数学物理方法第十章球函数
球函数 数学物理方法
第十章球函数1000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z00)()(k kk z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别代入方程，合并同幂项将00)()(k kk z z c z w 法、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数（2)0()ln()()()()()0()()()(00,1002000012121b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k kks k kks 数解、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：002010001)()()()()()()()(k kk k kk z z q z q z z z q z z p z p z z z p0)()(k sk k z z c z w 设解的形式为：20)(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0)()()()(')()()('')(202020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0)()()(')()()('')(11020 z w z q z w z p z z z w z z)()()()()()()1)((00000000k sk kk kk k s k k k kk k sk kz z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0)1(00 q sp s s 是较小的根。
球函数
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
数学物理方法第十章球函数幻灯片
勒让德多项式的性质
奇偶性 Pl(-x) = (-1)l Pl(x)
零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
正交性
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
P k ( x ) P l ( x ) d 0 , x P k (c ) P l (o c ) s s d o i 0 n ,s ( k l )
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
勒让德多项式的应用
例题 4
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确 定球外空间的电势 u 。
P l(0) (1)(k2 (k 2)k! !1)!!,l2k
0,
l2k1
(2k)!246(2k) (2k1)!135(2k1) 0!!(1)!1
根本递推公式
( k 1 ) P k 1 ( x ) ( 2 k 1 ) x k ( x ) P k k 1 ( x P ) P k 1 '( x ) ( k 1 ) P k ( x ) x k '( x P ) k k ( x P ) x k '( x P ) P k 1 '( x ) ( x 2 1 ) P k '( x ) kk ( x x ) k P k 1 ( P x )
P l(x)2 1 ll!d dllx (x2 1 )l
P l(x)2 1i2 1 l ((z z 2 x1 )l) l1dz
湘潭大学数学物理方法课件之101轴对称球函数
(l 2)(l 3) (2 l 4)! 2 al 4 al 2 (1) (4)(2l 3) 2!2l (l 2)!(l 4)! (l 4)(l 5) (2l 6)! 3 al 6 al 4 (1) (6)(2l 5) 3!2l (l 3)!(l 6)!
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0 中 k l / 2 n 的那一项，所以
[ l / 2] k
n
(2n)! (2n)! n n (2n 1)!! P2 n (0) (1) n (1) (1) n 2 2 n !2 n ! [(2n)!!] (2n)!!
数学物理方法
将多项式乘以适当的系数，称为 l 阶勒让德多项式，记作 Pl ( x) 。由于 m 0 时 ( ) 常数，是轴对称的。轴对称 球函数 Y ( , ) 简化为 P l ( x) 。 下面具体写出勒让德多项式。通常约定，用适当的常数乘 以本征函数，使最高次幂项 xl 的系数
dl 1 ( x 2 1)l d l 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl 1 dx
1
l
一次一次分部积分共 l 次，即得
(1) N 2l 2 (l !)2
2 l
d ( x 1) 1 ( x 1) dx2l dx
1 2l 2 l 2 l
注意到 ( x2 1)l 是 2l 次多项式，它的 2l 阶导数也就是最
l/2 1 π 1 π 2 2 cos sin d d 1 π 0 π 0
数学物理方法
*（二）第二类勒让德函数 略。
（三）勒让德多项式的正交关系 作为施图姆－刘维尔本征值问题的正交关系的特例，不同 阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上正交。
球函数解析式方法
求函数解析式的几种方法山东 胡大波求()f x 解析式方法多，难度大．只有正确求出函数解析式才能进一步研究函数性质，因此本文介绍几种求()f x 解析式的方法，供同学们参考．1．配凑法例１ 已知2(1)2f x x -=+，求()f x ．解：22(1)2(1)2(1)3f x x x x -=+=-+-+，即2()23f x x x =++．2．换元法例2 若2(1)21f x x +=+，求()f x ．解：令1t x =+，则1x t =-，22()2(1)1243f t t t t ∴=-+=-+． 2()243f x x x ∴=-+．3．解方程组法若已知()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 是未知量外，还出现其他未知量（如()f x -，1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭等）．可以利用相互代换得到方程组，消去()f x -或1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得到()f x 的解析式．例３ 若2()()1f x f x x --=+，求()f x ．