北师大版平行四边形的性质 (2) PPT
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北师大版九年级数学上册《正方形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第2课时)
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看
是不是正方形.
正方形
你能证明这两个猜想吗？
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角
菱形
对角线相等
正方形
新知讲解
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
A
D
B
C
∴ AB = BC = CD = DA，
新知讲解
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
一组邻边相等
矩形
Байду номын сангаас正方形
对角线互相垂直
你能证明这两种猜想吗？
新知讲解
证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
A
D
B
C
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
新知讲解
已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
A
D
∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）
E
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴∠1=90°，∠2=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
B
H
A
O
P
是不是正方形.
正方形
你能证明这两个猜想吗？
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角
菱形
对角线相等
正方形
新知讲解
已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
A
D
B
C
∴ AB = BC = CD = DA，
新知讲解
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
一组邻边相等
矩形
Байду номын сангаас正方形
对角线互相垂直
你能证明这两种猜想吗？
新知讲解
证明：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，
A
D
B
C
∴∠A = 90°，
又∵AB = BC，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
又∵∠A = 90° ，
∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
新知讲解
已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD
A
D
∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）
E
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴∠1=90°，∠2=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）
B
H
A
O
P
九年级数学中考专题(空间与图形)-第九讲《四边形(一)》课件(北师大版)
F D
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2
+6.2平行四边形的判定+课件+-2023-2024学年北师大版数学八年级下册
O
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
应用新知
例题：已知:如图,在□ ABCD中，点E 、F
在对角线AC上，并且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形.
A
D
E
O
F
B
C
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
解题过程
连接BD，交AC于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO,BO=DO 又∵AE=CF ∴AO-AE=CO-CF
A E
B
D FC
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
西安行知中学
A E
B
D FC
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
课堂小结
1.如何证明四边形为平行四边形？
①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
求证：四边形ABCD是平行
O
四边形
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
判定定理： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言： ∵ OA=OC,OB=OD. ∴_四_边__形__A_B_C_D__是_平__行__四__边__形__ （对__角_线_互_相__平_分_的_四__边_形_是_平__行_四_边_形__)
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
课堂练习
1.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，再添加一个
条件__AB_=_C_D__或 AD∥BC 使四边形ABCD是
平行四边形.
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
应用新知
例题：已知:如图,在□ ABCD中，点E 、F
在对角线AC上，并且AE=CF．
求证:四边形BFDE是平行四边形.
A
D
E
O
F
B
C
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
解题过程
连接BD，交AC于点O ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=CO,BO=DO 又∵AE=CF ∴AO-AE=CO-CF
A E
B
D FC
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
西安行知中学
A E
B
D FC
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
课堂小结
1.如何证明四边形为平行四边形？
①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形. ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ④对角线互相平分的四边形是平行四边形.
求证：四边形ABCD是平行
O
四边形
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
判定定理： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言： ∵ OA=OC,OB=OD. ∴_四_边__形__A_B_C_D__是_平__行__四__边__形__ （对__角_线_互_相__平_分_的_四__边_形_是_平__行_四_边_形__)
北师大版数学八年级下第六章第2节平行四边形的判定（2）
课堂练习
1.在四边形ABCD中，已知AB∥CD，再添加一个
条件__AB_=_C_D__或 AD∥BC 使四边形ABCD是
平行四边形.
北师大版数学八年级下册 6.1.2平行四边形的性质课件
活动探究
探究点一 问题2：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E F过点O且与AB、CD 分别相交于点E、F，求证：OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO=DO，AB∥CD. ∴∠ABO=∠CDO. 又∵∠BOE=∠DOF , ∴△BOE≌△DOF. ∴OE=OF.
活动探究
解：∵▱A BCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝12，BD＝18， ∴AO＝12AC＝6，BO＝12 BD＝9. 又∵△AOB的周长l＝23， ∴AB＝l－(AO＋BO) ＝23－(6＋9)＝8.
课堂小结
平行四边形的性质 对称性：平行四边形是 中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心； 边：对边平行且相等； 角：对角相等，邻角互补. 对角线：相互平分
探究点二 问题1：如图, □ABCD的对角线AC、BD相交于点O, ∠ADB=90º,OA=6,0B=3. 求AD和AC的长度. 解：在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O ∴OD=OB=3 ∠ADB=90º 在Rt∆AOD中，
AD = OA2 - OD2 = 62 + 32 = 3 3， AC=2OA=2×6=12 所以，AD和AC的长度分别为 3 3 和12.
