第七章+++数字控制器的状态空间设计方法
6.状态空间设计法
控制器的状态空间设计法在这个部分，我们将展示如何用状态空间（时域）的方法设计控制器并观察。
本教程中用到的MTALAB关键命令有：eig，ss，lsim，place，acker目录•建模•稳定性•可控性和可观性•用极点配置控制•引入参考输入•观测器的设计建模Introduction: System Modeling系统建模部分。
对于单输入单输出系统，这状态空表示如下：这球的垂直位置是h，i是通过电磁铁的电流，V是电压，M是球的质量，g是重力加稳定性其我们想要做的第一件事情就是分析开环系统（不带任何控制）是否稳定。
正如所讨论的介绍：系统分析部分，系统矩阵的特征值，A（相当于传递函数的极点）确定的稳定性。
A矩阵的特征值是det（sI—A）=0的s的值。
poles =31.3050-31.3050-100.0000其中一个极点在又半平面，换言之，有正实数部分说明系统开环不稳定。
检查一下这个不稳定的系统，当有一个非零初始条件下，添加以下代码到您的m文件可控性和可观性如果存在一个控制输入u（t）那么一个系统是可控的，在有限的时间内系统的任何状态转移到零。
它可以表明，当且仅当其可控性矩阵，CO，具有满秩（即，如果CO的秩等于 n，其中n是状态的数量）。
LTI模型的可控性矩阵的秩可以用MATLAB命令rank （ctrb（A，B））或者rank（ctrb（sys））确定。
可控性和可观测性的双重概念。
一个系统（A，B）是可控的当且仅当一个系统（A’，C，B’，D）的观察。
当我们设计一个观察的这事有用的，正如我们下面将看到。
用极点配置控制让我们采用极点配置为系统建立一个控制器。
一个完整的状态反馈系统的原理图如下所示。
采用全状态，我们的意思是说，对于控制器任何时间所有的状态变量是已知的。
例如，在这个系统中，我们需要一个传感器测量球的位置，一个测量速度，和电磁铁的电流测量。
为简单起见，我们假设R = 0。
输入是超调量太大（传递函数中德零点可以增加超调量，在状态空间形式下你看不到零点）。
计算机控制技术第7章 数字控制器的离散化设计方法
若 Z f (t) F(z)
则 lim f (t) lim(z 1)F(z)
t
z 1
表7-2 Z变换重要性质
名称
性
质
（7-16）
线性定理
Z[a1 f1(t) a2 f2(t)] a1F1(z) a2F2(z)
2
延迟定理
3
超前定理
4
复位移定理
5
复微分定理
6
初值定理
7
终值定理
在图7-1中 ， f(t)与g(t) 是两个不同的连续函数，但是由于f*(t) 和 g*(t)相等，所以F(z) 等于G(z) 。
f (t) g(t)
f (t)
g (t )
0
T
2T
3T
t
图7-1 采样值相同的两个不同的连续函数
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第7章 数字控制器的离散化设计方法
例7-1 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。
如图7-2（a）所示。
r(t)
c(t)
(s )
r(k)
c(k)
(s )
（a）
图7-2 连续系统和离散系统
（b）
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第7章 数字控制器的离散化设计方法
即 代入式(7-17)，即得
dc(t) c(k 1) c(k)
dt
T
T0 [c(k 1) c(k)] c(k) Kr(k)
T
或
c(k 1) (1 T )c(k) K T r(k)
C(z, m) E(z)D(z)G(z, m)
[R(z) C(z, m)]D(z)G(z, m)
所以
(z, m) D(z)G(z, m)
1 D(z)G(z, m)
控制系统状态空间法
控制系统状态空间法控制系统状态空间法是现代控制理论中常用的一种方法，它描述了控制系统的动态行为，并通过状态变量来表示系统的内部状态。
在这篇文章中，我们将详细介绍控制系统状态空间法的基本概念、理论原理以及应用。
一、控制系统状态空间法的基本概念状态空间法是一种描述动态系统的方法，通过一组一阶微分方程来表示系统的动态行为。
在这个方法中，我们将控制系统看作是一个黑盒子，输入和输出之间的关系可以用状态方程和输出方程来描述。
1. 状态方程状态方程描述了系统的内部状态随时间的演化规律。