解： 2()()1f x f x x --=+，用x -去替换式中的x ， 得2()()1f x f x x --=-+，即有2()()12()()1f x f x x f x f x x --=+⎧⎨--=-+⎩，， 解方程组消去()f x -，得 ()13x f x =+． 4．待定系数法当题设给出函数特征，求函数的解析式时，可用此种方法，如函数为一次函数，可设()(0)f x ax b a =+≠，再利用恒等原理确定其系数．例4 设方程210x x -+=的两根为αβ，，试求满足()f αβ=，()f βα=，(1)1f = 的二次函数()f x 的解析式．解：由已知条件，可得1αβ+=，1αβ= ，显然αβ≠，即0αβ-≠．设二次函数2()(1)f x a x x bx c =-+++．αβ ，为方程210x x -+=的两根，210αα∴-+=且210ββ-+=．222()(1)()(1)(1)(111)1f a b c f a b c f a b c ααααβββββα⎧=-+++=⎪=-+++=⎨⎪=-+++=⎩，，， 可得1b c b c a b c αββα+=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，， 故111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，，22()(1)122f x x x x x x ∴=-+-+=-+．5．特值法此法适用于所给的关系式中，无论自变量在定义域内取何值，关系式均成立，通过取某些特殊值代入题设的等式中，有时能使问题具体化、简单化，顺利找出规律，求出解析式．例5 已知(0)1f =，()()(21)()f p q f p q p q p q -=--+∈R ，，求()f x ． 解法1：令0p =，得(0)(0)(1)f q f q q -=--+，即()1(1)f q q q -=--+．又令q x -=，代入上式，得2()1()(1)1f x x x x x =--+=++，2()1f x x x ∴=++．解法2：令p q =，得(0)()(1)f f p p p =-+，即2()1(1)1f p p p p p =++=++， 2()1f x x x ∴=++．。
球函数
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
3.3 特殊函数及其应用(球函数)
拉普拉斯积分． 式（3.3.2）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分． ）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分
1 π P(x) = ∫ (x +i 1− x2 cosϕ)l dϕ l π 0
【证明 取 C 为圆周，圆心在 证明】 为圆周， 证明 ．在 C 上有： ξ − x = 上有：
(3.3.3)
x2 −1
1 1 P(x) = l 2πi 2l
C为
(ξ 2 −1)l ∫ C (ξ − x)l+1 dx
（3.3.2） ）
点的任一闭合回路， z平面上围绕 z = x点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式． 勒让德多项式的施列夫利积分表示式
10
勒让德多项式的表示
♦ 级数表示
(2l − 2k )! Pl ( x ) = ∑ ( − 1) xl−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) ! k =0
k
[
l ] 2
1 dl ♦ 微分表示 P ( x ) = ( x 2 − 1) l l 2l l ! dxl
♦ 积分表示
8
1 1 (ξ 2 −1)l dx 代入（ 代入（3.3.2）得到 P(x) = ） l l ∫C l +1 2πi 2 (ξ − x) 1 2π P(x) = (x + 1− x2 cosϕ)l dϕ l 2π ∫0 1 π =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∫ (x +i 1− x2 cosϕ)l dϕ π 0
这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示． 这即为勒让德多项式的拉普拉斯积分表示． 勒让德多项式的拉普拉斯积分表示 从该积分还很容易看出
数学物理方法第十章
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
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根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
u|raf()
u0
(r2R')' l(l1)R0
(sin') ' l(l1)sin0 (0),()有界
xcos
r2R"2rR 'l(l1)R0
[(1x2)'] ' l(l1)0 (1)有界
RAlrl Blrl1
Pl (x)
f() l 0Rl(a)P l(co)s u l 0Rl(r)Pl(co)s
o2s
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 2 x件 l 0B 得 lal 1 ： P l(x)
根据B 完 k 2 k 2 备 1 a k 1 性 1 1A 2 P x k ： (x )d x
0 N k 2 r 2 k
1r n ( 1 ) n r n n 1 n 1
2r 2 k 2 k 1
Nk2
2 2k 1
勒让德多项式的完备性
完备性
如果函数 f (x) 满足适当的条件，则有
f(x) l0fl P l(x)
广义傅立叶系数为
1 f(x)P k(x)d x
fl l,kN k 2
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界 A 条 x l 0 件 ( l 1 得 )B la l ： 2P l(x)
根据完B1 备 1 2 性 a3A,： Bl10
勒让德多项式的应用
例题 5
半径为a的球面保持温度分布为 f = Acosθ，确定球外 空间的稳定温度分布 u 。
解：定解问题 uu|r为 a 0,： A rcoas
勒让德多项式
定义
斯 — 刘问 [ 1 (题 ( 1x )有 2) ']界 ' l(l1)0的本征函数
一般表示
级数表示
P l(x) 2 lk (! (1 l) k(k 2 ) l ( !l2 k 2 )k! )! xl 2 k
微分表示
积分表示
具体形式
Pl(x)21 ll!d dlx l (x21)l
1
0
模
