数形结合解题方法和技巧
初中数学数形结合解题思想方法探究
初中数学数形结合解题思想方法探究数学是一门精确的科学，其中涉及到的数形结合问题是数学中的一个重要内容。
解决数形结合问题的方法有很多，下面将介绍三种常用的解题思想和方法。
一、几何思想几何思想是解决数形结合问题的一种重要思想。
它通过几何图形的性质和关系来解决问题。
解题时，可以先根据题目中给出的条件画出几何图形，并找出几何图形之间的性质和关系。
然后利用这些性质和关系进行推理和计算，最终得到问题的解答。
有一个矩形，它的周长是30cm，面积是100cm²，求矩形的长和宽。
解：设矩形的长为x，宽为y。
根据题目中的条件，可以得到以下两个方程：2(x+y) = 30xy = 100利用几何思想，可以发现矩形的周长等于长和宽的两倍之和，即2(x+y)，所以可以得到第一个方程。
通过这两个方程，可以解得x=10，y=10。
所以矩形的长和宽分别是10cm。
二、代数思想代数思想是解决数形结合问题的另一种重要思想。
它通过建立代数模型来解决问题。
解题时，可以将问题中的未知量用代数符号表示出来，并建立相应的方程或不等式。
然后利用代数的方法进行运算和计算，得到问题的解答。
有一个数字，它是一个两位数，相反的两个数字之差是36，这个数字是多少？利用代数思想，可以将相反的两个数字表示成10x+y和10y+x。
它们之差是36，所以可以得到上述方程。
三、逻辑思想有5个小方块，它们的边长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，将这些小方块拼成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：根据题目中给出的条件，可以知道这个正方形一共有5个小方块，而且边长依次增加1cm。
通过观察和推理，可以得到以下结论：1. 正方形的边长一定大于等于最长的小方块的边长，即大于等于5cm。
2. 正方形的边长一定小于等于所有小方块的边长之和，即小于等于1+2+3+4+5=15cm。
根据以上两个结论，可以得到正方形的边长的范围是5cm到15cm之间。
再观察题目中给出的条件，可以发现正方形的边长的值一定在这个范围中。
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析在高三数学中，数形结合的解题方法和技巧十分重要。
它不仅可以帮助我们更好地理解和掌握数学知识，还可以提高解题效率和准确性。
下面，笔者就介绍一些数形结合的解题方法和技巧，希望能对大家学习数学有所帮助。
1.画图是重要的第一步在解题过程中，随时运用画图的方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
但是，我们画图的目的不仅仅是为了画出一个美观的图形，更重要的是理清思路和抓住重要的信息。
所以，在画图的时候，一定要注意以下几点：1) 画出尽可能规整、简单的图形，不要过于花哨。
2) 根据题目解决要点着重绘制关键性点，如角、中点、垂线等。
3) 画图不仅限于二维平面，也可以画出立体图形，例如圆柱、球等。
2.利用相似性质求解在数形结合中，相似性质是十分重要的一个概念。
相似的两个图形，它们的对应边长比例相等，对应角度相等。
因此，我们可以利用相似性质来解决一些难题，尤其是涉及到比例和角度的计算。
3.从实际问题入手在解决数学问题时，我们可以将其与实际生活中的问题结合起来，这样有助于提高我们的兴趣和理解力。
例如，可以利用直观的方法来解决几何问题，以及利用动画来模拟一些数学现象等。
4.注意形式化证明的效果在数学学科中，形式化证明是一种有效且标准的解题方法。
所谓形式化证明，就是用严谨的语言表达出问题的所有要素，从而达到证明问题的目的。
5.切忌打乱了思路在解决数学问题时，我们必须按照一定的方法和思路，逐步推进解题的进程。
如果将不同的思路混合在一起，很容易就会迷失方向，不知道该从何处入手。
因此，我们要按照一个逐步深入的思路去解决问题，不要跳跃式地处理问题，这样才能找到规律并完整地解决问题。
6.避免错误解题方法在解决数学问题时，我们要避免一些错误的解题方法，如假设过程不完整、推理错误、求解方向错误等。
因此，在解决问题时，我们必须根据问题的性质和要求，选取最合适、最简单、最易于理解的解决方案。
7.学会多角度思考在数学解题中，我们可以尝试从多个角度思考问题，这样可以更全面、更深刻地理解和解决问题。
数学数形结合解题技巧
