弹性力学平面应力平面应变问题PPT课件
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弹性力学 第二章 平面问题的基本理论 ppt课件
4
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应力问题
♢ 工程实例
平板坝的平板支墩
深梁
5
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 几何特征 无限长的柱形体， 横截面不沿长度变化 ♢ 面力与约束 作用于柱面，平行横截面，不沿柱体长度方 向变化； ♢ 体力 作用于柱体内，平行横截面，不沿柱体长度 方向变化；
6
§ 2-1 平面应力问题与平面应变问题
·平面应变问题
♢ 简化分析
截面、外力、约束沿z不变，外力、 约束平行 xy面，柱体无限长
任何截面都是对称面
w=0， u、v ≠0
εz=0
τzx=0、 τzy=0
γzx=0、 γzy=0
εx 、εy 、γxy ≠ 0
★ 应变只存在平面应变，所以称为平面应变问题
·推导
(2) 坐标轴方向合力为0
方程两边同除dxdy 同理，ΣFy=0
平衡微分方程
12
·总结
§ 2-2 平衡微分方程
平衡微分方程
* 3个未知量，2个方程，还需另外方程 * 基于连续性、小变形假定 * 弹性体内任意区域都精确成立 * 平面应力和平面应变问题都适用
13
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
tanα2 = -
τxy σ1 - σx
∴ tanα1·tanα2 = -1
∴ σ1⊥ σ2
20
§ 2-3 平面问题中一点的应力状态
·最大最小正应力
O
x
σ2
由(2-4)式，得
σ1
σ1
y
σ2
τxy = 0 σx = σ1 σy = σ2
σn = l2 σx + m2 σy + 2lmτxy = l2 σ1 + m2 σ2 = l2 σ1 + (1 - l2) σ2 = l2 (σ1 – σ2) + σ2
弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
THANKS
感谢观看
04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
弹性力学平面应力平面应变问题 ppt课件
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
xE 1xyz yE 1yzx
xy
1
G
xy
yz
1
G
yz
zE 1zxy
zx
1
G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x 1 E 1 1 2 x 1 y 1 z
1
0
对 1 0
称
1
2
对于平面应变问题的弹性矩阵，只须在上式
中，以 E
1 2
代E，
1
代μ即可。
小结
则有
uu vv ww (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
uu (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σb0 (在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σDε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσt
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
平面应变问题
位移：按平面应变的定义，三个方向的位移函数是
uux,y vv(x,y) w0
应变：由几何方程应变-位移关系，得
x
u x
1x,
y,
y
v y
3x,
y,
xy yz
u y
v x
2x,
v w0 z y
y
z
w0, z
zx
u z
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
弹性力学平面应力问题和平面应 变问题
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第一节 平面应力问题和平面应变问题 第二节 平衡微分方程 第三节 平面问题中一点的应力状态 第四节 几何方程 刚体位移
第五节 物理方程
第六节 边界条件
你现在浏览的是第二页，共171页
第七节 圣维南原理及其应用 第八节 按位移求解平面问题 第九节 按应力求解平面问题 相容方程 第十节 常应力情况下的简化 应力函数
你现在浏览的是第二十二页，共171页
定义
在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：
体力： 。
应力：作用于各边上， 并表示出正面上 由坐标增量引起 的应力增量。
你现在浏览的是第二十三页，共171页
应用的基本假定：
连续性假定─应力用连续函数来表示。
小变形假定─用变形前的尺寸代替变
u,,
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
你现在浏览的是第五页，共171页
zx z
xz
x
ij=
x xy yx y
u ,
ij =
x xy yx y
你现在浏览的是第六页，共171页
两类特殊问题
1、平面应力问题
t/2
t/2
z
y y
x
你现在浏览的是第七页，共171页
你现在浏览的是第二十九页，共171页
说明
当 均平衡时，保证 ， 平衡；
反之则不然。
所以弹力的平衡条件是严格的，并且是 精确的。
你现在浏览的是第三十页，共171页
V
h
理力（ V ）
材力（
dx
dy
弹力（
dx
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第一节 平面应力问题和平面应变问题 第二节 平衡微分方程 第三节 平面问题中一点的应力状态 第四节 几何方程 刚体位移
