(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.4
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高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.2.2(二)
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题型探究
重点突破
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y＝(x2＋1)(x－1)； 解 ∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1， ∴y′＝(x3)′－(x2)′＋x′＝3x2－2x＋1. (2)y＝3x－lg x. 解 函数y＝3x－lg x是函数f(x)＝3x与函数g(x)＝lg x的差. 由导数公式表分别得出 f′(x)＝3xln 3，g′(x)＝xln110， 利用函数差的求导法则可得(3x－lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3xln 3－xln110.
f′xgx－fx·g′x gfxx′＝________[g__x__]2_______
(g(x)≠0)
两个函数的商的导数，等于分子的导 数乘上分母减去分子乘上分母的导数， 再除以分母的平方
答案
思考 若f(x)＝x2·sin x，则f′(x)＝(x2)′·(sin x)′＝2x·sin x是否正确？ 答案 不正确.f′(x)＝(x2)′·sin x＋x2·(sin x)′ ＝2x·sin x＋x2·cos x.
∴将②式和(1，－1)代入①式，得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0).
解得 x0＝1 或 x0＝－12. ∴P 点坐标为(1，－1)或(－12，78)， 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y－78＝－54(x＋12). 即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.
反思与感悟
解析答案
2′·x2－2·x2′ 3′·x3－3·x3′
＝
x4
＋
x6
＝－x43－x94.
解析答案
1－sin x (3)y＝1＋cos x；
解 y′＝11＋－csoins xx′
新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 导数及其应用 本章整合3
a=
.
解析:因为
y'=2ax−
1 ������
,
所以y'|x=1=2a-1.
因为曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,
所以其斜率为 0,故 2a-1=0,a= 12. 答案:12
专题1 专题2 专题3 专题4
知识建构
综合应用
真题放送
应用2已知函数f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,直线 m:y=kx+9,又f'(-1)=0.
1������.
因为当
x>1
时,g'(x)=
(������-1)(2������2+������+1) ������
>
0,
所以 g(x)在(1,+∞)内是增函数,
所以
g(x)>g(1)=
1 6
>
0,
所以当
x>1时,
1 2
������2
+
ln
x<
2 3
������3.
真题放送
知识建构
综合应用
专题1 专题2 专题3 专题4
所以f(x)max=f(0)=2.
真题放送
专题1 专题2 专题3 专题4
知识建构
(3)令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c, 则g'(x)=3x2-6x=3x(x-2). x∈(1,2)时,g'(x)<0;x∈(2,3)时,g'(x)>0, 要使g(x)=0在[1,3]上恰有两个相异实根,
本章整合
-1-
知识建构
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.1
又∵x>0，∴0<x< 33.
∴f(x)的单调递增区间为(
33，＋∞)，单调递减区间为(0，
3 3 ).
解析答案
(4) f(x)＝x3－3tx. 解 f′(x)＝3x2－3t. 令f′(x) ＞0，得3x2－3t＞0，即x2＞t， ∴当t≤0时，f′(x)＞0恒成立，函数的增区间是(－∞，＋∞)； 当 t>0 时，解 x2＞t 得 x＞ t或 x＜－ t；
导数
单调递_增__
f′(x) ≥0
单调递_减__
f′(x)≤0
常函数
f′(x)＝0
思考 在区间(a，b)内，函数f(x)单调递增是f′(x)>0的什么条件？ 答案 必要不充分条件.
答案
知识点二 利用导数求函数的单调区间 求可导函数单调区间的基本步骤： (1)确定定义域； (2)求导数f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
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题型探究
题型一 利用导数判断函数的单调性
例1 证明
证明：函数 f(x)＝sinx x在区间π2，π上单调递减.
f′(x)＝xcos
x－sin x2
x ，又
x∈π2，π，
则cos x<0，∴xcos x－sin x<0，
∴f′(x)<0，∴f(x)在π2，π上是减函数.
12345
解析答案
12345
2.f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是( D )
解析 由导函数的图象可知，当x<0时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数； 当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)为减函数； 当x>2时，f′(x)>0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.
