人教版数学九年级上册第22章《二次函数》培优检测题(解析版)
一．选择题 1．二次函数 y＝x2﹣2x 的顶点坐标是（ ）
A．1，﹣1） D．（﹣1，1）
2．已知抛物线 y＝x2﹣（2m﹣1）x+2m2﹣1 的顶点为 A，当﹣3＜x＜2 时，y 随 x 的增大而增
大，则抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
元
销售时可获得最大利润． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣（x﹣h）2+2（h 表示常数，且 h＞0）的顶点
为 M，函数图象与 x 轴负半轴交于点 A，将此抛物线绕坐标原点 O 旋转 180°得到的抛物
线顶点为 N，函数图象与 x 轴正半轴交于点 B．则四边形 MANB 的面积表示为
（用
8．解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0）， ∴a+b+c＝0， 又∵抛物线与 y 轴交在 y 轴的正半轴， ∴c＞0 ∴a+b﹣c＜0，故 M＜0； （2）抛物线开口向下，因此 a＜0，对称轴在 y 轴左侧，﹣1 的右侧， ∴﹣ ＞﹣1， ∴2a﹣b＜0，故 N＜0； （3）抛物线开口向下，因此 a＜0，对称轴在 y 轴左侧，因此 a、b 同号，∴b＜0 ∵a+b+c＝0， ∴a+c＞0，因此 P＞0 综上所述：M＜0，N＜0，P＞0； 故选：A．
x
… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0
1
2
3
…
y
…5
0
﹣3 ﹣4 ﹣3 0
m
12 …
（1）请求出 m 的值； （2）某同学根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该二次函数 图象的一部分，请观察图象直接写出当 y＞0 时，x 的取值范围；
（3）求出这个二次函数的解析式（也称为函数关系式）．
C．第三象限
D．第四象限
3．把函数 y＝﹣ x2 的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数 y＝﹣ （x﹣1）2+1
的图象（ ）
A．向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位
B．向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
C．向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
D．向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位
23．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 过等腰 Rt△OAB 的 A，B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直角顶 点 A（0，3）． （1）求 b，c 的值． （2）P 是 AB 上方抛物线上的一点，作 PQ⊥AB 交 OB 于点 Q，连结 AP，是否存在点 P，使 四边形 APQO 是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
当 x＝1 时，y＝1+b+c＝1，则 b+c＝0， 故②正确；
根据抛物线开口向上，对称轴为直线 x＝ ，
当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小， ∵图象上两点（x1，y1），（x2，y2）满足 x1＜x2＜1， ∴y1＞y2． 故③正确；
∵当 1＜x＜3 时，二次函数值小于一次函数值， ∴x2+bx+c＜x， ∴x2+（ b﹣1）x+c＜0． 故④正确． 故选：B．
（2）当售价为
元时，当月的销售利润最大，最大利润是
元；
（3）若获利不得高于进价的 80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？
22．如图，已知二次函数 y＝ax2+bx﹣4 的图象 M 经过 A（﹣1，0），C（2，﹣6）两点，顶点 为 P． （1）求该二次函数的解析式和顶点 P 的坐标 （2）设图象 M 的对称轴为 l，点 D（m，n）（﹣1＜m＜2）是图象 M 上一动点，当△ACD 的面积 为 时，点 D 关于 l 的对称点为 E，能否在图象 M 和 l 上分别找到点 P，Q，使 得以点 D、E、P、Q 为顶点的是四边形为平行四边形？若能，求出点 P 的坐标；若不能， 请说明理由．
A．4
B．3
C．2
D．1
8．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），对称轴 l 如图所示，若 M＝a+b﹣c，N＝
2a﹣b，P＝a+c，则 M，N，P 中，值小于 0 的数有（ ）个．
A．2
B．1
C．0
D．3
9．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
＝1 和 x﹣3＝1 的解，则 m，n 的大小关系是
．
16．若二次函数 y＝ax2﹣bx+5（a≠5）的图象与 x 轴交于（1，0），则 b﹣a+2014 的值是
．
17．某商场将每件进价为 80 元的某种商品原来按每件 100 元出售，一天可售出 100 件．后
来经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1 元，其销量可增加 10 件．则商场按
4．已知两点 A（﹣6，y1），B（2，y2）均在抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）上，点 C（x0，y0）
是该抛物线的顶点，若 y0≥y1＞y2，则 x0 的取值范围是（ ）
A．x0＜﹣6
B．x0＜﹣2
C．﹣6＜x0＜﹣2 D．﹣2＜x0＜2
5．如图，二次函数 y＝x2﹣2x﹣3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，则下列说
A．abc＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．a﹣b+c＜0
D．2a+b＝0
10．如图是二次函数 y＝ax2+bx+c 的部分图象，图象过点 A（﹣3，0），对称轴为直线 x＝﹣
1，给出四个结论：①b2≥4ac：②3a+c＝0③2a+b＝0④若点 B（﹣ ，y1），C（﹣ ，y2）
为函数图象上的两点，则 y1＜y2，其中正确结论是（ ）
法错误的是（ ）
A． AB＝4 B．∠OCB＝45° C．当 x＞3 时，y＞0 D．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小
6．在同一平面直角坐标系中，函数 y＝2x2+kx 与 y＝kx+k（k≠0）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数 y＝x2+bx+c 与 y＝x 的图象如图所示，以下结论：①b2﹣4ac＞0；②b+c＝0；③若 图象上两点（x1，y1），（x2，y2）满足 x1＜x2＜1，则 y1＞y2；④当 1＜x＜3 时，x2+（b﹣1） x+c＜0．其中正确的有（ ）个．
参考答案
一．选择题 1．解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴二次函数 y＝x2+4x 的顶点坐标是：（1，﹣1）， 故选：B． 2．解：∵y＝x2﹣（2m﹣1）x+2m2﹣1
∴对称轴为 x＝﹣
＝
，且抛物线开口向上，
∴当 x＞
时，y 随 x 的增大而增大，
∵当﹣3＜x＜2 时，y 随 x 的增大而增大，
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
二．填空题
11．抛物线 y＝ （x+3）2+4 的对称轴是
．
12．二次函数 y＝x2﹣2mx+1 在 x≤1 时 y 随 x 增大 而减小，则 m 的取值范围是
．
13．点 P（2，17）为二次函数 y＝ax2+4ax+5 图象上一点，其对称轴为 l，则点 P 关于 l 的
9．解：由图可知 a＞0，与 y 轴的交点 c＜0，对称轴 x＝1，
∴b＝﹣2a＜0； ∴abc＞0，A 错误； 由图象可知，函数与 x 轴有两个不同的交点，∴△＞0，B 错误； 当 x＝﹣1 时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，C 错误； ∵b＝﹣2a，D 正确； 故选：D． 10．解：（1）由图象可知：抛物线与 x 轴有两个交点，因此 b2﹣4ac＞0，故①不正确；
∴点 B（﹣ ，y1）在对称轴的左侧，点 C（﹣ ，y2）在对称轴的右侧，且点 B 离 对称轴比点 C 离对称轴远，根据增减性可知 y1＜y2，因此④是正确的； 综上所述：②④是正确的，①③是不正确的， 故选：D． 二．填空题 11．解：∵y＝2（x+3）2﹣4 为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的对 称轴为直线 x＝﹣3 故答案为：直线 x＝﹣3． 12．解：二次函数 y＝x2﹣2mx+1 的对称轴为 x＝m， ∵a＝1＞0， ∴在对称轴的左侧（即当 x≤m），y 随 x 的增大而减小， 又∵在 x≤1 时 y 随 x 增大而减小， ∴m 的取值范围为 m≥1． 故答案为：m≥1．
5．解：当 y＝0 时，x2﹣2x﹣3＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， 当 x＜﹣1 或 x＞3 时，y＞0， ∵抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴当 x＜1 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x＝0 时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则 C（0，﹣3）， ∵OB＝OC＝3， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°． 故选：D．
对称点的坐标为
．
14．若点 A（ ﹣3，n）、B（m，n）在二次函数 y＝a（x+2）2+h 的图象上，则 m 的值为
．
15．利用计算机中“几何画板”软件面出的函数 y＝x2（x﹣3）和 y＝x﹣3 的图象如图所示．根
据图象可知方程 x2（x﹣3）＝x﹣3 的解的个数为 3 个，若 m，n 分别为方程 x2（x﹣3）
（2）∵对称轴是直线 x＝﹣1，即﹣ ＝﹣1，∴b＝2a，2a﹣b＝0，故③不正确；
（3）∵对称轴是直线 x＝﹣1，抛物线与 x 轴的一个交点 A（﹣3，0） ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0） 把（1，0）代入 y＝ax2+bx+c 得：a+b+c＝0，而 b＝2a， ∴3a+b＝0，因此②是正确的； （4）∵对称轴是直线 x＝﹣1，
人教版九年级上册数学第二十二章 二次函数 培优测试卷(含答案)
人教版九上数学第二十二章二次函数培优测试卷考试时间：120分钟满分：120分一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1.已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（）A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2B. 有最大值0，有最小值﹣1C. 有最大值7，有最小值﹣1D. 有最大值7，有最小值﹣22.已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A. x1＜﹣1＜2＜x2B. ﹣1＜x1＜2＜x2C. ﹣1＜x1＜x2＜2D. x1＜﹣1＜x2＜23.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（）A. B. C. D.（第3题）（第10题）4.把一个足球垂直于水平地面向上踢，该足球距离地面的高度（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为. 若存在两个不同的的值，使足球离地面的高度均为（米），则的取值范围（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A. M=N-1或M=N+1B. M=N-1或M=N+2C. M=N或M=N+1D. M=N或M=N-16.已知点A(t，y1)，B(t+2，y2)在抛物线y= 的图象上，且-2<t<2，则线段AB长的最大值、最小值分别是( )A. ，2B. ，C. ，2D. ，7.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（O，m）（2，m）（m＞0），与x轴的一个交点为（x1，0），且﹣1＜x1＜0.则下列结论：①若点（）是函数图象上一点，则y＞0；②若点是函数图象上一点，则y＞0；③（a+c）2＜b2.其中正确的是（）A. ①B. ①②C. ①③D. ②③8.已知抛物线与y轴交于点A，与直线（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论错误的是（）A. 存在实数k，使得为等腰三角形B. 存在实数k，使得的内角中有两角分别为30°和60°C. 任意实数k，使得都为直角三角形D. 存在实数k，使得为等边三角形9.四位同学在研究函数y1＝ax2＋ax－2a (a是非零常数)时，甲发现该函数图象总经过定点；乙发现若抛物线y1＝ax2＋ax－2a总不经过点P(x0－3，x02－16)，则符合条件的点P有且只有2个；丙发现若直线y2＝kx＋b与函数y1交于x轴上同一点，则b＝－k；丁发现若直线y3＝m (m≠0)与抛物线有两个交点(x1，y1)(x2，y2)，则x1＋x2＋1＝0.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10.二次函数的图象如图，下列四个结论：；；关于x的一元二次方程11.如图，抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0）和B(b,0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a=-1，则b=3；③抛物线上有两点P(x1，y1）和Q（x2，y2），若x1<1<x2，且x1+x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDGF周长的最小值为．其中，判断正确的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②③④12.已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）A. B. C. D.（第11题）（第12题）（第14题）（第15题）二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．14.为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是________m2.15.已知函数，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为________．16.如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连结，则的最小值为________．17.已知关于的方程 ( 为实数)两非负实数根，则的最小值是________.18.二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣．其中正确的有________（请将结论正确的序号全部填上）19.（8分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).（1）求点D的坐标(用含m的代数式表示);（2）若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.20.（10分）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点的坐标为A（﹣1，0），与y轴的交点坐标为C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式及与x轴的另一个交点B的坐标；（2）根据图象回答：当x取何值时，y＜0？（3）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PA+PB的值最小时的点P的坐标．21.（8分）某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．（1）若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？22.（10分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x （m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W 的最小值．23.（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，-3），点P 是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．24.（10分）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求b、c的值；（2）求∠DAO的度数和线段AD的长；（3）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．25.（10分）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．（参考答案）一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1. D2. A3. C4. C5. C6. C7. C8. D9. C 10. D 11. B 12. D二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.13.2214. 30015. 316.17. -1518. ①③三、解答题（本大题有7小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.19.解：（1）∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).（2）∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.（3）根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.20. （1）解：由二次函数y＝x2+bx+c的图象经过（﹣1，0）和（0，﹣3）两点，得，解得．则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），则该抛物线与x轴的交点坐标是：A（﹣1，0），B（3，0）；（2）根据图象知，当﹣1＜x＜3时，y＜0；（3）∵A（﹣1，0），B（3，0），∴对称轴是直线x＝1．当A、B、P三点共线时，PA+PB的值最小，此时点P是对称轴与x轴的交点，即P（1，0）．21. （1）解：设要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价x元，（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得，x1＝10，x2＝20∵当x＝20时，卖出的多，库存比x＝10时少，∴要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价20元；y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250，即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．22. （1）解：将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y2=k2x+b，得：，解得：（2）解：当0≤x＜600时，W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴当x=500时，W取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x=600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元（3）解：由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x=900时，W取得最小值。
人教版九年级上第22章《二次函数》期末培优测验试卷(含答案)
