第三章 格林函数法
电动力学课件：2-5-格林函数法
设点电荷Q = 1 坐标为 P(x, y, z)
观察点为 P(x, y, z)
R x
x2 y2 z2
R x
x2 y2 z2
R0 R（ R 相当于题中的 a ）
PP
r
x
x
R2 R2 2RRcos
（设它假在想O点P电 连荷线在上P， ，题它中的b对坐应标这为里的RR02R2
)
G ( x
,
x)
]
dS
S
n
n
V
G
(
x,
x)
2
(
x
)dV
1
0
G(x, x)(x)dV
V
G(Vx,
(
x
)
2
G(
x) 0
x,
x)dV
1
0
(x) (x x)dV
1
(x)
V
0
S
(x)
V G(x, x)(x)dV 0
(x) G(x, x)dS
S n
2．第二类边值问题解的格林函数方法
ds R
x)
G( x n
x)
ds
V0
2
a
RdR
0
2
d
0
R2
z2
R2
z
2RRcos(
)
3 2
V0z
2
a 0
RdR
2 0
d
(R2
1
z2)
1
R2
2RR c os (
R2 z2
) 32
在很远处，(R2+z2>>a2 )的电势可以展开成幂级数，
格林函数方法
格林函数方法
1、格林函数
格林函数（Green's function）是指由著名数学家.格林（Green）提出的数学方法，它是一种可以求解各种微分方程的技术。
格林函数的定义是对于任意给定的初值问题，在区间上的解的和等于给定的数值13。
其用法主要有两种：一种是用于求解某些有定型的初值问题；另一种是求解某些微分方程的积分解。
格林函数的结果可以用来解决复杂的初值问题和理解复杂的微分方程以及系统的时间变化。
2、格林函数的原理
格林函数可以用来解决一类有特定初值条件的常微分方程组。
它的原理是基于一种叫做拉普拉斯变换（Laplacetransform）的数学变换理论，它是一种将微分方程组变换成求积分方程组的方法，从而可以使原本困难的初值问题变得容易解决，其在解决物理学中不变解中特别有用。
3、格林函数的计算
对于特定的初值条件，可以使用格林函数计算出拉普拉斯变换得到的积分方程的结果，从而计算得到解析解。
计算过程比较复杂，需要用到积分变换和methods。
总之，格林函数是一种可以求解复杂常微分方程的有效数学方法，它基于拉普拉斯变换的原理，对于特定的初值问题，运用格林函数，可以计算出相应的解析解。
格林函数法
通过格林公式，把静电边值问题与相应的格林 函数问题联系起来。 一般的处理方法，在物理学领域有着非常广泛 的应用
3
本节主要内容： 1. 格林函数——对应于给定问题的单位点源
的电势解； 2. 格林函数与泊松方程的解之间的关系； 3. 几种简单边界问题的格林函数形式。
10/20/2014
§5 格林函数法
1
几种方法的比较
1. 镜像法只适用于比较简单（点电荷）问题； 2. 分离变量法是精确求解的方法：除了几个高对
称的边界问题以外，一些实际问题往往难以求 解； 3. 多极展开法只适用于求远处的场（最后一节）； 4. 格林函数方法
2
1
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格林函数方法： Green函数本身实际上是对应于给定问题所对
4
2
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几个基本公式：Ñ
1 r
=
-
r r3
,
高斯定理：
ò
E
×
dS
=
1 e0
i
Qi
空间一个单位点电荷的电场： E
=
4
1 e0
r r3
若点电荷处于闭合积分面内：
��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
拉普拉斯方程的格林函数法
以 M0为中心, 以充分小的正数 为半径做球面 ,
在 内挖去以 为球面的球 K 得到区域 K .
