,1](3,1)(,3][1,)-∞-+∞(,3)(1,)-∞-+∞0)1)(3(0322>-+⇒>-+x x x x 3-<x 1>x 256()4||lg 3x x f x x x -+=--(2,3)(2,4](2,3)(3,4](1,3)(3,6]-C ()y f x =()f x 2564||0,03x x x x -+-≥>-22,2,3x x x -≤≤>≠()f x (2,3)(3,4]C7．【2015高考山东，理14】已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += ．【答案】32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数，所以1110a b b -⎧+=-⎨+=⎩，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数，所以1011a b b -⎧+=⎨+=-⎩，解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以32a b +=-．【考点定位】指数函数的性质．【名师点睛】本题考查了函数的有关概念与性质，重点考查学生对指数函数的性质的理解与应用，利用方程的思想解决参数的取值问题，注意分类讨论思想方法的应用． 8．【2019年高考江苏】函数276y x x =+-的定义域是 ▲ ． 【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域．由已知得2760x x +-≥，即2670x x --≤，解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-．【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．【反馈练习】1．（2021·天津高三期末）函数的定义域为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】要使函数有意义，只需21020x x x -≠⎧⎨->⎩，解得102x x ≠⎧⎨<<⎩，即函数定义域为{|01x x <<或12}x <<.故选D.2．【云南省昆明市第一中学2020届高三考前第九次适应性训练】设函数21y x =-A ，函数12x y -=的值域为B ，则A B =( )()()221log 21f x x x x =+--()1,2()(),02,-∞+∞()(),11,2-∞()()0,11,2A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,1-D ．[]1,1-【答案】A【解析】函数定义域满足：210x ->，即11x -<<，所以{}11A x x =-<<， 函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以()0,1A B =，故选：A. 【名师点睛】本题考查了函数定义域，值域，交集运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．（2023·全国·高三专题练习）若函数()y f x =的定义域是[]1,3，则函数()()21ln f x h x x-=的定义域是（ ）A ．[]1,3B ．(]1,3C ．(]1,2D ．[]1,2【答案】C【分析】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答. 【详解】函数()y f x =的定义域是[1，3]， ∈1213x ≤-≤，解得12x ≤≤． 又0x >，且1x ≠，∈(]1,2x ∈． 故函数()h x 的定义域是(]1,2． 故选：C.4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，则函数()211f x x --的定义域为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．()()0,11,2 D ．()(),11,1-∞--【答案】C【分析】先求出()f x 的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域. 【详解】因为函数()21f x -的定义域为{}1|0x x <<，故1211x -<-<， 所以()f x 的定义域为()1,1-， 故函数()211f x x --中的x 需满足：211110x x -<-<⎧⎨-≠⎩， 故02,1x x <<≠，故函数()211f x x --的定义域为()()0,11,2.故选：C5．（2021·广东深圳中学高三期中）已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题设有402y x =-，由4020402x x x x ->⎧⎨+>-⎩得1020x <<，故选A.【点睛】本题考查应用题中函数的定义域，注意根据实际意义和几何图形的性质得到自变量的取值范围.6．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）已知函数()f x 的定义域为B ，函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．13,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．130,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1313,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由复合函数的定义域求得集合B ，记2()1g x x x =-+，问题转化为求()g x 在x B ∈时的最小值，从而得参数范围．【详解】∈()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∈114x ≤≤，12134x -≤-≤，则12,4B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．令()21g x x x =-+，x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，即a 大于()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．∈213()24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∈()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为113416g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∈实数a 的取值范围是13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．7．（2019·河北张家口中学月考）若函数2()2f x mx mx =-+的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)-∞⋃+∞ 【答案】A【解析】∵函数f （x ）的定义域为R ，∴不等式mx 2-mx +2>0的解集为R ， ①m ＝0时，2>0恒成立，满足题意；40cm ()y cm ()x cm ()10,20()0,10()5,10[)5,10②m ≠0时，则2080m m m ⎧⎨=-<⎩＞，解得0＜m <8． 