1 1 P l ( x ) P l ( x ) d 0 x P l (c ) P l ( o c s ) s o d is n N l 2 2 l 2 1
正交性应用例题
1 P l(x ) d x 1P 0 (x ) P l(x ) d x l,0 N 0 2 2l,0
1
1
1 1 xl( P x ) d x 1 1P 1 (x ) P l(x ) d x l,1 N 1 2 2 3l,1
1 1 x 2 P l( x ) d x 1 1 ( 2 3 P 2 1 3 P 0 ) P ld 2 3 x l,2 N 2 2 1 3l,0 N 0 2
u(x,r)
1 1 02i2l
C((zz 2 x) 1 l) l1dr zl
21 i
dz Czx
(z21)lrl 02l(zx)l
1 2i
dz
1
C zx 1(z21)r
2(zx)
21 i
C
dz (zx)1 2(z21)r
奇点：
1 z r (1
12xrr2 )
12i 1 2i 1z
勒让德多项式模的计算
u(x,r) 0 P l(x)rl12 1 rx r2
1 1
0 P l(x )r l 0 P k (x )r k d x 1 11 2 d r x r x 2
0 0 r l k 1 1 P l( x ) P k ( x ) d x 2 1 r l1 n 2 r ( x r 2 )| 1 1 0 0 r l kl,k N k 2 1 r[l1 n r ) (ln 1 r ( )]
1
f2k (4k1) xP 2k(x)dx
0
例3：把函数 f(x)=(x-1)5 用勒让德多项式展开。
解 (x ： 1 )5
5
l 0fl P l(x )
fl 2l2 1 1 1(x1 )5P l(x)dx
例4：把函数 f(x)=x3 用勒让德多项式展开。
解 x 3 f 1 P 1 ： ( x ) f 3 P 3 ( x ) f 1 x f 3 1 2 ( 5 x 3 3 x )
勒让德多项式的应用
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b，内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电势为零，确定区域内电势u 。
解：定解问 u u |r题 a 0,ca为 or,s u： b |rb0
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
Pl(x)21 i
1 2l
((zz 2 x1 )l) l1dz
代数表达式
图象
勒让德多项式的代数表达式
P l(x ) 2 lk (! ( 1 l) k ( k 2 ) l (l! 2 k 2 )k ) !x ! l 2 k 2 1 ll!d d ll(x x 2 1 )l
P0(x)1
P1(x)xcos P2(x) 12(3x2 1) 14(3cos21) P3(x)12(5x33x)81(5cos33cos) P4(x) 81(35x4 30x2 3) 614(35cos420cos29)
Pk0(x)0
递推公式的证明
u(x,r) 0 P l(x)rl12 1 rx r2 u r(x,r) 0 P l(x)lrl 1(12 rx xr r2)3/2 ( x r ) 0 P l( x ) r l （ x ( 1 r 2 )r 1 ( 2 x r r 2 ) 3 / x r 2 2 ) ( 1 2 r x r 2 ) 0 P l( x ) lr l 1
勒让德多项式的应用
例题 4
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确 定球外空间的电势 u 。
解： 定解问 u 题 ru|r a0 为 ,rf： aAcos
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
0 x l r l P P l r l 1 0 l P l r l 1 2 ll r x l l P l P r l 1
x k P k 1 ( k 1 ) P k 1 2 k k x ( k 1 P ) P k 1 ( k 1 ) P k 1 ( 2 k 1 ) x k P k P k 1 0
定解问题有轴对相 称应 性的 ，半通解为
u l0(Alrl Blrl1)Pl(cos)
球外解要u求 (,)有界，半通解化为
u l0Blrl1Pl(cos)
由边界A 条 x 件 l 0B 得 lal ： 1P l(x)
根据完备 B1性 a2A,： Bl10
勒让德多项式的应用
例题 6
半径为a的半球球面上电势分布为 f = A，底面电势为 零，确定半球内空间的电势 u 。
数学物理方法
第十章 球函数
球函数
轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 一般问题和球函数 本章小结
轴对称问题和勒让德多项式
轴对称拉普拉斯方程的求解 勒让德多项式 勒让德多项式的母函数和递推公式 勒让德多项式的性质 勒让德多项式的应用
解轴 对 称 拉 普 拉 斯 方 程 的 求
解：
u0,ra,/2
定解问 u题 |/为 2u： |z00
u|raf(co)sf(z/a)A
问题有反演对称 z进 性行 ，奇 对延拓后 u0， ra
u|rasgn(co)sf(|cos |)Asgn(co)s
勒让德多项式的应用
例题 7
半径为 a 的半球球面上温度分布为 f = A，底面绝热， 确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
勒让德多项式的图象
勒 让 德 多 项 式 的 图 象
母函数和递推公式
母函数
– 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 )-1/2 – 推导 – 应用
递推公式
– 基本递推公式 – 证明 – 应用
母函数的推导
u(x,r) 0 Pl(x)rl
勒让德多项式的性质
奇偶性
Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理
L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
P k ( x ) P l ( x ) d 0 x , P k (c ) P l ( o c s ) s o d is n 0 ,( k l )
r |zz
1 12x rr2
母函数的应用
u(x,r)
0 P l(x)rl
1 12rx r2
u ( 1 ,ru ( 1 ,r ) 0 P l( 1 ) r l 1 1 r 0 ( 1 ) lr l P l( 1 ) ( 1 ) l
l0
Alrl
Pl (c
os )
由边界A 条 2 x件l 0 得 A lalP ： l(x)
根据完 A k2 2 k 备 a k1 1 1 性 A2 P x k ： (x )d x