数学数形结合解题技巧数学是一门抽象而又具体的学科，它以数字和符号为基础，通过逻辑推理和运算规则来研究数量、结构、变化和空间等概念。
而数形结合解题技巧则是指通过数学和几何的结合，来解决一些复杂的问题。
本文将介绍一些数学数形结合解题技巧，帮助读者更好地应对数学难题。
一、平面几何与代数平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、线、面以及它们之间的关系。
而代数则是数学中的另一个重要分支，它研究数与符号之间的关系。
将平面几何和代数结合起来，可以帮助我们解决一些复杂的几何问题。
例如，当我们遇到一个关于三角形的问题时，可以尝试使用代数的方法来解决。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，我们可以利用代数中的距离公式来计算三角形的边长。
然后，我们可以利用这些边长来计算三角形的面积、周长等属性。
通过将平面几何和代数结合起来，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题。
二、数学与图形图形是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们更直观地理解和解决一些数学问题。
将数学与图形结合起来，可以帮助我们发现一些规律和性质，从而更好地解决问题。
例如，当我们遇到一个关于函数的问题时，可以尝试将函数的图像绘制出来。
通过观察函数的图像，我们可以发现函数的增减性、极值点、零点等性质。
这些性质可以帮助我们更好地理解和解决与函数相关的问题。
三、数学与实际问题数学是一门应用广泛的学科，它可以帮助我们解决各种实际问题。
将数学与实际问题结合起来，可以帮助我们更好地应对复杂的实际情况。
例如，当我们遇到一个关于比例的问题时，可以尝试使用数学的方法来解决。
假设我们需要计算一个物体的实际长度，但是我们只知道它的缩放比例和图像上的长度。
通过建立比例方程，我们可以利用已知的信息来计算出物体的实际长度。
通过将数学与实际问题结合起来，我们可以更好地解决与比例相关的问题。
四、数学与逻辑推理数学是一门严谨的学科，它强调逻辑推理和推导。
绝对值不等式数形结合法
绝对值不等式数形结合法1. 引言绝对值不等式是数学中常见的一种不等式形式，其解集可以用数轴上的区间表示。
为了更好地理解和解决绝对值不等式，数形结合法是一种有效的方法。
本文将详细介绍绝对值不等式数形结合法的基本原理、应用技巧以及实例演示，帮助读者掌握这一重要的解题方法。
2. 基本原理2.1 绝对值函数绝对值函数是指将一个实数映射到其非负的绝对值的函数，通常用符号|x|表示。
其定义如下：|x|={x,x≥0−x,x<02.2 绝对值不等式绝对值不等式是指一个含有绝对值符号的不等式。
通常有以下两种形式：•|f(x)|<a•|f(x)|>a其中，f(x)是一个关于x的函数，a是一个正实数。
3. 应用技巧3.1 基本思路使用数形结合法解决绝对值不等式时，我们需要将问题转化为图形的几何关系，从而更直观地理解和解决问题。
基本思路如下：1.将绝对值不等式转化为数轴上的几何问题。
2.根据不等式的形式，确定数轴上的区间。
3.根据区间的性质，求解不等式。
3.2 求解步骤以|x−3|<5为例，介绍绝对值不等式数形结合法的求解步骤：1.绘制数轴，并在数轴上标出x=3这个点。
2.在x=3左边画一个长度为5的线段，表示|x−3|。
3. 确定数轴上x −3取值范围所对应的区间。
由于|x −3|<5，所以x −3必须在以x =3为中心、半径为5的开区间内。
即(−2,8)。
4. 最后得到x ∈(−2,8)，即解集为开区间。
3.3 注意事项在使用绝对值不等式数形结合法时，需要注意以下几点：1. 对于不等号方向（大于或小于），要根据实际问题进行判断。
2. 在确定区间时，要根据绝对值函数的定义和性质进行分析。
3. 需要注意区间的开闭性，根据不等式的严格性确定解集的类型。
4. 实例演示4.1 例题一求解不等式|2x −1|>3。
解答步骤：1. 绘制数轴，并在数轴上标出x =12这个点。
2. 在x =12左边和右边分别画一个长度为3的线段，表示|2x −1|。
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析
高三数学数形结合的解题方法与技巧分析高三数学是学生学习的重要科目，数学知识体系繁杂，内容复杂。