综上得，实数m 的取值范围是[0,8)，故选A ．【名师点睛】考查函数定义域的概念及求法，以及一元二次不等式的解集为R 时，判别式△需满足的条件．8．（2022·全国·高三专题练习）函数()1ln 34y x x=-+的定义域是________ 【答案】()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【分析】根据题意可知3400x x ->⎧⎨≠⎩，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知3400x x ->⎧⎨≠⎩，所以()3,00,4x ∞⎛⎫∈-⋃ ⎪⎝⎭. 所以函数的定义域为()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭. 故答案为：()3,00,4∞⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭. 9．（2022·全国·高三专题练习）函数()()02112y x x x =++-的定义域是________． 【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果．【详解】函数()()02lg 2112x y x x x -=+++-的解析式有意义， 由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<，故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-．故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-10．（2022·北京市第二十二中学高三开学考试）函数()1f x x=-的定义域为___________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数、分式及根式的性质列不等式组求定义域. 【详解】由解析式知：010x x >⎧⎨->⎩可得01x <<， 所以函数定义域为(0,1).故答案为：(0,1)11．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lg 1tan π14y x x =+-___________. 【答案】11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】使对数的真数大于零，二次根式的被开方数大于等于零列出不等式组，结合正切函数的性质求解.【详解】由题意得：21tan π0πππ,2140x x k k x +>⎧⎪⎪≠+∈⎨⎪-≥⎪⎩Z ，解得1142x -<<. 故答案为：11,42⎛⎫- ⎪⎝⎭. 12．（2023·全国·高三专题练习）函数()()21lg 2f x x x +-的定义域是_______．【答案】1[,2)2- 【分析】依据题意列出不等式组，解之即可得到函数的定义域【详解】由题意可得，21020x x +≥⎧⎨->⎩，解之得122x -≤< 则函数()()21lg 2f x x x =++-的定义域是1[,2)2- 故答案为：1[,2)2- 13．（2023·全国·高三专题练习）函数()()22log 29142f x x x =-+-的定义域为___________. 【答案】()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ 【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，根据真数列出不等式，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【详解】由题意可知()22log 291420x x -+->，而以2为底的对数函数是单调递增的，因此229144x x -+>，求解可得2x <或52x >． 故答案为：()5,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭． 14．（2023·全国·高三专题练习）函数()2lgcos 25f x x x =-的定义域为______．【答案】335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦【分析】由题意可得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得22,2255k x k k Z x ππππ⎧-+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩，分别令k =-1、0、1，综合即可得答案.【详解】由题意得2cos 0250x x >⎧⎨-≥⎩，解得22,2255k x k k Z x ππππ⎧-+<<+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩， 令k =-1，解得35,2x π⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭， 令k =0，解得,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 令k =1，解得3,52x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 综上，定义域为335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦. 故答案为：335,,,52222ππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎤---⎪ ⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎭⎝⎦ 15．（2021·全国）设计一个水渠，其横截面为等腰梯形（如图），要求满足条件（常数），，写出横截面的面积y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域.【答案】定义城为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，值域为23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【解析】如图，连接AD ，过,B C 分别作AD 的垂线，垂足为,E F ，因为AB BC CD a ++=，所以20BC EF a x ==->，即02a x <<， 因为120ABC ︒∠=，所以60A ︒∠=，所以2x AE DF ==， 3BE x =，13()2(2)222x x x y BC AD BE a x ⎤=+⋅=-++=⎥⎣⎦)222333333)323a a x x x ax x ⎫-=-=-⎪⎝⎭， 故当3a x =时，y 23，故它的定义城为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，值域为23⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. AB BC CD a ++=120ABC ︒∠=【点睛】本题考查了求函数的解析式、定义域和值域的问题，解题时应认真解析题意，建立函数的解析式，求出函数的定义域和值域，是中档题.16．