它是一个一阶微分方程组，通常用向量形式表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)其中，x(t)表示系统的状态向量，A是状态转移矩阵，B是输入矩阵，u(t)是输入向量。
2. 输出方程输出方程描述了系统的输出与内部状态之间的关系。
它通常用线性方程表示：y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，y(t)表示系统的输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
3. 状态空间表示将状态方程和输出方程合并，可以得到系统的状态空间表示：ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)在状态空间表示中，状态向量x(t)包含了系统的所有内部状态信息，它决定了系统的行为和性能。
二、控制系统状态空间法的理论原理控制系统状态空间法基于线性时不变系统理论，通过分析系统的状态方程和输出方程，可以得到系统的稳定性、可控性和可观测性等性质。
1. 系统稳定性系统稳定性是判断系统是否能够在有限时间内达到稳定状态的重要指标。
对于线性时不变系统，当且仅当系统的所有状态变量都是稳定的，系统才是稳定的。
通过分析状态方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
2. 系统可控性系统可控性表示是否可以通过选择合适的输入来控制系统的状态。
一个系统是可控的，当且仅当存在一组输入矩阵B的列向量线性组合可以使得系统的状态从任意初始条件变为目标状态。
通过分析状态转移矩阵的秩，可以判断系统的可控性。
控制系统的状态空间分析与设计
控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计是现代控制理论的重要内容之一，它提供了一种描述和分析控制系统动态行为的数学模型。
状态空间方法是一种广泛应用于系统建模和控制设计的理论工具，其基本思想是通过描述系统内部状态的变化来揭示系统的特性。
一、状态空间模型的基本概念状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态，包括系统的状态变量和输入输出关系。
在控制系统中，状态变量是指影响系统行为的内部变量，如电压、速度、位置等。
通过状态空间模型，可以将系统行为转化为线性代数方程组，从而进行分析和设计。
1. 状态方程控制系统的状态方程是描述系统状态演化的数学表达式。
一般形式的状态方程可以表示为：x(t) = Ax(t-1) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是系统在时刻t的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，u(t)是系统的控制输入，y(t)是系统的输出，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
2. 状态空间矩阵状态空间矩阵包括系统的状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、输出矩阵C和直接传递矩阵D。
通过这些矩阵，可以准确描述系统的状态变化与输入输出之间的关系。
3. 系统的可控性和可观性在状态空间分析中，可控性和可观性是评估系统控制性能和观测性能的重要指标。
可控性是指通过调节控制输入u(t)，系统的状态可以在有限时间内从任意初始状态x(0)到达任意预期状态x(t)。
可控性可以通过系统的状态转移矩阵A和控制输入矩阵B来判定。
可观性是指通过系统的输出y(t)可以完全确定系统的状态。
可观性可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C来判定。
二、状态空间分析方法状态空间分析方法包括了系统响应分析、系统稳定性分析和系统性能指标分析。
1. 系统响应分析系统的响应分析可以通过状态方程进行。
主要分析包括零输入响应和零状态响应。
零输入响应是指当控制输入u(t)为零时，系统的输出y(t)变化情况。
数字控制系统的离散化设计状态空间法教学课件PPT
rank CCA
2
系统完全能观。
7.2.3 输出能控性
由 输出 方 程：y(k) Cx(k)和 系统 能 控性 定 义， 可推 出
输 出能 控 性的 条 件是 ：rank CB CAB CAn1B p，
p为 输出 向 量的 维 数。
7.2.4 对偶原理(duality principle)
B]满秩，