数形结合是数学学习的重要方法，通过与形态的结合可以更直观地理解抽象的数学知识，提高数学学习的效果。
下面将从解题方法与技巧两个方面进行分析。
一、解题方法1. 分步解题在高三数学数形结合的解题中，解题是一个逐步递进的过程。
可以根据题目的要求，采用逐步分析的方法，一步一步地推导求解，避免盲目开展工作，减少出错的概率。
2. 培养几何直觉在数形结合的解题中，几何直觉是很重要的，尤其是对于几何题目。
能够通过观察几何图形的形状、大小、角度等特征，形成直觉上的认识，可以更快地找到题目中的关键点，从而更快地解决问题。
3. 结合实际问题数学问题往往是抽象的，但是结合实际问题进行解题可以更容易地理解和掌握数学知识。
在解题过程中，可以用实际的长度、面积、体积等量来代入题目进行计算，这样可以更好地理解题意。
4. 建立模型对于一些较为复杂的数形结合问题，可以通过建立模型的方式更好地解决问题。
通过数学模型的建立，可以将复杂的数学概念转化为简单的计算问题，从而更好地解决问题。
二、技巧分析1. 合理利用图形在数形结合的解题中，合理利用图形是很重要的技巧。
通过观察图形的特点，可以更好地理解题目的要求，从而快速解决问题。
2. 选择适当的方法在解题过程中，应该根据题目的条件和要求，选择适当的方法进行解题。
有时候可以通过相似三角形的性质进行解题，有时候可以通过勾股定理进行解题，根据题目的要求选择合适的方法进行解题可以更快地解决问题。
3. 注重数据的转化在数形结合的解题过程中，有时候需要将题目中的数据进行转化，这样可以更好地解决问题。
例如将题目中的长度单位进行统一，将角度换算为弧度等，通过数据的转化可以更方便地进行计算。
4. 注意特殊情况在解题过程中，应该注意特殊情况。
有时候题目中会存在一些特殊的条件或者特殊的图形，这些特殊情况可能会对题目的解答产生影响，因此需要特别注意。
高考数学“数形结合”解题思想方法、知识点及题型整理
高考数学总复习第三讲：数形结合一、专题概述 ---什么是数形结合的思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的，每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，在解决代数问题时，想到它的图形，从而启发思维，找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．数形结合包括：函数与图象、方程与曲线、复数与几何的结合；几何语言叙述与几何图形的结合等．二、例题分析1．善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系．观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和相互位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是认识、掌握数形结合的重要进程．例1．函数的图象的一条对称轴方程是：（A）（B）（C）（D）分析：通过画出函数的图象，然后分别画出上述四条直线，逐一观察，可以找出正确的答案，如果对函数的图象做深入的观察，就可知，凡直线x=a通过这一曲线的一个最高点或一个最低点，必为曲线的一条对称轴，因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，算得对应的函数值分别是：，其中只有–1是这一函数的最小值，由此可知，应选（A）2．正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系．观察图形，既要定性也要定量，借助图形来完成某些题时，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中的数量关系．例2．问：圆上到直线的距离为的点共有几个？分析由平面几何知：到定直线L：的距离为的点的轨迹是平行L的两条直线．因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．将圆方程变形为：，知其圆心是C(-1,-2)，半径，而圆心到定直线L的距离为，由此判定平行于直线L且距离为的两条直线中，一条通过圆心C，另一条与圆C相切，所以这两条直线与圆C共有3个公共点（如图1）启示：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，以求既定性，又定量，才能充分发挥图形的判定作用．3．