(人教版)高中数学选修1-1课件：第3章 导数及其应用3.2
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(1) 区 分 公 式 的 结 构 特 征 ， 既 要 从 纵 的 方 面 (ln x)′ 与 (logax)′，(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′ 区分，找出差异，记忆公式．
1．会应用导数的定义推导四种常见函数 y＝c，y＝x，y＝x2， y＝1x的导数公式．
2．掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数． 3．掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 4．会用导数的运算法则解决一些函数的求导问题．
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
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合作探究 课堂互动
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基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝ln x
导函数
f′(x)＝_n_x_n_－_1__
f′(x)＝__c_o_s_x _
f′(x)＝_－__s_in_x_ f′(x)＝_a_x_ln_a__(a>0且a≠1)
数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
方法二：∵y＝xx＋－11＝x＋x＋1－1 2＝1－x＋2 1， ∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝2′x＋1x＋－122x＋1′＝x＋212.
数学 选修1-1
a－b＝0， b－2c＝0， c－1＝0，
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题型探究
重点突破
题型一 用料最省问题 例1 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与 甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A 相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂 的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在 岸边何处才能使水管费用最省？
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
优化问题 →用函数表示的数学问题
优化问题的答案 ← 用导数解决的数学问题
知识点三 解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值， 最小者为最小值； (4)依据实际问题的意义给出答案.
综上可知，为使全程运输成本y最小，
当 ab≤c 时，行驶速度 v＝
ab；当
a b>c
时，行驶速度
v＝c.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低 价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多 卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； 解 若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件. 由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)， 则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].
题型探究
重点突破
题型一 用料最省问题 例1 如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与 甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40千米的B处，乙厂到河岸的垂足D与A 相距50千米，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂 的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在 岸边何处才能使水管费用最省？
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
优化问题 →用函数表示的数学问题
优化问题的答案 ← 用导数解决的数学问题
知识点三 解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各变量之间的关系，根据实际问题建立数学模型， 写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大者为最大值， 最小者为最小值； (4)依据实际问题的意义给出答案.
综上可知，为使全程运输成本y最小，
当 ab≤c 时，行驶速度 v＝
ab；当
a b>c
时，行驶速度
v＝c.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 某产品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低 价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多 卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； 解 若商品降低x元，则一个星期多卖的商品为kx2件. 由已知条件，得k·22＝24，解得k＝6. 若记一个星期的商品销售利润为f(x)， 则有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].
2014年人教A版选修1-1课件 第三章小结(导数及其应用)
例2. 已知函数 f ( x ) a ln x b , 曲线 yf(x) 在点 x 1 x (1, f(1)) 处的切线方程为 x2y30. (1) 求 a, b 的值; (2) 证明: 当 x>0 且 x≠1 时, f(x)> ln x . x 1 分析: (1) 求曲线在点(1, f(1))处的切线方程, 与 x2y30 比较系数即可.
左负右正 左正右负
a b co
d
e
x
左负右正
y 8. 用导数求函数的极值 (1) 求导数 f(x). (2) 解导数不等式 f (x)≥0. (3) 确定极值点和极值: a o b x
如果函数连续, 在 f (x)≥0 的左端点处取 得极小值, 右端点处取得极大值.
9. 函数的最大值与最小值 如果函数在区间 [a, b] 上的图象是一条连 续不断的曲线, 那么它必有最大值和最小值.
3. 导数的意义 (1) 函数 yf(x) 在 x0 处的导数的几何意义是 函数过这点的切线的斜率. (2) 导数为正, 函数增; 导数为负, 函数减.
(3) 导数的绝对值大时, 函数增减变化快, 图 象陡峭; 导数绝对值小时, 函数增减变化慢, 图象 较平缓.
(4) 运动函数的导数是瞬时速度, 速度函数的 导数是加速度.
6. 导数与函数的单调性 在区间 (a, b) 内, 若 f(x)>0, 则 f (x) 在 这个区间内是增函数;
反之, 若 f(x)<0, 则 f(x) 在这个区域内
是减函数.