•
11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 4.3013: 39:1113 :39Apr-2130-A pr-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。13:39: 1113:3 9:1113: 39Frida y, April 30, 2021
6.1 平行四边形的性质第源自课时八年级下册-学习目标 1 掌握平行四边形对角线互相平分的性质; 2 利用平行四边形对角线的性质解决有关问题.
(2023秋)北师大版五年级数学上册《 探索活动：平行四边形的面积(2》PPT课件)
左边的大平行四边形？说一说你是怎么想的。
96÷24＝4（个）
答：需要4个。
课堂小结
通过这节课的学习，
你有什么收获?
• 多边形的面积
•平行四边形的面积(2)
右图中是一个平行四
边形广告牌，它的面
积是12.8m2，高是
0.8m。
这条高对应的底边长是多少米？
可以用两种方法
解决这个问题
方法一：用算术方法解决问题
一个平行四边形广告牌的面积是12.8m2，高
是0.8m。这条高对应的底边长是多少米？
根据平行四边形的面积公式计算
平行四边形的面积＝底×高
底＝平行四边形的面积÷高
12.8÷0.8＝16（米）
答：这条高对应的底边长是16米。
一个平行四边形广告牌的面积是12.8m2，高
是0.8m。这条高对应的底边长是多少米？
40
60
50
60×40=2400(平方米)
温馨提示：求平
行四边形的面积
时用的是对应的
底和高（互相垂
直的）相乘。
长50米的底边对应的高是多少呢? （单位:米)
S=a×h
40
60
50
h=S÷a
Hale Waihona Puke 2400÷50=48(米)
分别计算图中每个平行四边形的面积,你
发现了什么?
S=ah=2×5=10(cm2)
同底等高的平行四边形的面积相等。
5.如图，一块平行四边形的草地中间有一
条长8m、宽1m的小路，求草地的面积。
• (25-1)×8=192(m2)
答：草地的面积是192m2。
6.⑴看图计算下面两个平行四边形的面积。
12×8=96(cm2) 6×4=24(cm2)
96÷24＝4（个）
答：需要4个。
课堂小结
通过这节课的学习，
你有什么收获?
• 多边形的面积
•平行四边形的面积(2)
右图中是一个平行四
边形广告牌，它的面
积是12.8m2，高是
0.8m。
这条高对应的底边长是多少米？
可以用两种方法
解决这个问题
方法一：用算术方法解决问题
一个平行四边形广告牌的面积是12.8m2，高
是0.8m。这条高对应的底边长是多少米？
根据平行四边形的面积公式计算
平行四边形的面积＝底×高
底＝平行四边形的面积÷高
12.8÷0.8＝16（米）
答：这条高对应的底边长是16米。
一个平行四边形广告牌的面积是12.8m2，高
是0.8m。这条高对应的底边长是多少米？
40
60
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60×40=2400(平方米)
温馨提示：求平
行四边形的面积
时用的是对应的
底和高（互相垂
直的）相乘。
长50米的底边对应的高是多少呢? （单位:米)
S=a×h
40
60
50
h=S÷a
Hale Waihona Puke 2400÷50=48(米)
分别计算图中每个平行四边形的面积,你
发现了什么?
S=ah=2×5=10(cm2)
同底等高的平行四边形的面积相等。
5.如图，一块平行四边形的草地中间有一
条长8m、宽1m的小路，求草地的面积。
• (25-1)×8=192(m2)
答：草地的面积是192m2。
6.⑴看图计算下面两个平行四边形的面积。
12×8=96(cm2) 6×4=24(cm2)
八下知识点-第六章 平行四边形
第六章平行四边形【思维导图】【知识点】一、平行四边形的性质1. 平行四边形的定义定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
注意：平行四边形的定义既是性质，又是判定。
（1）由定义知平行四边形两组对边分别平行；（2）由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
2. 平行四边形的性质边：平行四边形的对边相等。
角：平行四边形的对角相等。
对角线：平行四边形对角线互相平分。
对称性：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
注意：（1）平行四边形的邻角互补；（2）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分为两个全等的三角形；（3）平行四边形中，被两条对角线平分的四个三角形的面积相等。
二、平行四边形的判定1. 平行四边形的判定方法边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形2. 两条平行线间的距离概念：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。
特征：两条平行线中，一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。
三、三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
温馨提示：（1）一个三角形有三条中位线；（2）中位线是一条线段；（3）中位线不是中线。
四、多边形的内角和与外角和1. 多边形的内角和定理内容：n边形内角和等于（n-2）×180°要点：（1）多边形内角和公式推导方法多样，但都是把多边形的问题转化为三角形的问题进行解决。
（2）n边形的内角和随边数的增加，每增加一条边，其内角和增加180°。
（3）任意多边形的内角和都是180°的整数倍。
九年级数学中考专题(空间与图形)-第十讲《四边形(二)》课件(北师大版)
B
E
参考答案
一、填空题： 1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200 提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求 解； 5题连结AC，证△ABE≌△ACF得AE＝AF，从而△AEF 是等边三角形. 6、 2 1 ；7、2 1 ；8、②
参考答案
二、DDBBA 三、解答题： 14、可证△DEA≌△ABF 15、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB， EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF， ∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB， 故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形，又因EG ＝FG，故GECF是菱形.