切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性以性识图．数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的关联，以求相辅相成，相互转化．例3．判定下列图中，哪个是表示函数图象．分析由=，可知函数是偶函数，其图象应关于y轴对称，因而否定（B）、（C），又，的图象应当是上凸的，（在第Ⅰ象限，函数y单调增，但变化趋势比较平缓），因而（A）应是函数图象．例4．如图，液体从一圆锥形漏斗注入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H与下落时间t（分）的函数关系用图象表示只可能是（）．分析由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以H与t的关系不是（B），下落时间t越大，液面下落的距离H应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．例5．若复数z满足，且，则在复平面上对应点的图形面积是多少？分析满足的复数z对应点的图形是：以C(1,1)为圆心，为半径的圆面，该圆面与图形的公共部分为图中所示阴影部分（要注意到∠AOC=45°）因此所求图形的面积为：4．灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性．在中学数学中，数形结合的思想和方法体现最充分的是解析几何，此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想和方法．通过联想找到数与形之间的对应关系是实现转化的先决条件，而强化这种转化的训练则是提高思维的灵活性和创造性的重要手段．例6．已知C<0，试比较的大小．分析这是比较数值大小问题，用比较法会在计算中遇到一定困难，在同一坐标系中，画出三个函数：的图象位于y轴左侧的部分，（如图）很快就可以从三个图象的上、下位置关系得出正确的结论：例7 解不等式解法一（用代数方法求解），此不等式等价于：解得故原不等式的解集是解法二 （采用图象法） 设即对应的曲线是以为顶点，开口向右的抛物线的上半支．而函数y=x+1的图象是一直线．（如图） 解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是．借助于函数的图象或方程的曲线，引入解不等式（或方程）的图象法，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．例8 讨论方程的实数解的个数．分析：作出函数的图象，保留其位于x 轴上方的部分，将位于x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，便可得到函数的图象．（如图）再讨论它与直线y=a 的交点个数即可． ∴当a ＜0时，解的个数是0；当a=0时或a ＞4时，解的个数是2；当0＜a ＜4时，解的个数是4；当a=4时，解的个数是3．9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k 的不同取值有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个 （D ）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例9．已知直线和双曲线有且仅有一个公共点，则k的不同取值有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个分析：作出双曲线的图象，并注意到直线是过定点（）的直线系，双曲线的渐近线方程为∴过（）点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同值，此外，过（）点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时k取两个不同的值，故正确答案为（D）例10．设点P(x,y)在曲线上移动，求的最大值和最小值．解曲线是中心在（3，3），长轴为，短轴为的椭圆．设，即y=kx为过原点的直线系，问题转化为：求过原点的直线与椭圆相切时的斜率．（如图所示）消去y得解得：故的最大值为，最小值为例11．求函数（其中a,b,c是正常数）的最小值．