10. 球函数
球函数
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
−1
1
8
d d 2 dP 2 dP k {Pl [(1 − x ) ] − Pk [(1 − x ) l ]}dx ∫−1 dx dx dx dx
1
+[k (k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx = 0 l
方程(5)满足自然周期条件的解是
Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ
若取m = 0
Φ(ϕ ) = 常数
d 2R dR r + 2r − l (l + 1) R = 0 2 dr dr
2
(6)
1
d d 2 = ∫ [ (1 − x ) Pl ′Pk − (1 − x 2 ) Pl Pk′]dx −1 dx dx
1
= [(1 − x )( Pl′Pk − Pl Pk′ )]
2
1 −1
9
[ k ( k + 1) − l (l + 1)]∫ Pk Pdx l
−1
1
= [(1 − x )( Pl ′Pk − Pl Pk′)]
d 2Θ dΘ (1 − x 2 ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
dΘ d 2Θ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 dx dx
2
⎧(1 − x 2 ) y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0 ⎪ ——本征值问题 ⎨ ⎪当x = ±1时y ( x)有限 (自然边界条件 ) ⎩
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
u 。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
球体函数公式
探索球体函数的奥秘
球体函数是描述三维球体上每一点属性的函数，它在数学、物
理、计算机图形学等领域中广泛应用。
球体函数最常用的公式为：f(x, y,z)=r，其中r为常数，表示球体的半径。
不同的球体函数需要满足不同的性质，下面我们就来探索一下球体函数的奥秘。
首先，球体函数与球面坐标系有密切关系，经常被用于描述球面
上的点的坐标。
例如，我们可以通过球体函数f(x,y,z)=x^2+y^2 +z^2的值来确定球面上每一点的距离R。
又如，我们可以通过球体函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1的零点，来确定单位球面上的
点的坐标。
其次，球体函数在物理学中也有广泛的应用，例如在描述天体的
引力场、地球的地质构造等方面。
在计算机图形学中，球体函数可以
被用来生成三维模型。
我们可以通过球体函数f(x,y,z)=max(1-R^2, 0)来实现球体的形状变换，例如对球体进行挤压、拉伸等变形操作。
最后，掌握了球体函数的知识，我们可以通过计算机编程语言来
实现球体函数的绘制、变换、切割等操作。
我们可以通过OpenGL、Unity等开发工具，来实现球体函数的可视化效果。
唯有掌握了球体函数的奥秘，我们才能在各个领域都发挥出它的重要作用。
Chap._10 球函数
d l 1 2 d d l -2 2 l l 1 dx l 1 ( x 1) dx dx l-2 ( x 1) dx
分部积分l次
( 1)l N l2 2 l 2 (l! ) 2 ( 1)l 2l 2 (l! ) 2
1
d l 1 2 d l 1 2 ( x 1)l l 1 ( x 1)l dx 1 dx l 1 dx
4
利用
(k 2)(k 1) ak ak 2 (k l )(k l 1)
k (k 1) ak 2 ak , (k l 2)(k l 1)
l (l 1) l (l 1) (2l )! al 2 al l 2 2(2l 1) ( 2)(2l 1) 2 (l! ) 1 (2l )! (2l 2)! 1 l ( 1) l , ( 2)(2l 1) 2 (l 1)!(l 2)!l 2 (l 1)!(l 2)!
