并联柔性铰机器人的静刚度研究

1
0 0
0
0
3 2
T=
1 Χ ci - Βci 0 1 0 1 0 0
- Χ ci 1
Α ci 0
0 0 1 0
- Α ci 1 0
Βci
0 0 , 0 1
yi ri xi ri z ix i L ri z iy i L ri ri L xi L yi L zi L
利用式 ( 6) ( 7 ) ( 8 ) ( 11 ) ( 12 ) ( 13 ) , 对式 ( 3 ) 两边求关 于柔性铰变形 <i 的微分, 有: ∃ li =
( 4)
式中: J —机器人的雅可比矩阵,

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李 嘉, 等: 并联柔性铰机器人的静刚度研究
17
3
T [ x 4 y 4 z 4 1 ]
T
( 15)
z4
任 取 一 特 殊 点, 令 [ x 4 y 4 [ 1 0 0 1 ]T , 代入式 ( 15) 得到
li = riΑ ci + zi ri Βci + Χ ci L L
1 ]
T
=
∃<2 … ∃<6 ] 36×1。
s s
T
a 33 Βp i + zi
l i = p iz B
意图如图 1 所示。 按右手法则在基平台上选取参考 坐标系 O X Y Z , 动坐标系 O p X p Y p Z p 与动平台相连, 则动坐标系相对参考坐标系的齐次变换矩阵为: 1 - Χ Β x Χ 1 - Α y P ( 1) BT = - Β Α 1 z 0 0 0 1
T B T [ x 4 y 4 z 4 + L 1 ] = 4
B
∃ ls
( 21)
其中, K t 为并联柔性铰机器人的传动刚度, K t = d iag ( k ti ) i = 1, 2, …, 6; k ti 为第 i 分支的传动刚度;
s ∃ l 为因传动刚度引起的驱动位移变形。 s 与之相应的终端变形为 ∃O p = [ ∃ x s ∃ y s ∃ z s s s T ∃Α ∃Βs ∃Χ ] , 柔性铰链变形为 ∃<s = [ ∃<1 s
1 并联柔性铰机器人的静刚度分析
1. 1 并联柔性铰机器人摄动微位移分析 6 自由度、 PSS 副并联柔性铰机器人的结构示
标, 则 P i 点 相 对 参 考 坐 标 系 的 坐 标 B P i = [ p ix p iy p iz 1 ] T 可用下式描述:
B
Pi =
P B
T
P
Pi
( 2)
其逆运动学方程为
以压电陶瓷为驱动器的并联柔性铰机器人被广 泛用于微操作领域[ 1～ 4 ]。 设计这种机器人的机械结 构时, 静刚度是一个非常重要的设计准则, 它不仅和 外载大小直接决定了终端变形的大小, 对终端定位 精度有相当大的影响; 而且在一定终端变位范围 内, 使静刚度可控还可获得可控的终端输出力[ 5, 6 ]。 本文针对 6 自由度、 PSS 副的并联柔性铰机器人进 行了静刚度研究, 通过摄动位移间映射关系的分析, 在虚功原理的基础上, 建立了静刚度模型, 并利用静 刚度性能指标分析了工作空间中各点的刚度情况, 最后给出了一实例计算。
T
p iy = p iz = r
ri
Βci -
ri
Α ci + y i + c iy
Α ci + z i + l i
C i 点相对坐标系 4 的坐标为 [ 0 0 - L 1 ] , 则
在参考坐标系中的坐标为
B
Ci =
4
B
T
4
Ci =
5
BT4 5T[ 0 0 - L 1 ] T ( 9)
2 的 X , Y , Z 轴的微小角位移;
Α p i, Β p i, Χ p i 分别为 P i 处柔性球铰相对于坐标 系 5 的 X , Y , Z 轴的微小角位移。 动平台上的 P i 点相对坐标系 3 的坐标为 [ 0 0 L 1 ]T , 则在参考坐标系中的坐标为:
图 2 柔性铰机器人的任一分枝坐标系
a 32 Χ p i + a 31 + a 34 -
对上式两边求关于 <i 的微分有
ci + ∃ l i = - r i ∃Α
zi ri ci ∃Βci + ∃Χ L L
∃ ls = J
( 17) ( 18)
∃O p
s
( 22) ( 23) ( 24) ( 25)
a 33 ∃Βp i + a 32 ∃Χ pi
x i + y i。
2 2
- Χ pi 1
0 0 . 0 1
c iy 0 , z i = p iz 0 - c iz 0 , r i
p ix 0 , p iy 0 , p iz 0 分别为动平台 P i 点在系统初始
状态时相对参考坐标系的坐标值; c ix 0 , c iy 0 , c iz 0 分别为动平台 C i 点在系统初始状 态时相对参考坐标系的坐标值; Α ci , Β ci , Χ ci 分别为 C i 处柔性球铰相对于坐标系
ISSN 100020054 清华大学学报 ( 自然科学版) 1999 年 第 39 卷 第 8 期 CN 1122223 N . 39, N o. 8 J T singhua U n iv ( Sci & T ech ) , 1999, V o l
5 32 16 ～ 20
并联柔性铰机器人的静刚度研究
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
c ix c iy , li yi ri xi ri z ix i L ri z iy i L ri ri L xi L yi L zi L
上式展开得:
p ix =
Βci xi
zi ri zi
Α ci + x i + c ix
yi
( 6) ( 7) ( 8)
6
6
P
T=
0 0 0
0 1
, T=
5 6
j= 1
0 0
6
式中
j= 1
9c iy ∃<ij 9<ij