分析采用代数方法求解是十分困难的，剖析函数解析式的特征，两个根式均可视为平面上两点间的距离，故设法借助于几何图形求解．如图设A(0,a),B(b,-c)为两定点，P(x,0)为x轴上一动点，则其中的等号在P为线段AB与x轴的交点外，即时成立．故y的最小值为例12．P是椭圆上任意一点，以OP为一边作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，求动点R的轨迹的普通方程．分析在矩形O P Q R中（如图），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆时针旋转90°，并将长度扩大为原来的2倍得到的．这一图形变换恰是复数乘法的几何意义，因此，可转化为复数的运算，找到R和P的两点坐标之间的关系，以求得问题的解决．解，设R点对应的复数为：，P点对应的复数为则故即由点在椭圆上可知有：整理得：就是R点的轨迹方程，表示半长轴为2a，半短轴为2b，中心在原点，焦点在y轴上的椭圆．三解题训练1．求下列方程实根的个数：（1）（2）（3）2．无论m取任何实数值，方程的实根个数都是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）不确定3．已知函数的图象如右图则（）（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2) （D）b∈(2,+ ∞)4．不等式的解集是（）（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式一定有解，则a的取值范围是（）（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1]6．解下列不等式：（1）（2）7．复平面内点A、B分别对应复数2，2+i，向量绕点A逆时针方向旋转至向量，则点C对应的复数是_______．8．若复数z满足|z|<2，则arg(z-4)的最大值为___________9．若复数z满足10．函数的图象是平面上两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两定点的坐标是( )（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–）（C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2）11．曲线与直线的交点个数是（）．（A）0（B）1 （C）2（D）312．曲线与直线有两个交点，则实数k的取值是（）（A）（B）（C）（D）13．已知集合，满足，求实数b的取值范围．14．函数的值域是（）（A）（B）（C）（D）四、练习答案1．（1）2个（2）63个（3）2个提示：分别作出两个函数的图象，看交点的个数．2．B、提示：注意到方程右式，是过定点（，0）的直线系．3．A、提示：由图象知f(x)=0的三个实根是0，1，2这样，函数解析式可变形学习好资料欢迎下载f(x)=ax(x-1)(x-2)，又从图象中可以看出当x∈(0,1)∪(2,+∞)时，f(x)>0．而当x>2时，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故选（A）4．A5．A6．（可以利用图象法求解）（1）x≤-1或0<x≤3（2）x≤-17．18．210°9．10．A11．D 提示：在曲线方程中，分x≥0或x<0两种情形讨论，作出图形即可．12．C13．14．A 提示：f(x)可以视作：A(cosx,sinx),B(1,2)，则f(x)=k AB，而A点为圆x2+y2=1上的动点。
数形结合巧解题
数学篇通过观察图形来探究数量关系，或利用数量关系来描述图形特征，从而使复杂的问题简单化，这种思想方法称为数形结合思想.用数形结合的思想解题可分为两类：①利用几何图形的直观性表示数的问题，它常常借用数轴、直角坐标系、函数图象等；②运用数量关系来研究几何图形问题，常常要建立方程（组）或建立函数关系等.下面简单介绍“数形结合”巧解初中数学题的几种情形.一、数形结合巧解图形变化规律问题初中阶段的图形变化规律题中往往涉及数字的变化，图形关系在发生规律性的变化时，数量关系也会随之出现规律性的变化.解题时我们应从分析图形结构的形成过程入手，从简单到复杂进行归纳猜想，从而获得隐含的数字规律，并用代数式描述出来，进而解答相关问题.