在区域
K
内直到边界上，v
1 r
可任意求导。
在第二格林公式
( u 2v
v 2 u)dV
(u
v n
v
u )dS
n
中, 取 u 为调和函数, 而令 v 1 , r
4) 平均值公式
设 u(M) 是 内的调和函数, M0 , Ka 表示以 M0 为中心，a 为半径且完全落在 内的球面, 则
u M0
1
4 a2
Ka
udS
uM0
1
4
u
M
n
1 rM 0 M
1 rM 0 M
u M
令
P x, y, z u v
x
Q x, y, z u v
y
R x, y, z u v
z
则 P,Q,RC C1 ,
P x
Q y
R z
dV
u v 2v
u v 2v
sin
u
1
r2 sx,y,z)在以原点为中心的同一球面的 值为常数。u 仅为半径 r 的函数:u=u(r)。
方程可化简为：
1 r2
r
r
2
u r
0
第三章格林函数法
r
r0
0
1
ln
R
1
2 r0 r2 r12 2rr1 cos 0
1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
1
ln
R
2 r2r02 R4 2R2rr0 cos 0
G
= G
1
ln
R
n r0 R r0 r0 R 2 r0 r 2r02 R4 2R2rr0 cos 0
2
r0
注意：这只是二维空间中圆形区域的格林函数表达式
例4 求解圆内拉普拉斯方程狄利克雷问题 2u 0 r R
u
rR
解：由例3，圆内泊松方程狄利克雷问题的格林函数为：
G= 1
2
ln
1 r r0
1
2
ln
R r0
1 r r1
= -1 ln
1
2 r2 r02 2rr0 cos 0
G
r;r0
f
r0
dS0
G0
4
1 r r0
G0
1
2
ln
1 r r0
c0
G1 0 G1 G0
例2 试求解球内的泊松方程的狄利克雷问题
P
3u 0 r R
u rR f ,
R
O r0
r
M0
M1
M
解：设 M0 r0 , M r 的球坐标为 r0,0,0 ,r,, r1 OM1
积分得到
任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
格林函数法 数学物理方程
格林函数法
若L 一个带平滑系数的线性微分算子，当求解形如()L u f =的微分方程时，若对于任意的向量y 都存在广义函数()G x,y ，使得
[]()()L G δ=x x,y x-y
（此处下标x 表示L 作用于()G x,y 时将其当做以x 为自变量的广义函数，而y 为参数） 若再令
()()()d u G f =⎰x x,y y y
将上式代入()L u f =则有
[]()()d ()()d ()()d ()L G f L G f f f δ⎡⎤===⎣⎦
⎰⎰⎰x x,y y y x,y y y x -y y y x 故此时()u x 是微分方程()L u f =的解。
采用上述方法求解微分方程的方法称为格林函数法，广义函数()G x,y 也称为格林函数。
数学物理方法知识体系
数学物理方法所要解决的问题：求解（偏）微分方程
本学期学过的求解方法：变量分离法、积分变换法、格林函数法
变量分离法涉及知识点：傅里叶级数、函数的正交系、贝塞尔函数（Chap.2~Chap.5） 积分变换法涉及知识点：傅里叶变换、拉普拉斯变换、广义函数（Chap.7~Chap.9） 格林函数法涉及知识点：格林函数（Chap.10）
例题数量统计。
《格林函数方法》课件
04
格林函数在工程问题中的应用
流体动力学问题
流体力学中的波动和散射问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的波动和散射问题， 例如声波在流体中的传播、波动在管道中的传播等。
流体动力学中的边界层问题
格林函数方法可以用于求解流体力学中的边界层问题，例如 流体在固体表面流动时的速度分布、温度分布等问题。
格林函数方法的优点
精确度高
格林函数方法基于严格的数学推导，能够精 确地描述物理系统的响应。
适用范围广
该方法不仅适用于线性系统，也适用于非线 性系统，具有较强的通用性。
易于实现
格林函数具有明确的物理意义，计算过程相 对简单，易于编程实现。
可扩展性强
通过引入更多的格林函数，可以处理更复杂 的物理问题。
弹性力学问题
总结词
格林函数在弹性力学问题中也有着重要的应用，它可以帮助我们求解弹性波的传播和散射问题。