人教版初中九年级上册：第22章《二次函数》期末培优测验一．选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x﹣1）2﹣1（a≠0）的顶点坐标是（）A．（2，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，1）D．（1，﹣1）2．将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2+3B．y=（x﹣2）2﹣3C．y=（x+2）2+3D．y=（x+2）2﹣3 3．抛物线y=x2﹣2x﹣1上有点P（﹣1，y1）和Q（m，y2），若y1＞y2，则m的取值范围为（）A．m＞﹣1B．m＜﹣1C．﹣1＜m＜3D．﹣1≤m＜3 4．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如所示，那么下列判断不正确的是（）A．ac＜0B．a﹣b+c＞0C．b=﹣4a D．a+b+c＞0 5．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣3，0），B（1，0），C（﹣5，y1），D （﹣2，y2）四点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能确定6．下列是抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的图象大致是（）A．B．C．D．7．如图，已知抛物线y=x2+px+q的对称轴为直线x=﹣2，过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，﹣1）．若要在y轴上找一点P，使得PM+PN最小，则点P的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，﹣）C．（0，﹣）D．（0，﹣）8．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x≥0）与y2=x2（x≥0）的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1=x2（x≥0）的图象于点D，直线DE∥AC，交y2=x2（x≥0）的图象于点E，则=（）A．B．1C．D．3﹣9．已知原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＞﹣2 10．将抛物线y=（x+1）2﹣2向上平移a个单位后得到的抛物线恰好与x轴有一个交点，则a的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2二．填空题（共7小题）11．已知二次函数y=x2﹣mx+3在x=0和x=2时的函数值相等，那么m的值是．12．如图，若点B的坐标为（，0），则点A的坐标为．13．函数y=ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象过点（2，0），那么使函数值y＜0成立的x的取值范围是．14．把抛物线y=x2向左平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为．15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为m2．16．二次函数y=3（x﹣3）2+2顶点坐标坐标．17．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=x2﹣6x ﹣16，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长为．三．解答题（共6小题）18．若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，﹣2），求此二次函数解析式．19．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为；（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．20．已知二次函数y=﹣x2+2x﹣3（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）直接说出x在什么范围内，y随x的增大而减小．21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元．商场平均每天可多售出4件，（1）若商场平均每天盈利最大，每件衬衫应降价多少元？（2）每天可售出多少件？22．如图，在△ABG中，AB=AC=1，∠A=45°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AG上，与△ADC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重含），设AF=x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．（1）求y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时y的值最大？23．已知抛物线的顶点A（1，﹣4），且与直线y=x﹣3交于点B（3，0），点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）当直线高于抛物线时，直接写出自变量x的取值范围是多少？参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：（1）∵y=a（x﹣1）2﹣1；∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；故选：D．2．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．故选：D．3．【解答】解：∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，∵函数对称轴为x=﹣=1，∴当y1＞y2时，①Q（m，y2）在对称轴右侧时，1≤m＜3；②Q（m，y2）在对称轴右侧时，﹣1＜m＜1，综上，m的取值范围为是﹣1＜m＜3，故选：C．4．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＞0，∴ac＜0，所以A选项的判断正确；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以B选项的判断错误；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，所以C选项的判断正确；∵x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，所以D选项的判断正确．故选：B．5．【解答】解：∵抛物线过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，∴抛物线的对称轴为x==﹣1，∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y1＜y2．故选：C．6．【解答】解：抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的图象，因为a=﹣2，所以开口向下，故CD错误；抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的对称轴是直线x=﹣，故A错误；故选：B．7．【解答】解：如图，作N点关于y轴的对称点N′，连接MN′交y轴于P点，将N点坐标代入抛物线，并联立对称轴，得，解得，y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，M（﹣2，﹣2）．N点关于y轴的对称点N′（1，﹣1），设MN′的解析式为y=kx+b，将M、N′代入函数解析式，得，解得，MN′的解析式为y=x﹣，当x=0时，y=﹣，即P（0，﹣），故选：B．8．【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则y1=x2=a，解得x=，∴点B（，a），y=x2=a，则x=，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=（）2=3a，∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴x2=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，∴==3﹣．故选：D．9．【解答】解：∵原点是抛物线y=（m+1）x2的最低点，∴m +1＞0，即m ＞﹣1．故选：C ．10．【解答】解：新抛物线的解析式为：y=（x +1）2﹣2+a=x 2+2x ﹣1+a ， ∵新抛物线恰好与x 轴有一个交点，∴△=4﹣4（﹣1+a ）=0，解得a=2．故选：D ．二．填空题（共7小题）11．【解答】解：∵当x=0和x=2时的函数值相等，∴二次函数图象的对称轴x==1，∵对称轴x=﹣=m ，∴m=1，即m=2，故答案为：2．12．【解答】解：由图象可得，该抛物线的对称轴是直线x=1，∵若点B 的坐标为（，0），∴点A 的坐标为（2﹣，0），故答案为：（2﹣，0）．13．【解答】解：∵函数y=ax 2﹣2ax +m （a ＞0）的图象过点（2，0）， ∴0=a ×22﹣2a ×2+m ，化简，得m=0，∴y=ax 2﹣2ax=ax （x ﹣2），当y=0时，x=0或x=2，∵a ＞0， ∴使函数值y ＜0成立的x 的取值范围是0＜x ＜2，故答案为：0＜x ＜2．14．【解答】解：把抛物线y=x 2向左平移2个单位，得到的抛物线解析式是：y=（x+2）2﹣2，即y=x2+4x+4．故答案为：y=x2+4x+4．15．【解答】解：∵AB=xm，∴BC=（28﹣x）m．则S=AB•BC=x（28﹣x）=﹣x2+28x．即S=﹣x2+28x（0＜x＜28）．由题意可知，，解得6≤x≤13．∵在6≤x≤13内，S随x的增大而增大，∴当x=13时，S最大值=195，即花园面积的最大值为195m2．故答案为：195．16．【解答】解：∵二次函数y=3（x﹣3）2+2是顶点式，∴顶点坐标为（3，2）．故答案为：（3，2）．17．【解答】解：抛物线的解析式为y=x2﹣6x﹣16，则D（0，﹣16）令y=0，解得：x=﹣2或8，函数的对称轴x=﹣=3，即M（3，0），则A（﹣2，0）、B（8，0），则AB=10，圆的半径为AB=5，在Rt△COM中，OM=5，OM=3，则：CO=4，则：CD=CO+OD=4+16=20．三．解答题（共6小题）18．【解答】解：用顶点式表达式：y=a（x﹣2）2+1，把点（1，﹣2）代入表达式，解得：a=﹣3，∴函数表达式为：y=﹣3（x﹣2）2+1=﹣3x2+12x﹣11．19．【解答】解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5=a（x﹣m）2+2m﹣5，∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．∵AB∥x轴，且AB=4，∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．∵∠ABC=135°，∴设BD=t，则CD=t，∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．∵点C在抛物线y=a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣t=a（2+t）2+2m﹣5，整理，得：at2+（4a+1）t=0，解得：t1=0（舍去），t2=﹣，=AB•CD=﹣．∴S△ABC（3）∵△ABC的面积为2，∴﹣=2，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m﹣5．分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣14m+39=0，解得：m1=7﹣（舍去），m2=7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5=2，解得：m=；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5=2，整理，得：m2﹣20m+60=0，解得：m3=10﹣2（舍去），m4=10+2．综上所述：m的值为或10+2．20．【解答】解：（1）y=﹣x2+2x﹣3=﹣（x2﹣2x+3）=﹣（x﹣1）2﹣2，所以顶点坐标为（1，﹣2）对称轴为x=1；（2）∵函数图象开口向下，又其对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而减小．21．【解答】解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利为y元，y=（45﹣x）（20+4x），∴y=﹣4x2+160x+900=﹣4（x﹣20）2+2500，∴当x=20时，y取得最大值，此时y=2500，答：若商场平均每天盈利最大，每件衬衫应降价20元；（2）当x=20时，20+4x=20+4×20=100，答：每天可售出100件．22．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥AB，∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，∴∠C=∠CED，∴DC=DE．在Rt△ADF中，∵∠A=45°，∴∠ADF=45°=∠A，∴AF=DF=x，∴AD==x，∴DC=DE=1﹣x，∴y=（DE+FB）×DF=（1﹣x+1﹣x）x=﹣（+1）x2+x．∵点D保持在AC上，且D不与A重合，∴0＜AD≤1，∴0＜x≤1，∴0＜x≤．故y=﹣（+1）x2+x，自变量x的取值范围是0＜x≤；（2）∵y=﹣（+1）x2+x，∴当x=﹣=﹣1时，y有最大值．23．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把B（3，0）代入得a（3﹣1）2﹣4=0，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣4；（2）如图，当0＜x＜3时，直线高于抛物线．。
人教版九年级数学上册 第22章 《二次函数》检测题 (含答案)
《二次函数》检测题一．选择题1．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k，其图象过点A（0，2），B（6，2），则h的值是（）A．6 B．5 C．4 D．3），B（1，y2），C（，y3）三2．若二次函数y＝x2﹣6x+9的图象，经过A（﹣1，y点，y1，y2，y3大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y2 3．如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，向右平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x+1）2﹣3 4．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（）A．48m2，37.5m2B．50m2，32m2C．50m2，37.5m2D．48m2，32m25．二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3 B．2、﹣3、0 C．2、3、0 D．2、0、36．若二次函数y＝x2+3x+a﹣1的图象经过原点，则a的值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣17．二次函数y＝a2x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为P（m，k）且有一点Q（k，m）也在该函数图象上，则下列结论一定正确的是（）A．m＝k B．m＞k C．m≥k D．m＜k8．在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟10．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞时，x＞2；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正确的序号是（）A．①②④B．②③④C．②④D．③④11．抛物线y＝2x2﹣x﹣1与y轴的交点坐标为．12．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3开口，对称轴是，顶点坐标是，如果y随x的増大而减小，那么x的取值范围是．13．点P1（﹣1，y1），P2（4，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是．（用“＜”连接）14．数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为6cm的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计）．若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于．15．已知二次函数y＝ax2﹣ax﹣x﹣t（t为实数）的对称轴是直线x＝1，函数图象的顶点在x轴上，则t＝；把抛物线k1：y＝mx2﹣mx﹣x（m是一常数，且m＜0）向上平移一个单位得到新的抛物线k2，则k2落在x轴上方的部分对应的x的取值范围是．16．若二次函数y＝x2﹣x﹣（m2+m），以下结论：①抛物线与坐标轴有三个交点；②当x≥时，y随x的增大而增大；③函数交x轴于A，B两点，若AB＝1，则m＝0或m＝1；④若直线y＝x﹣1与抛物线没有交点，则m＜1；其中正确的是．17．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y ＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移4个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．18．用长为36米的篱笆围成一个矩形养鸡场，设围成矩形一边长为x米，面积为y平方米．（1）求y关于x函数解析式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为45平方米？19．已知二次函数y＝（1）把函数表达式配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式为．（2）函数图象的开口方向向，顶点坐标为，对称轴为直线，函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．（3）函数y＝的图象可由抛物线y＝﹣向平移个单位长度，再向平移个单位长度得到；（4）根据图象，写出y＞0时，x的取值范围是．（5）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是．20．某商场将每台进价为3000元的彩电以3900元的销售价售出，每天可销售出6台，这种彩电每台降价100x（x为整数且0＜x＜9）元，每天可以多销售出3x台．（1）降价后每台彩电的利润是元，每天销售彩电台，设商场每天销售这种彩电获得的利润为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）为了使顾客得到实惠，每台彩电的销售价定为多少时，销售该品牌彩电每天获得的利润最大，最大利润是多少？21．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d最大时点P的坐标．22．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线解析式；（2）抛物线与y轴交于点C，在抛物线上存在点P，使S△BAP＝S△CAP，求P点坐标；（3）已知直线l：y＝2x﹣1，将抛物线沿y＝2x﹣1方向平移，平移过程中与l相交于E、F两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m，在x轴上存在一点P，使∠EPF＝90°，求m的范围．23．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a≠0）．（1）当抛物线经过点P（1，0）时，求抛物线的顶点坐标；（2）若该抛物线开口向上，当0≤x≤4时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M 的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；（3）点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线上的两点，设t≤x1≤t+1，当x2≥3且a＜0时，均有y1≥y2，求t的取值范围．24．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角等腰三角形时，求此时点D 的坐标；（3）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．参考答案一．选择题1．解：由解析式可知抛物线的对称轴为直线x＝h，∵点A（0，2），B（6，2），它们的纵坐标相同，∴对称轴为直线x＝＝3∴h＝3．故选：D．2．解：∵二次函数y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，∴对称轴为直线x＝3，3﹣（﹣1）＝4，3﹣1＝2，4+﹣3＝1+，∵4＞1+＞2，∴y1＞y3＞y2．故选：B．3．解：抛物线y＝x2+2向下平移1个单位后的解析式为：y＝x2+2﹣1＝x2+1．再向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+1．故选：A．4．解：设平行于墙的一边长为xm，苗圃园面积为Sm2，则S＝x×（20﹣x）＝﹣（x2﹣20x）＝﹣（x﹣10）2+50∵﹣＜0∴S有最大值，x＝10＞8时，S最大＝50∵墙长为15m∴当x＝15时，S最小S＝15××（20﹣15）＝37.5最小∴这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为50m2，37.5m2．故选：C．5．解：二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数是2，一次项系数是0，常数项是﹣3，故选：A．