数学物理方程第十章球函数
球函数 数学物理方法
第十章球函数1000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z00)()(k kk z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别代入方程，合并同幂项将00)()(k kk z z c z w 法、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数（2)0()ln()()()()()0()()()(00,1002000012121b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k kks k kks 数解、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：002010001)()()()()()()()(k kk k kk z z q z q z z z q z z p z p z z z p0)()(k sk k z z c z w 设解的形式为：20)(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0)()()()(')()()('')(202020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0)()()(')()()('')(11020 z w z q z w z p z z z w z z)()()()()()()1)((00000000k sk kk kk k s k k k kk k sk kz z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0)1(00 q sp s s 是较小的根。
球函数
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
数学物理方法第十章球函数幻灯片
勒让德多项式的性质
奇偶性 Pl(-x) = (-1)l Pl(x)
零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。
正交性
– 正交性公式 –模 – 正交性应用例题
完备性
– 完备性公式 – 广义傅立叶系数 – 完备性应用例题
勒让德多项式的正交性
正交性
1
P k ( x ) P l ( x ) d 0 , x P k (c ) P l (o c ) s s d o i 0 n ,s ( k l )
根据 完 0 l， 1 A A lb l备 a ll B B lb la 性 l l1 1 得 A A 1 l 1 b 3 B a a ： 2 l 3 1 ,B 1 0 b a 3 2 b a 3 3
勒让德多项式的应用
例题 4
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ，确 定球外空间的电势 u 。
P l(0) (1)(k2 (k 2)k! !1)!!,l2k
0,
l2k1
(2k)!246(2k) (2k1)!135(2k1) 0!!(1)!1
根本递推公式
( k 1 ) P k 1 ( x ) ( 2 k 1 ) x k ( x ) P k k 1 ( x P ) P k 1 '( x ) ( k 1 ) P k ( x ) x k '( x P ) k k ( x P ) x k '( x P ) P k 1 '( x ) ( x 2 1 ) P k '( x ) kk ( x x ) k P k 1 ( P x )
P l(x)2 1 ll!d dllx (x2 1 )l
P l(x)2 1i2 1 l ((z z 2 x1 )l) l1dz
球的方程与性质
球的方程与性质球是一种经典的几何体，具有很多独特的性质和方程。
在本文中，我们将探讨球的方程以及与之相关的性质。
通过理解这些概念，我们可以更好地应用它们解决实际问题。
1. 球的方程球可以用方程表示。
常见的球方程是标准方程和一般方程。
标准方程：如果我们知道球的中心坐标和半径，我们可以使用标准方程来表示球。
对于球心在原点的球来说，其标准方程为：x^2 + y^2 + z^2 = r^2其中 (x, y, z) 是球面上的任意一点，r 是球的半径。
一般方程：如果球心不在原点，我们可以使用一般方程来表示球。
一般方程形式为：(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2其中 (a, b, c) 是球心的坐标，r 是球的半径。
通过了解球的方程，我们可以更准确地描述球面上的各个点。
2. 球的性质球具有许多独特的性质，下面我们来讨论其中的一些。
2.1 球面积和体积球的面积和体积是球的重要特性。
球的表面积可以通过以下公式计算：S = 4πr^2其中 S 是球的表面积，r 是球的半径。
球的体积可以通过以下公式计算：V = (4/3)πr^3其中 V 是球的体积，r 是球的半径。
这些公式是计算球面积和体积的基本工具，对于解决与球有关的问题非常有用。
2.2 球与其他几何体的关系球与其他几何体之间存在一些特殊的关系。
球与平面的交点可以形成三种不同的情况：无交点、一个交点和两个交点。
这些交点的情况取决于球心与平面的位置关系。
球与直线的关系也有几种不同情况。
当直线与球没有交点时，我们称之为相离。
当直线与球相切于球面上一点时，我们称之为相切。
当直线与球相交于两个不同的点时，我们称之为相交。
通过研究球与其他几何体的关系，我们可以更好地理解球的性质及其在空间几何中的应用。
3. 实际应用球体在现实生活中有许多应用，下面我们来看几个例子。
3.1 球体的碰撞在物理学中，球体的碰撞是一个重要的研究领域。
例如，当一个球体在碰撞过程中改变速度和方向时，我们需要使用球体碰撞的物理原理来分析和计算。
Chap._10 球函数
d l 1 2 d d l -2 2 l l 1 dx l 1 ( x 1) dx dx l-2 ( x 1) dx
分部积分l次
( 1)l N l2 2 l 2 (l! ) 2 ( 1)l 2l 2 (l! ) 2
1
d l 1 2 d l 1 2 ( x 1)l l 1 ( x 1)l dx 1 dx l 1 dx
4
利用
(k 2)(k 1) ak ak 2 (k l )(k l 1)
k (k 1) ak 2 ak , (k l 2)(k l 1)
l (l 1) l (l 1) (2l )! al 2 al l 2 2(2l 1) ( 2)(2l 1) 2 (l! ) 1 (2l )! (2l 2)! 1 l ( 1) l , ( 2)(2l 1) 2 (l 1)!(l 2)!l 2 (l 1)!(l 2)!
