2章 轴向拉(压)杆的强度计算
合集下载
材料力学课件第二章 轴向拉伸和压缩
2.3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
解： 量得a点的应力、应变分别 为230MPa、0.003
E=σa/εa=76.7GPa 比例极限σp=σa=230MPa 当应力增加到σ＝350MPa时，对应b点，量得正应变值
ε = 0. 0075 过ｂ点作直线段的平行线交于ε坐标轴，量得 此时的塑性应变和弹性应变
εp=0. 0030 εe= 0 . 0075-0.003=0.0045
内力：变形固体在受到外力作用 时，变形固体内部各相邻部分之 间的相互作用力的改变量。
①②③ 切加求 一内平 刀力衡
应力:是内力分布集度，即 单位面积上的内力
p＝dF/dA
F
F
FX = 0
金属材料拉伸时的力学性能
低碳钢(C≤0.3%)
Ⅰ 弹性阶段σe σP=Eε
Ⅱ 屈服阶段 屈服强度σs 、（σ0.2）
FN FN<0
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（1）外载荷不能沿其作用线移动。
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（2）截面不能切在外载荷作用点处，要离开或 稍微离开作用点。
1
2
11
22
f 30 f 20
60kN
Ⅲ 强化阶段 抗压强度 （强度极限）σb
Ⅳ 局部颈缩阶段
例1
一根材料为Q235钢的拉伸试样，其直径d＝10mm，工作段 长度l＝100mm。当试验机上荷载读数达到F＝10kN 时，量 得工作段的伸长为Δ l＝0.0607mm ，直径的缩小为 Δd=0.0017mm 。试求此时试样横截面上的正应力σ，并求出 材料的弹性模量Ｅ。已知Q235钢的比例极限为σ p ＝200MPa。
轴向拉(压)杆的强度计算
② 求杆件横截面上的应力。
BC
FNBC ABC
23.094 103
500
46.2 MPa
( 压应力 )
BD
FNBD ABD
11.547 103
200
57.7 MPa
( 拉应力 )
图6-4
1.2 斜截面上的应力
铸铁压缩的实验表明，破坏有时也可能是沿斜截面发生的。要更全方位地研 究拉(压)杆的强度，就需要进一步讨论斜截面上的应力。
面的剪应力 τα 。由图6-5d 可得
p cos cos2
(6-2)
p
sin
cos
sin
1 2
sin
2
(6-3)
式 (6-2) 和式(6-3) 表明轴向拉 (压) 杆斜截面上任一点既有正应力 σα ，又有 剪应力 τα ，并且它们都随斜截面方位角α 的变化而变化。
计算时要注意 α 、σα 和 τα 的符号，规定如下 (见图6-6 )：
图6-2
根据平面假设可断定拉杆所有纵向纤维的伸长相等。又因材料是均匀的，各 纵向纤维性质相同，因而其受力也就一样。所以，杆件横截面上的内力均匀分布， 即在横截面上各点的正应力相等，亦即 σ 等于常量 (见图6-2b)。由 FN = σA 得
FN A
(6-1)
式 (6-1) 就是拉 (压) 杆横截面上正应力σ 的计算公式。正应力符号与轴力FN 的符号规定相同，即拉应力为正，压应力为负。由于拉 (压) 杆横截面上各点的正
120o
2
sin
2
100 sin 2
2 120o
43.3 MPa
在本例中发现，α = 30o 和 α = 120o 两 个正交截面上的剪应力数值相等而符号相反， 此结果具有一般性，称为剪应力互等定理， 即在受力构件内互相垂直的任意两截面上， 剪应力大小相等而符号相反，其方向同时指 向或同时离开两截面的交线。
学习任务3：轴向拉压杆强度计算
10MPa 。请根据强度条
件设计AB杆直径d与BC杆边长a。
A
B
30° 2
1 45° C
P 38.61kN
P
支架①杆的许用正应力为1 100 MPa ，
②杆的许用正应力为 2 160 MPa ，两
杆的面积均为A=200mm2。求许用荷载。
已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力
我们加油！
2.5 轴向拉(压) 杆 的强度计算
材料的力学性能指标
1.弹性指标：弹性模量E、泊松比μ
2.塑性指标： 断后伸长率δ 断面收缩率ψ
l1 l 100 %
l
A A1 100 %
A
工程上一般将δ＞5％的材料称为塑性材科，
将δ＜5％的材料称为脆性材料。 3.强度指标
屈服极限σs : 塑性材料的极限应力 强度极限σb ：脆性材料的极限应力
N
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
④强度校核与结论： max 131 MPa 170 MPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此杆满足强度要求，是安全的。
简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为