（2023·全国·高三专题练习）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A 、B 及CD 的中点P 处．20AB =km ，10BC =km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域内（含边界）且与A 、B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．(1)设BAO θ∠=（弧度），将y 表示成θ的函数并求函数的定义域；(2)假设铺设的污水管道总长度是(10103+km ，请确定污水处理厂的位置． 【答案】(1)2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤ (2)位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 的距离是1033km 【分析】（1）依据题给条件，先分别求得OA OB OP 、、的表达式，进而得到管道总长度y 的表达式，再去求其定义域即可解决；（2）先解方程2010sin 1010103cos θθ-+=+，求得π6θ=，再去确定污水处理厂的位置. (1)矩形ABCD 中，20AB =km ，10BC =km ，DP PC =，DC PO ⊥，BAO ABO θ∠=∠=，则()10km,1010tan km cos OA OB OP θθ===-， 201010tan cos y OA OB OP θθ∴=++=+-，则2010sin π10,0cos 4y θθθ-=+≤≤ (2)令2010sin 1010103cos θθ-+=+ π10sin 103cos 20,20sin 20,3θθθ⎛⎫∴+=∴+= ⎪⎝⎭则πsin 1,3θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭又π04θ≤≤，即ππ7π3312θ≤+≤，则ππ32θ+=，则π6θ= 此时π101010tan103(km)63OP =-=- 所以确定污水处理厂的位置是在线段AB 的中垂线上且离AB 的距离是1033 km 17．（2022·浙江·高三专题练习）如图，点D 是曲线()22104y x y +=≥上的动点(点D 在y 轴左侧)，以点D 为顶点作等腰梯形ABCD ，使点C 在此曲线上，点,A B 为曲线与x 轴的交点.(1)若直线l 过原点，且斜率为-2，与曲线交于点D ，求此时等腰梯形ABCD 的面积；(2)若设2CD x =，等腰梯形ABCD 的面积为()S x ，写出函数()S x 的解析式，并求出函数的定义域. 【答案】(1)12+；(2)()()2211S x x x =+-，定义域为()0,1【分析】（1）联立方程得到2,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，再计算面积得到答案.（2）计算得到()2,21D x x --，根据面积公式得到解析式，再计算定义域得到答案. (1)直线l 方程为：2y x =-，22214y x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，222x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去）， 故2,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，2AB =，()1222122S =+⨯=+(2)2CD x =，()2,21D x x --，故()()()22122212112S x x x x x =+⨯-=+-， ()22104y x y +=≥，2CD x =，故01x <<，故定义域为()0,1.。
2020年云南省昆明一中高考数学模拟试卷(理科)(含答案解析)
2020年云南省昆明一中高考数学模拟试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，B={x|y=ln(−x)}，则A∩B=()A. ⌀B. {x|x<0}C. {x|−1<x<0}D. {x|0<x<1}2.已知a∈R，i是虚数单位，若z=√3+ai，|z|=2，则a=()A. √7或−√7B. 1或−1C. 2D. −23.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图(如图)，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是()A. 各月的平均最低气温都在0℃以上B. 七月的平均温差和一月的平均温差一样C. 四月和十月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20℃的月份有2个4.在(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中，含x2项的系数是()A. 119B. 120C. 121D. 7205.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为()A. B. C. D.6.函数y=sin x2+√3cos x2的图象的一条对称轴方程是()A. x=113π B. x=5π3C. x=−5π3D. x=−π37.执行如图所示的程序框图，若输入x=1，则输出的a，b值分别为()A. sin1，cos1B. sin1，sin1C. cos1，cos1D. cos1，sin18.已知底面半径为1，高为√3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为()A. 32√3π27B. 12π C. 4π D. 16π39.已知在数列{a n}中，a1=2，a n+1=3a n+2(n≥1)，则该数列的通项公式为()A. a=2n+1−2B. a=3n−1C. a=2n−3D. a=4n−210.已知双曲线C：x29−y2b2=1的左、右焦点分别是F1、F2，点P(5,1)，满足|PF1|−|PF2|=6，则双曲线C的离心率是()A. 23B. √174C. 2D. √153211.函数f(x)=(1−x)|x−3|在(−∞,a]上取得最小值−1，则实数a的取值范围是()A. (−∞,2]B. [2−√2, 2]C. [2, 2+√2]D. [2,+∞)12.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗+b⃗ |=4，则a⃗⋅b⃗ 的最大值为()A. 1B. 2C. 4D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0，则z =3x −2y 的最小值为________．14. 已知{a n }是等差数列，a 3=1，则{a n }的前5项和为______．15. 已知函数f (x )=|x |+cosx ，若方程f 2(x )−af (x )+3=0有四个不等实根，则实数a 的取值范围为________．16. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为√6，则四棱锥的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设ΔABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3acosC =3b −2c ．(1)求sin A 的值；(2)若a =√6，求ΔABC 面积的最大值．18. 