2
2 i i( ) 2
x x 1e
将此代入积分表式
x x 1e
2
i
13
1 1 Pl ( x ) 2i 2l 1 2 1 2 1 2
2
x x 2 1ei 1
2
x 1
2 2 i
l
l 1
2 N l Pl ( x) dx , (l 0,1,2,) 1 2l 1
1 2
18
用
l 1 dl 2 x 1 Pl ( x ) l l 2 l! dx
1 2 N l 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2
球函数
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
球函数
arccos x,
x cos ,
8
d d dx d sin , d dx d dx
1 d d (sin ) sin d d 1 d d dx 2 ( sin ) sin dx dx d
1 d d 2 ( sin )( sin ) sin dx dx
13
方程的奇点：如果方程中的系数函数 p(z)和q(z)中至少有一
个在某点z0不解析，则点z0就叫作此方程的奇点。
如，Legendre方程
d2y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0, dx dx
在有限远处，x=－1、＋1为方程的奇点。 x=0为常点。
二、常点邻域上的级数解 首先，我们不加证明地介绍下面的定理。。
其应用。
1
第一节 勒让德(Legendre)方程的导出 在解球形域上的三维稳态问题时，常把Laplace方程写成
球坐标形式
1 2 u 1 u 1 2u u 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0. 2 r r r r sin r sin
根据Taylorห้องสมุดไป่ตู้数展开的唯一性，
ak 2
k (k 1) 2k l (l 1) k (k 1) l (l 1) ak ak . (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
ak 2 (k l )(k l 1) ak . (k 2)(k 1)
3
关于Y的偏微分方程，叫做球函数方程。
d 2 dR (r ) l (l 1) R 0, 对于径向方程 dr dr
d 2R dR 2 r 2r l (l 1) R 0, 2 dr dr
数学物理方法第十章
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
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f (x) fl Pl (x), l 0
fl
2l 1 1 2 1
f
(x)Pl (x)dx
f ( ) 展开为
f ( ) fl Pl (cos ), l0
系数为
fl
2l 1 20
f
( )Pl (cos )sind
例： 在 [1,1] ，中将 f (x) 2x3 3x 4 展开为广义傅立叶级数。
第十章 球函数
10.1 轴对称球函数
(1
x2
)
d 2 dx2
2x
d dx
l(l
1)
0
一、勒让德多项式
x 1 有限 l 0,1,2,
1.代数表示
ak 2
k(k 1) l(l 1) (k 2)(k 1)
(k l)(k (k 2)(k
l 1) 1)
ak
设最后一个不为零点系数有 k l
1)l
1
2i
1 2l l!
C
(z 2 1)l (z x)l1
dz
设半径为
x2 1
C 上 z x x2 1ei dz i x2 1ei d
1
2i
1 2l l!
(z 2 1)l C ( z x)l1
dz
1
2i
1 [(x
2l l! 0
(
x2 1ei )2 1]l i x2 1ei )l 1
Pl (x)
1 2l l!
dl dxl
(x2
1)l
证：
1 2l l!
(
x
2
1)l
1 2l l!
k
l 0
(1)k
l!
x 2(l k )
(l k)!k!
l
(1)k
k 0
2l
(l
1 k
x )!k!
2(l
k
)
1 d l
2l l ! dxl
(x 1)l
dl dxl
l
(1)k
k 0
2l
(l
1 k
)!k
x2(lk !