详细描述
在弹性力学问题中，格林函数可以用于描述弹性波的传播和散射过程。通过求解格林函数，我们可以得到弹性波 在各种不同介质中的传播规律和散射特性，这对于地震探测、声波传播、振动控制等领域有着重要的应用价值。
格林函数方法的缺点
计算量大
对于大规模系统，需要计算的格林函数数量较多，计算量较大。
对初值敏感
某些情况下，初值的选择对计算结果影响较大，需要仔细选择。
对噪声敏感
在数据中存在噪声时，格林函数方法可能会受到影响，导致结果失真。
对边界条件敏感
边界条件的设定对格林函数的计算结果有较大影响，需要谨慎处理。
格林函数方法的未来发展前景
03
格林函数在物理问题中的应用
电磁场问题
总结词
格林函数在电磁场问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们求解电磁场中的散射 和辐射问题。
格林函数法
第五章 格林函数法一 拉普拉斯方程的对称解与格林公式 1 拉普拉斯方程的对称解定义：如果在n 维空间的一个区域内，函数),...,,(21n x x x u 具有二阶连续偏导数，且满足n 维拉普拉斯方程:+∂∂=∆212x u u (2)2nxu∂∂+=0则称),...,,(21n x x x u 是n 维调和函数。
常见的是二维02222=∂∂+∂∂=∆yux u u 和三维的调和函数0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zuy u x u u 。
二维拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂=∆yux u u 的通解为： 211ln C rC u +=如果取π211=C ，02=C 就得到一个重要的特解ru 1ln 21π=，由于该解与点0M 的选择有关，所以常记作：MM rM M u u 01ln 21),(0π==三维拉普拉斯方程：0222222=∂∂+∂∂+∂∂=∆zu y u x u u 的通解为：211C rC u +=如果取π411=C ，02=C 就得到一个重要的特解ru π41=，由于该解与0M 点的选择有关，所以常记作：MM rM M u u 041),(0π==2格林公式及其应用(1)高斯公式设Ω是以分片光滑闭曲面Γ为边界的有界区域，函数),,(z y x P ，),,(z y x Q ，),,(z y x R 在闭区域上Γ+Ω=Ω_连续，其一阶偏导数在Ω内连续，则：⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂ΩdV zR y Q x P )(= dS z n R y n Q x n P ⎰⎰++Γ)],cos(),cos(),cos([。
其中dV 是体积元素，dS 是Γ上面积元素，n 是Γ上外法向量。
(2)第一格林公式设),,(z y x u ，),,(z y x v 的一阶偏导数在_Ω上连续，二阶偏导在Ω内连续，令x v u P ∂∂=，y v u Q ∂∂=，zvu R ∂∂=代入高斯公式可得：⎰⎰⎰⋅+⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∆ΩΩΓgradudV gradv dS vuu udV v 。
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u r r
u r0
u
G n
G
u n
dS
GfdV
T
分析： 只须消掉公式中的 u 项即可得到结果。 n
相应的格林函数 G(r, r0 ) 是下列问题的解：
G
r
;
r0
场相同
格林函数具有对称性
对称性在电学上的意义：
r0
处单位点电荷在
r
处产生的电势等于
r
处单位点电荷在
r0 处产生的电势
根据格林公式， 令 v G(r, r0 ) 得到
(u (r )
G n
G
u (r ) ) n
dS
T
(u (r )G
Gu ( r ))dV
G n ]
0
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) (x x0 ) ( y y0 ) (z z0 )
格林函数具有十分 明确的物理意义：
位于 r0 处且电量为 0
的点电荷在接地的导体壳
内 r 处所产生的电势。由此可以
uv dS T (uv)dV T uvdV T u vdV