为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，王同学从中任取3道题解答．(Ⅰ)求王同学至少取到2道乙类题的概率；(Ⅱ)如果王同学答对每道甲类题的概率都是23，答对每道乙类题的概率都是35，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中2道甲类题，1道乙类题，用X 表示王同学答对题的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望．19.如图，平面A BCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为直角梯形，AF//DE，AF⊥F E，AF=2EF=2DE=2．(Ⅰ)求证：平面BFD⊥平面ABCD；(Ⅱ)若三棱锥B−ADF体积为1，求BD与面BAF所成角的正弦值．320.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=2px(p>0)及点M(2,0)，动直线l过点M交抛物线于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，AB=4．(1)求p的值；(2)若直线l与x轴不垂直，设线段AB的中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记直线l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．21. 设函数．(1)证明：f(x)>x ；(2)求f (x )的最小值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα(其中t 为参数).在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线C ：ρ(1+cos2θ)=λsinθ的焦点F 的极坐标为(1,π2)．(Ⅰ)求常数λ的值；(Ⅱ)设l 与C 交于A 、B 两点，且|AF|=3|FB|，求α的大小．23. 已知函数f(x)=|1−2x|+|1+x|．(1)解不等式f(x)≥4；(2)若关于x的不等式a2+2a−|1+x|<f(x)恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵A={x|−1<x<1}，B={x|x<0}；∴A∩B={x|−1<x<0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数的共轭复数及复数模的计算，属于基础题目．由复数得出其共轭复数，再由|z|=2得出关系式求出a的值．解：∵z=√3+ai，∴z=√3−ai，∵|z|=2，∴√√32+(−a)2=2，解得a=±1．故选B．3.答案：B解析：根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．解：A.由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确；B.七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，错误；C.四月和十月的平均最高气温基本相同，都为15°，正确；D.平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故正确．故选B．4.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数，再利用二项式系数的性质化简得到结果．解：在(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中，含x2项的系数为C22+C32+C42+⋯+C92=120，故选：B．5.答案：D解析：本题考查了抛物线的定义及椭圆的简单性质，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．由题意，抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，利用椭圆方程与抛物线的准线的截距，然后求出a，从而求离心率．解：抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，且椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，所以抛物线准线过椭圆另一焦点(−2,0)=6，由椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，可得：2b2a又因为c=2，则a2−b2=4，解得a=4，a=−1(舍)，所以离心率e=1．2故选D．6.答案：C解析：解：根据和差公式可得，y=sin x2+√3cos x2=2(12sin x2+√32cos x2)=2sin(x2+π3)，而y=sinx的对称轴为y=kπ+12π，k∈Z，令x2+π3=kπ+12π，可得x=2kπ+π3，且k∈Z，显然C正确故选C根据和差公式化简原函数解析式可得，y=2sin(x+π3)，结合正弦函数的对称轴，令x+π3=kπ+12π，反解出x即得答案．本题是基础题，考查三角函数的对称性，对称轴方程的求法，考查计算能力，推理能力，是送分题．7.答案：D解析：本题考查的知识点是程序框图，分析出框图的功能，是解答的关键．由已知中的程序框图可得：该程序的功能是按从小到大的次序输出a，b的值，进而可得答案．解：由已知中的程序框图可得：该程序的功能是按从小到大的次序输出a，b的值，当x=1时，sin1>cos1，故输出的a，b值分别为cos1，sin1，故选：D．8.答案：D解析：本题考查球的体积和表面积，根据已知求出球的半径是解答该题的关键，是基础题．设球的半径为R，根据圆锥的几何特征，可得R2=(ℎ−R)2+r2，解出半径，则球的表面积可求．解：设球的半径为R，∵圆锥的高ℎ=√3，底面圆的半径r=1，∴R2=(ℎ−R)2+r2，即R2=(√3−R)2+1，解得：R =2√33， 故该球的表面积S =4πR 2=4π×(2√33)2=16π3，故选：D ． 9.答案：B解析：本题考查了数列的递推关系和等比数列的通项公式，由题意得a n+1+1=3(a n +1)，所以数列{a n +1}是等比数列，即可得出通项公式．解：因为a 1=2，a n+1=3a n +2，变形为a n+1+1=3(a n +1)，所以数列{a n +1}是首项为a 1+1=3，公比为3的等比数列．所以a n +1=3×3n−1，即a n =3n −1．故选B ．10.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质与双曲线的定义，属基础题．由双曲线的方程分析可得a 的值，再结合双曲线的定义得P 点在双曲线上，将P 的坐标代入双曲线的标准方程可得b 的值，计算可得c 的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．解：双曲线C 的方程为x 29−y 2b 2=1，则a =3， 又由点P(5,1)满足|PF 1|−|PF 2|=6，则P 在双曲线上，则有259−1b 2=1，解可得：b =34，则c =√a 2+b 2=3√174， 故双曲线的离心率e =c a =√174； 故选B ．11.答案：C。
精品解析：云南省昆明市第一中学2019-2020学年高三第八次考前适应性训练数学(文)试题(解析版)