6．解：把（0，0）代入y＝x2+3x+a﹣1得a﹣1＝0，解得a＝1，所以a的值为1．故选：B．7．解：∵二次函数y＝a2x2+bx+c（a≠0），∴a2＞0，∴该函数开口向上，函数有最小值，∵二次函数y＝a2x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为P（m，k）且有一点Q（k，m）也在该函数图象上，∴m≥k，故选：C．8．解：∵二次函数y＝x2+a∴抛物线开口向上，∴排除B，∵一次函数y＝ax+2，∴直线与y轴的正半轴相交，∴排除A；∵抛物线得a＜0，∴排除C；故选：D．9．解：根据题意，将（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p＝at2+bt+c，得：，解得：，即p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，当t＝﹣＝3.75时，p取得最大值，故选：B．10．解：∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；∴b2﹣4c＜0故①不正确；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，即3b+c+6＝0；故②正确；把（1，1）（3，3）代入y＝x2+bx+c，得抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+3，当x＝2时，y＝x2﹣3x+3＝1，y＝＝1，抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）第一象限内，当x＞2时，x2+bx+c＞；或第三象限内，当x＜0时，x2+bx+c＞；故③错误；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：把x＝0代入抛物线y＝2x2﹣x﹣1得：y＝﹣1，∴抛物线y＝2x2﹣x﹣1与y轴的交点坐标是（0，﹣1），故答案为：（0，﹣1）．12．解：抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣3），当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故答案为：向下，x＝﹣1，（﹣1，﹣3），x＞﹣1．13．解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，A（﹣1，y）关于对称轴的对称点为（3，y1），1∵3＜4＜5，∴y3＜y2＜y1，故答案为y3＜y2＜y1．14．解：根据题意AB＝6cm，设正方体的棱长为xcm，则AC＝x，BC＝3x，根据勾股定理，AB2＝AC2+BC2，即62＝x2+（3x）2，解得x＝故答案为cm．15．解：对称轴是直线x＝1＝，解得：a＝1，△＝（﹣a﹣1）2+4at＝0，解得：t＝﹣1，故答案为：﹣1；k的表达式为：y＝mx2﹣mx﹣x﹣1，2△＝（﹣m﹣1）2+4m＝（m﹣1）2，函数与x轴的交点坐标为：（，0）和（1，0），故k2落在x轴上方的部分对应的x的取值范围：＜x＜1，故答案为：＜x＜1．16．解：①△＝1﹣4（﹣m2+m）＝（2m﹣1）2≥0，即抛物线与坐标轴有2﹣3个交点，故不符合题意；②函数的对称轴为：x＝，函数开口向上，故当x≥时，y随x的增大而增大，符合题意；③函数交x轴于A，B两点，则两个点的坐标分别为：（m+1，0）、（﹣m，0），则AB＝|m+1+m|＝1，则m＝0或m＝﹣1，故不符合题意；④若直线y＝x﹣1与抛物线没有交点，即：x2﹣x﹣（m2+m）＝x﹣1，化简为：x2﹣2x ﹣（m2+m﹣1）＝0，△＝4+4（m2+m﹣1）＜0，解得：0＜m＜1，故m＜1，不符合题意；故答案为：②三．解答题（共8小题）17．解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝2x+2得y＝2，∴B（0，2），∵点B向右平移4个单位长度，得到点C，∴C（4，2）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝2x+2得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞﹣，将x＝4代入抛物线得y＝5a，∴5a≥4，a≥，∴a≥；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜﹣；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．18．解：（1）由题意可得，y＝x•＝x（18﹣x）＝﹣x2+18x，即y关于x的函数关系式是：y＝﹣x2+18x（0＜x＜18）；（2）令y＝45，则45＝﹣x2+18x，解得x1＝3，x2＝15．即当x为3米或15米时，围成的养鸡场面积为45平方米．19．解：（1）y＝＝﹣（x+1）2+2；故答案为：y＝﹣（x+1）2+2；（2）﹣0，故函数图象的开口方向向下，顶点坐标为（﹣1，2），对称轴为直线x ＝﹣1，y＝，令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝1或﹣3，故：函数图象与x轴的交点坐标为（1，0）或（﹣3，0），与y轴的交点坐标为（0，），故答案为：下，（﹣1，2），x＝1，（1，0）或（﹣3，0），（0，）；（3）函数y＝的图象可由抛物线y＝﹣向上平移2个单位，向左平移1个单位得到，故答案为：上，2，左，1；（4）根据图象，写出y＞0时，x的取值范围是：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3；（5）函数的对称轴为：x＝﹣1，故当y随x的增大而增大时，x的取值范围是x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．20．解：（1）由题意得：每台彩电的利润是（3900﹣100x﹣3000）元，即（900﹣100x）元，每天销售（6+3x）台，则y＝（900﹣100x）（6+3x）＝﹣300x2+2100x+5400故答案为：（900﹣100x），（6+3x）；y与x之间的函数关系式为：y＝﹣300x2+2100x+5400．（2）y＝﹣300x2+2100x+5400．＝﹣300（x﹣3.5）2+9075当x＝3或x＝4时，y最大值＝9000．当x＝3时，彩电销售单价为3600元，每天销售15台，营业额为3600×15＝54000元，当x＝4时，彩电销售单价为3500元，每天销售18台，营业额为3500×18＝63000元，∴为了使顾客得到实惠，每台彩电的销售价定为3500元时，销售该品牌彩电每天获得的利润最大，最大利润是9000元．21．解：（1）物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c＝6，将点B（6，0）代入函数表达式得：0＝36a+12+6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，∴函数的对称轴为：x＝2，顶点坐标为（2，8）；（2）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+6，点N（s，0），①当AB是平行四边形的一条边时，点A向右、向下均平移6个单位得到B，同理点N右、向下均平移6个单位得到M，故：s+6＝m，0﹣6＝n，解得：m＝2±2，故点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）；②当AB是平行四边形的对角线时，则AB的中点即为MN的中点，则s+m＝6，n+0＝6，解得：m＝4，故点M的坐标为（4，6），综上，点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）或（4，6）．（3）如下图，过点P作PG∥y轴交AB于点G，作PH⊥AB交于点H，∵OA＝OB＝6，则∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PG∥y轴，则∠PGH＝∠OAB＝45°，直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，设点P（x，﹣x2+2x+6），则G（x，﹣x+6），d＝PH＝PG＝（﹣x2+2x+6+x﹣6）＝（﹣x2+3x），当x＝3时，d取得最大值，此时点P（3，）．22．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝1，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）①当点P在第一象限时，如下图左图：过点C作AP的平行线，过点B作AP的平行线交y轴于点H，当GH＝CG时，即点G是CH的中点时，则S△BAP＝S△CAP，设点P（m，﹣m2+2m+3），将点P、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线PA的表达式为：y＝（3﹣m）x+（3﹣m），则点G（0，3﹣m），．同理BH的表达式为：y＝（3﹣m）x﹣9（3﹣m），则点H（0，9m﹣27），点G是CH的中点，则2（3﹣m）＝3+9m﹣27，解得：m＝，故点P（，）；②当点P在第四象限时，如上图右侧图，S＝S△CAP，则点B、C到直线AP的距离相等，△BAP则CB∥AP即满足条件，同理可得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，同理可得：直线AP的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x＝4，故点P（4，﹣5），③当点P在二、三象限时，点B、C到直线AP的距离不相等，故点P不存在；综上，点P的坐标为：（，）或（4，﹣5）；（3）当以EF为直径的⊙R与x轴相切时，直线x上存在点P即切点，使∠EPF＝90°，当⊙R与x轴相交时，在x轴上存在点P（即交点），使∠EPF＝90°，当⊙R与x轴相离时，不存在点P．如下图，⊙R与x轴相切时，切点为P，设：点E、F的坐标分别为：（x1，y1）、（x2，y2），当平移后的抛物线顶点横坐标为m时，则抛物线向右平移了m﹣1个单位，相应纵坐标向上平移了2（m﹣1）个单位，则平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m+1）2+2m ﹣2，将上式与y＝2x﹣1联立并整理得：x2﹣（2m﹣4）x+m2﹣2＝0，则x1+x2＝2m﹣4，x1x2＝m2﹣2，则y1+y2＝2（x1+x2）﹣2，则点R（m﹣2，2m﹣5），则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2+4x1x2＝24﹣16m，PR＝EF，即：EF2＝4PR2，EF2＝（x﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝5（x1﹣x2）2＝5×（24﹣16m）＝4PR2＝4（2m﹣5）12，化简得：4m2＝5，解得：m＝±，故m的范围是：m≥或m≤﹣．23．解：（1）∵该二次函数图象的对称轴为：x＝﹣＝1又∵抛物线经过点P（1，0），∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．（2）∵该抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当0≤x≤4时，点M的纵坐标为6，∴抛物线的最高点M的坐标为（4，6），∴将（4，6）代入y＝ax2﹣2ax﹣2得：6＝a×16﹣2a×4﹣2解得：a＝1∴y＝x2﹣2x﹣2∴最低点N在x＝1时取得∴N（1，﹣3）∴点M和点N的坐标分别为（4，6）和（1，﹣3）．（3）当a＜0时，该抛物线开口向下，对称轴为x＝1，∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线上的两点，t≤x≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，1∴解得：﹣1≤t≤2∴t的取值范围是﹣1≤t≤2．24．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），则﹣4a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）过点M作x轴的平行线交y轴于点E，过点B作y轴的平行线交EM的延长线于点F，∵∠BMF+∠MBF＝90°，∠MBF+∠CME＝90°，∴∠CME＝∠MBF，MB＝MC，∠MFB＝∠CEM＝90°，∴△MFB≌△CEM（AAS），∴ME＝t﹣1＝BF＝OE，EC＝MB＝5﹣t，CO＝CE﹣OE＝5﹣t﹣（t﹣1）＝2，解得：t＝2，则OM＝2﹣1＝1，当x＝1时，y＝﹣x2+x+2＝3，故点D（1，3）；（3）如图2，∠ACO+∠CAO＝90°，∠AQC+∠OAC＝90°，∴∠ACO＝∠CQA，同理∠CQ′A＝∠ACO，则A、C、Q、Q′四点公圆，且圆心R在x轴上，连接QR、RC，设圆的半径为r，则在△COR中，AO＝1，OR＝r﹣1，CO＝2，MO＝﹣1＝，则（r﹣1）2+4＝r2，解得：r＝3，在△AQM中，MR＝3﹣＝，QM＝＝，故点Q的坐标为：（，）或（，﹣）．。
人教版九年级(上)数学 第二十二章 二次函数 培优测试卷(附答案)
二次函数培优测试卷一．选择题1．下列函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣x2+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．y＝2．抛物线y＝4（x+3）2+12的顶点坐标是（）A．（4，12）B．（3，12）C．（﹣3，12）D．（﹣3，﹣12）3．关于抛物线y1＝（2+x）2与y2＝（2﹣x）2的说法，不正确的是（）A．y1与y2的顶点关于y轴对称B．y1与y2的图象关于y轴对称C．y1向右平移4个单位可得到y2的图象D．y1绕原点旋转180°可得到y2的图象4．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣4，0），（6，0），则抛物线的对称轴是（）A．1 B．直线x＝1 C．2 D．直线x＝25．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析y ＝x2﹣2x+1，则b与c分别等于（）A．2，﹣2 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，187．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒8．若函数y＝（a﹣3）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的和为（）A．7 B．10 C．12 D．159．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③9a+c＞3b；④5a+2c＞0，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．知：如图抛物线y＝ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD＝60°，则这条抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2xB．y＝﹣x2xC．y＝﹣x2xD．y＝﹣x2﹣xE．故函数的表达式为：y＝﹣x2x二．填空题（共6小题）11．抛物线y＝x2﹣2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为．12．某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过s，火箭到达它的最高点．13．已知点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是．14．若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝．15．开口向下的抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，当抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界）内，仅有4个整数点（整数点就是横、纵坐标均为整数的点）时，a的取值范围是．16．将二次函数y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是．三．解答题17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），18．若抛物线上y1P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？19．已知二次函数y＝x2﹣2ax+4a+2．（1）若该函数与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该函数与x轴的另一交点坐标；（2）不论a取何实数，该函数总经过一个定点，①求出这个定点坐标；②证明这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．20．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．21．血橙以果肉酷似鲜血的颜色而得名，果实一般在1月下旬成熟，由于果农在生产实践中积累了丰富的经验，采取了留树保鲜技术措施，将鲜果供应期拉长到了5月初．重庆市万州区孙家村晚熟柑橘以血橙为主，主要销售市场是成都、重庆市区、万州城区，据以往经验，孙家村上半年1﹣5月血橙的售价y（元/千克）与月份x之间满足一次函数关系y＝x+2.5（1≤x≤5，且x是整数）．其销售量P（千克）与月份x之间的函数关系如图．（1）请你求出月销售量P（千克）与月份x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（2）血橙在上半年1﹣5月的哪个月出售，可使销售金额W（元）最大？最大金额是多少（3）由于气候适宜以及留树保鲜技术的提高，预计该产区今年5月将收获60000千克的血橙，由于人力、物力等各方面成本的增加，孙家村决定，将5月的销售价格提高a%，当以提高后的价格销售50000千克血橙后，由于保存技术的限制，剩下的血橙制成一种新型研发出的果肉饼进行销售，每千克的血橙可生产0.8千克果肉饼，果肉饼的售价格在血橙提高后的价格的基础上将再提高a%，最后该产区将这批果肉饼全部售完后，血橙和果肉饼的销售总金额达到了480000元．求a的值．22．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，线段AB 的两个端点A （0，2），B （1，0），分别在y 轴和x 轴的正半轴上，点C 为线段AB 的中点，现将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点D ．（1）求点D 的坐标．（2）如图1，若该抛物线经过原点O ，且a ＝﹣．①求该抛物线的解析式；②连结CD ．问：在抛物线上是否存在点P ，使得∠POB 与∠BCD 互余？若存在，请求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若该抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过点E （1，1），点Q 在抛物线上，且满足∠QOB 与∠BCD 互余．若符合条件的Q 点的个数是4个，请直接写出a 的取值范围．23．如图1．已知直线l ：y ＝﹣1和抛物线L ：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），抛物线L 的顶点为原点，且经过点A （2，）直线y ＝kx +1与y 轴交于点F ，与抛线L 交于点B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），且x 1＜x 2．（1）求抛物线L 的解析式；（2）求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切；（3）①如图2，点P 是抛物线L 上的一个动点，过点P 作PM ⊥l 于点M ，试判断PM 与PF 之间的数量关系，并说明理由；②将抛物线L 和点F 都向右平移2个单位后，得到抛物线L 1和点F 1，Q 是抛物线L 1上的一动点，且点Q在L的对称轴的右侧，过点Q作QN⊥l于点N，连接QA．求|QA﹣QN|的1最大值，并直接写出此时点Q的坐标．参考答案一．选择题1．解：A 、是二次函数，故本选项符合题意；B 、当a ＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；C 、不是二次函数，故本选项不符合题意；D 、不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．2．解：∵抛物线y ＝4（x +3）2+12，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，12），故选：C ．3．解：∵抛物线y 1＝（2+x ）2＝（x +2）2，∴抛物线y 1的开口向上，顶点为（﹣2，0），对称轴为直线x ＝﹣2；抛物线y 2＝（2﹣x ）2＝（x ﹣2）2，∴抛物线y 2的开口向上，顶点为（2，0），对称轴为直线x ＝2；∴y 1与y 2的顶点关于y 轴对称，∴它们的对称轴相同，y 1与y 2的图象关于y 轴对称，y 1向右平移4个单位可得到y 2的图象，∵y 1绕原点旋转180°得到的抛物线为y ＝﹣（x +2）2，与y 2开口方向不同， ∴关于抛物线y 1＝（2+x ）2与y 2＝（2﹣x ）2的说法，不正确的是D ，故选：D ．4．