若系统对控制向量u(k )有约束，则存在能控子空间。
例7-2-1 已知系统，分析能控性，T=1s。
u * (t )
u(t )
x1 (t) x2 (t) y(t)
ZOH
1
1
s1
s
解：已知G(s) 1 ,T 1s，由例4 5 2得其 s(s 1)
离散状态方程为
系
统S1： xy((kk
1) Ax(k ) Cx(k)
)
Bu1
(k
)
系
统S
2：vw((kk)
1) BT
AT v(k v(k)
)
C
T
u2
(k
)
系 统S1与 系 统S2互 为 对 偶 系 统 ， 系 统S1的 能 控 性 矩 阵 与 系
统S
的
2
能
观
测
性
矩
阵
相
同
，系
统S1的
第7章 数字控制系统的离散化设计 ——状态空间法
7.1 引言
状态空间法设计系统是基于系统内部模型的一类设计方 法。
本章讨论如下几方面问题： 系统的能控性与能观测性，采样周期与能控性、能观测性； 状态反馈极点配置调节系统设计、有输入的系统设计； 状态观测器设计。对于不是所有状态均能直接量测的系统， 观测器是实现状态反馈必须的环节。
数字控制器的设计方法共126页
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
《计算机控制技术》计算机控制系统的常规控制技术
在计算机进入控制领域后，用计算机实现数字PID算法代替了模拟 PID调节器。
连续生产过程中,设计数字控制器的两种方法: 1．用经典控制理论设计连续系统模拟调节器，然后用计算机进行数字 模拟，这种方法称为模拟化设计方法。 2．应用采样控制理论直接设计数字控制器，这是一种直接设计方法 （或称离散化设计）
(z)
R(s) +
R(z)
T
e(s) E(z)
_
T
D(z)
U(z)
T
G h0 (s)
图12 典型计算机控制系统结构框图
G(z) G0 (s)
G(s)
Y (z) T
Y (s)
其中： G(z)＝Z Gho (s)G0 (s)
1 e Ts
Gh0 ( s )
s
广义对象脉冲传递函数
系统的闭环脉冲传递函数 系统的误差脉冲传递函数
① 断开数字PID控制器，使系统在手动 1
状态下工作，给被控对象一个阶跃输入
信号；
0
y(t )
y()
② 用仪表记录下在阶跃输入信号下的对 象阶跃响应曲线；
p•
0 a
Tm
t b
c
t
图11 对象阶跃响应曲线
③ 在响应曲线上的拐点处作切线，得到对象等效的纯滞后时间和 对象等效的时间常数 ；
④ 选择控制度；
不完全微分PID控制器结构
e(t )
PID 调节器
u(t )
Df (s)
u(t )
不完全微分的PID算法的基本思想是：在PID控制中的微分环节串联上一
《计算机控制技术》教学大纲
《计算机控制技术》课程标准（执笔人：韦庆审阅学院：机电工程与自动化学院）课程编号：0811305英文名称：Computer Control Techniques预修课程：计算机硬件技术基础B、自动控制原理B、现代控制理论学时安排：36学时，其中讲授32学时，实践4学时。
学分：2一、课程概述（一）课程性质地位本课程作为《自动控制理论》的后续课程，是控制科学与工程、机械工程及其自动化和仿真工程专业本科学员理解和掌握计算机控制系统设计的技术基础课。
（二）课程基本理念本课程作为一门理论与工程实践结合紧密的技术基础课，结合自动控制原理技术、微机接口技术，以学员掌握现代化武器装备为目的。
本课程既注重理论教学，也注重教学过程中的案例实践教学环节，使学员在掌握基本理论的基础上，通过了解相关实际系统组成，综合培养解决工程实际问题的能力。
（三）课程设计思路本课程主要包括计算机控制原理和计算机控制系统设计两大部分。
在学员理解掌握自动控制原理的基础上，计算机控制原理部分主要介绍了离散系统的数学分析基础、离散系统的稳定性分析、离散系统控制器的分析设计方法等内容；计算机控制系统设计部分结合实际的项目案例，重点介绍了计算机控制系统的组成、设计方法和步骤、计算机控制原理技术的应用等内容。
二、课程目标（一）知识与技能通过本课程的学习，学员应该了解计算机控制系统的组成，理解计算机控制系统所涉及的采样理论，掌握离散控制系统稳定性分析判断方法，掌握离散控制系统模拟化、数字化设计的理论及方法，掌握一定的解决工程实际问题的能力。
（二）过程与方法通过本课程的学习和实际系统的演示教学，学员应了解工程实际问题的解决方法、步骤和过程，增强积极参与我军高技术武器装备建设的信心。
（三）情感态度与价值观通过本课程的学习，学员应能够提高对计算机控制技术在高技术武器装备中应用的认同感，激发对自动化武器装备技术的求知欲，关注高技术武器装备技术的新发展，增强提高我军高技术武器水平的使命感和责任感。