第五节 物理方程
第六节 边界条件
你现在浏览的是第二页，共171页
第七节 圣维南原理及其应用 第八节 按位移求解平面问题 第九节 按应力求解平面问题 相容方程 第十节 常应力情况下的简化 应力函数
你现在浏览的是第二十二页，共171页
定义
在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：
体力： 。
应力：作用于各边上， 并表示出正面上 由坐标增量引起 的应力增量。
你现在浏览的是第二十三页，共171页
应用的基本假定：
连续性假定─应力用连续函数来表示。
小变形假定─用变形前的尺寸代替变
u,,
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
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zx z
xz
x
ij=
x xy yx y
u ,
ij =
x xy yx y
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两类特殊问题
1、平面应力问题
t/2
t/2
z
y y
x
你现在浏览的是第七页，共171页
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说明
当 均平衡时，保证 ， 平衡；
反之则不然。
所以弹力的平衡条件是严格的，并且是 精确的。
你现在浏览的是第三十页，共171页
V
h
理力（ V ）
材力（
dx
dy
弹力（
dx
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
y
yx
P
xy
A
y x
B py
x
px l py m
px lxlxlxyxmym
px pym ymymxylxyl
n
x
m lmmlxylm xxy yxxyxmyl
xy l y
xy y
σ2－(σx+σy)σ+(σxσy－τ2xy)=0
1 2
xy
2
x2y
2x2y
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已知P点应力σxσyτxy
可求出过P点任意斜面上的
•正应力和剪应力（σNτN）
利用（2-4）（2-5）
•应力在x，y轴上的投影（px，py）
利用（2-3）
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斜面应力
(2)求（
将
） 向法向，切向投影，得
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Ø主平面主应力：剪应力等于零的平面叫主平 主平面上的应力叫主应力。
物理方程的说明： ⑴ 适用条件─理想弹性体；
⑵ 是总结实验规律得出的；
⑶ 是线性的代数方程；
⑷ 正应力只与线应变有关；切应力只与切 应变有关。
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说明
物理方程的两种形式： －－应变用应力表示，用于 按应力求解； －－应力用应变（再用位移表示）
表示，用于按位移求解。
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你现在浏览的是第三页，共171页
平面应力
§2-1 平面应力问题和平面应变问题
弹性力学空间问题共有应力、应变和位移
15个未知函数，且均为
；
弹性力学平面问题共有应力、应变和位移8 个未知函数，且均为 。
平面应力状态下的应变分析ppt课件
εα 1 εα 2 εα 3
2
2
cos sin sincos
x
y
xy
x y x y c o2s xysin2
2
2
2
2、推导剪应变 （略）
γ α ( ε x ε y ) s2 α i n γ x c y 2 α os
或
xysi2 nxc y o 2 s
22
2
二、 应变圆
εy
εx
b
45 0
ax
C
O1
45 0 45 0 A
(6) 过与 O1 点作横坐标轴 轴,
B
L c εc εy εbε405 L b
εaεx
2
La
并以 O1A〔O1B 或O1C） 为半径
作圆, 即为应变圆。
y
45 0
c
ε 450
εy
εx
b
45 0
ax
应变圆与 轴的交点D1, D2的 横坐标, 即为主应变的数值。
145
具体是正负可由力的合成定理直接判断.
例题7-5 设用图a所示的45°应变花测得某构件表
面上一点处
的三个线应变值为 x= 345×10-6, 45° = 208
×10-6 ,
y = -149 ×1y0-6 。450试用b应变圆求该点处的主应变
数值和方向。 c
ε 450
45 0
εy
εx a x
y
一、任意方向的应变
即研究平面应力状态下一点沿 任意方向 的线应变 和剪应变
y
假设点O处Oxy坐标系
内的线应变 x， y和剪
应变 xy为已知。
O
求沿任意方向的线应变
x
2
2
cos sin sincos
x
y
xy
x y x y c o2s xysin2
2
2
2
2、推导剪应变 （略）
γ α ( ε x ε y ) s2 α i n γ x c y 2 α os
或
xysi2 nxc y o 2 s
22
2
二、 应变圆
εy
εx
b
45 0
ax
C
O1
45 0 45 0 A
(6) 过与 O1 点作横坐标轴 轴,
B
L c εc εy εbε405 L b
εaεx
2
La
并以 O1A〔O1B 或O1C） 为半径
作圆, 即为应变圆。
y
45 0
c
ε 450
εy
εx
b
45 0
ax
应变圆与 轴的交点D1, D2的 横坐标, 即为主应变的数值。
145
具体是正负可由力的合成定理直接判断.