7. 导数与极值 极值点处的导数 等于0 . 极大值左边的导数 大于0 , 右边的导数 小于0 . 极小值左边的导数 小于0 , 右边的导数 大于0 . y 左正右负 左正右负
人教A版高中数学选修1-1 第三章 导数及其应用复习课说课教学课件 (共32张PPT)
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
2.6【畅所欲言------说反思】
出题者的意图想考我们求导知识，极值与零点概念、分 类讨论思想，数形结合思想等，所以我们平时要加强这 方面知识，同时它也反应出用导数知识解决函数问题的 基本题型与基本步骤，其它的可根据个人依不同角度总
结。你体会到了吗？比如：
2.3【各抒己见------说解法】(1)
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。
（1）求函数f(x)的单调区间与极值；
2.3【各抒己见------说解法】（2)
例1：已知函数f(x)=(x2 +ax+a)gex, (a R)。
(2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2), 若函数g(x)在
x [3， )有三个零点，求实数t的取值范围。
分类讨论是否重复或遗漏？ 定义域优先考虑了吗？ 隐含条件注意了吗？ 分类讨论后“综上所述”了吗？ 计算过程都正确吗？ 有谁可以把错解拿来辨析吗？ 有没有其他方法？
2.5【引申拓展------说变式】 例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
f(-a)
f(-3)
-2 -3 -a
f(-2)
a2 (3) 3 a 解得a ？ 至多两个零点，不合题意
f(-a)
f(-3)
-2 -a -3
f(-2)
2.3【各抒己见------说解法】（3）
2.4【精益求精------说检验】
例1：已知函数f(x)=(x2+ax+a)gex, (a R)。 （1）求函数f(x)的单调区间与极值； (2)设g(x)=f (x) t, (t R, a 2),若函数g(x)在
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.3.3
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解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
解析答案
3.函数 y＝x－sin x，x∈π2，π的最大值是( C )
A.π－1
B.π2－1
C.π
D.π＋1
解析 因为y′＝1－cos x， 当 x∈π2，π时，y′>0， 则函数在区间π2，π上为增函数， 所以y的最大值为ymax＝π－sin π＝π，故选C.
答案
知识点三 最值与极值的区别与联系 (1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言. (2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有). (3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点. (4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. 如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)， f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3) ＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值 y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值 为__－__7_1___. 解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1). 由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1. 又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27， f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20. 由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5， ∴f(x)min＝k－76＝－71.
4π 3
43π，2π
2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
单调递增↗
π3＋
高中数学(人教版选修1-1)配套课件：第3章 导数及其应用3.1.1~3.1.2
解析答案
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
题型二 物体运动的瞬时速度 例2 一辆汽车按规律s＝2t2＋3(时间的单位：s，位移的单位：m)做直线 运动，求这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度. 解 设在t＝2 s附近的时间增量为Δt， 则位移的增量Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2. 因为ΔΔst＝8＋2Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (8＋2Δt)＝8， 所以这辆汽车在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
，即 f′(x0)＝lim Δx→0
Δy Δx
＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
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重点突破
题型一 平均变化率
例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；
③0.1；④0.01. 解 ∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3. ①当 Δx＝2 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②当 Δx＝1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③当 Δx＝0.1 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④当 Δx＝0.01 时，ΔΔyx＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack？
超级记忆法-记忆方法
TIP1：在使用场景记忆法时，我们可以多使用自己熟悉的场景（如日常自己的 卧室、平时上课的教室等等），这样记忆起来更加轻松； TIP2：在场景中记忆时，可以适当采用一些顺序，比如上面例子中从上到下、 从左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
lim
新版高中数学人教A版选修1-1课件：第三章 导数及其应用 3.1.1-3.1.2
第三章 导数及其应用
-1-
3.1 变化率与导数
-2-
3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
D 典例透析 IANLI TOUXI
123
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【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
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123
1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
-1-
3.1 变化率与导数
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3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念
-3-
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1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))所在直线的斜率.
(6)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
������
=
������(������2)-������(������1 ������2-������1
)
.
2.函数的平均变化率和瞬时变化率的关系
f(x)-f(x0).
x-x0
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【做一做 3】 求函数 y= ������在������ = 1 处的导数.
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1.平均变化率
我们把式子 ������(������2)-������(������1) 称为函数������(������)从������1 到������2 的平均变化率.
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数学 选修1-1
第三章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x) 单调递增 极大值 42 单调递减
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(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方 法求解．此处主要是利用导数求函数最值．
(4)结合实际问题的实际意义，对结果进行验证评估，定性 定量分析，作出正确的判断，并确定其答案．
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3.4 生活中的优化问题举例
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1．通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤． 2．会利用导数解决某些实际问题．
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2012春，我国云南遭遇特大旱灾， 为确保农业生产用水，某市及时下拨资 金建水塔和泵房．已知水塔为圆柱体， 其上、下底的单位面积造价是侧面单位 面积造价的a倍．当其容积为常量时， 应如何设计水塔的尺寸能使总造价最 低？
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解析： 根据题意，设横截面的宽为 x，则高为 d2－x2，则 强度函数 f(x)＝kx(d2－x2)(k>0)，f′(x)＝k(d2－3x2)，令 f′(x)＝
0(0<x<d)，得 x1＝ 33d，x2＝－ 33d(舍去)．当 x∈0， 33d时，
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(2)S′＝4πr＋2πH－4πH·Rr ，
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令 S′＝0，得 r＝2HH－R R，0<r<R，
即 0<2HH－R R<R，
∴H>2R，即当 H>2R 时，r＝2HH－R R.