2
2 i i( ) 2
x x 1e
将此代入积分表式
x x 1e
2
i
13
1 1 Pl ( x ) 2i 2l 1 2 1 2 1 2
2
x x 2 1ei 1
2
x 1
2 2 i
l
l 1
2 N l Pl ( x) dx , (l 0,1,2,) 1 2l 1
1 2
18
用
l 1 dl 2 x 1 Pl ( x ) l l 2 l! dx
1 2 N l 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2 1 2l 2 (l! ) 2
sphere函数
sphere函数
Spherical函数（也被称为球函数）是一种常见的最小化函数，用
于优化和最小化在多元函数中的结果，以获得最佳结果。
spherical函
数大致是指空间的函数，因为它可以描述在坐标系平面中的点和物体。
该函数的形式为 f（x）=Σi（xi2），其中x是n维空间中的向量，
可以以多种方式来表示它，例如，笛卡尔坐标、极坐标或投影坐标。
例如，当x表示三维空间中的三维向量时，Sphere函数可以写作：f （x）=x12 + x22 + x32。
Sphere函数用于优化和最小化，这意味着它用于在极小值函数中
找到最优结果。
它可以用于找到函数极小值、最大值和其他极值，都
可以应用于微分函数。
sphere函数的优点是它的快速计算可以节省时间，而且它不需要
大量的特定的计算步骤，所以它也可以用于机器学习算法和其他相关
方法。
另外，sphere函数还可以在具有较高维度的数据集上应用，因
为它不受维度的限制，只要有足够的数据，它就可以正常工作。
在实际使用中，sphere函数可以用于很多地方，包括最小二乘法、旋转和矩阵计算和线性回归等。
它也可以用于物体识别、对象跟踪和
人脸检测等。
同时，它也能够有效地处理异常值，以及大数据集的处理，因为它可以处理大量数据而不会受到维度的限制。
总之，sphere函数是一个非常有用的函数，可以用于各种机器学
习算法、数学函数优化和计算机视觉处理等，并且由于它的快速计算
和弹性，还可以用于大数据集的处理。
球函数
2k + 1 Ak = 2a k
∫
+1
−1
半径为r 的半球， 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为u0 cos θ ， 底面绝热， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。
∆ u = 0, r < a , θ < π / 2 定 解 问 题 为 ： u | r = r0 = u 0 cos θ u |θ = π = 0 2
24
∞
∞
右边按球函数展开： 右边按球函数展开：
1 u0 sin 2 θ cos ϕ sin ϕ = u0 (3sin 2 θ ) sin 2ϕ 6 1 = u0 P22 (cos θ ) sin 2ϕ 6
比较系数得: 比较系数得
1 r0 B = u0 6 其它系数为零
2 2 2
方程的解为： 方程的解为：
∑
∞ l =0
( Al r l + B l r − l −1 ) Pl (cos θ )
球内解要求 u ( 0 , θ ) 有界，半通解化为 u=
∑
∞ l =0
Al r l Pl (cos θ )
2
由边界条件得： = x
根据完备性：
∑
∞ l=0
Al a l Pl ( x )
Ax 2 Pk ( x ) dx =
2
∑
k=0
( − 1) k ( 2 l − 2 k ) ! x l−2k 2 l k !( l − k ) !( l − 2 k ) !
♦ 微分表示
d Pl ( x ) = l 2 l ! dx
1
l l
( x 2 − 1) l
展开
l 1 1 l! 2 l ( x − 1) = l ∑ ( x 2 ) ( l − k ) ( − 1) k 2l l! 2 l ! k =0 (l − k ) ! k !
球函数
arccos x,
x cos ,
8
d d dx d sin , d dx d dx
1 d d (sin ) sin d d 1 d d dx 2 ( sin ) sin dx dx d
1 d d 2 ( sin )( sin ) sin dx dx
13
方程的奇点：如果方程中的系数函数 p(z)和q(z)中至少有一
个在某点z0不解析，则点z0就叫作此方程的奇点。
如，Legendre方程
d2y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0, dx dx
在有限远处，x=－1、＋1为方程的奇点。 x=0为常点。
二、常点邻域上的级数解 首先，我们不加证明地介绍下面的定理。。
其应用。
1
第一节 勒让德(Legendre)方程的导出 在解球形域上的三维稳态问题时，常把Laplace方程写成
球坐标形式
1 2 u 1 u 1 2u u 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 0. 2 r r r r sin r sin
根据Taylorห้องสมุดไป่ตู้数展开的唯一性，
ak 2
k (k 1) 2k l (l 1) k (k 1) l (l 1) ak ak . (k 2)(k 1) (k 2)(k 1)
ak 2 (k l )(k l 1) ak . (k 2)(k 1)
3
关于Y的偏微分方程，叫做球函数方程。
d 2 dR (r ) l (l 1) R 0, 对于径向方程 dr dr
d 2R dR 2 r 2r l (l 1) R 0, 2 dr dr
数学物理方法第十章
m 0,1, 2, l l 0,1, 2,
轴对称球函数
1 sin l l 1 0 sin
d 2 d (1 x ) 2 2 x l ( l 1) 0 dx dx
k
[l / 2：小于、等于 ]
P0 ( x ) 1 P 1 ( x ) x cos
2 1 (3 cos 2 1) P2 ( x ) 1 ( 3 x 1 ) 2 4 3 1 (5 cos 3 3 cos ) P3 ( x ) 1 ( 5 x 3 x ) 2 8 1 ( 35 x 4 30 x 2 3) P4 ( x ) 8 1 64
勒让德多项式的完备性：任意一个在区间 [-1,1]中分段连续的函数f(x)，在 平均收敛意义下，可展开为级数
f ( x ) f l Pl ( x ),
2
l 0
lim 平均收敛： N
1
1
f ( x ) f l Pl ( x ) dx 0
l 0
N
15
正交性
al 4
(l 2)(l 3) (l 2)(l 3) (2l 2)! (2l 4)! 2 al 2 (1)2 ( ) 1 4(2l 3) 2 2!(2l 3) 2l (l 1)!(l 2)! 2! 2l (l 2)!(l 4)!