昆明第一中学2020届高中新课标高三第八次考前适应性训练文科数学注意事项：1.答题前，先将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 欧拉公式i e cos isin x x x =+(其中i 为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的，当πx =时，πi e 10+=，这是数学里最令人着迷的一个公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式，若将πi 3e 所表示的复数记为z ，则iz=( )A.12+ B.12 C.1i 2- D.1i 2+ 【答案】C 【解析】 【分析】根据欧拉公式可得πi 3ππe cosisin 33z ==+，进而可求出i z .【详解】依题意，πi 3ππ1e cosisin 332z ==+=，则11i i 2i 2z =+. 故选：C.【点睛】本题考查新定义，考查复数的除法运算，属于基础题.2. 已知集合{3,}A xx x =<∈N ，集合{}1,0,1,2B =-，则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {}1,2B. {}0,1,2C. {}1,1,2-D.1,0,1,2【答案】B 【解析】 【分析】易知图中阴影部分对应的集合为AB ，可求出集合A ，然后与集合B 取交集即可.【详解】由题意，{|||3,}{|33,}{0,1,2}A x x x x x x =<∈=-<<∈=N N ，{}1,0,1,2B =-， 易知图中阴影部分对应的集合为A B ，{}0,1,2A B =.故选：B.【点睛】本题考查集合的交集，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 3. 函数()e sin ||x f x x =⋅的大致图象是( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性，并利用特殊值法，可排除错误选项，得出答案.【详解】易知函数()e sin ||xf x x =⋅为非奇非偶函数，可排除B ，C 选项；当0x =时，()00=f ，可排除选项D. 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，考查学生的推理能力，属于基础题.4. 已知向量(2,3),(,4)a b x ==-，且a 与b 共线，则b 在a 方向上的投影为( )A.B.C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】由a 与b 共线，可求出x 的值，进而由b 在a 方向上的投影为a ba⋅，可求出答案. 【详解】由a 与b 共线，可得4230x -⨯-=，解得83x =-， 则85224333a b ⎛⎫⋅=⋅--⨯=- ⎪⎝⎭，223a =+所以b 在a方向上的投影为523cos ,13a b b a b a -⋅===.故选：D.【点睛】本题考查共线向量的性质，考查向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题.5. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如16313=+，在不超过16的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ） A.215B.221C.17D.328【答案】A 【解析】 【分析】不超过16的素数有：2,3,5,7,11,13，然后列出所有的基本事件和满足和为16的基本事件即可. 【详解】不超过16的素数有：2,3,5,7,11,13随机选取2个不同的数，基本事件有：()()()()()()()()2,3,2,5,2,7,2,11,2,13,3,5,3,7,3,11()()()()()()()3,13,5,7,5,11,5,13,7,11,7,13,11,13，共15个其中满足和等于16的事件有：()3,13和()5,11 所以概率为215故选：A【点睛】本题考查的是用列举法解决古典概型的概率问题，较简单.6. 已知点(A -在双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的渐近线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得b a =c e a ==【详解】双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>的渐近线方程为b y x a =±所以由点(A -在双曲线22221x y a b-=的渐近线上可得b a =所以2c e a === 故选：A【点睛】在椭圆中有c e a ==c e a ==7. ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin sin cos 2a A B b A a +=，则ba=( )A. 1B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化为边，并结合22sin cos 1A A +=，可将原式转化为sin 2sin B A =，由sin sin b B a A=，可求出答案.【详解】由正弦定理得22sin sin sin cos 2sin A B B A A +=，所以22sin (sin cos )2sin B A A A ⋅+=，即sin 2sin B A =，所以sin 2sin b B a A==. 故选：D .【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8. 执行如图所示的程序框图，若输出的5i =，则图中判断框内可填入的条件是( )A. 4?5S ≤B. 78S <？ C. 910s ≤？ D. 15?16S ≤【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，运行该程序，当7,48S i ==时，判断框成立，当15,516S i ==时，判断框不成立，结合选项可选出答案.【详解】由题意，运行该程序，输入1,0i S ==，判断框成立；则1,22S i ==，判断框成立；则2113,3242S i =+==，判断框成立；则3317,4482S i =+==，判断框成立； 则47115,58162S i =+==，判断框不成立，输出5i =. 结合选项，判断框内可填入的条件是910s ≤？. 故选：C.【点睛】本题考查程序框图，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.9. 已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都相等，则直线1AB 与平面1BC 所成角的正切值为（ ） A.2 B.15 C. 1 D.15【答案】B 【解析】 【分析】设2AB =，BC 的中点为D ，则AD ⊥平面11BCC B ，连结1B D ，则1AB D ∠是直线1AB 与平面1BC 所成角，然后算出答案即可.【详解】设2AB =，BC 的中点为D ，则AD ⊥平面11BCC B ，连结1B D 则1AB D ∠是直线1AB 与平面1BC 所成角 在直角三角形1ADB 中，11315tan 55AD AB D B D ∠=== 故选：B【点睛】本题考查的是线面角的求法，较简单. 10. 