例1图1是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴_________根.图1分析：本题虽然是图形问题，但依然可以采用数形结合思想来解.可以将火柴棒摆成的金鱼“形”转化为火柴棒的“数”量.解：1条金鱼，有8根火柴；2条金鱼，有14根火柴，比1条金鱼多6根；3条金鱼，有20根火柴，比2条金鱼多6根，比1条金鱼多2×6根；……n 条金鱼，有（）根火柴，比（n -1）条金鱼多6根，比（n -2）条金鱼多2×6根，……，比1条金鱼多（n -1）×6根；这样，利用递推的方法就可以推算出第n 条金鱼需要8+6×（n -1）=6n +2根.点评：本题主要考查图形的变化规律.解答此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点.二、数形结合巧解二元一次方程组问题二元一次方程组和一次函数的结合很好地诠释了“数”与“形”的结合，我们可以利用两直线的交点坐标确定方程组的解，也可以利用方程组的解确定两直线的交点坐标.在利用一次函数图象解二元一次方程组时，两函数图象的交点的横坐标是x 的值，纵坐标是y 的值，正确找出交点坐标是解题的关键．例2用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图2所示），则所解的二元一次方程组是（）图2A.{x +y -2=03x -2y -1=0 B.{2x -y -1=03x -2y -1=0C.{2x -y -1=03x +2y -5=0D.{x +y -2=02x -y -1=0数形结合巧解题江苏省启东市南阳中学黄烨华学思导引27数学篇分析：题目已经给出方程组的图象，我们根据图象可以明确两条直线的斜率，进而直接将图象中两直线的交点坐标P带入方程即可以验证准确与否.解：由图可知，两直线都过P（1，1）点，其中一条直线斜率为k=-1，另一条直线斜率为k=2.对比选项，只有选项D满足条件，其中直线x+y-2=0的斜率为k=-1，直线2x-y-1=0的斜率为k=2，而且都满足过P（1，1）.答案为D项.评注：通过图象求解二元一次方程组问题，除了关注交点坐标外，还要看图象能提供哪些其他信息，同时要关注选项，对比出选项的异同点.三、数形结合巧解二次函数问题二次函数蕴含了丰富的数形结合思想，在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.因此，在解答二次函数问题时，要把图形的性质特征与数量关系相互转化，通过观察图象分析图形与数量之间的关系，通过分析数量关系的变化判断函数图象的运动轨迹，从而求解.例3图3为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大；⑤2a-b=0；⑥b2=4ac＞0.结论一定成立的是（）.图3A．①②④⑥B．①②③⑤C．②③④⑤⑥D．①②③④⑤⑥分析：此题考查了二次函数的图象.我们可以借助于二次函数的图象和性质特征完成解题.解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，∴ac＜0，∴①正确；∵图象与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜0，∴③错误；根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；∵-b2a=1，∴2a=-b，∴2a+b=0，不是2a-b=0，∴⑤错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴⑥正确；故选A项．评注：“数形结合”要牢牢地抓住“数”的性质和“形”的特征，本题考查了同学们对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了观察图象的能力.同学们一定要重视对定义、概念以及原理的学习，这些都是数形结合的根源.四、数形结合巧解统计问题解答统计问题的重点在于收集数据、分析数据、将数据用图形的方式表达出来，这充分显示了数形结合思想方法的灵活运用.条形统计图、扇形统计图和折线统计图是初中数学统计学中的重点.如果是关于比重的问题，可以使用扇形统计图.如果是关于数据集中分析的问题，可以使用条形统计图.如果是关于数据变化规律问题，可以使用折线统计学思导引28数学篇图.利用统计图简洁明了的特点展示数据，可以让我们对结果或者规律一目了然.