由于在(0，R)内只有一个使函数的导数为 0 的点，问题(2)
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(2)设该商场 2013 年销售该商品的月利润为 g(x)元，则 g(x) ＝(－3x2＋40x)(185－150－2x)＝6x3－185x2＋1 400x(x∈N＋，且 x≤12)，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令 g′(x)＝0，解得 x＝5 或 x＝1490(舍去)．当 1≤x<5 且 x∈N＋时，g′(x)>0；当 5<x≤12 且 x∈N＋时，g′(x)<0，所以当 x＝5 时，g(x)取得极大值，也即 最大值，所以 g(5)＝3 125.所以该商场 2013 年 5 月份的月利润最 大，为 3 125 元．
由需求 总―量―求→出
第x个月的需求量
再求出 ――→
月利润的函数关系式
利用导数 ――→
求最值
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解析： (1)当 x＝1 时，f(1)＝p(1)＝37；当 2≤x≤12 且 x∈ N＋时，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝12x(x＋1)(39－2x)－12(x－1)·x·(41－2x) ＝－3x2＋40x.经验证 x＝1 符合 f(x)＝－3x2＋40x，所以 f(x)＝－ 3x2＋40x(x∈N＋，且 x≤12)．
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最优化问题
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解决优化问题的基本思路
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解决优化问题的一般步骤 (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清问题和结论，找 出问题的主要关系． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建 立相应的数学模型，主要是函数模型：引入恰当的变量，把待 求最值的对象表示为该变量的函数．
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1．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝ 17x2.生产总成本y2(万元)也是x的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使 利润最大，应生产( )
A．9千台
B．8千台
C．6千台
D．3千台
解析： 利润函数y＝y1－y2＝18x2－2x3(x>0)，求导数得y′ ＝36x－6x2.令y′＝0得x＝6或x＝0(舍去)．
中表面积的最大值显然存在，故当 r＝2HH－R R时，表面积最大．
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(1)解决面积，容积的最值问题，要正确引 入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定 义域，利用导数求解函数的最值．
(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
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设圆柱体的底面半径为r，高为h，体积为 V，表面积为S，设△ABC中BC边上的高为H，如图所示．
则 V＝πr2h，S＝2πr2＋2πrh. H－H h＝Rr ，∴h＝H1－Rr ， ∴V＝πr2H1－Rr ＝πHr2－π·HRr3(0<r<R)， S＝2πr2＋2πrH1－Rr ＝2πr2－2π·HRr2＋2πHr(0<r<R)．
V′＝13π(400－3x2)，令 V′＝0， 解得 x1＝230 3，x2＝－230 3(舍去)．
Hale Waihona Puke 数学 选修1-1第三章 导数及其应用
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当
20 0<x< 3
3时，V′>0；
当230 3<x<20 时，V′<0，
∴当 x＝230 3时，V 取最大值．
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面积、容积的最值问题
在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体， 则圆柱体的半径r为多大时：
(1)圆柱体的体积最大？ (2)圆柱体的表面积最大？ [思路点拨] 由题意写出关于r的体积与表面积函数，用导 数法求函数的最值以及取最值时变量r的取值．
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利润最大问题是我们生活中最常遇到的问 题，根据利润(收益)＝销售额－成本，列出函数关系式，再利 用导数求函数的最大值．
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答案：
20 3 3 cm
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4．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正 比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而 其他与速度无关的费用是每小时96元．问此轮船以何种速度航 行时，能使行驶每千米的费用总和最小？
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[提示] 设容积为 V，圆柱体的底面半径为 x，则高为πVx2， 总造价 y＝2πx2·am＋2πx×πVx2·m＝2πmax2＋πVx，
通过求导，令 y′＝0，求得 x.
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第三章 导数及其应用
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1．横截面为矩形的横梁的强度同它的横截面高的平方与 宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，横 截面的宽与高应是多少？
令y′＝0，得x＝4，检验知x＝4时y最小．
答案： B
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3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体 积最大，则高为________．
解析： 设圆锥的高为 x cm，则底面半径为 202－x2cm， 其体积为 V＝13πx(202－x2)(0<x<20)，
答案： C
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