A
D G B E F C
能力训练
16、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作 三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.请回答下 列问题（不要求证明）： （1）四边形ADEF是什么四边形？ （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？ （3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点 的四边形不存在？ E F D
第十讲 四边形（二）
复习目标
1．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质. 2．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质 解决相关的证明和计算问题.
知识要点
1．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形 的四条边相等，对角线互相垂直平分. 2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行 四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互 相垂直的平行四边形是菱形. 3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形既 具有矩形的性质又具有菱形的性质.
典型例题
例1 如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，AE⊥BD，垂足为E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数. 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个 等腰三角形的基本图形进行求解. 答案：45° A D
北师大版八年级数学下册《平行四边形——多边形的内角和与外角和》教学PPT课件(2篇)
A.1800° B.540 °
C.720 °
D.710 °
3.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ B ）
A.360°
B.540 ° C.720 ° D.900 °
课堂小结
多边形的 内角和
内角和计 算公式
(n-2) × 180 °(n 是不小于3的 任意整数）
第六章 平行四边形 6.4 多边形的内角和与外角和
问题2：运用所学的知识，证明自己的推论.
已知：四边形ABCD.
A
求证：∠A+∠B+∠C=∠D=360°.
证明：如图，连接AC,
所以四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
B
180°×2=360°.
D C
课程讲授
1 多边形的内角和
问题3：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五 边形和六边形内角和吗?
？？
内角和
180° 360° 360° ？360°
课程讲授
1 多边形的内角和
问题1：根据前面所学的知识，我们已经知道三角形， 正方形和长方形的内角和，那么任意一个四边形的内角 和是否为一个定值呢？
D
A
提示：可将四边形分割成两个三角形.
归纳：四边形ABCD的内角和是 360°.
B
C
课程讲授
1 多边形的内角和
E
A
A
F
B
E
B
D
C
D
C
课程讲授
1 多边形的内角和
E
A
A
B
B
D
F E
C
D
C
归纳：五边形的内角和是540°.六边形的内角和是720°.
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感悟与收获
• 通过本节课的学习，你有什么收获？
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质：对边平行
对边相等 对角相等 邻角互补
作业
必做题：习题4.1第1题、第2题 选做题：利用平行四边形设计美丽的
图案，表达你美好的愿望。
平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的邻角互补
A
D
平行四边形的性质
B
C
文字叙述
几何语言
边
对边平行，AD=BC
角
对角相等
∠A=∠C ，∠B=∠D
邻角互补
∠A +∠ B =180°……
1、在 ABCD中，∠A=60°，BC=3cm, 则∠B=__1_2_0_°，∠C=___6_0_°，AD=__3_c_m_.
平行四边形的定义
1、两组对边分别平行的 四边形叫做平行四边形.
如图四边形ABCD是平行四边形， 记作： ABCD
2、平行四边形不相邻的两个顶点连成的线 段叫它的对角线
3、平行四边形相对的边称为 对边 相对的角称为 对角
做一做
1、画一个平行四边形ABCD； 2、用一张半透明的纸复制你画的平行四 边形ABCD； 3、剪下你所复制的那个平行四边形； 4、将复制后的四边形绕某个点旋转180°， 你能平移该纸片，使它与原来的四边形 ABCD重合吗？
60°
3cm
想一想
2、在 ABCD中， ∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是
A 1∶2∶3∶4 B 1∶2∶2∶1 C 2∶2∶1∶1
D√ 1∶2∶1∶2
比一比
3、四边形ABCD和四边形ACEB都是平 行四边形，它们的各条边中哪些线段可 以通过平移而互相得到?
A
B
D
C
E
4、在 ABCD 中∠ADC=125°， ∠CAD=21°，求∠ABC， ∠CAB的度数.