解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（6，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x＝＝1，即x＝1．故选：B．5．解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选：A．6．解：∵得到函数解析y＝x2﹣2x+1∴y＝（x﹣1）2∴将新二次函数y＝（x﹣1）2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2﹣3，即y＝x2﹣6x+6又∵y＝x2+bx+c∴b＝﹣6，c＝6故选：C．7．解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，又∵﹣5＜0，∴抛物线开口向下，有最高点，此时，t＝﹣＝2．故选：B．8．解：当a﹣3≠0且△＝4a2﹣4×（a﹣3）（a﹣）≥0，解得a＞且a≠3，当a﹣3＝0，函数为一次函数，它与x轴有一个交点，所以a＞，解两个不等式得，因为不等式组无解，所以a≤5，所以a的范围为＜a≤5，所以满足条件的a的值为0，1，2，3，4，5所以所有满足条件的整数a之和为0+1+2+3+4+5＝15．故选：D．9．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣4a，∴4a+b＝0，所以②正确；∵x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，所以③错误；把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，而b＝﹣4a，∴c＝﹣5a，∴5a+2c＝5a﹣10a＝﹣5a＞0，所以④正确．故选：B．10．解：如下图所示，OA＝，∠ABD＝60°，则OB＝＝1，过点B（﹣1，0），∵四边形ABDE平行四边形，则∠AED＝∠ABD＝60°，OH＝OA＝，同理可得：HE＝1＝AH，过点E（2，），将点B、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2x故选：B．二．填空题11．解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1，故答案为：x＜1．12．解：函数的对称轴为：t＝﹣＝﹣＝16，即经过16s，火箭到达它的最高点，故答案为16．13．解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，∴该函数开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，﹣1＜x＜2，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝2，当x＝﹣1时，y取得最大值，此时y＝（﹣1﹣1）2+2＝6，∴﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y≤6，故答案为：2≤y≤6．＝3，14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），＝﹣1．∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2故答案为﹣1．15．解：∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．则，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．16．解：将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+1．故答案为：y＝2x2+1．三．解答题17．解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴解得：m ＞﹣且m ≠0．∵m ＞且m ≠0，m 取其内的最小整数，∴m ＝1， ∴二次函数的解析式为y ＝x 2﹣3x ﹣3；（2）∵抛物线的对称轴为x ＝﹣＝，∵1＞0，∴当x ≤时，y 随x 的增大而减小．又∵n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是﹣5≤y ≤1﹣n ，∴n 2﹣3n ﹣3＝1﹣n ，1﹣3﹣3＝﹣5，解得：n ＝1﹣．18．解：（1）k ＝4时，由交点式得y ＝a （x +1）（x ﹣4），（0，4）代入得a ＝﹣1，∴y ＝﹣3x 2+3x +4，则B （4，0），连OP ，设P （m ，﹣m 2+3m +4），S △BCP ＝S △OPB +S △OPB ﹣S △OBC ＝＝﹣2（m ﹣2）2+8m ＝2时，最大值为8，∴P 的横坐标为2时有最大值．（2）a ＝1时，c ＝4，设y ＝x 2+bx +4，A （﹣1，0）代入得b ＝5，∴y＝x2+5x+4．令y＝0求得B（﹣4，0），则直线BC方程为y＝x+4，过P作PH平行于y轴交直线BC于H，设P（n，n2+5n+4）、H（n，n+4），＝＝﹣2（n+2）2+8n＝﹣2面积最大值为8，此时P的横坐标为﹣2．（3）由（1）知，当面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半，由（2）知，面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半，故：可以推断，当面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半．19．解：（1）（﹣1，0）代入得0＝1+2a+4a+2，∴，∴y＝x2+x，∴另一交点为（0，0）．（2）①整理得y＝a（4﹣2x）+x2+2，令x＝2代入y＝6，故定点为（2，6），②∵y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2+（﹣a2+4a+2），顶点为（a，﹣a2+4a+2），而﹣a2+4a+2＝﹣（a﹣2）2+6，当a＝2时，纵坐标有最大值6，此时x＝2，y＝6，顶点（2，6），故定点（2，6）是所有顶点中纵坐标最大的点．20．解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a＝﹣，故函数的表达式为：y＝﹣（x﹣8）2+8，（0≤x≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD＝2m，则点A（8﹣m，y），则AB＝y＝﹣（x﹣8）2+8＝8﹣m2，设：w＝AB+AD+DC＝2m+2AB＝﹣m2+2m+16，∵﹣＜0，故w有最大值，当m＝4时，w的最大值为20，故AB、AD、DC的长度之和的最大值是20．21．解：（1）设P＝kx+b，将（1，70000），（5，50000）代入得：，解得∴P＝﹣5000x+75000．（2）∵上半年1﹣5月血橙的售价y（元/千克）与月份x之间满足一次函数关系y＝x+2.5（1≤x≤5，且x是整数）∴W＝Py＝（﹣5000x+75000）（x+2.5）＝﹣2500x2+25000x+187500∴当x＝﹣＝5时，销售金额W（元）最大，最大金额是250000元．（3）设a%＝t，5月份的销售价格y＝×5+2.5＝5由题意得：5（1+t）×50000+（60000﹣50000）×0.8×5（1+t）（1+）＝480000 ∴25（1+t）+4（1+t）（1+t）＝48∴化简得：6t2+35t﹣19＝0∴（2t﹣1）（3t+19）＝0∴t＝50%或t＝﹣（舍）故a＝50．22．解：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DBF＝∠BAO，又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，在△AOB和△BFD中，，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，∴D的坐标是（3，1），（2）①根据题意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，解得：b＝，∴抛物线的解析式为y＝．②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，∴C（，1），∵C、D两点的纵坐标都为1，∴CD∥x轴，∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO与∠BCD互余，要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，设P的坐标为（x，），（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，＝0（舍去），，解得：x1∴，∴点P的坐标为（）．（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3，则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，＝0（舍去），，解得：x1∴，∴P点坐标为（），综上所述，在抛物线上是否存在点P（）或，使得∠POB与∠BCD 互余．（3）如图4，∵D（3，1），E（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，∴y＝ax2﹣4ax+3a+1．分两种情况：①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，∴3a+1＜0，解得a＜﹣；②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个．根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，∴，设Q（2a，﹣a）在直线OQ上，设直线OQ的解析式为y＝kx，∴k＝﹣，则直线OQ的解析式为y＝﹣x，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，∴方程ax2﹣4ax+3a+1＝﹣x有两个不相等的实数根，∴，整理得：，解得：或（舍去），综上所示，a的取值范围为a＜﹣或．23．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2；（2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切；（3）①设点P（m， m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1），则PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，即：PM与PF之间的数量关系为：PM＝PF；②抛物线新抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2…①，如图2，设平移后点F的对应点为F′（2，1），由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，故当A、F′、Q三点共线时，|QA﹣QN|有最大值，|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，则AF′＝＝；将点A、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AF′的表达式为：y＝x﹣…②，联立①②并解得：x＝1或6（舍去1），故点Q（6，4）；故：|QA﹣QN|的最大值为，此时点Q的坐标为（6，4）．。
人教版初三数学上册第二十二章二次函数培优测题带答案和解析_1
人教版初三数学上册第二十二章二次函数培优测题带答案和解析选择题已知函数y=是二次函数，则m的值为（）A. ﹣3B. ±3C. 3D. ±【答案】A【解析】根据二次函数的定义结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元二次方程及一元一次不等式，解之即可得出m的值．∵函数y=（m﹣3）是二次函数，∴，解得：m=﹣3．故选A．选择题二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（）A. （1，0）B. （2，0）C. （﹣1，0）或（﹣2，0）D. （﹣1，0）或（1，0）【答案】D【解析】根据判别式的意义△=0得到关于k的方程，然后解方程求出b 的值，然后解关于x的方程即可．∵二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，∴△=b2-4=0，解得b=±2，∴x2+2x+1=0或x2-2x+1=0，解得x=-1或x=1，即此公共点的坐标是（-1，0）或（1，0）．故选：D．选择题已知一个二次函数图象经过P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，若y3＜y2＜y4，则y1，y2，y3，y4的最值情况是（）A. y3最小，y1最大B. y3最小，y4最大C. y1最小，y4最大D. 无法确定【答案】A【解析】根据题意判定抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断．∵二次函数图象经过P1（-3，y1），P2（-1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4）四点，且y3＜y2＜y4，∴抛物线开口向上，对称轴在0和1之间，∴P1（-3，y1）离对称轴的距离最大，P3（1，y3）离对称轴距离最小，∴y3最小，y1最大，故选：A．选择题已知二次函数y=（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A. ﹣3＜x＜1B. x＜﹣1或x＞3C. ﹣1＜x＜3D. x＜﹣3或x＞1【答案】C【解析】解：∵二次函数y=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的开口向上，当y=0时，0=（x﹣1）2﹣4，解得：x=3或﹣1，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3.故选C.选择题抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：①abc＞0；②a+b+c=2 ③a＞0；④b＜0．其中正确的结论是（）A. ①②B. ②④C. ②③D. ③④【答案】C【解析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故③正确；①④错误；当x=1时，函数值为2＞0，∴a+b+c=2故②正确；∴正确的选项②③，故选：C．选择题下列关于二次函数y=﹣2（x﹣2）2+1图象的叙述，其中错误的是（）A. 开口向下B. 对称轴是直线x=2C. 此函数有最小值是1D. 当x＞2时，函数y随x增大而减小【答案】C【解析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．由二次函数y=-2（x-2）2+1可知：a=-2＜0，所以开口向下，顶点坐标为（2，1），对称轴为x=2，当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，函数有最大值1，故A、B、D正确，C错误，故选：C．选择题如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程=ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3：②a﹣b+c=0；③8a+c ＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤当y随x的增大而增大时，一定有x＜O．其中结论正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对①进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，所以①正确；当x=-1时，y=0，即a-b+c=0；故②正确，∵x=-=1，即b=-2a，而x=-1时，y=0，即a-b+c=0，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∴5a＜0，∴8a+c＜0；故③正确；当y＞0时，函数图象在x轴的上面，∴x的取值范围是-1＜x＜3；故④正确；⑤当x＜1时，y随x增大而增大，当y随x的增大而增大时，一定有x＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，当y随x的增大而增大时，一定有x＜0，所以⑤错误．故选：D．选择题如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x k）2+h．已知球与O点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m，球网与O点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A. 球不会过网B. 球会过球网但不会出界C. 球会过球网并会出界D. 无法确定【答案】C【解析】分析：（1）将点A(0,2)代入求出a的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A(0,2)代入得：36a+2.6=2，解得：∴y与x的关系式为当x=9时,∴球能过球网，当x=18时,∴球会出界.故选C.选择题定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[m ﹣1，1+m，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3；③当m＜0时，函数在x＞时，y随x的增大而减小；④不论m取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】试题①抛物线的顶点坐标为（，），当m=3时，特征数为[2,4-6]，可求得顶点坐标为（-1，-8），所以①正确。
人教版九年级数学上册 实物抛物线问题 章节培优训练试卷(含解析)
人教版九年级数学章节培优训练试卷班级姓名第二十二章二次函数22.3 实际问题与二次函数第3课时实物抛物线问题一、选择题1. 北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点.拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，则此抛物线型钢拱的函数表达式为( )A.y=26675x2 B.y=-26675x2 C.y=131350x2 D.y=-131350x22. 如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=49x2+5的一部分，则杯口的口径AC=( )A.7B.8C.9D.103. 如图，从某建筑物10 m高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1 m，离地面40m，则水流落地点B离墙的距离OB是( )3A.2 mB.3 mC.4 mD.5 m4. 如图，抛物线型的拱门的地面宽度为20米，两侧离地面15米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为10米，则拱门的最大高度为( )A.10米B.15米C.20米D.30米5.如图，某拱桥呈抛物线形状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中点M 5米的地方，桥的高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后，速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0 m/s;④小球的高度h=30 m 时，t=1.5 s.其中正确的是( )A.①④B.①②C.②③④D.②③7.如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-k)2+h.已知球与O 点的水平距离为6 m 时，达到最高2.6 m ，球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m ，则下列判断正确的是( )A.球不会过球网B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界D.无法确定球能否过球网 二、填空题8.如图，高腾同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线，他跳跃的高度y(单位:m)与跳跃时间x(单位:s)之间具有函数关系y=-35x 2+65x+45，那么他能跳过的最大高度为 m.9.如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状的，抛物线两端点与水面的距离都是1米，拱桥的跨度为10米，桥洞与水面的最大距离是5米，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4米的景观灯.两盏景观灯之间的水平距离为米.10.如图所示，从O点正上方2 m的点A处向右上方抛一个小球P，小球运动的路线呈抛物线形状，该抛物线为L，小球与O点的水平距离为2 m时达到最大高度6 m，然后落在下方台阶上弹起，已知MN=4 m，FM=DE=BC=1.2 m，ON=CD=EF=1 m，若小球弹起后的运动路线是一条与L形状相同的抛物线，且落点Q与B，D在同一直线上，则小球弹起后的最大高度是m.三、解答题11.如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O处开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米.