3
问题的引出
u 0
偏微分方程 分离变量
1 2 u 1 u 1 2 u 0 (r ) 2 (sin ) 2 2 2 2 r r sin r sin r r
常微分方程组 本征值问题 广义傅立叶级数 勒让德多项式 贝塞耳函数 （特殊函数）
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• 由于Pℓ(x)是ℓ次多项式，因此最多只能求ℓ次导 数，故ℓ≥m，即m=0,1,2,…, ℓ.
• 一些低阶连带勒让德函数：
1. P11(x)=(1-x2)1/2=sinθ, 2. P21(x)=(1-x2)1/2(3x)=3/2sin2θ, 3. P22(x)=3(1-x2) =3sin2θ=3/2(1-cos2θ),…
∫+1
−1 Pk (x)Pl (x)dx = 0,
(k ≠ l)
∫π 0
Pk (cosθ )Pl (cosθ ) sinθdθ
=
0.
带权的正交
(k ≠ l)
• （三）勒让德多项式的模：
∫ Nl2 =
+1
[
−1
Pl
(x)]2 dx
=
2. 2l +1
• 利用罗德里格斯公式，并采用分部积分的办法可 以证明上式成立。p280
π
2π 0
f (θ ,ϕ) sin mϕdϕ
⎧
∑ ⎪⎪ Am
⎨
∑ ⎪⎪⎩Bm
(θ (θ
) )
= =
∞
l=m ∞
l=m
Alm Blm
Pl Pl
m m
(cosθ (cosθ
) . )
∞∞
∑ ∑ f (θ ,ϕ) =
[ Alm cos mϕ + Blm sin mϕ]Plm (cosθ ).
m=0 l=m
• 解：以球坐标的极轴为对称轴，解应当具有如下
∑ 形式：
u(r,θ )
=
∞ l=0
( Al r l
+
Bl r l+1
)
Pl
(cosθ
),
⇓ (Bl = 0)
∞
∑ u(r,θ ) = Alrl Pl (cosθ ). l=0
• 由于球心处的值应当有限，故上式的第二项需舍 弃。
• 需要根据边界条件来确定系数Aℓ的值，有
• （二）正交关系（对所有的m和ℓ ）
∫∫ ∫ ∫ Ylm (θ ,ϕ)[Ykn (θ ,ϕ)]* sinθdθdϕ =
π 0
Pl m
(cosθ
) Pkn
(cosθ
)
sin
θdθ
2π eimϕ e−inϕ dϕ
0
= (Nlm )2δ klδ mn.
(
N
m l
)2
=
4π (l+ | m |)! .
(2l +1)(l− | m |)!
这个方程可以直接用级数解法进行求解。
• 还可以有更为简洁的办法，因为上述方程就是对勒让德方 程(1-x2)yP’’-2xP’+ ℓ(ℓ+1)P=0逐项求导m次得到的方程， 即： (1-x2) P[m]’’-2(m+1)x P[m]’+[ℓ(ℓ+1)-m(m+1)] P[m]=0.
• 因此其解就是y(x)=Pℓ[m](x). 对应的本征值ℓ(ℓ+1)完全一样。 • 于是连带勒让德方程的解为 Pℓm(x)=(1-x2)m/2Pℓ[m](x).
• 例2. 以勒让德多项式为基，在[-1,1]上把f(x)=|x|展 开为广义傅里叶级数。p282
∑ |
x
|=
1 2
P0
(x)
+
∞ n=1
(−1)n+1
(4n +1)(2n −1)!! (2n −1)(2n + 2)!!P2n
( x).
• （五）拉普拉斯方程的轴对称定解问题
• 例3. 在球r=r0的内部求解Δu=0使满足边界条件 u|r=r0=cos2θ. p284
第十章 球函数
• §10.1 轴对称球函数 • §10.2 连带勒让德函数 • §10.3 球谐函数
• 球函数方程：
1
sin θ
∂
∂θ
⎜⎛ sin θ
⎝
∂Y
∂θ
⎟⎞ + ⎠
1
sin2 θ
∂ 2Y
∂ϕ 2
+ l(l
+ 1)Y
= 0.