例4某自行车公司调查阳光中学的学生对其产品的了解情况，随机抽取部分学生进行问卷，结果分“非常了解”“比较了解”“一般了解”“不了解”四种类型，分别记为A 、B 、C 、D.根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.图4（1）本次问卷共随机调查了名学生，扇形统计图中m =．（2）请根据数据信息补全条形统计图．（3）若该校有1000名学生，估计选择“非常了解”“比较了解”共约有多少人？分析：（1）由A 的数据即可得出调查的人数，得出m =1650×100%=32；（2）求出C 的人数即可；（3）由1000×（16%+40%），计算即可．解：（1）8÷16%=50（人），m =1650×100%=32故答案为：50，32；（2）50×40%=20（人），补全条形统计图如图5所示：图5（3）1000×（16%+40%）=560（人）；答：估计选择“非常了解”“比较了解”共约有560人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.总之，数形结合思想在解答各类数学问题时都有用武之地.同学们要注意结合题目信息以及知识点之间的联系，把握“数”的性质与“形”的特征，充分挖掘隐含条件，灵活实现“以形助数”或“以数解形”，进而准确、快捷、高效地解题.上期《<二次根式>拓展精练》参考答案1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.A ；6.0；7.30；8.4；9.-1；10.解：（1）当d ＝20m ，f ＝1.2时，v ＝1620×1.2=326（km/h ），答：肇事汽车的速度是326km/h ；（2）v ＝326≈78＞70，∴肇事汽车已经超速．11.解：（1）13；75（2）①3153×151515；②1125-3=11×(25+3)(25-3)×(25+3)=25+3；（3⋯+22023+2021=3-1+5-3+7-5+⋯+2023-2021=2023-1．学思导引29。
数形结合 快速解题
例 ３ 已知 ： ， Ｚ１ Ｚ２∈Ｃ且 Ｚ Ｉ ， ２ 一Ｚ ＋２． ： 】 ＝１ Ｚ ＝ １ 求 ｚ。一ｚ 的 最 大 值 、 小 值． Ｉ 最 解 作网：
【 键 词】 形结合 ； 观灵 活； 繁 为易 关 数 直 化
ｚ 曲 线 为 单 位 圆 Ｃ ， ． 曲 线 于 ｚ 一ｚ 的 曲 线 相 同为 Ｃ ． ＝ 一Ｚ 。Ｚ 。＋２ 的 曲 线 为 ｚ
２ ／
ｉ
３ ＋ｂ与 椭 圆
Ｙ ３ ＋ｂ ｘ
Ｙ ＝１相 切 时 有 最 大 截 距 或 最 小 截 距 ．
，
ｒ
ｉ＋ 熹丢
由 ａ ＝０， ｂ＝ ４１ 得 － ３，
６６ “ 一
由图可知满足不等式的解为： ３ 十 ． 一≤≤ 一
评述
一
此 解 法 的 优 点 在 于 没 有 直 接 解 不 等 式 ， 是 求 而
解 设 Ｙ 】＝ ＋３， Ｙ ＋３， Ｙ ≥０， 即 ＝ 且 １
ｙ
解
此 问 题 转 化 为 在椭 圆
Ｙ ＝
／
ｌ 求 一 点 ， 过 该 点 的 直 线 斜 率 为 ３ 上 使 ．
且 在 Ｙ轴 上 的 截 距 最 大 或 最 小 ， Ｙ一 令 ３ ｘ＝ｂ 则 Ｙ＝３ ｂ 由 图形 知 ， 直 线 Ｙ＝ ， ｘ＋ ， 当
一
１
由 图可 见 Ｃ 与 ｃ 的最 大 距 离 是 ４ 最 小 距 离 是 ０ ， ．
是 将 抽 象 的数 学 语 言 在 直 观 的 图 形 中 表 现 出 来 ． 主 要 使 它
用 的 场 合 是 将 代 数 问 题 转 化 为 图 形 ， 几 何 方 法 直 观 解 决 用
数形结合巧解题
数形结合巧解题高考中有很多题目都是以数形结合的形式出现，这类题目可以用抽象思维与具体操作结合在一起进行解答。
在解释数形结合题之前，首先要弄清楚题目具体是什么，即题意要求什么和所给的数据有何关系，弄清题意是解答数形结合题的必要环节。
数形结合的题目中包含了数学概念和图形元素，其中的数据可以通过几何图形来表示，而该几何图形又可以被转换成数学表达式，结合数据可以确定问题的形式，为此，找到题目中的数据及几何图形，分析并结合几何图形的特点及性质，计算出求解的数学表达式，便可以无视细节，直接解题求解。
对于数形结合的题目来说，要掌握几种常见的图形，如角、三角形、正方形、圆等。
针对它们的特点和性质，可以有针对性的运用，进行解答。
例如，总角度和一般是360°，正方形以及长方形的对角线是同样的长度，圆的弧线长度等于其直径乘以2π等，这些性质可以用来解决题目，帮助我们了解几何图形的规律。