已知函数()sin()4f x x πω=-在(,)42ππ上单调递减，若0>ω，则ω的最大值是（ ）A.52B. 3C.72D. 4【答案】C 【解析】 【分析】因为0>ω，由已知可得24πππω-≤，所以4ω≤，然后建立不等式组4423242ωπππωπππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩求解即可.【详解】因为0>ω，由已知可得24πππω-≤，所以4ω≤ 所以,44424x πωππωππω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭所以4423242ωπππωπππ⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得732ω≤≤故选：C【点睛】本题考查的是正弦型函数的单调性，把x ωϕ+当成整体是常用方法.11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且[]0,1x ∈时，()2f x x =，则11()2f -=（ ） A.14B.12C.34D. 1【答案】A 【解析】 【分析】由条件得出()f x 是周期为2的函数即可.【详解】由条件可得()()()2f x x f f x =-=-，所以()f x 是周期为2的函数 所以111111()62224f f f ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：A【点睛】本题考查的是函数的奇偶性和周期性，较简单.12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，,B C 分别为椭圆的上、下顶点，直线2BF 与椭圆的另一个交点为D ，若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为( ) A.2425B.1425 C.1225D.725【答案】C 【解析】 【分析】由127cos 25F BF ∠=，可得2cos OBF ∠的值，即可求出b a 的值，设(),D m n ，可得22221m b a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得22BD CDn b n b b k k m m a -+⋅=⋅=-，进而由BD b k c=-，可求出CD k .【详解】由题意，22212cos 7o 251c s OB F F F B ∠==∠-，解得24cos 5OBF ∠=，因为222222BF OB OF b c a =+=+=，所以2cos b OBF a ∠=，故45b a =.设(),D m n ，则22221m n a b +=，即22221m b a n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则222222222216251BD CDm b b n b n b n b b k k m a m m m a --+-⋅=⋅===-=⎫⎪⎭-⎛- ⎝，因为24cos 5OBF ∠=，所以24tan 3OF B ∠=，所以43BD k =-， 故1625124253CDk ==--.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率及二倍角公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线()e ln x f x x =⋅在点()1,0处的切线方程为____. 【答案】()e 1y x =- 【解析】 【分析】对函数()f x 求导，可求出()1f '，又点()1,0在曲线()f x 上，结合导数的几何意义，可求出切线方程.【详解】由题意，1(1)e ln10f =⋅=，因为()e e ln x xf x x x '=+⋅，所以()11e 1e ln1e 1f '=+⋅=，故曲线()e ln xf x x =⋅在点()1,0处的切线方程为()e 1y x =-.故答案为：()e 1y x =-.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14. 若直线0kx y k -+=与不等式组1010220y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域有公共点，则实数k 的取值范围是_____________. 【答案】1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】画出不等式组表示的区域，然后直线0kx y k -+=过定点1,0，结合图形求解即可.【详解】不等式组1010220y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩表示的区域如图：直线0kx y k -+=过定点1,0根据图形可知：当直线0kx y k -+=过点41,33⎛⎫⎪⎝⎭时k 取得最小值17当直线0kx y k -+=过点0,1时k 取得最大值1 所以实数k 的取值范围是1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查的是一元二次不等式组表示的区域的画法，考查了直线过定点的问题，属于基础题. 15. 若(,)42ππθ∈，sin 29θ=，则cos θ=_____________. 【答案】13【解析】 【分析】由条件算出7cos 29θ=-，然后利用2cos22cos 1θθ=-求解即可. 【详解】因为(,)42ππθ∈，所以22(,)πθπ∈ 所以7cos 29θ==-所以27cos 22cos 19θθ=-=-，解得1cos 3θ=故答案为：13【点睛】本题考查的是三角函数的同角基本关系和倍角公式，较简单.16. 在三棱锥A BCD -中，AB AC =，DB DC =，4AB DB +=，AB BD ⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为______． 【解析】 【分析】先将三棱锥还原到长方体中，根据题意建立长方体的体对角线与AB 的函数关系式，求解体对角线的最小值，由此得出外接球的体积的最小值．【详解】如图所示，三棱锥A BCD -的外接圆即为长方体的外接圆，外接圆的直径为长方体的体对角线AD ，设AB AC x ==，那么4DB DC x ==-,AB BD ⊥,所以AD =．由题意，体积的最小值即为AD 最小，AD =2x =时，AD 的最小值为，．【点睛】根据题意把三棱锥还原到长方体是解决三棱锥外接球问题的常见解法，不同题目背景，还原方法不一样，但三棱锥的四个顶点一定是长方体的顶点．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17. 已知数列{}n a 满足()1*123(1)2422n n n n a a a a n -+++++=∈N . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）11()2n n a n -=⋅；（2）114(2)()2n n S n -=-+⋅【解析】 【分析】（1）由题意可得，()212311231(1)24(212)2422n n n n n na a a a n n a a a a -----+++⋅⋅++-⋅++++=，即可求出12n n a -的表达式，进而可求出n a 的表达式；（2）由11()2n n a n -=⋅，利用错位相减法，可求出{}n a 的前n 项和n S .