例题7-5 设用图a所示的45°应变花测得某构件表
面上一点处
的三个线应变值为 x= 345×10-6, 45° = 208
×10-6 ,
y = -149 ×1y0-6 。450试用b应变圆求该点处的主应变
数值和方向。 c
ε 450
45 0
εy
εx a x
y
一、任意方向的应变
即研究平面应力状态下一点沿 任意方向 的线应变 和剪应变
y
假设点O处Oxy坐标系
内的线应变 x， y和剪
应变 xy为已知。
O
求沿任意方向的线应变
x
弹性力学平面应力问题和平面应变问题
在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中，有限差分法常用于求解偏微 分方程，特别是对于规则的网格划分，计算效率较高。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
有限差分法的精度取决于差分格式的选择和网格的划分，同时需要注意数 值稳定性和计算精度的问题。
边界元法
边界元法是一种基于边界积 分方程的数值分析方法，通 过将微分方程转化为边界积
分方程来求解。
变形特点
应用领域
在平面应力问题中，变形主要发生在作用 面上，而在平面应变问题中，变形可以发 生在整个结构中。
平面应力问题在桥梁、建筑和机械等领域 有广泛应用，而平面应变问题在岩土、地 质和材料等领域有广泛应用。
06
结论与展望
结论总结
平面应力问题和平面应变问题在弹性力学中具有重要地位，它们是描述物体在应力作用下的变形和应 力分布的基础。
弹性模量表示材料在受力作用下的刚度，是衡量材料抵 抗弹性变形能力的重要参数。
剪切模量表示材料在剪切力作用下的刚度，与弹性模量 和泊松比有关。
03
平面应变问题
应变状态分析
平面应变条件
应变分量中，只有$varepsilon_{x}$ 、$varepsilon_{y}$和 $gamma_{xy}$不为零，其余分量为 零。
有限元法在弹性力学平面应力问题和平面应变问题中广泛 应用，因为它能够处理复杂的几何形状和边界条件，且计 算精度高。
有限元法的实现需要建立离散化的模型、选择合适的单元 类型和求解算法，并进行数值稳定性和误差分析。
有限差分法
有限差分法是一种基于差分原理的数值分析方法，通过将微分方程转化为 差分方程来求解。
薄板弯曲问题
考虑一个矩形薄板，受到一对相距较远的集中力作用，使板发生弯曲。根据平面应力问题，可以分析 板的应力分布、中性面位置以及挠度等。
2024版弹性力学5PPT课件
2024/1/25
5
边界条件与约束类型
边界条件
位移边界条件、应力边界条件、混合边界条件。
约束类型
几何约束、运动约束、动力约束。
2024/1/25
பைடு நூலகம்
6
应力、应变及位移关系
2024/1/25
应力
单位面积上的内力，包括正应力和剪应力。
应变
物体在外力作用下形状和尺寸的改变，包 括线应变和角应变。
位移
物体在外力作用下某点位置的改变，包括 线位移和角位移。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的定义
阐述广义平面应力问题和广义平面应变问题的基本概念和定义。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的求解方法
介绍如何利用弹性力学的基本方程和边界条件，求解广义平面应力问题和广义平面应变 问题。
广义平面应力问题与广义平面应变问题的实例分析
通过具体实例，展示广义平面应力问题和广义平面应变问题求解方法的实际应用。
10
功的互等定理与卡氏定理
01
功的互等定理的基本内容
在弹性力学中，如果两个载荷系统在相同的物体上分别作用并产生相同
的位移场，则这两个载荷系统所做的功相等。
2024/1/25
02 03
卡氏定理的基本内容
在弹性力学中，如果物体在某一载荷作用下处于平衡状态，那么在该载 荷作用下物体内部任意点的应力分量与另一与之平衡的载荷在该点所引 起的位移分量成正比。
2024/1/25
03
平面问题求解方法
13
平面应力问题与平面应变问题
平面应力问题
分析薄板在面内荷载作用 下的应力、变形和稳定性。
2024/1/25
平面应变问题
研究长柱体或深埋在地下 的结构物，在垂直于轴线 或地面的荷载作用下，其 横截面内的应力和变形。
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x
0
0
y
0
z
0
y
0
x z
0
0
0
0
z
y x
式中，b是体积力向量，b [ X Y Z ]T
二维问题：平衡微分方程
x yx X 0
x y xy y Y 0 x y
