2014_2015学年第一学期末数值分析考试试题A参考答案与评分标准

中北大学

数值分析课程考试试题

(课程名称须与教学任务书相同)

2014/2015 学年第1 学期

试题类别 A 命题期望值70

拟题日期2014.12.12 拟题教师

课程编号教师编号1120048 Array

基层教学组织负责人

课程结束时间2014.11.28 印刷份数

使用班级2014级研究生

备注：（1）试题要求用B5纸由计算机打印，并将其电子稿于课程结束后上传至考务管理系统内。

（2）试题类别指A卷或B卷。

（3）试题印制手续命题教师到院教务科办理。

2014/2015 学年 第 1 学期末考试试题（A 卷）

课程名称 数值分析1 使用班级： 2014级研究生

一、填空题(每空2分，共30分)

1. 用1457ˆe

536=作为常数e (自然对数的底)的近似值具有 6 位有效数字，用355

ˆπ113

=作为圆

周率π的近似值的绝对误差限可取为72.66764110-⨯ ；用ˆπˆe u = 作为πe u =的近似

值至少具有 5 位有效数字；（4也对）

2. 已知求解某线性方程组的Jacobi 迭代公式为(k+1)(k)(k)

123(k+1)(k)(k)

2

13(k+1)(k)(k)3

120.10.27.20.10.28.3,1,2,0.20.28.4

x x x x x x k x x x ⎧=++⎪=++=⎨⎪=++⎩ 记其迭代矩阵为J G ，则J ∞

=G 0.4 ，又设该线性方程组的解为*x ，取初始解向量

为()T

(0)

0,0,0=x

，则(1)=

x ()

T

7.2,8.3,8.4，(20)

*

∞

-≤x

x 71.5410-⨯；

3. 方程e 0x

x +=的根*

x ≈ -0.5671433 (要求至少具有7位有效数字)；

4. 用割线法求解方程ln 20x x --=的迭代公式为()()1111

ln 2ln ln k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x -+-----=-

--+；

若取初始值03x =，14x =，

则由该公式产生的迭代序列的收敛速度的阶至少是。 5. 取权函数(

)x ρ=

[－1,1]上计算函数()1f x =与()2

21g x x =-的内积

(),f g = 0 ；

6. 设()()10.5,01,(1)2f f f -===，二阶差商[]1,0,1f -= 0.25 ；

7.

设()f x 在区间[,]a b 上具有连续的二阶导数，取等距节点(),0,1,,k x a kh k n =+= ，

b a

h n

-=

，则近似计算积分()d b a I f x x =⎰的复化梯形公式的截断误差T R = ()2[,]12

b a h f a b ηη-''-∈；该公式具有 1 次代数精度； 8. 求解常微分方程初值问题()()000

,,y f t y t t T

y t y '=≤≤⎧⎪⎨=⎪⎩

的Euler 折线法的计算公式为()1,n n n n y y hf t y +=+；它是一个 1 阶方法。

二、(每小题12分，共24分)

1. 用LU 分解法求解线性方程组12341234

123412342435315261373282

x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎨+--=⎪⎪+++=-⎩；

解：()1

11241

11243

22333

1531522135|2611373

1322

3

1

2821

121

LU A b -⎛⎫-⎡⎤ ⎪-⎢⎥- ⎪--=−−→⎢

⎥ ⎪--⎢⎥

-- ⎪-⎢⎥⎣⎦ ⎪--⎝

⎭

1

00011

1241

3100022331,,,221000135231

3

10

02

2

1

L U y x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--====

⎪

⎪

⎪

⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝

⎭⎝

⎭⎝⎭⎝

⎭

.......................................................................................... L U 矩阵(或对应元素每算对两个给1分) 2. 用Romberg 方法计算积分()1

2

ln 1d I x x =

+⎰的近似值，要求计算到第一个

Romberg 值

(3)0T ，并与准确值π

ln 222

+-进行比较，说明计算的精度。

解：取()()

2

0,1,ln 1a b f x x ===+进行计算()()00,10.6931472f f ==，

(0)01

((0)(1))0.34657362

T f f =

+= ................................................................................... 1分 ()0.5,0.50.2231436h f ==；(0)(0)101

(0.5)0.28485862

T T hf =+=，

....................... 2分 (0)(0)(1)

10040.26428693

T T T -== .......................................................................................... 3分

()()0.25,0.250.0606246, 0.750.4462871h f f ===

()()(0)(0)211

(0.25)0.750.26915722

T T h f f =++=， .................................................... 4分

(0)(0)(1)

21140.26392343

T T T -== .......................................................................................... 5分

(1)(1)(2)

100160.263899215

T T T -==......................................................................................... 6分

()()0.125,0.1250.0155042, 0.3750.1315764h f f ===()0.6250.3297533f =