(1)求抛物线的函数关系式;(2)求点O到训练墙AB的距离(OA的长度).12.有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为12 m.现将它放在如图所示的直角坐标系中.(1)求这条抛物线的解析式;(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船能否从此桥洞通过?13.某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y(单位:m)与行进的水平距离x(单位:m)之间关系的图象如图所示.已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5 m，篮筐距地面的高度为3.05 m，当篮球行进的水平距离为3 m时，篮球距地面的高度达到最大，为3.3 m.(1)图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为;(2)求篮球出手时距地面的高度.答案全解全析一、选择题1.答案 B 设抛物线的表达式为y=ax 2(a≠0)，将B(45，-78)代入得-78=a×452，解得a=-26675，故此抛物线型钢拱的函数表达式为y=-26675x 2.故选B.2.答案 C 由题意得14=49x 2+5，解得x=±92，∴A (-92,14)，C (92,14)，∴AC=92-(-92)=9，故选C.3.答案 B 如图，建立平面直角坐标系，则抛物线的顶点M 的坐标为(1,403)，A 点坐标为(0，10).设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+403，将A(0，10)代入得10=a+403，解得a=-103.∴抛物线的解析式为y=-103(x-1)2+403.当y=0时，0=-103(x-1)2+403，解得x 1=-1(舍去)，x 2=3.∴OB=3 m.故选B.4.答案 C 如图所示，以线段CD 所在直线为x 轴，线段CD 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，此时，抛物线与 x 轴的交点为 C(-10，0)，D(10，0)，设这条抛物线的解析式为 y=a(x-10)·(x+10)，∵抛物线经过点 B(5，15)，∴15=a(5-10)×(5+10)，解得a=-15，∴y=-15(x-10)(x+10)=-15x 2+20，∴当x=0时，y 取得最大值，此时y=20，即拱门的最大高度是20米.故选C.5. 答案 D 如图，以M 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，∵桥的最大高度是16米，跨度是40米，∴C(0，16)，A(-20，0)，B(20，0)，设抛物线解析式为y=ax 2+16，将A(-20，0)代入得0=400a+16，解得a=-125，∴抛物线解析式为y=-125x 2+16，当x=5时，y=-125×52+16=-1+16=15，∴在线段AB 上离中点M 5米的地方，桥的高度是15米.6. 答案 D ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m ，经过的路程是40×2=80(m)，故①错误;②小球抛出3秒后开始下降，速度越来越快，故②正确;③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0 m/s ，故③正确;④设函数解析式为h=a(t-3)2+40，把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-409，∴函数解析式为h=-409(t-3)2+40，把h=30代入解析式，得30=-409(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，∴小球的高度h=30 m 时，t=1.5 s 或4.5 s ，故④错误.故选D.7. 答案 C ∵球与O 点的水平距离为6 m 时，达到最高2.6 m ， ∴抛物线为y=a(x-6)2+2.6.∵抛物线y=a(x-6)2+2.6过点(0，2)，∴2=a(0-6)2+2.6，解得a=-160，故y 与x 的关系式为y=-160(x-6)2+2.6，当x=9时，y=-160×(9-6)2+2.6=2.45>2.43，所以球能过球网;当y=0时，-160(x-6)2+2.6=0，解得x 1=6+2√39>18，x 2=6-2√39(舍去)，故会出界. 二、填空题 8.答案 75解析 ∵y=-35x 2+65x+45=-35(x-1)2+75，∴他能跳过的最大高度为75m.9.答案 5解析 建立平面直角坐标系如图所示，则抛物线的顶点坐标为(5，5)，且经过点(0，1)，设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+5(a≠0)，把点(0，1)代入得1=a(0-5)2+5，解得a=-425，∴抛物线的解析式为y=-425(x-5)2+5.令y=4，可解得x 1=152，x 2=52，∴两盏景观灯之间的水平距离是152-52=5米.10.答案12136解析 建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，B(4.6，2)，C(3.4，2)，D(3.4，3)，抛物线L 的顶点为(2，6).设抛物线L 的解析式为y=a(x-2)2+6， 把点A(0，2)代入得，4a+6=2，解得a=-1. ∵抛物线L 的对称轴为直线x=2， ∴点A 关于该对称轴的对称点为(4，2)， ∴小球落在BC 上.设直线BD 的解析式为y=kx+b ，∴{4.6k +b =2,3.4k +b =3,解得{k =-56,b =356,∴直线BD 的解析式为y=-56x+356，令y=0，则x=7，∴Q(7，0).∵小球弹起后的运动路线是一条与L 形状相同的抛物线， ∴设弹起后的抛物线的解析式为y=-x 2+mx+n ，把(4，2)，(7，0)代入得{-16+4m +n =2,-49+7m +n =0,解得{m =313,n =-703,∴弹起后的抛物线的解析式为y=-x 2+313x-703=-(x -316)2+12136，∴小球弹起后的最大高度为12136m.三、解答题11.解析 (1)由题意得，E(20，6)和C(0，2)， 设抛物线的函数关系式为y=a(x-20)2+6， ∴2=a(0-20)2+6， 解得a=-0.01，∴抛物线的函数关系式为y=-0.01(x-20)2+6. (2)当y=3时，3=-0.01(x-20)2+6， 解得x 1=20+10√3，x 2=20-10√3(舍去).答:点O 到训练墙AB 的距离(OA 的长度)为(20+10√3)米.12.解析 (1)由图象可知抛物线的顶点坐标为(6，4)，过点(12，0)， 设抛物线的解析式为y=a(x-6)2+4，则0=a(12-6)2+4，解得a=-19， 即这条抛物线的解析式为y=-19(x-6)2+4. (2)当x=12×(12-4)=4时，y=-19×(4-6)2+4=329>3，∴货船能通过此桥洞.13.解析 (1)(4.5，3.05);(3，3.3).(2)设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+3.3，把B(4.5，3.05)代入得，3.05=a(4.5-3)2+3.3，解得a=-19， ∴抛物线的解析式为y=-19(x-3)2+3.3， 当x=0时，y=2.3.答:篮球出手时距地面的高度为2.3米.。
人教版九年级上册第22章《二次函数》压轴培优训练
人教版九年级上册第22章《二次函数》压轴培优训练一．选择题1．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 2．根据下表，确定方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是（）x2 2.23 2.24 2.25ax2+bx+c﹣0.05﹣0.020.030.07A．2＜x＜2.23B．2.23＜x＜2.24C．2.24＜x＜2.25D．2.24＜x≤2.253．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF ＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）A．B．C．D．4．关于二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；③若m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；④抛物线的顶点在y＝﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④5．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣26．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（）A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米7．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③二．填空题9．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．10．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝于点B、C，则BC的长为．12．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m．13．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长＝．14．如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A （﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有（填序号）（1）abc＜0；（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的；（3）2≤a+b+c≤4.5；（4）最大飞行高度不超过4．三．解答题15．抛物线C1：y＝﹣x2﹣x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求A，B两点的坐标．（2）M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A 且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以∠B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．16．已知，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，顶点为P．（1）当a＝1，m＝2时，求线段AB的长度；（2）当a＝2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；（3）若，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．17．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b．（1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k ﹣2，求该抛物线的解析式；（3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S 的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点P，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；②在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根为a，b，∵当x＝m或n时，y＝3＞0，∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．故选：D．2．解：∵对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝2.23时y＜0，当x＝2.24时y＞0，可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．故选：B．3．解：设正方形的边长为m，则m＞0，∵AE＝x，∴DH＝x，∴AH＝m﹣x，∵EH2＝AE2+AH2，∴y＝x2+（m﹣x）2，y＝x2+x2﹣2mx+m2，y＝2x2﹣2mx+m2，＝2[（x﹣m）2+]，＝2（x﹣m）2+m2，∴y与x的函数图象是A．故选：A．4．解：二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，∵a＝2，b＝﹣m，c＝m﹣2，∴b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣8（m﹣2）＝（m﹣4）2≥0，则抛物线与x轴有交点，故①正确；∵当x＝1时，y＝2﹣m+m﹣2＝0，∴不论m取何值，抛物线总经过点（1，0），故②正确；设A的坐标为（x1，0），B（x2，0），令y＝0，得到2x2﹣mx+m﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝||，当m＞6时，可得m﹣4＞2，即＞1，∴AB＞1，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（，），∴将x＝代入得：y＝﹣2（﹣1）2＝﹣2（﹣+1）＝，∴抛物线的顶点坐标在y＝﹣2（x﹣1）2图象上，故④正确，综上，正确的序号有①②③④．故选：A．5．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．6．解：如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：b＝﹣，c＝20，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+20，∵斜坡的坡度为1：5，∴斜坡所在直线的解析式为：y＝x，设一条与x轴垂直的直线x＝m与抛物线交于M，与斜坡交于G，则MG＝m2﹣m+20﹣m＝（m﹣25）2+13.75，∴当m＝25时，MG的最小值为13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m；故选：B．7．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：C．8．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；综上所述，正确的结论是①③④．故选：C．二．填空题9．解：当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，顶点坐标为（，﹣），∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．故本题答案为：﹣6，﹣．10．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．11．解：∵抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．当y＝3时，＝3，解得x＝±3，∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），∴BC＝3﹣（﹣3）＝6．故答案为6．12．解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C．设AB与y轴交于点H，∵AB＝36，∴AH＝BH＝18，由题可知：OH＝7，CH＝9，∴OC＝9+7＝16，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k，∵顶点C（0，16），∴抛物线y＝ax2+16，代入点（18，7）∴7＝18×18a+16，∴7＝324a+16，∴324a＝﹣9，∴a＝﹣，∴抛物线：y＝﹣x2+16，当y＝0时，0＝﹣x2+16，∴﹣x2＝﹣16，∴x2＝16×36＝576∴x＝±24，∴E（24，0），D（﹣24，0），∴OE＝OD＝24，∴DE＝OD+OE＝24+24＝48，故答案为：48．13．解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，在正△A0B1A1中，B1（a，），代入y＝x2中，得＝•（a）2，解得a＝1，即A0A1＝1，在正△A1B2A2中，B2（b，1+），代入y＝x2中，得1+＝•（b）2，解得b＝2，即A1A2＝2，在正△A2B3A3中，B3（c，3+），代入y＝x2中，得3+＝•（c）2，解得c＝3，即A2A3＝3，由此可得△A2010B2011A2011的边长＝2011．故答案为：2011．14．解：∵线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，且由所给点的坐标可知，对称轴位于y轴右侧，抛物线开口向下∴a＜0，b＞0（a，b符号左同右异），c＞0（抛物线与y轴交于线段EF上某点）∴abc＜0∴（1）正确；当起飞点位于点A，而降落点位于点C时，对称轴为x＝＝＜1∴（2）不正确；当抛物线过点B，点E，点C时，设y＝a（x+1）（x﹣3），将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝﹣1∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）当x＝1时，y＝﹣2×（﹣2）＝4；当抛物线过点B，点E，点D时，设y＝a（x+1）（x﹣4），将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣4），当x＝＝时，y＝＞4，故（4）不正确，当抛物线过点A，点F，点D时，设y＝a（x+2）（x﹣4），将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4），当x＝1时，y＝a+b+c＝＞2，当抛物线过点A，点F，点C时，设y＝a（x+2）（x﹣3），将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣3），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣3），当x＝1时，y＝a+b+c＝2，将x＝1代入y＝﹣（x+1）（x﹣4）得y＝a+b+c＝4.5，故（3）正确．综上，（1）（3）正确．故答案为：（1）（3）．三．解答题15．解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∵点A在点B的右侧，∴A（2，0），B（﹣4，0）；（2）分两种情况：①当P在x轴的下方时，如图1，过P作PD⊥x轴于D，设抛物线C1的顶点为E，则E（﹣1，），∵△PBC是等腰直角三角形，∴BC＝PB，∠PBC＝90°，∴∠CBO+∠OCB＝∠OBC+∠PBD＝90°，∴∠OCB＝∠PBD，∵∠BOC＝∠PDB＝90°，∴△BOC≌△PDB（AAS），∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，∴OD＝4﹣2＝2，∴P（﹣2，﹣4），∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，∴设抛物线C2的解析式为：y＝，把P（﹣2，﹣4）和A（2，0）代入得：，解得：，∴抛物线C2的解析式为：y＝＝，此时点P为抛物线C2的顶点，∴M是线段EP的中点，∴M（﹣，﹣）；②当点P在x轴的上方时，如图2，过P作PD⊥x轴于D，同理得△PDB≌△BOC，∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，∴P（﹣6，4），∵抛物线C2经过点P和点A，同理可得抛物线的解析式为：y＝＝，∴顶点F（﹣1，﹣），∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，∴M是线段EF的中点，∴M（﹣1，0）；综上，点M的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣1，0）．16．解：（1）当a＝1，m＝2时，y＝x2﹣4x+3，当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴AB＝3﹣1＝2；（2）当a＝2时，y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5＝2（x﹣m）2+2m﹣5，∵顶点为P，∴P（m，2m﹣5），∴点P在直线y＝2x﹣5上，∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，∴当点P在第一象限时，m＝2m﹣5，m＝5，该抛物线的解析式为y＝2（x﹣5）2+5，当解析式为y＝2（x﹣5）2+5时，该抛物线与x轴无交点与题意有两个交点矛盾，故这种情况舍去，当点P在第四象限时，m＝﹣（2m﹣5），m＝，该抛物线的解析式为；（3）当a＝时，抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m﹣5，分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣14m+39＝0，解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m＝；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣20m+60＝0，解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．