【详解】（1）当1n =时，11a =， 当2n ≥时，可得21231(1)2422n n n na a a a ---+++⋅⋅⋅+=， 则()212311231(1)24(212)2422n n n n n na a a a n n a a a a -----+++⋅⋅++-⋅++++=，即12n n a n -=，故11()2n n a n -=⋅.因为11a =，满足11()2n n a n -=⋅，所以{}n a 的通项公式为11()2n n a n -=⋅.（2）由题意，012112311111()2()3()()2222n n n S a a a a n -=+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，则123111111()2()3()()22222nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯， 则01111111()()()()22222n nn n S S n --=++⋅⋅⋅+-⨯，即11()112()12212nn n S n -=-⨯-，所以114(2)()2n n S n -=-+⋅.【点睛】本题考查通项公式的求法，考查利用错位相减法求数列的前n 项和，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()y g 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式b y c x =⋅（b ，c 为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(,)97e e 内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选2件，求选中的2件均为优等品的概率； （2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程. 附：对于样本(),(1,2,,6)i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆnii i nii vv u u bvv ==--=-∑∑，ˆˆa u bv=-，e 2.7183≈. 【答案】（1）15，（2）0.5ˆyex = 【解析】 【分析】（1）由条件得出随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为,,a b c ，有3件为非优等品，记为,,d e f ，然后用列举法求解即可.（2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln y c b x =+，令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c =，然后用所给数据和公式计算即可.【详解】（1）由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间(,)97e e内，即()0.302,0.388yx∈ 则随机抽取的6件合格产品中，有3件为优等品，记为,,a b c ，有3件为非优等品，记为,,d e f 现从抽取的6件合格产品中再任选2件，基本事件为：()()()(),,,,,,,a b a c a d a e()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a f b c b d b e b f c d c e c f d e d f e f选中的两件均为优等品的事件为()()(),,,,,a b a c b c 所以所求概率为31155= （2）对b y c x =⋅两边取自然对数得ln ln y c b x =+ 令ln i i v x =，ln i i u y =，则u b v a =⋅+，且ln a c = 根据所给统计量及最小二乘估计公式有：1222175.324.618.360.271ˆ101.424.660.542ni ni i i i v u nvuvbnv ==-⨯÷==--=÷-=∑∑118.324.62ˆˆ16au bv ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-==，由ˆˆln a c =得ˆc e = 所以y 关于x 的回归方程为0.5ˆyex =【点睛】本题考查的是古典概型和线性回归的相关知识，属于基础题.19. 如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是等边三角形，1A 在底面ABC 上的射影为ABC 的重心G .（1）已知1AA AC =，证明：平面1ABC ⊥平面11A B C ； （2）若三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面所成角的正切值为3，2AG =，求点1B 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）证明见详解，（2）3217. 【解析】 【分析】（1）先证明11A C AC ⊥和1AB A C ⊥，然后得出1A C ⊥平面1ABC 即可（2）由条件算出13AG =，117A A C C ==，1123BC AC ==，17A B =，119BC =，然后利用111111B A B C B A BC V V --=求解即可.【详解】（1）连结CG 并延长交AB 于M由已知得1A G ⊥平面ABC ，且CM AB ⊥所以1A G AB ⊥，因为1CM A G G ⋂=，所以AB ⊥平面1A MC 所以1AB A C ⊥因为四边形11A ACC 是平行四边形，且1AA AC = 所以四边形11A ACC 是菱形，所以11A C AC ⊥ 因为1AB AC A ⋂=，所以1A C ⊥平面1ABC因为1AC ⊂平面11A B C ，所以平面1ABC ⊥平面11A B C （2）因为1A G ⊥平面ABC ，所以侧棱1A A 与底面所成的角为1A AG ∠即1tan 2A AG ∠=因为2AG =，所以1AG =11A A C C = 因为1A 在底面ABC 上的射影为ABC 的重心G ，所以等边三角形ABC 的边长11BC AC ==同理，在直角三角形1A GB 中，1A B =因为1A 在底面ABC 上的射影为ABC 的重心G ， 所以AG BC ⊥，且1A G BC ⊥因为1AG A G G ⋂=，所以BC ⊥平面1A AG 所以1BC A A ⊥，因为11//A A C C ，所以1BC C C ⊥所以在直角三角形1BCC 中，1BC =因为2221111A C A B BC +=，所以11A BC 为直角三角形设点1B 到平面11A BC 的距离为h ，由111111B A B C B A BC V V --=得1111111133A B C A BC S AG S h ⋅=⋅△△，所以可得7h =即点1B 到平面11A BC 的距离为7【点睛】求点到平面的距离常用等体积法.20. 已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，点E 为l 上一动点，过E 作直线1l l ⊥，2l 为EF 的中垂线，1l 与2l 交于点G ，设点G 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程；（2）若过F 的直线与Γ交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点P ，求FP 与AB 的比值. 