除此之外，解决数形结合的题目，还需要运用具体的数学计算和解答方法，如利用比例法解决比例问题、利用概率解决统计问题、利用几何推理进行几何图形问题的解答等。
有了这些具体的技巧和方法，对于遇到的数形结合题目，就可以轻松有效地解决。
此外，解答数形结合题目时，还可以有一些技巧和方法，以提高解决效率。
例如，可以先从题目中抓住最易于理解和解答的部分，以减少弄清题意的时间；其次，可以在解题过程中尽量避免直接计算，而是寻求一些类比、联系，从而利用现有的知识和技巧来解决类似问题；最后，回顾解题过程中出现的数据尝试简化题目，以期获得更高效的解法。
数形结合巧解题是一种涉及几何、数学及解题技巧的综合性能力，要想更快地、更准确地解决题目，就必须做到熟练掌握几何图形的特点与性质，理解不同几何图形之间的联系，并运用相应的解题技巧和方法，把握几何图形与数学表达式的关系，从而更有效的完成解题任务。
数形结合解题方法和技巧(二)
数形结合解题方法和技巧(二)数形结合解题方法和技巧在数学解题的过程中，数形结合方法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
通过将数学问题与具体的几何图形相结合，我们可以更直观地理解问题，找到解题的突破口。
下面将介绍一些数形结合解题的常用技巧和方法。
1. 利用图像进行问题解读•针对一些问题，我们可以利用绘制图形来更准确地理解问题的意思。
通过将问题中的信息绘制成图形，我们可以更好地分析问题，找出解题的关键点。
•例如，在解决关于三角形的问题时，我们可以绘制一个具体的三角形图形，以便更好地理解问题以及相关概念。
2. 利用几何图形的性质解题•几何图形具有一些固有的性质，这些性质可以在解题过程中发挥作用。
•例如，平行线之间的交角相等、相似三角形的对应边成比例等。
在解题中，利用这些性质可以简化问题，找到解题的线索。
3. 利用图形进行推理和证明•数形结合的方法还可以通过观察几何图形进行推理和证明。
•当我们需要证明某个命题时，可以利用图形中的一些性质进行推演，从而得到结论的证明。
4. 利用图形进行构造和划分•数形结合还可以用来进行构造和划分。
•针对某些问题，我们可以根据图形的特点进行构造，从而找到解题的思路。
•利用图形进行划分，可以将问题分解为更简单的子问题，有助于解题的进行。
5. 利用图形进行计算和比较•数形结合的方法还可以帮助我们进行一些计算和比较。
•在解决一些几何题目中，我们可以利用图形给出的信息进行计算，找到答案。
•在比较大小或者判断一些关系时，图形可以给我们提供更直观的帮助，帮助我们更好地理解和解题。
通过数形结合的方法，我们可以更全面地理解和解决数学问题。
在解题过程中，我们可以通过绘图、利用几何性质、进行推理和证明、进行构造和划分以及进行计算和比较等方法来发挥数形结合的作用。
希望这些方法和技巧可以帮助大家更好地解决问题，提升数学解题的能力。
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数形结合解题方法和技巧
本文介绍数形结合解题方法和技巧，帮助读者更好地理解和应用这一方法，提高数学解题能力。
数形结合是一种常用的数学解题方法，它将数学问题与几何图形相结合，通过直观的几何图形来帮助解决复杂的数学问题。
下面，我们介绍一些数形结合解题的方法和技巧。
一、利用几何图形的性质
几何图形具有许多特定的性质，如线段长度、角度大小、平行关系等。
在解题时，我们可以利用这些性质来帮助我们理解问题，甚至可以通过这些性质来推导出未知数的值。
例如，在一道求解三角形题目中，我们可以利用三角形的边角关系，通过余弦定理或正弦定理来求解未知角度或边长。
二、利用几何图形的变换
几何图形可以通过平移、旋转、翻折等变换来改变形态，而这些变换并不改变图形的本质属性。
在解题时，我们可以利用这些变换来帮助我们理解问题。
例如，在一道求解相似三角形题目中，我们可以
通过旋转或翻折等变换将原图形变换成易于求解的图形，然后再进行计算。
三、利用几何图形的切分
几何图形可以通过切分来将复杂的问题分解成简单的问题。
在解题时，我们可以利用这些切分来帮助我们理解问题。
例如，在一道求解曲线图形题目中，我们可以通过切分将曲线分割成一些简单的线段或曲线，然后再分别进行计算，最后再将结果相加得到答案。
数形结合是一种非常有用的解题方法，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。