综上所述：m的值为或10+2．17．解：（1）对于y＝﹣2（x+1）2+3，令x＝0，则y＝1，故点A（0，1），顶点P的坐标为（﹣1，3），则“风车线”的表达式为y＝k（x+1）+3，将点A的坐标代入上式并解得：k＝﹣2，故“风车线”的解析式为y＝﹣2（x+1）+3＝﹣2x+1；（2）y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2，故点P的坐标为（﹣3，﹣2），故平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+3）2﹣2；（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+1，则点P（2，1），则“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1，联立，解得，故点A（2，5），故AP＝5﹣1＝4，则△ABC的面积＝S△APB+S△APC＝×4×（x C﹣x B）＝12，解得：x C﹣x B＝6，设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，点B在直线m上，则点B（t，t+3），同理点C（t+6，﹣2t﹣3），将点B、C的坐标分别代入y＝k（x﹣2）+1，得，解得，故“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1＝﹣（x﹣2）+1＝﹣x+3．18．解：（1）把点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵OP＝t，设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3），∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，∴S＝S△BCH＝NH•OB＝＝﹣t＝﹣，∵0≤t≤3，﹣，∴当t＝时，S取最大值，最大值为；（3）分两种情况：①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形，根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3，当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴P（2+，0）或（2﹣，0）；②当Q在x轴的上方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3），∴P（1，0）；综上，P点的坐标为（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．19．解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝5，∴B（4，5），把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），∴S△ABF＝＝＝．（3）存在，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝P A2，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，解得：m＝8，∴P（1，8）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：P A2+AB2＝PB2，∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，解得：m＝﹣2，∴P（1，﹣2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+P A2＝BA2，∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，解得：m＝6或﹣1，∴P（1，6）或（1，﹣1）；综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣；（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），∴设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝，解得：x＝1，∴E（1，3），∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴G（m，），F（m，﹣），∵S△EFG＝S△OEG，∴，[（﹣）﹣（）]（1﹣m）＝，解得：m1＝，m2＝﹣2；②存在，由①知：E（1，3），∵四边形EFHP是正方形，∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣），分两种情况：i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣）＝，∵EF＝FH，∴，解得：m1＝（舍），m2＝，∴H（，），∴P（1，），ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，同理得﹣＝m﹣1，解得：m1＝，m2＝（舍），同理得P（1，）；综上，点P的坐标为：或．。
人教版数学九年级上册 图形面积问题 章节培优训练试卷 (含解析)
人教版九年级数学章节培优训练试卷班级 姓名第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数第1课时 图形面积问题一、选择题1. 用长为4米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x 米，设它的面积为S 平方米，则S 与x 的函数关系为( ) A.正比例函数关系 B.一次函数关系 C.二次函数关系 D.以上都不是2. 如图，将一根长2 m 的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积最大是( )A.14 m 2 B.13m 2C.12m 2 D.1 m 23. 如图，有一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为20 m 的篱笆围成.已知墙长为15 m ，若平行于墙的一边长不小于8 m ，则这个苗圃面积的最大值和最小值分别为( )A.48 m 2，37.5 m 2B.50 m 2，32 m 2C.50 m 2，37.5 m 2D.48 m 2，32 m 24. 为了节省材料，某工厂利用岸堤MN(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域(图中长方形ABCD)，若BC=(x+20)米，则下列4个结论:①AB=(10-1.5x)米;②BC=2CF;③AE=2BE;④长方形ABCD 的最大面积为300平方米.其中正确结论的序号是( )A.①②B.①③C.②③D.③④5.如图，将一根长2 m 的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是( )A.14m 2 B.13m 2 C.12m 2 D.1 m 26.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个矩形临时隔离区，隔离区一面靠长为5 m 的墙，隔离区被分成两个矩形区域(用塑料膜隔开).已知整个隔离区塑料膜总长为12 m ，如果隔离区出入口的大小不计，小明认为:隔离区的最大面积为12 m 2;小亮认为:隔离区的面积可能为9 m 2.则( )A.小明正确，小亮错误B.小明错误，小亮正确C.两人均正确D.两人均错误二、填空题7.用长12 m的铝合金条制成矩形窗框(如图所示)，那么这个窗户的最大透光面积是.(中间横条所占的面积忽略不计)8.如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙(墙可用长度≤20 m)，中间用两道墙隔开.已知计划中的修筑材料可建围墙总长为60 m，设饲养室宽为x m，占地总面积为y m2，则三间饲养室总面积y的最大值为.9.如图，要在夹角为30°的两条小路OA与OB形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA和OB上取点P和点Q，并扎起篱笆将花坛保护起来(篱笆的厚度忽略不计).若OP和OQ两段篱笆的总长为60 m，则该花坛(△POQ)面积的最大值为m2.10.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门，围栏(不含门)的总长为26 m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为m.三、解答题11.如图，要用篱笆(虚线部分)围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为x(m)，矩形苗圃ABCD的面积为y(m2).(1)求y与x的函数关系式;(2)求所围矩形苗圃ABCD的面积的最大值.12.某社区决定把一块长为50 m、宽为30 m的矩形空地建为居民健身广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的四个出口宽度相同，其宽度不小于14 m，不大于26 m，设绿化区较长边的长为x m，活动区的面积为y m2.(1)求y与x的函数表达式并求出自变量x的取值范围;(2)求活动区的最大面积.答案全解全析一、选择题1.答案 C ∵矩形的周长为4米，一边长为x 米，∴其邻边长为(2-x)米，∴S=x(2-x)=-x 2+2x ，∴S 与x 的函数关系为二次函数关系.故选C.2.答案 A 设矩形的一边长为x m ，则其邻边长为(1-x)m ，设矩形的面积为S m 2，则S=x(1-x)=-x 2+x=-(x -12)2+14，∵0<x<1，∴当x=12时，S 取得最大值，为14.∴周长为2 m 的矩形的最大面积为14m 2.故选A.3.答案 C 设平行于墙的一边长为x m ，苗圃面积为S m 2，则S=x×12(20-x)=-12(x 2-20x)=-12(x-10)2+50(8≤x≤15)，易知当x=10时，S 有最大值，S 最大=50.∵15-10>10-8，∴当x=15时，S 有最小值， S 最小=15×12×(20-15)=37.5，∴这个苗圃面积的最大值和最小值分别为50 m 2，37.5 m 2.故选C. 4. 答案 D ∵三块小长方形的面积相等，∴EG=GF，设EG=FG=a ，AE=HG=DF=b ，则EF=BC=2a ，故BE=FC=12b ，无法得出BC=2CF ，故②错误;可得AE=2BE ，故③正确;可得b+12b+b+12b+b=80-2(x+20)，解得b=10-12x ，则AB=32(10-12x)=(15-34x)米，故①错误;设长方形ABCD的面积为S 平方米，则S=(15-34x)(20+x)=-34x 2+300，∵-34x 2≤0，∴当x=0，即BC=20米时，S 取得最大值，为300，故④正确.故选D.5. 答案 A 设矩形的一边长为x m ，则其邻边长为(1-x)m.设矩形的面积为S m 2，则S=x(1-x)=-x 2+x=-(x -12)2+14(0<x<1)，当x=12时，S取得最大值，最大值为14，∴围成的矩形的最大面积为14m 2.6. 答案 B 设平行于墙的塑料膜的长度为x m ，隔离区的面积为S m 2，由题意得S=12-x 3×x=-13x 2+4x(0<x≤5)，∴抛物线的对称轴为x=-42×(-13)=6，∵抛物线开口向下，0<x≤5时对应的图象在对称轴左侧，∴S 随x 的增大而增大，∴当x=5时，S 有最大值，S 最大值=-13×52+4×5=-253+20=353.∵353<12，∴小明错误.令S=9，得9=-13x 2+4x ，解得x 1=9(舍)，x 2=3，∴x=3时，S=9.∴隔离区的面积可能为9 m 2，即小亮正确. 二、填空题 7.答案 6 m 2解析 设窗户的高度为x m ，窗户的透光面积为S m 2，则宽为(12-2x 3)m ，由矩形面积公式得S=12-2x 3·x=-23x 2+4x=-23(x-3)2+6，∵x>0，12-2x3>0，∴0<x<6，∵-23<0，∴S 有最大值，当x=3时，S 取得最大值，为6.故这个窗户的最大透光面积是6 m 2. 8.答案 200解析 若饲养室宽为x m ，则长为(60-4x)m ， ∴y=x(60-4x)=-4x 2+60x=-4(x-7.5)2+225，∵0<60-4x≤20，∴10≤x<15.∵-4<0，∴当x>7.5时，y 随x 的增大而减小，∴当x=10时，y 有最大值，最大值为-4×102+60×10=200. 9. 答案 225解析 如图，作PC⊥OB 于点C ，设OP 长为x m ，△POQ 的面积为Sm 2.则OQ 长为(60-x)m ，∵∠POQ=30°，∴PC=12OP=12x(m)，∴S=12×12x·(60-x)=-14(x-30)2+225(0<x<60)，∴当x=30时，S 取得最大值225，即当OP 的长为30 m 时，△POQ 的面积最大，最大值为225 m 2.10. 答案 14解析 所有围栏的长加上两个门的宽为26+2=28(m)，设平行于墙的围栏的长与一个门的宽的和为x m ，则垂直于墙的围栏长为13(28-x)m ，设建成的饲养室的面积为S m 2，则S=13x(28-x)=-13(x 2-28x)=-13(x-14)2+1963，∴当x=14时，建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为14 m. 三、解答题11.解析 (1)若AB=x m ，则有BC=(18-2x)m ， 根据题意得y=x(18-2x)=-2x 2+18x ， ∴y 与x 的函数关系式为y=-2x 2+18x. (2)∵0<18-2x ，x>0，∴0<x<9，∵y=-2x 2+18x=-2(x -92)2+812中，-2<0，∴y 有最大值，当x=92时，y 取得最大值，为812.答:所围矩形苗圃ABCD 的面积的最大值为812m 2.12.解析 (1)根据题意，绿化区的宽为[30-(50-2x)]÷2=(x -10)m ， ∴y=50×30-4x(x-10)=-4x 2+40x+1 500，∵四个出口宽度相同，其宽度不小于14 m ，不大于26 m ，即14≤50-2x≤26，∴12≤x≤18，∴y与x的函数表达式为y=-4x2+40x+1 500(12≤x≤18).(2)y=-4x2+40x+1 500=-4(x-5)2+1 600，∵-4<0，∴抛物线的开口向下，当x≥5时，y随x的增大而减小，∵12≤x≤18，∴当x=12时，y有最大值，最大值为1 404.答:活动区的最大面积为1 404 m2.。
人教版数学九年级上册 第二十二章 《二次函数》压轴题综合培优训练(含答案)
《二次函数》压轴题综合培优训练1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）判断△ABC 的形状；（2）过点C 的直线y ＝交x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作PQ ∥y 轴交直线CH 于点Q ，作PN ∥x 轴交对称轴于点N ，以PQ 、PN 为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R →K →T 的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动的最少时间及此时点T 的坐标；（3）如图2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转至△A ′BC ′的位置，点A 、C 的对应点分别为A ′、C ′，且点C ′恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC ′．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE 、C ′E ，将△AC ′E 沿直线C ′E 翻折为△A ″C ′E ，是否存在点A ′，使得△BAA ″为等腰三角形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）△ABC 是以AC 为底的等腰三角形．理由如下：由题意知抛物线y ＝与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，∴令x ＝0，解得y ＝；令x ＝0，解得：x 1＝，x 2＝4；∴A （，0），，；∴AC2＝AM2+MC2＝＝30，BC2＝OB2+OC2＝＝75，AB2＝（OA+OB）2＝＝75∴AB＝BC∴△ABC是以AC为底的等腰三角形．（2）如图1中，过点C的直线y＝交x轴于点H，令y＝0，解得x＝，∴设P（m，﹣﹣3），则Q（m，﹣3），∵y＝＝﹣∴抛物线对称轴为：直线x＝，∴QP＝（﹣3）﹣（﹣﹣3）＝﹣+，NP＝m﹣，＝2（QP+NP）＝2（﹣+﹣）＝∴矩形PQMN的周长C矩形PQMN+∵﹣＜0，开口向下，∴当m＝3时，C最小，此时，P（3，﹣3），矩形PQMN∵R为线段CP的中点，∴R （，﹣3），作点R 关于y 轴对称点R ′（﹣，﹣3），此时R 与N 重合，由题意知：动点G 运动的最少时间t ＝RK +KT +TB ，在y 轴正半轴上取点S （0，4），连接直线BS ，则直线BS 解析式为y ＝﹣x +4，过点R ′作R ′J ⊥BS 于J ，交y 轴于K ，交x 轴于T ，则R ′J 即为所求，∵tan ∠SBO ＝＝＝，∴∠SBO ＝30°，∴TJ ＝TB 即t ＝R ′K +KT +TJ ，∵RR ′＝3，∠RR ′J ＝∠BTJ ＝60°，∴△KRR ′为等边三角形，∠RKR ′＝∠KRR ′＝60° ∴∠KRM ＝∠KHR ＝30°∴R ′J ＝2RR ′＝6即动点G 运动的最少时间t ＝6（秒）；∵△JMT ∽△JRR ′∴＝，即＝∴TM ＝3﹣3 ∴T （，0）；（3）①当AA ''＝A ''B 时，如图2中，此时，A''在对称轴上对称性可知∠AC′E＝∠A''C′E又∠HEC′＝∠A''C′E∴∠AC′E＝∠HEC′∴HE＝HC'＝5∴OE＝HE﹣HO＝∴②当AA''＝AB时，如图3中，设A″C′交y轴于J．此时AA''＝AB＝BC'＝A''C'∴四边形A''ABC'为菱形由对称性可知∠AC'E＝∠A''C'E＝30°∴JE＝∴OE＝OJ﹣JE＝6∴E（0，6）③当AA''＝A''B时，如图4中，设AC′交y轴于M．此时，A''在对称轴上∠MC'E＝75°又∠AMO＝∠EMC'＝30°∴∠MEC'＝75°∴ME＝MC'∴MC'＝∴OE＝∴E（）④当A''B＝AB时，如图5中，此时AC'＝A''C'＝A''B＝AB∴四边形AC'A''B为菱形由对称性可知，C''，E，B共线∴OE＝，∴E（0，12）．综上所述，满足条件的点E坐标为（0，3﹣）或（0，6）或（0，3+）或（0，12）．2．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +5与x 轴交于A （﹣1，0），B （5，0）两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C ，B 不重合），过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接BD ，直线BC 能否把△BDF 分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由．（3）若M 为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC 为直角三角形，请直接写出点M 的坐标．解：（1）将A （﹣1，0），B （5，0）代入y ＝ax 2+bx +5，得：，解得，则抛物线解析式为y ＝﹣x 2+4x +5；（2）能．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，把C （0，5），B （5，0）代入得，解得，所以直线BC 的解析式为y ＝﹣x +5，设D （x ，﹣x 2+4x +5），则E （x ，﹣x +5），F （x ，0），（0＜x ＜5）， ∴DE ＝﹣x 2+4x +5﹣（﹣x +5）＝﹣x 2+5x ，EF ＝﹣x +5，当DE ：EF ＝2：3时，S △BDE ：S △BEF ＝2：3，即（﹣x 2+5x ）：（﹣x +5）＝2：3， 整理得3x 2﹣17x +10＝0，解得x 1＝，x 2＝5（舍去），此时D 点坐标为（，）；当DE ：EF ＝3：2时，S △BDE ：S △BEF ＝3：2，即（﹣x 2+5x ）：（﹣x +5）＝3：2， 整理得2x 2﹣13x +15＝0，解得x 1＝，x 2＝5（舍去），此时D 点坐标为（，）；综上所述，当点D 的坐标为（，）或（，）时，直线BC 把△BDF 分成面积之比为2：3的两部分；（3）抛物线的对称轴为直线x ＝2，如图，设M （2，t ），∵B （5，0），C （0，5），∴BC 2＝52+52＝50，MC 2＝22+（t ﹣5）2＝t 2﹣10t +29，MB 2＝（2﹣5）2+t 2＝t 2+9， 当BC 2+MC 2＝MB 2时，△BCM 为直角三角形，∠BCM ＝90°，即50+t 2﹣10t +29＝t 2+9，解得t ＝7，此时M 点的坐标为（2，7）；当BC 2+MB 2＝MC 2时，△BCM 为直角三角形，∠CBM ＝90°，即50+t 2+9＝t 2﹣10t +29，解得t ＝﹣3，此时M 点的坐标为（2，﹣3）；当MC 2+MB 2＝BC 2时，△BCM 为直角三角形，∠CMB ＝90°，即t 2﹣10t +29+t 2+9＝50，解得t 1＝6，t 2＝﹣1，此时M 点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），综上所述，满足条件的M 点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A（﹣1，0）、B（4，0）与y轴交于点C，tan∠ABC＝．