数字控制器的状态空间设计方法
数字控制器状态空间设计方法==================1. 定义系统模型---------在数字控制器的设计中，首先需要定义系统的模型。
通常，我们使用状态空间法来表示系统模型。
状态空间法是一种通过状态变量来描述动态系统的数学方法。
在定义系统模型的过程中，我们需要确定系统的状态变量、输入变量和输出变量，并建立它们之间的关系方程。
对于一个线性时不变系统（LTI系统），我们可以用以下方程来表示其状态空间模型：x'(t) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是系统的状态向量，u(t)是系统的输入向量，y(t)是系统的输出向量。
A、B、C和D是系统的矩阵参数，它们决定了系统的动态行为。
2. 控制器设计--------在定义了系统模型之后，我们需要设计控制器。
控制器的作用是调整系统的输入，以使得系统的输出达到期望的值。
在状态空间法中，我们通常使用最优控制理论来设计控制器。
最优控制理论的目标是最小化某个性能指标，例如控制能量、响应时间或稳态误差等。
在数字控制器中，我们通常使用最优控制算法，例如LQR（线性二次调节器）或H2/H∞优化算法等来设计控制器。
这些算法可以求解出最优的控制输入，使得系统的输出达到最优。
3. 稳定性分析--------在控制器设计完成后，我们需要对系统进行稳定性分析。
稳定性是指系统在受到扰动后能否回到原始平衡状态的性能。
在数字控制器中，我们通常使用李雅普诺夫方法来进行稳定性分析。
李雅普诺夫方法通过分析系统的能量行为来判定系统的稳定性。
如果系统的能量随着时间的推移逐渐减少，那么系统就是稳定的。
4. 控制器实现--------在设计好控制器之后，我们需要将其实现到数字控制器中。
数字控制器是一种使用数字信号处理技术的控制器，它可以实现对模拟信号的采样和量化，并将其转换为数字信号进行处理。
在实现控制器时，我们需要将控制算法编写成程序代码，并将其嵌入到数字控制器的硬件中。
控制系统状态空间设计
控制系统状态空间设计控制系统状态空间设计是现代控制理论中的重要内容之一，它涉及到系统建模、状态变量的选择、状态空间方程的建立以及反馈控制等方面。
本文将详细介绍控制系统状态空间设计的方法和步骤。
引言控制系统是在各种工程领域中广泛应用的一种技术手段，它通过对系统输入和输出的监测和调节，实现对系统状态的控制。
状态空间法是描述和分析控制系统的一种有效工具，其基本思想是利用状态变量来描述系统的状态演化规律。
一、系统建模在进行状态空间设计之前，首先需要建立准确的系统模型。
系统建模可以通过物理定律、实验数据或数学方法等手段来实现。
1. 物理定律建模对于一些物理系统，可以通过物理定律来建立系统模型。
例如，对于机械系统可以利用牛顿第二定律、能量守恒定律等建立运动方程，对于电路系统可以利用欧姆定律、基尔霍夫定律等建立电路方程。
2. 实验数据建模通过对系统进行实验，获取系统的输入和输出数据，从而建立系统模型。
可以利用系统辨识技术，如最小二乘法、频域分析等进行数据处理和模型辨识。
3. 数学方法建模对于一些抽象的系统，可以通过数学方法进行建模。
常用的数学建模方法包括微分方程、差分方程和传递函数等。
状态空间法是利用微分方程或差分方程描述系统动态行为的一种方法。
二、状态变量的选择状态变量的选择对于系统的状态空间描述至关重要，它直接关系到系统模型的简洁性和有效性。
1. 最小状态变量选择最小状态变量是状态空间设计的一个重要原则。
通过选择足够少的状态变量来描述整个系统的状态，可以降低系统复杂性，简化控制器的设计。
2. 物理量和能量变量在选取状态变量的过程中，可以考虑选择与系统物理量或能量变量相关的状态变量。
这样选择的状态变量更直观、易于理解，有助于后续的控制器设计。
三、状态空间方程的建立状态空间方程是实现控制系统状态空间设计的核心内容，它是对系统动态行为的描述，包括系统的状态方程和输出方程。
1. 状态方程状态方程描述了系统状态变量随时间变化的规律。
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示例
1 被控对象其传递函数为 ： G ( s ) s ( s 1) 其连续系统的状态方程 为： 0 1 0 Ax (t ) Bu (t ) x x (t ) u (t ) 0 1 1 y (t ) Cx (t ) 1 0 x (t ) 经离散化后其状态方程 为：