• 其解Y(θφ)称作球（谐）函数。进一步分离变量： Y(θφ)=(Acosmφ+Bsinmφ)Θ(θ)， Θ(θ)满足 连带勒让德方程：(x=cosθ)
dz,
• 其中C为z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。
• （二）连带勒让德函数的正交关系（m相同！）
∫ P +1 m −1 l
( x) Pkm
(
x)dx
=
(
N
m l
)2δ
kl
,
∫π 0
Plm (cosθ )Pkm (cosθ ) sinθdθ
=
(
N
m l
)
2
δ
kl
.
(Nlm )2 =
2(l + m)! . (2l +1)(l − m)!
∞
∑ f (θ ) = fl Plm (cosθ ), l=0
∫ fl
=
2l +1 (l − m)! 2 (l + m)!
π 0
f (θ )Plm (cosθ ) sinθdθ.
• *（四）连带勒让德函数的递推公式：p307
– 对勒让德函数的递推关系球m次导数！
§10.3 球谐函数
• （一） ℓ阶球谐函数
+ Bl / rl+1)Pl (cosθ ).
θr M φ
⇒ Bl = 0.
• 为了求系数Aℓ，可以直接令θ=0，有
勒让德多项 式的母函数
∑ 1
1− r
=
∞ l =0
Al r l
== 1+ r
+ r2
+L+ rl
+L
→ Al = 1. (l = 0,1,2,L)
⇓
∑ 1
1− 2r cosθ + r 2
• 解题说明：由于勒让德多项式是定义在整个球形区域，故 需要对本问题进行偶延拓，即把边界条件补充定义成x的 偶函数。
• *例5. 匀强静电场中的介质球。（课堂练习） p287
• （六）母函数
4πε0
• 球内M点的静电势为：
d
∑ 1 =
d
1
1− 2r cosθ + r 2
≡
∞
( Al r l
l =0
• （四）广义傅里叶级数
• 根据施图姆-刘维尔本征值问题的性质，勒让德多 项式Pℓ(x)是完备的，因此可以作为广义傅里叶级 数的基，把定义在区间[-1,1]上的函数展开：
∞
∑ f (x) = fl Pl (x), l=0
∫ fl
=
2l +1 2
+1
−1 f (x)Pl (x)dx,
或
∞
∑ f (θ ) = fl Pl (cosθ ), l=0
• （三）球面上的函数的广义傅里叶级数 • 以（1）为基展开函数f(θ,φ)，分两步进行：
∞
f (θ ,ϕ) = ∑[ Am (θ ) cos mϕ + Bm (θ ) sin mϕ]. m=0
∫ ⎧
⎪⎪ ⎨
Am
(θ
)
=
1
πδ m
2π f (θ ,ϕ) cos mϕdϕ
0
.
∫ ⎪⎪⎩Bm
(θ
)
=
1
=
∞
rl Pl (cosθ ).
l=0
(r < 1)
• 为什么叫母函数？
• *例6. 在点电荷4πε0q的电场中放置半径为a的接地导体 球，球心距点电荷为r1 (r1>a)，求解这个静电场。p291
• （七）勒让德多项式的递推公式
(k +1)Pk+1(x) − (2k +1)xPk (x) + kPk−1(x) = 0,
xl−2k . 2k )!
• [ℓ/2]表示不超过ℓ/2的最大整数。
• 前几个勒让德多项式的曲线见p276:
P0 (x) = 1
P1(x) = x = cosθ
P2 (x)
=
1 2
(3x 2
−1)
=
1 4
(3 cos
2θ
+ 1)
P3
(x)
=
1 2
(5x3
−
3x)
=
1 8
(5cos 3θ
+
3 cos θ
(1
−
x
2
)
d 2Θ dx 2
−
2x
dΘ dx
+
[l(l
+
1)
−
1
m2 − x2
]Θ
=
0.
§10.1 轴对称球函数
• （一）勒让德多项式：
m=0，则Φ(φ)=常数，拉普拉斯方程的角向部分简化为
勒让德方程：
(1− x2 ) d 2Θ − 2x dΘ + l(l +1)Θ = 0.
dx 2
dx
• 其中x=cosθ.
• B. 微分表示：罗德里格斯公式
Plm (x)
=
(1
−
x2
)−
m 2
2l l!
d l+m dx l + m
(x2 −1)l
=
(−1)m
(l (l
+ −
m)! m)!
Pl−m
( x).
• *C. 积分表示：施列夫利积分
∫ Plm (x) =
(1
−
x
2