（1）求抛物线的解析式；（2）点M在第一象限的抛物线上，ME平行y轴交直线BC于点E，连接AC、CE，当ME 取值最大值时，求△ACE的面积．（3）在y轴负半轴上取点D（0，﹣1），连接BD，在抛物线上是否存在点N，使∠BAN＝∠ACO﹣∠OBD？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵B（4，0），∴OB＝4，∵tan∠ABC＝＝＝，∴OC＝2，∴C（0，2），设y＝a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，2）代入求得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+2，把B（4，0）代入求得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+2，设M（m，﹣m2+m+2），则E （m ，﹣m +2），∴ME ＝﹣m 2+2m ，∴当m ＝2时，ME 取得最大值2， ∴E （2，1），∴S △ACE ＝S △ABC ﹣S △ABE ＝×5×（2﹣1）＝；（3）作C ′（0，﹣2）与 C 关于x 轴对称，连接BC ′，过点D 作DE ⊥BC ′于点E ，∴∠ABC ＝∠ABC ′，∵＝，∠AOC ＝∠BOC ＝90°，∴△AOC ∽△COB ， ∴∠ABC ＝∠ACO ， ∴∠ABC ′＝∠ACO ，即∠BAN ＝∠ACO ﹣∠OBD ＝∠DBC ′，由题意得DC ′＝1、DB ＝，BC ′＝2，∵S △DBC ′＝＝，∴DE ＝，∴BE ＝，∴tan ∠DBC ′＝tan ∠BAN ＝，设N （n ，﹣n 2+n +2），且n ＞0，∴tan ∠BAN ＝＝＝，①当2n +2＝9×（﹣n 2+n +2）时，n 1＝，n 2＝﹣1（舍去）；②当2n +2＝﹣9×（﹣n 2+n +2）时，n 1＝，n 2＝﹣1（舍去）；∴N 点的坐标为（，）或（，﹣）．4．抛物线y ＝x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，直线y ＝x +2与抛物线交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是抛物线上一点，若S △PAB ＝2S △ABC ，求点P 的坐标；（3）将直线AB 上下平移，平移后的直线y ＝x +t 与抛物线交于A '，B '两点（A '在B '的左侧），当以点A '，B '和（2）中第二象限的点P 为顶点的三角形是直角三角形时，求t 的值．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+（m +2）x +4的顶点C 在x 轴正半轴上，∴．解得m ＝﹣6．∴抛物线的函数表达式是y ＝x 2﹣4x +4；（2）如图1，过点C 作CE ∥AB 交y 轴于点E ，设直线AB 交y 轴于点H ．由直线AB ：y ＝x +2，得点H （0，2）．设直线CE ：y ＝x +b ．∵y ＝x 2﹣4x +4＝（x ﹣2）2，∴C （2，0）．∴2+b ＝0，则b ＝﹣2．∴HE ＝4、由S △PAB ＝2S △ABC ，可在y 轴上且点H 上方取一点F ，使FH ＝2HE ，则F （0，10）．过点F 作FP ∥AB 交抛物线于点P 1、P 2．此时满足S △PAB ＝2S △ABC ，设直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +k ．∵F （0，10）在直线P 1、P 2上，∴k ＝10．∴直线P 1、P 2的函数解析式为：y ＝x +10．联立．解得，，综上，满足条件的点P 的坐标是P 1（﹣1，9），P 2（6，16）；（3）设A ′（x 1，y 1），B ′（x 2，y 2），显然，∠PA ′B ′≠90°．（i ）如图2，当∠A ′B ′P ＝90°时，过点B ′作直线MN ∥y 轴，A ′M ⊥MN 于M ，PN ⊥MN 于N ．∵直线A ′B ′的解析式是y ＝x +t ，∴∠B ′AM ＝45°．进一步可得到△A ′B ′M ，△PB ′N 都是等腰直角三角形．∴PN ＝NB ′，∴x 2+1＝9﹣y 2，即x 2+y 2＝8 ①又y 2＝x 2+t ，②联立①②解得．将点（4﹣t ，4+）代入二次函数解析式，得4+＝（4﹣﹣2）2．解得 t 1＝0，t 2＝10（此时点A ′与点P 重合，舍去）；②如图3，当∠A ′PB ′＝90°时，过点P 作EF ∥y 轴，A ′E ⊥EF 于E ，B ′F ⊥EF 于F ．则△A ′EP ∽△PFB ′．∴＝．∴＝，∴x 1x 2+（x 1+x 2）+1＝9（y 1+y 2）﹣y 1y 2﹣81．令x 2﹣4x +4＝x +t ，则x 2﹣5x +4﹣t ＝0．则x 1+x 2＝5，x 1x 2＝4﹣t ．y 1+y 2＝（x 1+t ）+（x 2+t ）＝x 1+x 2+2t ＝5+2t ．y 1y 2＝（x 1+t ）（x 2+t ）＝x 1x 2+t （x 1+x 2）+t 2＝t 2+4t +4．∴（4﹣t ）+5+1＝9（5+2t ）﹣（t 2+4t +4）﹣81．整理，得t 2﹣15t ﹣50＝0．解得 t 1＝20，t 2＝﹣5（舍去）．综上所述，t 的值是0或20．5．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（2，4），抛物线y ＝﹣2x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一个交点为点D ．（1）如图1，求抛物线的函数表达式；（2）如图2，连接AC、AD，将△ABC沿AC折叠后与AD、y轴分别交于点交于E、G，求OG的长度；（3）如图3，将抛物线在AC上方的图象沿AC折叠后与y轴交与点F，求点F的坐标．解：（1）如图1，∵四边形OABC是矩形，B（2，4），∴A（0，4），C（2，0），∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过A、C两点，∴，∴，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣2x2+2x+4；（2）如图2，由题意得：△ABC≌△AB′C．∴∠BCA＝∠B′CA．∵AO∥BC，∴∠BCA＝∠B′CA，∠BCA＝∠OAC，∴∠B′CA＝∠OAC．∴AG＝CG．设OG＝x，则AG＝CG＝4﹣x．在Rt△OGC中，22+x2＝（4﹣x）2，得，∴；（3）如图3，在AC上方的抛物线图象取点F的对称点F′，过点F′作y轴的平行线交直线AC于点G．由题意得：∠FAC＝∠F′AC，F′A＝FA．∵AO∥F′G，∴∠FAC＝∠AGF′．∵∠FAC＝∠F′AC，∠FAC＝∠AGF′．∴∠F′AC＝∠AGF′，∴F′A＝F′G．易得直线AC的解析式为：y＝﹣2x+4．设点F（n，﹣2n2+2n+4），则G（n，﹣2n+4）．∴F′G＝﹣2n2+4n，F′A2＝n2+（﹣2n2+2n）2．∵F′A＝F′G．∴F′A2＝F′G2．即：n2+（﹣2n2+4n）2＝（﹣2n2+2n）2，解得：n＝0（舍去），．1∴．∴F′A＝F′G＝FA＝，∴F（0，）．6．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左），与y轴交于点C （0，﹣3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点P的坐标．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝﹣＝1，∴b＝﹣2∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0．∴x1＝﹣1，x2＝3．∵A点在B点左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，﹣3）的直线的函数表达式为y＝kx+m，则，∴∴直线BC的函数表达式为y＝x﹣3；（3）①∵AB＝4，PQ＝AB，∴PQ＝3∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，则由抛物线的对称性可得PM＝，∵对称轴是直线x＝1，∴P到y轴的距离是，∴点P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣），∴F（0，﹣），∴FC＝3﹣OF＝3﹣＝，∵PQ垂直平分CE于点F，∴CE＝2FC＝，∵点D在直线BC上，∴当x＝1时，y＝﹣2，则D（1，﹣2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG ＝1，CG ＝1，∴GE ＝CE ﹣CG ＝﹣1＝．在Rt △EGD 中，tan ∠CED ＝＝．②P 1（1﹣，﹣2），P 2（1﹣，﹣）．设OE ＝a ，则GE ＝2﹣a ，当CE 为斜边时，则DG 2＝CG •GE ，即1＝（OC ﹣OG ）•（2﹣a ），∴1＝1×（2﹣a ），∴a ＝1，∴CE ＝2，∴OF ＝OE +EF ＝2∴F 、P 的纵坐标为﹣2，把y ＝﹣2，代入抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3得：x ＝1+或1﹣∵点P 在第三象限．∴P 1（1﹣，﹣2）， 当CD 为斜边时，DE ⊥CE ，∴OE ＝2，CE ＝1，∴OF ＝2.5，∴P 和F 的纵坐标为：﹣，把y ＝﹣，代入抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3得：x ＝1﹣，或1+，∵点P 在第三象限．∴P 2（1﹣，﹣）．综上所述：满足条件为P 1（1﹣，﹣2），P 2（1﹣，﹣）．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，且过点D （2，﹣3）．点P 、Q 是抛物线y ＝ax 2+bx +c 上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求△POD 面积的最大值．（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当△OBE 与△ABC 相似时，求点Q 的坐标．解：（1）函数的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3），将点D 坐标代入上式并解得：a ＝1， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3…①；（2）设直线PD 与y 轴交于点G ，设点P （m ，m 2﹣2m ﹣3），将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝sx +t 并解得：直线PD 的表达式为：y ＝mx ﹣3﹣2m ，则OG ＝3+2m ，S △POD ＝×OG （x D ﹣x P ）＝（3+2m ）（2﹣m ）＝﹣m 2+m +3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，当m＝时，其最大值为；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE与△ABC相似时，分为两种情况：①当∠ACB＝∠BOQ时，AB＝4，BC＝3，AC＝，过点A作AH⊥BC于点H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，则sin∠ACB＝＝，则tan∠ACB＝2，则直线OQ的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②并解得：x＝，故点Q1（，﹣2），Q2（﹣，2）②∠BAC＝∠BOQ时，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，则点Q（n，3n），则直线OQ的表达式为：y＝﹣3x…③，联立①③并解得：x＝，故点Q3（，），Q4（，）；综上，当△OBE与△ABC相似时，Q1（，﹣2），Q2（﹣，2），Q3（，），Q4（，）．8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的边BC在x轴上，∠ABC＝90°，以A为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（3，0），交y轴于点E（0，3），动点P在对称轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若点P从A点出发，沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止，设运动时间为t秒，过点P作PD⊥AB交AC于点D，过点D平行于y轴的直线l交抛物线于点Q，连接AQ，CQ，当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（3）若点M是平面内的任意一点，在x轴上方是否存在点P，使得以点P，M，E，C为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点C、E的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，则点A（1，4）；（2）将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AC的表达式为：y＝﹣2x+6，点P（1，4﹣t），则点D（，4﹣t），设点Q（，4﹣），S＝×DQ×BC＝﹣t2+t，△ACQ有最大值，当t＝2时，其最大值为1；∵﹣＜0，故S△ACQ（3）设点P（1，m），点M（x，y），①当EC是菱形一条边时，当点M在y轴右方时，点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C，则点P平移3个单位、向下平移3个单位得到M，则1+3＝x，m﹣3＝y，而MP＝EP得：1+（m﹣3）2＝（x﹣1）2+（y﹣m）2，解得：y＝m﹣3＝，故点M（4，）；当点M在y轴左方时，同理可得：点M（﹣2，3+）；②当EC是菱形一对角线时，则EC中点即为PM中点，则x+1＝3，y+m＝3，而PE＝PC，即1+（m﹣3）2＝4+（m﹣2）2，解得：m＝1，故x＝2，y＝3﹣m＝3﹣1＝2，故点M（2，2）；综上，点M（4，）或（﹣2，3+）或M（2，2）．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE和抛物线的表达式；（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．解：（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+x +2，同理可得直线DE 的表达式为：y ＝x ﹣1…①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作PH ∥y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：y ＝﹣x +1，设点P （x ，﹣x 2+x +2），则点H （x ，﹣x +1），S 四边形OBPF ＝S △OBF +S △PFB ＝×4×1+×PH ×BO ＝2+2（﹣x 2+x +2+x ﹣1）＝7，解得：x ＝2或，故点P （2，3）或（，）；（3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点P （2，3），过点M 作A ′M ∥AN ，过作点A ′直线DE 的对称点A ″，连接PA ″交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A″（3，0），同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，联立①③并解得：x＝，即点M（，），点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．＝1．10．如图1，抛物线y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，交y轴于B点，S△OAB（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，P是第一象限内抛物线上对称轴右侧一点，过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点，l交抛物线对称轴于C点，连PB交对称轴于D点，若∠BAO＝∠PCD，求证：AC＝2AD；（3）如图3，以A为顶点作直角，直角边分别与抛物线交于M、N两点，当直角∠MAN绕A点旋转时，求证：MN始终经过一个定点，并求出该定点的坐标．解：（1）由题意和y＝（x﹣m）2设A（m，0）当x＝0时，y═（0﹣m）2＝，即设B（0，）∴OA＝m，OB＝由S△OAB＝1∴•OA•OB＝1，即m•＝2解得，m＝2∴A（2，0），B（0，1）把y＝（x﹣2）2化为一般式为，y＝x2﹣x+1．（2）由（1）得抛物线对称轴为直线x＝2．D、C两点在直线x＝2上，则设C（2，n），D（2，n'）如图2延长BA交直线PC于点Q并设直线PC交x轴于点E．∵∠BAO＝∠PCD，∠BOA＝∠EAC＝90°∴Rt△BOA∽Rt△EAC∴∠BAO＝∠ECA∴tan∠BAO＝tan∠ECA＝∴＝∴AC＝2AE又∵∠BAO＝∠EAQ，∠BAO＝∠ECA∴∠ECA＝∠EAQ又∵∠ECA+∠CEA＝90°∴∠EAQ+∠QEA＝90°∴BQ⊥PC设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（2，0），B（0，1）代入得，解得∴直线AB的解析式为，y＝﹣x+1由BQ⊥PC设直线PC的解析式为y＝2x+b'．又∵过P的直线l与抛物线有且只有一个公共点∴令2x+b'═（x﹣2）2整理得，x2﹣12x+4﹣4b'＝0，且△＝0即144﹣4（4﹣4b'）＝0解得，b'＝﹣8∴直线PC的解析式为，y＝2x﹣8．∴把点C（2，n）代入y＝2x﹣8中得，n＝2×2﹣8解得，n＝﹣4．∴C点坐标为（2，﹣4），即AC＝4由AC＝2AE得，AE＝2．把b’＝﹣8代入方程x2﹣12x+4﹣4b'＝0中得，x2﹣12x+36＝0解得，x1＝x2＝6再把x＝6代入y＝2x﹣8中得，y＝2×6﹣8解得，y＝4∴P（6，4）设直线PB解析式为y＝k'x+1把P（6，4）代入上式得，4＝6k'+1解得，k'＝∴直线PB的解析式为，y＝x+1又∵D（2，n'）在直线PB上，将其代入y＝x+1中得，n'＝×2+1＝2∴D点坐标为（2，2），即AD＝2∴AD ＝AE∴AC ＝2AD ；（3）如图3中，以A 为原点建立新的坐标系，则抛物线的解析式为y ′＝x 2，在新坐标系中设M （a ， a 2），N （m ， m 2）． ∵AM ⊥AN ，∴＝﹣，∴ma ＝﹣16设直线MN 的解析式为y ′＝kx +b ，则有解得：，∵ma ＝﹣16，∴b ＝4，∴直线MN 的解析式为y ′＝（a +m ）x +4，∴直线MN 经过定点（0，4）（新坐标系中），在原来坐标系中，直线MN 经过点（2，4），∴直线MN 经过定点（2，4）．11．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A （﹣3，0），B （9，0）两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 沿AC 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点C 运动，同时，点Q 沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ ，过点Q 作QD ⊥x 轴，与抛物线交于点D ，连接PD 与BC 交于点E ．设点P的运动时间为t秒（t＞0）（1）求抛物线的表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3…①；（2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3…②；①点P的坐标为（﹣3+t， t），点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，即： [（6t﹣t2）]＝t，解得：t＝；（3）点P的坐标为（﹣3+t， t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，点E是PQ的中点，则点E[3﹣t， t+（6t﹣t2）]，将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，即点P（﹣，）即点P是AC的中点，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN ⊥y轴于点N，则MH＝MB，则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值，∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，OM＝OC＝＝P′H，故PM+BM的最小值为．12．抛物线y＝x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C．（1）如图1，若OB＝2OA＝2OC①求抛物线的解析式；②若M是第一象限抛物线上一点，若cos∠MAC＝，求M点坐标．（2）如图2，直线EF∥x轴与抛物线相交于E、F两点，P为EF下方抛物线上一点，且P （m，﹣2）．若∠EPF＝90°，则EF所在直线的纵坐标是否为定值，请说明理由．