各个方向上具有相同特性； (4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用力的关系是线性的，
外力去除后，物体可恢复原状； (5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸。
以上基本假定将作为问题简化的出发点。
§2-2 弹性力学基本方程
回顾
b’ a’
b
zx zx
xz
a
xy
c
zy zy
c’ yz yz
xz
d
yx
xy
yx
d’
a’
1.平衡微分方程
回顾
由力平衡条件 X 0 有
x
x
x
dx dydz
xdydz
yx
yx
y
dy dxdz yxdxdz
zx
zx
z
dz
dxdy
zx
dxdy
Xdxdydz
0 0
ny nx
0 nz
nz 0
0 0 nz 0 ny nx
5. 位移边界条件
回顾
已知位移 u 边界上弹性体的位移为 u、v、w ，
则有
u u v v w w (在 u 上)
用矩阵形式表示为：
u u (在 u 上)
小结
弹性力学基本方程的一般形式为
回顾
平衡微分方程 σ b 0
ε tu
其中 t 为微分算子 的转置
回顾
x
0
0
0
0
y
0
t
0
z
T
0
y x
0
z
y
z
0
x
3.物理方程：应力-应变的关系
由简单的轴向拉伸试验可知，在单向应力状
0
21
0
1 2
21
称为弹性矩阵，由弹性常数E和 μ决定。
4. 应力边界条件
回顾
弹性体在应力边界 t 上单位面积的面力为X 、Y 、Z 。设 边界外法线的方向余弦为 nx、ny、nz ，则边界上弹性体 的应力边界条件可表示为
x
y
1
z
z
1
E1 1
2
1
x
1
y
z
xy
E
21
xy
yz
E
21
yz
zx
E
21
zx
若令
x
y
z
xy
yz
T zx
(在 内)
几何方程 物理方程
ε tu σ Dε
(在 内) (在 内)
边界条件
nσ t
(在 t 上)
uu
(在 u 上)
其中 t u ， 为弹性体的完整边界。
§2-3 平面应变和平面应力问题
任何构件都占有三维空间，在载荷或温 度变化等的作用下，物体内产生的应力、 应变和位移必然是三向的。一般说来， 它们都是三个坐标x、y、z的函数。这样 的问题称为弹性力学空间问题。
§2-1 弹性力学基本概念
回顾
位移 应变 应力
物体变形后的形状 物体的变形程度 物体的受力状态
弹 性 模量量
物体的材料性能
因此，在材料确定的情况下，基本的力学变量应该有：
位移（u）、应变（ε）、应力（σ）
回顾
弹性力学目的：对弹性体中的位移、应力、应变进行 定义和表达，进而建立平衡方程、几何方程和材料物 理方程
x
y
z
xy
yz
T zx
代表应变列阵和应力列阵，则应力-应变关系
可写成矩阵形式
D
其中
1
1
1
对
D
1
E1 1
2
1
0
1
0
1 0
1 2
21
称
回顾
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾
B1 θ2
θ1 A1
2.几何方程：位移-应变的关系 回 顾 六个应变分量与三个位移分量间的全部关系式：
x
u x
y
v y
z
w z
xy
v x
u y
yz
w y
v z
zx
u z
w x
几何方程式的矩阵形式为
0
化简得到
x yx zx X 0
x y z
Y 0
xy y zy Y 0
x y z
Z 0
xz yz z Z 0
x y z
平衡微分方程的矩阵形式为
回顾
σb 0
其中， 是微分算子
态下，处于弹性阶段时，应力应变呈线性关
系，即 σx = Eεx 这就是虎克定律。 应力
（Hooke‘s Law）
Y
弹塑性范围
弹性范围
斜率, E
应变
工程上，一般将应变与应力间的关系表示为
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
xy
1 G
xy
yz
1 G
y
z
z
1 E
z
x
y
zx
1 G
zx
称它们为物理方程（广义虎克定律）。
x
1
E1 1
2
x
1
y
1
z
y
1
E1 1
2
1
X Y
nx x ny xy nx yx ny y
nz nz
xz yz
Z
nx zx
ny zy
nz z
其矩阵表达式为
t nσ
(在 t 上)
其中，面积力向量 t [ X Y Z ]T ，方向余弦矩阵为
n n0x
0 ny
研究的基本技巧
采用微小体积元dxdydz 的分析方法（针对任意 变形体）
dz
dy
dx
弹性体的基本假设
回顾
为突出所处理的问题的实质，并使问题简单化和抽 象化，在弹性力学中，特提出以下几个基本假定。
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在