0
0
即
Pl (x) 1
二、 正交关系和模
1. 正交关系
(x) 1
1
Pk (x)Pl (x)dx 0
1
2. 模
1
Nl2 [Pl (x)]2 dx
1
(
21l l!)2
1
dx
1
dl dxl
(x2
1)l
d d l1 dx [ dxl1
(x2
1)l ]
( 21l l!)2{ddxll
(x2
1)l
f0
(
f1
3 f3 )x 2
f3
5 2
x3
f0
f1x
f3
1 (5x3 2
3x)
f0 4
f3
5 2
2
f3
4 5
f
(
x)
4P0
21 5
P1
4 5
P3
f1
3 f3 2
3
f1
3
6 5
21 5
例2 f (x) x
f (x)
1
dx( x2
1
1)l
d 2l dx2l
(x2
1)l
只有最高次幂才不为零，故
u ( x,
y, z)
p1z
4 0r 2
P1(cos )
再逐次进行分步积分，得
N
2 l
2 2l 1
即
Nl
2 2l 1
三、广义傅立叶级数
定义在区间 [1,1]的函数 f (x) 可以展开为广义傅立叶级数
展开系数为 或区间 [0, ] 的函数
[l / 2] ：小于、等于 l 的最大整数。
勒让德多项式： P0 (x) 1
[l / 2]
Pl (x) (1)k
k 0
(2l 2k)!
xl2k
k!2l (l k)!(l 2k)!
P1(x) x cos
P2
(x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3cos2
1)
P3
(x)
1 2
(5x3
3x)
1 8
u 0
1 (r 2 u ) 1 (sin u ) 1 2u 0
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin2 2
偏微分方程 常微分方程组 广义傅立叶级数
分离变量
本征值问题
特殊函数
勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
勒让德、埃米特、拉盖尔等多项式； 贝塞耳、虚宗量贝塞耳、球贝塞耳、 超几何，汇合超几何等函数。
解：
比较
Pl (x)
[l / 2]
(1)k (1)k
k 0
(2l 2k)! k!2l (l k)!(l 2k)!
xl2k
展开式最多含三阶勒让德多项式。
P0 (x) 1
P1(x) x
P2
(x)
1 2
(3x2
1)
P3
(x)
1 2
(5x3
3x)
f (x) 2x3 3x 4 f0P0 f1P1 f2P2 f3P3
则对 k l 2
al 2
l(l 1) 2(2l 1)
al
l(l 1) (2l)! 2(2l 1) 2l (l!)2
适当乘本征函 数以常数使得
al
(2l)! 2l (l !)2
(1)l
(2l 2)! 2l (l 1)!(l 2)!
al 2 k
(1)k
(2l 2k)! k!2l (l k)!(l 2k)!
x2 1ei d
1 x2 2x [
x2 1ei (x2 1)ei2 1]li
x2 1ei d
2i 0
2 x2 1ei
1 [ x2 2x x2 1ei (x2 1)ei2 1]ld
2 0
2 x2 1ei
1 [x x2 1 1 (ei ei )]ld
0
2
1 [x i 1 x2 cos ]l d
)
l k 0
(1)k
(2l
2k)(2l 2k 1)L 2l (l k)!k !
(l
2k
1) xl2k
l
(1)k
k 0
2l (l
(2l 2k)!
xl2k
k)!k!(l 2k!)
＃
3.积分表示（施列夫积分）
由科西公式 C 绕 z=x 点。
Pl (x)
1 dl 2l l! dxl
(x2
(5
cos3
3cos
)
P2k1(0) 0
总有 x 。
P2k (0)
(1)k
(2k )! k!22k k!
唯一不含 x 的项 l 2k
1
0.5
-1
-0.5
-0.5
Pl (x), (1 x 1)
0.5
1
-1
Pl (cos ), (0 )
1 0.5
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1
2. 微分表示（罗德里格斯公式）
[
d l1 dxl 1
(x2
1)l
]
1 1
1
dx
1
d l1 dxl 1
(x2
1)l
d dx
[
dl dxl
(x2
1)l ]}
第一项为零，即
Nl2
(
21l l!)2
(1)1
1 1
dx
d l1 dxl 1
(x2
1)l
d dx
[
dl dxl(x2 Nhomakorabea1)l ]
进行 l 次分步积分后
N
2 l
(
21l l!)2 (1)l
0
P1(1) 1
P1(1) (1)l
1
Pl (x)
0
[x i
1 x2 cos ]l d
x cos
一个公式
1
Pl (x)
0
[cos i sin cos ]l d
Pl (x)
1
cos i sin cos ld
0
1 [cos2 sin2 cos2 ]l /2d 0
1 [cos2 sin2 ]l /2d 1 d 1