解：（1）①∵x＝0时，y＝x2+bx+c＝c∴C（0，c），OC＝﹣c（c＜0）∴OA＝OC＝﹣c，OB＝2OC＝﹣2c∴A（c，0），B（﹣2c，0）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A、B∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣②过点M作MD⊥AC于点D，过点D作GH∥x轴，过点A作AG⊥GH于点G，过点M作MH ⊥GH于点H，如图1∴∠ADM＝∠G＝∠H＝90°∴Rt△ADM中，cos∠MAC＝∴AM＝AD∴MD＝＝4AD∵c＝﹣∴A（﹣，0），B（1，0），C（0，﹣）∴OA＝OC∴∠OAC＝45°∴∠GAD＝∠GAO﹣∠OAC＝45°∴△ADG为等腰直角三角形∴∠ADG＝45°∴∠MDH ＝180°﹣∠ADG ﹣∠ADM ＝45°∴△MDH 为等腰直角三角形设AG ＝DG ＝t ，则AD ＝t ∴MD ＝4AD ＝4t ∴DH ＝MH ＝4t∴x M ＝x A +t +4t ＝﹣+5t ，y M ＝4t ﹣t ＝3t∵点M 在抛物线上∴（﹣+5t ）2﹣（﹣+5t ）﹣＝3t解得：t 1＝0（舍去），t 2＝∴x M ＝﹣+＝，y M ＝∴点M 坐标为（，）（2）EF 所在直线的纵坐标是定值，理由如下：过点P 作PQ ⊥EF 于点Q ，如图2∵P （m ，﹣2）在抛物线上∴m 2+bm +c ＝﹣2，即c +2＝﹣m 2﹣bm∵EF ∥x 轴且在点P 上方∴x Q ＝x P ＝m ，设y E ＝y F ＝y Q ＝n ，n ＞﹣2∴PQ ＝n ﹣（﹣2）＝n +2∵x 2+bx +c ＝n ，整理得x 2+bx +c ﹣n ＝0∴x E +x F ＝﹣b ，x E •x F ＝c ﹣n∴∠PQE ＝∠PQF ＝90°∵∠EPF ＝90°∴∠EPQ +∠FPQ ＝∠FPQ +∠PFQ ＝90°∴∠EPQ ＝∠PFQ∴△EPQ ∽△PFQ∴∴PQ2＝EQ•FQ∴（n+2）2＝（m﹣x E）（x F﹣m）∴n2+4n+4＝m•x F﹣m2﹣x E•x F+m•x En2+4n+4＝m（xE+x F）﹣m2﹣x E•x F n2+4n+4＝﹣bm﹣m2﹣（c﹣n）n2+4n+4＝c+2﹣c+n解得：n1＝﹣1，n2＝﹣2（舍去）∴EF所在直线的纵坐标为﹣1，是定值．13．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．（1）请求出二次函数的解析式；（2）若点M（m，n）在抛物线的对称轴上，且AM平分∠OAC，求n的值．（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作PQ∥AC，与AB上方的抛物线交于点Q，与x轴交于点H，试问：是否存在这样的点Q，使PH＝2QH？若存在，请直接出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B的坐标代入函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）如图，过点A作∠A的角平分线交y轴于点G，过点G作GN⊥AC于点N，二次函数对称轴交AM、x轴于点M、H，设：OG＝x＝GN，则AN＝OA＝4，AC＝2，OC＝2，CM＝2﹣x，CN＝CA﹣AN＝2﹣4，则由勾股定理得：（2﹣x）2＝x2+（2﹣4）2，解得：x＝4﹣8，∴GH∥O M，则，即：，则n＝GH＝x＝3﹣6；（3）存在，理由：如图：将点B、A的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝x﹣2…①，同理直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，∵PQ∥AC，则设直线PQ的表达式为：y＝﹣x﹣c（c＞0）…②，联立①②并解得：x＝2±2（舍去正值），故点Q（2﹣2，﹣1﹣c+），∵PH＝2QH，∴P、Q的纵坐标之比也为2，即﹣c﹣1＝±2（﹣1﹣c+），解得：c＝或，故点Q（﹣，﹣）或（﹣，）．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3），C（2，n）两点，直线l：y＝x+2过C 点，且与y轴交于点B，抛物线上有一动点E，过点E作直线EF⊥x轴于点F，交直线BC于点D（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，当点E在直线BC上方的抛物线上运动时，连接BE，BF，是否存在点E使直线BC将△BEF的面积分为2：3两部分？若存在，求出点E的坐标，若不存在说明理由；（3）如图2，若点E在y轴右侧的抛物线上运动，连接AE，当∠AED＝∠ABC时，直接写出此时点E的坐标．解：（1）直线l：y＝x+2过C点，则点C（2，3），y＝x+2过C点，且与y轴交于点B，则点B（0，2），将点A、C的坐标代入二次函数表达式并解得：b＝2，c＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）设点E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m， m+2），则DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，＝＝或，解得：m＝或，故点E（，）或（，）；（3）由（2）知：E（m，﹣m2+2m+3），则点D（m， m+2），DE＝﹣m2+m+1，DF＝m+2，①如图2，当点E在直线BC上方时，∵AB∥EF，∠ABD+∠EDB＝180°，∵∠AED＝∠A BC，∴∠AED+∠EDB＝180°，∴AE∥CD，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AB＝DE＝1＝﹣m2+m+1，解得：m＝0或（舍去0）；②如图3，当点E在直线BC的下方时，设AE、BD交于点N，作点N作x轴的平行线交DE于点M∵AB∥DE，∴∠ABN＝∠NDE，而∠AED＝∠ABC，∴∠ABN＝∠NDE＝∠AED＝∠ABC，∴△NAB、△DEN都是以点N为顶点的等腰三角形，故点M的纵坐标和AB中点的坐标同为，由中点公式得：（﹣m2+2m+3+m+2）＝，解得：m＝0或（舍去0），综上，点E（，）或（，）．15．如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心， CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x﹣3上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△BDP周长的最小值；（3）若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），求四边形ABMN的面积．解：（1）直线y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3，故点A、C的坐标为（3，0）、（0，﹣3），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x﹣1）＝a（x2﹣4x+3），则3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①；（2）过点B作直线y＝x﹣3的对称点B′，连接BD交直线y＝x﹣3于点P，直线B′B交函数对称轴与点G，连接AB′，则此时△BDP周长＝BD+PB+PD＝BD+B′B为最小值，D（2，1），则点G（2，﹣1），即：BG＝EG，即点G是BB′的中点，过点B′（3，﹣2），△BDP周长最小值＝BD+B′B＝；（3）如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q，此时PQ为最大值，点A、B、C、E、F的坐标为（3，0）、（1，0）、（0，﹣3）、（2，0）、（﹣2，0），则CE＝，FQ＝CE，则PF＝CE﹣CE＝，设点P（m，m﹣3），点F（﹣2，0），PF2＝13＝（m﹣2）2+（m﹣3）2，解得：m＝1，故点P（1，﹣2），将点P、F坐标代入一次函数表达式并解得：直线PF的表达式为：y＝﹣x﹣…②，联立①②并解得：x ＝，故点M 、N 的坐标分别为：（，）、（，）， 过点M 、N 分别作x 轴的垂线交于点S 、R ，则S 四边形ABMN ＝S 梯形NRSM ﹣S △ARN ﹣S △SBM ＝．。
人教版九年级数学上册第二十二章 《二次函数》培优训练题(含答案)
人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题（含答案）一．选择题1．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．2．抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3 D．y＝（x+3）23．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x＝﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点4．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（）A．6 B．5 C．4 D．35．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m6．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元7．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b8．已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C 且∠ACB＝90°，则m的值为（）A．±2 B．±4 C．±D．±9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论是（）A．③④B．②④C．②③D．①④二．填空题 10．若抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为 ． 11．若抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x 的一元二次方程a （x +h ﹣2）2+k ＝0的解为 ．12．抛物线经过原点O ，还经过A （2，m ），B （4，m ），若△AOB 的面积为4，则抛物线的解析式为 ． 13．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 达到警戒水位时，水面CD 的宽是10m ．如果水位以0.25m /h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h 水位达到桥拱最高点O ．14．如图，抛物线解析式为y ＝x 2，点A 1的坐标为（1，1），连接OA 1；过A 1作A 1B 1⊥OA 1，分别交y 轴、抛物线于点P 1、B 1；过B 1作B 1A 2⊥A 1B 1分别交y 轴、抛物线于点P 2、A 2；过A 2作A 2B 2⊥B 1A 2，分别交y 轴、抛物线于点P 3、B 2…；则点P n 的坐标是 ．三．解答题16．已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点P ．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）若点P 关于坐标系原点O 的对称点仍然在抛物线上，求此时m 的值；（3）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．17．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？18．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2﹣4mx +n （m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且S △ABC ：S △BCE ＝3：4．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上，①求直线CE 的解析式；②求抛物线的解析式．19．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为ts．（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为．参考答案一．选择题1．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；D符合题意；故选：D．2．解：∵抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），∴所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2．故选：D．3．解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x＝2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．4．解：∵y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2﹣4a+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，∴x1+x2＝4，∴当x取x1+x2时，y＝a（4﹣2）2﹣4a+4＝4，故选：C．5．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．6．解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，故选：D．7．解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．8．解：设y＝0，则＝mx2﹣3mx﹣4m＝0，解得：m＝4或m＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴OA＝1，OB＝4，设x＝0，则y＝﹣4m，∴OC＝|﹣4m|，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OC2＝OA•OB，即16m2＝4，解得：m＝±，故选：C．9．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝﹣1时，y＝2，即a﹣b+c＝2，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），即x＝﹣1时，y有最大值2，∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：A．二．填空题（共5小题）10．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，9），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线在x轴截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+9，代入（5，0）得，9a+9＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+9，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+9．11．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．12．解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），∴对称轴是：x＝3，AB＝2，∵△AOB的面积为4，∴AB•|m|＝4，m＝±4，当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．13．解：设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），由题意：，解得，∴y＝﹣x2，当x＝5时，y＝﹣1，故t＝＝4（h），答：再过4小时水位达到桥拱最高点O．故答案为：4．14．解：∵点A1的坐标为（1，1），∴直线OA1的解析式为y＝x，∵A1B1⊥OA1，∴OP1＝2，∴P1（0，2），设A1P1的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线A1P1的解析式为y＝﹣x+2，解求得B1（﹣2，4），∵A2B1∥OA1，设B1P2的解析式为y＝x+b2，∴﹣2+b2＝4，∴b2＝6，∴P2（0，6），解求得A2（3，9）设A1B2的解析式为y＝﹣x+b3，∴﹣3+b3＝9，∴b3＝12，∴P3（0，12），…∴P n（0，n2+n），故答案为（0，n2+n）．三．解答题（共6小题）15．证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE＝DE．∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形．（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．在Rt△FCG中，CF＝6，∴，．∵DF＝BC＝4，∴DG＝1．在Rt△DCG中，CD＝＝216．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），∵对称点仍然在抛物线上，∴m+3＝m+2m﹣3，解得m＝3；（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．17．解：（1）由题意可得：y＝100+×10＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝70时，w有最大利润，最大利润是4500元；∴应降价80﹣70＝10（元）．∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）由题意得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，解得：x1＝65，x2＝75，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当65≤x≤75时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x＝65．∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．18．解：（1）如图，过点C作CF⊥AB于F，∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0），∴对称轴为直线x＝2，∴AF＝BF，点F（2，0），即OF＝2，∵S△ABC ：S△BCE＝3：4，∴S△ABC ＝3S△ABE，∴3××AB×OE＝AB×CF，∴CF＝3OE，∵CF⊥AB，OE⊥AB，∴CF∥OE，∴，∴AF＝3OA，∵OF＝OA+AF＝2，∴OA＝，AF＝，∴点A坐标为（，0），∵AB＝2AF＝3，∴OB＝，∴点B坐标为（，0）；（2）①∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）过点A（，0），∴0＝m﹣2m+n，∴n＝m，∴y＝mx2﹣4mx+n＝m（x﹣2）2﹣m，∴点C（2，﹣m），如图2，过点C作CF⊥OB于F，CH⊥y轴于H，又∵∠FOH＝90°，∴四边形OFCH是矩形，∴CF＝OH＝m，∵将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后，点B与点A重合，点O恰好落在y轴上，∴OC＝O'C，OB＝O'A＝，又∵CH⊥OO'，∴OO'＝2OH＝m，∵OA2+O'O2＝O'A2，∴+m2＝，∴m＝，∴点C坐标为（2，﹣），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：∴直线CE的解析式为y＝﹣x+；②∵m＝，∴y＝x2﹣x+．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6，当△ADE∽△ACB时，∴，即，∴AB＝10，∴B（7，0），∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），∴解得：∴抛物线解析式为：，当△ADE∽△ABC时，，即，∴（舍去），综上，二次函数的表达式为：；（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AOC，∴，∴，解得：．设B（x，0），则，设抛物线对称轴为直线，∵A（﹣3，0），∴①．把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得②，把②代入①，∵a＜0，解得：．20．解：（1）把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中，得y＝﹣25+15+4＝﹣6，∴m＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）连线得，（3）由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：②该函数的图象有最高点：（答案不唯一）（4）∵直线y＝kx+b经过（，），∴，∴k＝∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，∴x2﹣3x﹣4+kx+b＝0和方程x2+3x﹣4+kx+b＝0各有两个不相等的实数根，即方程x2﹣（3﹣）x﹣4+b＝和0x2+（3+）x﹣4+b＝0各有两个不相等的实数根，∴，解得b≠，且b＞或b＜，∴b的取值范围为b＞或b＜．故答案为：b＞或b＜．。