【答案】（1）24x y =；（2）12【解析】 【分析】（1）易知GE GF =，即点G 到l 的距离等于点G 到点F 的距离，可知点G 的轨迹为抛物线，求出方程即可；（2）设线段AB 的垂直平分线与AB 交于点M ，分别过点,A B 作11,AA l BB l ⊥⊥，垂足为11,A B ，再过点A 作1AC BB ⊥，垂足为C ，易知PFM ∽ABC ，可得FP FM ABBC=，进而结合抛物线的定义，可求出FM BC的值，即可得到FP 与AB 的比值.【详解】（1）由题意可知GE GF =，即点G 到l 的距离等于点G 到点F 的距离， 所以点G 的轨迹是以l 为准线，F 为焦点的抛物线， 其方程为：24x y =. （2）设线段AB的垂直平分线与AB 交于点M ，分别过点,A B 作11,AA l BB l ⊥⊥，垂足为11,A B ，再过点A 作1AC BB ⊥，垂足为C ，因为,PFM ABC PMF ACB ∠=∠∠=∠， 所以PFM △∽ABC ，所以FP FM ABBC=，设AF m =，BF n =(不妨设n m >)，由抛物线定义得1AF AA m ==， 1BF BB n ==， 所以BC n m =-，而22m n n mFM AM AF m +-=-=-=， 所以122n mFP FM AB BC n m -===-.【点睛】本题考查抛物线方程的求法，考查抛物线定义及抛物线性质的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21. 已知函数()ln sin f x x x ax =+-. （1）若0a =，求()f x 的零点个数； （2）若1a ≥，证明：()0f x <. 【答案】（1）()f x 在0,上有且仅有一个零点，（2）证明见详解.【解析】 【分析】（1）当0a =时，()ln sin f x x x =+，()0,x ∈+∞，然后分01x <≤，1x π<≤，x π>三种情况讨论即可（2）当1a ≥时，,ax x ax x ≥-≤-，且sin 1x ≤，故()ln 1x f x x ≤+-，构造函数()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞，然后利用导数证明()0g x ≤即可.【详解】（1）当0a =时，()ln sin f x x x =+，()0,x ∈+∞ 若01x <≤，因为()1cos 0f x x x'=+>，所以()f x 在(]0,1上单调递增 又()1sin10f =>，且111sin 0f e e ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭结合零点存在定理可知()f x 在(]0,1上有且仅有一个零点 若1x π<≤，则ln 0x >且sin 0x ≥，所以()0f x > 若x π>，因为ln ln 1sin x x π>>≥-，所以()0f x > 综上：()f x 在0,上有且仅有一个零点（2）当1a ≥时，,ax x ax x ≥-≤-，且sin 1x ≤，故()ln 1x f x x ≤+- 构造函数()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞ 则()1xg x x-'=若01x <<，则0g x ，故()g x 在0,1上单调递增若1x >，则0g x，故()g x 在0,1上单调递减故()()max 10g x g ==，即()0g x ≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，当且仅当1x =时取得等号 当1x =时，sin 1x <，故()0f x <对任意()0,x ∈+∞恒成立【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的零点个数及利用导数证明不等式，属于较难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆1C 和圆2C 的极坐标方程分别是4cos ρθ=和2sin ρθ=. （1）求圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的直角坐标方程；（2）若射线OM ：θα=与圆1C 的交点为O 、P ，与圆2C 的交点为O 、Q ，求OP OQ ⋅的最大值. 【答案】（1）2y x =；（2）4 【解析】 【分析】（1）由直角坐标和极坐标的互化公式：222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得圆1C 和圆2C 的直角坐标方程，进而将两方程相减可得圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的直角坐标方程； （2）易知,P Q 两点在直角坐标系中在第一象限，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由,P Q 两点的极坐标分别为(4cos ,)P αα，(2sin ,)Q αα，可得4sin 2OP OQ α⋅=，进而求出最大值即可.【详解】（1）由题意，圆1C 的直角坐标方程为2240x y x +-=，圆2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=， 将两圆的直角坐标方程相减，可得圆1C 和圆2C 的公共弦所在直线的直角坐标方程为2y x =.（2）由题意知，,P Q 两点在直角坐标系中在第一象限，则π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又,P Q 两点的极坐标分别为(4cos ,)P αα，(2sin ,)Q αα，所以4cos ,2sin OP OQ αα==，从而4sin 24OP OQ α⋅=≤，当π4α=时等号成立，所以OP OQ ⋅的最大值为4. 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标方程间的转化，考查圆与圆的公共弦所在直线方程的求法，考查利用极径的含义求最值，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知,,a b c 分别是ABC 的三个内角,,A B C 的对边. （1）若,,a b c 成等比数列，证明：2222()a b c a b c ++>-+；（2）若2a b c +<，证明：c a c <【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用作差法，2222()2()a b c a b c ab bc ac ++--+=+-，结合a c b +>，2b ac =，可证明结论成立；（2）由2a b c +<，且0a >，可得220a ab ac +-<，进而可证明()22a c c ab -<-，从而a c -<.【详解】证明：（1）依题意可得，a c b +>，2b ac =，则22222()2()2()2()0a b c a b c ab bc ac ab bc b b a c b ++--+=+-=+-=+->，所以2222()a b c a b c ++>-+.（2）由2a b c +<，且0a >，可得220a ab ac +-<， 所以2222a ac c c ab -+<-，即()22a c c ab -<-，则a c -<a c <-<所以c a c <<+【点睛】本题考查不等式的证明，考查三角形的性质及等比中项的应用，考查学生推理能力，属于中档题.。