使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为[]。
L
分析：
x
A
B
V ABDLBD;
[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
B
钢拉杆
8.5m
解：① 整体平衡求支反力
q
q
C
HAA
钢拉杆
RA
RB
8.5m
件设计AB杆直径d与BC杆边长a。
A
B
30° 2
1 45° C
P 38.61kN
P
支架①杆的许用正应力为1 100 MPa ，
②杆的许用正应力为 2 160 MPa ，两
杆的面积均为A=200mm2。求许用荷载。
已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力
我们加油！
2.5 轴向拉(压) 杆 的强度计算
材料的力学性能指标
1.弹性指标：弹性模量E、泊松比μ
2.塑性指标： 断后伸长率δ 断面收缩率ψ
l1 l 100 %
l
A A1 100 %
A
工程上一般将δ＞5％的材料称为塑性材科，
将δ＜5％的材料称为脆性材料。 3.强度指标
屈服极限σs : 塑性材料的极限应力 强度极限σb ：脆性材料的极限应力
N
4 26.3103 3.14 0.0162
131MPa
④强度校核与结论： max 131 MPa 170 MPa
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此杆满足强度要求，是安全的。
简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为
使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为[]。
L
分析：
x
A
B
V ABDLBD;
[]=170M Pa。 试校核钢拉杆的强度。
q
q
C
A
B
钢拉杆
8.5m
解：① 整体平衡求支反力
q
q
C
HAA
钢拉杆
RA
RB
8.5m
讲轴向拉压杆强度计算.
P
N=266kN
max
N 4 266 103 116.2MP a 2 A 3.14 54
A
α
B P=30kN
C
一起重用支架。a= 30°，AB杆为圆截面 钢杆，1 160MPa 。BC杆为正方形木 材杆件， 2 10MPa 。请根据强度条 件设计AB杆直径d与BC杆边长a。
L x A B
分析：
V ABDLBD;
P C
ABD N BD / ; LBD h / sin 。
h
D
L x
XA
A
B
YA
NBD
P
C
解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图
mA 0 , (NBDsin ) (hctg ) Px
PL NBD hcos
HC
C
RC
③应力：
N
max
N 4P A d2
4 26.3 103 MPa 2 131 3.14 0.016
max
131MPa 170 MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
[例] 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重
为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力 为[]。
2.5 轴向拉压（杆）强 度计算
一、许用应力与安全系数
1.材料的极限应力 塑性材料： σ°=σs 脆性材料： σ°=σb 2.许用应力
为了保证构件能正常地工作，应当把最大工作应 力限制在一定的范围之内，这个限制值称为材料在 拉伸（或压缩）时的许用应力。用 [σ]表示。
3.安全系数n
轴向拉伸和压缩—拉(压)杆的强度计算(建筑力学)
轴向拉伸与压缩
例7-12 图示三角支架，在节点A处受铅直荷载FP作用。已 知AB为圆截面钢杆，直径d=30mm，许用应力[σ]=160MPa， AC为正方形木杆，边长a=100mm，许用压应力[σc]=10MPa试 求许用荷载［ FP ］。
解 （1）计算杆的轴力
由∑Fy=0 －FNACsin30°－FP=0
A FNAB 63 103 mm2 393.8mm2
[ ] 160
轴向拉伸与压缩
当拉杆选用角钢时，每根角型的最小面积应为
A1
A 2
393.8 2
mm 2
196.9mm2
查型钢表，选用两根25×4的2.5号等边角钢。
A1=185.9mm2 故此时拉杆的面积为
A=2×185.9mm2=371.8mm2＞370.6mm2 满足强度要求。
材料的安全系数比塑性材料的大。建筑工程中，一般，取nS =1.4～1.7，nb=2.5～3.0。
轴向拉伸与压缩
3. 强度条件 为了保证轴向拉（压）杆在承受外力作用时能安全正常地
使用，不发生破坏，必须使杆内的最大工作应力不超过材料 的许用应力，即
σmax≤[σ]
塑性材料： 脆性材料：
max
FN max A