x1 0 x2 1 x3
二输入二输出三阶系统状态方程
线性定常离散系统的状态方程及其结构图
x ( k 1 ) Ax ( k ) Bu ( k ) y ( k ) Cx ( k ) Du ( k )
线性定常离散系统的状态空间模型的建立
用基于状态空间描述的方法设计数字控制器， 需要先得到受控系统的数字化模型——离散动 态方程，以便于使用计算机进行系统性能分析 和控制算法设计。 三种方法可以得到线性定常离散系统的动态方 程。 第一种:是由线性定常连续系统的动态方程经 过 采样、离散化后得到。 第二种:利用系统的差分方程建立。 第三种：利用系统的脉冲传递函数建立。
方法一：线性定常连续系统的动态方程离散化方法
线性定常连续系统的动态方程为：
( x t)Ax ( t)Bu ( t) y ( t)Cx ( t)Du ( t)
离散化后得离散系统的动态方程为
A * e AT B e A Bd
* 0 T
x ( k 1 )Ax ( k )Bu ( k )
第七章: 数字控制器的状态空间设计方法
适用于多输入一多输出非线性时变系统 现代控制理论采用的分析方法是时域的， 时域方法对于控制过程来说是直接的。 基于状态空间描述的现代控制理论为先进 的数字控制器的设计提供了强有力的工具。
第七章:数字控制器的状态空间设计方法
Leabharlann 7.1 线性定常离散系统的状态空间描述（掌握） 7.2 线性定常离散系统的能控性和能观性（掌握） 7.3 状态反馈设计法(基本掌握) 7.4 输出反馈设计法(了解） 7.5 状态观测器设计（简单了解） 7.6基于状态方程的计算机控制系统的分析和设计 （基本掌握）(补充)
单输入单输出线性定常系统状态方程实例
0 Ax ( t ) Bu ( t ) x 0 0 1 u (t ) x1 (t ) y ( t ) Cx ( t ) 1 0 x ( t ) 1 0 x ( t ) 2 1 x (t ) 1
* *
连续系统的状态方程及其结构图
另一种形式：
Ax Bu x y C x Du
Ｄ称为直传矩阵或
传输矩阵
多输入多输出维数说明： x(nx1),A(nxn),u(rx1),B(nxr) Y(mx1),C(mxn)
多输入多输出线性定常系统状态方程实例
1 ( t ) 4 x x 2 (t ) 0 3 (t ) x 0 y1 3 y 0 2 2 3 1 4 0 0 x1 4 x 0 0 2 2 x3 3 2 u1 0 u2 0
Ax Bu x y C x
T
Ａ称为状态系统矩阵或系统矩阵 Ｂ称为输入矩阵或驱动矩
阵
Ｃ称为输出矩阵
单输入单输出维数说明：
x(nx1),A(nxn),u(1x1),B(nx1)
Y(1x1),C(1xn) 多输入多输出维数说明： x(nx1),A(nxn),u(rx1),B(nxr) Y(mx1),C(mxn)
1 ( t ) 0 1 x1 ( t ) 0 x u (t ) x 2 (t ) 0 1 x 2 (t ) 1 1 ( t ) x 2 ( t ) x 2 x 2 (t ) u (t ) 标量方程： x y (t ) x (t ) 1
补充：已知系统的传递函数求状态方程
b0 Y (s) G (s) n U ( s ) s a n 1 s n 1 a n 2 s n 2 ..... a 1 s a 0 y n a n 1 y n 1 a n 2 y n 2 ..... a 1 y a 0 b 0 u 1 x 2 x 2 x 3 .......... x n a 0 x 1 a 1 x 2 ......... a n 1 x n u x y b 0 x1 Y (s) 1 1 G (s) 2 U ( s ) s ( s 1) s s 1 x 2 x 2 a 0 x 1 a1 x 2 . u x 2 u x y x1
前言：发展、简介
7.1线性定常离散系统的状态空间描述
采用状态空间描述，提出用状态变量来表 征系统的内部结构特性，用两个关系方程， 即输入变量与状态变量的关系方程和状态变 量与输出变量的关系方程来表述系统，兼顾 内部结构特性和外部特性，是对系统的一种 完全描述。 解决了经典控制理论，只能描述系统的外部 特性，却不能反映出系统内部结构的变化信 息——内部结构特性。
7.1
线性定常离散系统的状态空间描
述
1. 基本概念（线性系统的状态空间描述）
2. 线性定常离散系统的状态空间模型的建立
1.线性系统的状态空间描述中常用的一些 基本概念
系统的状态和状态变量 状态向量。 状态方程和输出方程 状态空间描述
连续系统的状态方程及其结构图
连续系统的状态方程及其结构图