上式称为第一格林公式
uv
T
vu dV
u
v n
v
u n
dS
上式称为第二格林公式，简称格林公式
3. 泊松方程的基本积分公式
① 格林函数的引入 典型的泊松方程( 三维稳定分布）边值问题
积分得到
任意源在相同初 始和边界条件下 产生的场
格林函数 ：代表一个点源在一定的边界条件和初 始条件下所产生的场
§5.1 泊松方程的格林函数法
1. 边值问题的提法
① 第一边值问题（狄里希利问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
且在边界上取已知值。
u r f r
r0
G r0, r
n
dS0
G r0,r
T
f
r0
dV0
二维时
ur
l
r0
G r;r0
n0
dl0
S
G r;r0
f
r0
dS0
上式为第一边值问题解的积分表示式
§5.2 用电像法求格林函数法
1. 无界空间的格林函数 基本解
u r f r
u
u n
r
为了求解上面定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的
格林函数 G(r, r0 )
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：
G(r, r0 ) (r r0 )
[G
G(r,
r0 )
u(r0 n0
)]dS0
解的基本思想：通过上面解的形式，我们容易观察出引
用格林函数的目的：主要就是为了使一个非齐次方程与任意边 值问题所构成的定解问题转化为求解一个特定的边值问题， 一 般后者的解容易求得，再利用泊松方程的基本积分公式可求得 定解问题的解．
3.第一边值问题格林函数
进一步理解通常人们为什么称格
林函数为点源函数．
r
r0 q 0
o
② 格林函数的对称性
函数性质
Gr, r0 r r0
Gr;r0 Gr0,r
Gr,r0 Gr0,r
r0 处的点源在点r 处产生的场
r 处的点源在点 r0 处产生的场
u r f r
u
u n
r
上述定解问题，都是要求在区域内部求解，故又称为内问 题；若在区域外部求解，则称为外问题。
2. 格林公式
u x, y, z , v x, y, z在闭域T 上有连续一阶偏导数，
在 T 内有连续二阶偏导数，则有（ n 为外法线方向）
第三章 格林函数法
格林函数，又称为点源影响函数，是数学物理方程中的 一个重要概念，也是求解各类定解问题的另一种常用方法。
若已知点电荷(点
U 源)产生的场(边
界无限远,无初始 q
条件）
积分得到
任意带电体(任意
U = d U 源)产生的场(边
界无限远，无初 Q
始条件）
V
q
若能求出某一点 源在给定初始和 边界条件下产生 的场
T
vfdV
v
u n
u
v n
dS
即
u r0
u
G n
G
u n
dS
GfdV
T
由格林函数的对称性可得
u(r)
T G(r, r0 ) f (r0 )dV0
[u (r0
)
G(r, n 0
r0 )
为求解泊松方程 ① 求出对应的格林函数 ② 利用解的积分表达式
为 求 格
林
必须解一个特殊的泊松方程边值问题
函 数
对一般形状区域，要解决这个特殊的泊松方程边值问题也
十分困难，但由于满足的边值问题具有同一性，难度相对原问
题也有一定程度降低，特别是对泊松方程狄利克雷问题其格林
函数又有十分明确的物理图像，因此该做法仍具有重要而积极
r
r0
r , r0 T
G r; r0 0
u r0
r
G r; r0
n
dS
G r;r0
T
f
r
dV
二维时
u r0
l
r
G r;r0
n
dl
S
G r;r0
f
r
dS
由格林函数的对称性可得
ur
即为
[G
u n
u(r
)
G n
]
dS
T
(Gu(r
)
u(r)G)dV
T [G ( f (r)) u(r) (r r0 )]dV
根据 函数性质有：
T u(r) (r r0 )]dV u(r0 )
可得如下泊松方程的基本积分公式
u
r0
u
r
r
② 第二边值问题（诺伊曼问题） 求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程，
在边界上对外法线方向的导数取已知值。
u r f r
u r
nຫໍສະໝຸດ r
③ 第三边值问题（洛平问题）
求一函数，使之在区域内满足泊松方程或拉普拉斯方程， 在边界上其本身和对边界外法向导数的线性组合取已知值。