解（1）先求支座反力。
FAy = FBy= 0.5q l = 0.5×10×8.4 = 42kN
轴向拉伸与压缩
（2）再求拉杆的轴力。
用截面法取左半个屋架为研究对 象，如图示。
由 MC 0
FNAB
h
FAy
l 2
q
l 2
l 4
0
FNAB
42 42 10 4.2 2.1 kN 1.4
63kN
（3）校核拉杆的强度。
第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能
拉压杆斜截面上的应力Ｐ
Ａ为横截面的面积 Ａ为斜截面的面积 横截面上的正应力 斜截面上的应力
N p A P P cos cos A A cos
P A
斜截面上的正应力和剪应力
p cos cos2 p sin cos sin
P
1 1 P A N1 3P C 2 N2
A
∴N2=P－3P= －2P
2
3、内力图
P A l P
3P
B
注意：
1 、一次只能取一个截面， 将原构件分成两部分。
C
l
Ｎ
O
2、内力方向设为正向后建立平 衡方程求解。（说明＋－）
3 、分离体图与原图上下对 齐，截面位置一目了然。 4 、轴力图大小近似按比例， 也要与上图对齐。 练习：
1、变形规律试验及平面假设：
a c
P
b d
变形前
a´ c´
b´ d´
受力后 P
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。 平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面. N 3、横截面上的应力：均匀分布 A
例２-４：计算下图中指定截面上的应力。ＡＢ段与ＣＤ段的横截面积均 为２０mm2，ＡＢ段横截面积为 1０ mm2 ，
C
已知：三角架 ABC 的〔σ 〕=120 MPa，AB 杆为 2 根 80*80*7 的等边角钢，AC 为 2 根 10 号槽钢，AB、AC 两杆的夹角为300 。 求：此结构所能承担的最大外荷载 Fmax
解： 1、F 与 FN 的关系
Y
0
X 0 F Y 0 F
NAC
FNAB cos30 0
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
FN3 5kN(Compression)
2.2 轴力和轴力图
FR
1
40kN 55kN
2
25kN
3
4 20kN
A
1
B2
C
3D
E
4
截面 4-4 ：选择右半部分更易于分析。
FN4 20 kN(T ension）
步骤3: 画出杆件的轴力图.
FN4 4 20kN E
4
FR
40kN 55kN 25kN
轴力与应力的关系
F
F
FN
s d A sA
A
因此正应力计算公式为
s FN
A
2.3 轴向拉压杆的应力
s FN
A
公式的限制条件: ⑴ 上述计算正应力的公式对横截面的形式没 有限制，但对于某些特殊形式的横截面，如 果在轴向荷载作用时不能满足平面假设，则 公式将不再有效. ⑵ 试验和计算表明，该公式不能描述荷载作 用点附近截面上的应力情况，因为这些区域 的应力变化比较复杂，截面变形较大.
2.3 轴向拉压杆的应力
2.3 轴向拉压杆的应力
1 横截面上的应力 问题：
1）横截面内各点处产生何种应力？ 2）应力的分布规律？ 3）应力的数值？
2.3 轴向拉压杆的应力
杆件在外力作用下不但产生内力，还使杆件发生变形 内力与变形是并存的，内力是抵抗变形的一种能力。 所以讨论横截面的应力时需要知道变形的规律 我们可以做一个实验
FF
FN
F
FN F
FN 称为 轴力----内力的合力作用线总是与杆件的轴 线重合, 通常记为FN.( 或N).
2.2 轴力和轴力图
轴力FN的正负规定: 杆件拉伸时, FN 为正——拉力（方向从横截面指向外）
F
m
F
m
F
m FN
m
FN m
m
FN : +
F
2.2 轴力和轴力图
轴力FN的正负规定: 杆件压缩时, FN 为负——压力（方向指向横截面 ）.
90 s 0
(纵截面)
(2) 45 max s 0 / 2
45 min s 0 / 2
0
0 (横截面)
90 0 (纵截面)
2.3 轴向拉压杆的应力
即横截面上的正应力是所有各斜截面正应力中 的最大者。而最大切应力发生在α=π/4的斜截面 上，其值为τ(α=π/4)=τmax=σ/2。
P
P
P
P
杆件伸长，但各横向线保持为直线，并仍垂直于轴线。 变形后原来的矩形网格仍为矩形。
2.3 轴向拉压杆的应力
平面假设 对于轴向荷载情况，所有横截面变形后仍保持为平 面并相互平行，且垂直于轴线.
2.3 轴向拉压杆的应力
推论:
1. 均质直杆受轴向荷载作用不产生剪切变形，因 此横截面上没有剪应力.
力的作用线沿杆件轴线.
b) 变形特点: 杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短.
以轴向伸长或轴向缩短为主要变形的杆件称为 拉（压）杆.
2.1 轴向拉压的概念
讨论: 下图中哪些是轴向拉伸杆?