( 14)
0
0
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∃ l = [ ∃ l1 ∃ l2 … ∃ l6 ] T , ∃O p = [ ∃ x ∃ y ∃ z ∃Α ∃Β ∃Χ] .
T
取并联柔性铰机器人的任一分支 B iC iP i , 并建立坐 标系如图 2 所示。
Βp i Χ - Α pi pi 4 5T = - Βp i Α 1 pi 0 0 0 其中 x i = p ix 0 - c ix 0 , y i = p iy 0 1 =
0 0 0 1 ,
6 6
6
j= 1
( p ix - c ix ) 9p iz 9 ix ∃<ij + ∃<ij 9<ij Ri 9< ij 6 j= 1 ( p iy - c iy ) 9c ix 9p iy ∃<ij + ∃<ij 9<ij Ri 6 j = 1 9<ij
6 6
6
p′ ix p′ iy
∃<s = J f ∆l = J ∆< = J f 由虚功原理得
Fw
T
∃O ∆ Op ∆ Op
s p
将式 ( 14) 和式 ( 17) 中的相加除以 2 得到 ∃ l i = J f li ∃<i 式中
T ci ∃Β ci ∃Χ ci ∃Α p i ∃Β p i ∃Χ pi ] , ∃<i = [ ∃Α
B
Pi = L
3
B
T yi ri L
3
Pi =
3
B
T
[ 0 0 L 1 ] T
xi
( 5)
坐标系的选取均按右手法则, 坐标系 1 与参考 坐标系 O X Y Z 方向相同, 原点 O 1 平移到 C i 处; 坐 标系 2 的原点 O 2 位于 C i , Z 2 轴沿系统处于零位时 的 C iP i 方向, X 2 轴平行基平台, 并垂直零位时的 C i P i 方向; 坐标系 3 的原点 O 3 也位于 C i , Z 3 轴沿 运动的 C i P i 方向, X 3 轴垂直相应的 C iP i 方向, 系 统处于零位时坐标系 3 和坐标系 2 重合; 坐标系 4 为坐标系 3 沿其 Z 3 轴平移到 P i 处; 坐标系 5 的原 点 O 5 位于 P i , 其方向同坐标系 2 随动平台运动; 坐 标 系 6 的 原 点 O 6 在 P i, 方 向 同 动 坐 标 系 O P X P Y P Z P , 则 B iC i P i 分支各个坐标系间的变化矩 阵可表示为:
在静平衡条件下, 令驱动虚位移 ∆l = [ ∆l1 ∆l2 … ∆l6 ] T , 与 ∆l 对应的终端位姿虚位移为 ∆ Op=
( 16) [ ∆x ∆y ∆z ∆Α ∆Β ∆Χ] T , 柔 性 铰 链 的 虚 变 形
T 为 ∆<= [ ∆<1 ∆<2 … ∆<6 ] 36×1。 由式 ( 4) , ( 20) 可知
收稿日期: 1998209202 第一作者: 女, 1972 年生, 博士研究生
L -
2
( p ix - c ix ) 2 T