F
F
F
(a)
(b)
q F
F
(c)
(d)
第 2 章轴向拉压的应力与变形
2.2 轴力和轴力图
2.2 轴力和轴力图
m
F
F 直杆所受的轴力为
40° m
s
FN 50kN
横截面面积为 A 400mm 2
α=50° 则正应力为
p s FN 50103 125MPa (压力)
A 400
斜截面上的正应力和切应力分别为
s
s s cos2 -125 cos2 50 51.6MPa
材料力学
教材：材料力学I 孙训方主编
2019年8月20日
返回主目录
第二章 轴向拉压的应力与变形
DEPARTMENT OF ENGINEERING MECHANICS KUST
第 2 章轴向拉压的应力与变形
2.1 轴向拉压的概念 2.2 轴力与轴力图 2.3 轴向拉压杆的应力 2.4 材料拉伸和压缩时的力学性能 2.5 拉压强度条件及应用 2.6 轴向拉压杆的变形 2.7 简单拉压超静定问题 2.8 应力集中的概念
20kN
A
B 50 C
10 5
D
E
20
从轴力图我们 发现
FN,max FN2 50kN
FN (kN)
2.2 轴力和轴力图
例2 如下图所示杆件的轴力图.
F q=F/l
F
l
2l
F l
F
q
FR
F
F
1
F 2q
3
FR
F
1
F2
3
FN3 FR
2.2 轴力和轴力图
3 F
3 1
FN1
1
FR
F q=F/l
l
FN
F
F 2l
F
Fq2 FN2
F2
x1
F
l
F
2.2 轴力和轴力图
画出下列各杆的轴力图。
F
F
2F
2F
F （-）
（+） 2F
40kN
30kN
20kN
50kN
（+）
10kN
（+）
（-） 20kN
3F F
F
（+）
F=qa
2F
q F=qa
a
a
a
（-）
2F
qa
（+）
（-） （-）
qa
第 2 章轴向拉压的应力与变形
A2代入上式，得： σ1=FN1/A1=-17.5x103N/(0.2x0.2)m2=-0.438 Mpa
（负号表示压应力） σ2=FN2/A2=-27.5x103N/(0.4x0.4)m2=-0.172 Mpa
（负号表示压应力）
2.3 轴向拉压杆的应力
2 .斜截面上的应力
重物
圆柱是怎样断裂的？
混凝土圆柱
2
sin 2
sin 2
某点处各个方向上的应力称为该点的应力状态.
对于轴向受拉或者受压杆件，其在某一点
的应力状态可以由横截面上的正应力确定，称
为单向应力状态.
2.3 轴向拉压杆的应力
讨论:
s
p
s s 0 cos2
s 0 sin 2
2
(1) 0 s max s 0 (横截面)
即与横截面成450的斜截面上的切应力是所有 各斜截面切应力中的最大者。最大切应力在数 值上等于最大正应力的二分之一。
2.3 轴向拉压杆的应力
例5 图示轴向受压矩形等截面直杆，其横截面尺
寸为40mm×10mm，荷载F＝50kN。试求斜截面
m-m上的正应力和切应力。
解: 斜截面的方位角为 50
s 0 cos
这里 s0 是横截面( 0 )上的正应力.
2.3 轴向拉压杆的应力
通常将斜截面上的应力分解为正应力和剪应力.
s
p
s s 0 cos2
s
p cos s 0 cos2 p sin s 0 cos sin
s0
2
s0
F
F
等价吗?
我们的研究对象是
变形体.
F
F
2.2 轴力和轴力图
举例：
n
m
F
n Fm
C
nB
m
A
(a)
FN=F
m
F
m
A
C
nB
m
A
(d)
FN=0 m
m
A
FN=F
(b)
n
nB
(e)
F FN=F n F
A
nB
A
(c)
(f)
2.2 轴力和轴力图
例1 画出如下所示杆件的轴力图.
40kN 55kN 25kN
20kN
2.3 轴向拉压杆的应力
F
F
变形假设: 变形后，原先平行的两个斜面仍保持为 平面并相互平行.
推论: 两个平行斜面之间的全部径向直线具有相 同的轴向变形.
也就是说，斜面上各点的合应力相同.
2.3 轴向拉压杆的应力
F
k A
F
A
k
F
k p F
k
p
F A
F
A / cos
F cos
A
s
2
sin
2
-125 sin 100 2
61.6MPa
第 2 章轴向拉压的应力与变形
2.4 材料拉伸和压缩时的 力学性能
2.4 材料拉伸和压缩时的力学性能
1 材料拉伸时的力学性能
拉伸试验
国家标准--GB
拉伸试验试样
标准试样： 圆柱形试样:
l 10d 或 l 5d
方柱形试样 l 11.3 A 或 l 5.65 A
FR
1
40kN 55kN
2
25kN
3
4 20kN
A
1
B2
C
3D
E
4
截面 1-1： 假设内力为正.
FR 1 FN1 FN1 10 kN(T ension）
截面 2-2：
A
1
FR
40kN
2
FN2
FN2 50 kN(T ension）