2019 年陕西省高考数学一模试卷及答案(理科)
2019年陕西省高考数学一模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤3}D．{x|2＜x≤3} 2．（5分）复数的模是（）
A．B．C．D．
3．（5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝2
4．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．64B．32C．80D．32
5．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”
思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）
A．12B．24C．48D．96
6．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5D．5
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b cos C且c＝6，A＝，则△ABC的面积（）
A．2B．3C．4D．6
8．（5分）函数（x∈[﹣π，π]）的图象大致是（）A．B．
C．D．
9．（5分）如图，在?OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若＝
m，其中m，n∈R，则m+n的值为（）
A．1B．C．D．
10．（5分）已知函数f（x）＝x3+3x，则不等式＞x3+3x的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）B．[﹣2，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）D．（﹣2，1）
11．（5分）已知直线y＝与曲线C：＝1（a＞0，b＞0）右支交于M，N 两点，点M在第一象限，若点Q满足＝，且∠MNQ＝30°（其中O为坐标原点），则双曲线C的渐近线方程为（）
A．y＝B．y＝C．y＝±2x D．y＝±x
12．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+x+t（≤x≤3）与g（x）＝3lnx的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数t的取值范围是（）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．（1，2+3ln]B．（，3ln3﹣]
C．（，6﹣3ln3]D．[6﹣3ln3，3ln3﹣]
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．）
13．（5分）某校读书活动结束后，欲将4本不同的经典名著奖给3名同学，每人至少一本，则不同的奖励方式共有种．
14．（5分）关于x、y的二项式（ax+y）3的展开式的系数和为8，那么（e x+1）dx的值为．
15．（5分）“南昌之星”摩天轮于2006年竣工，总高度160m，直径153m，匀速旋转一周需时间30min，以摩天轮的中心为原点，建立坐标系，如图示意图，以你登上摩天轮的时刻开始计时，求出经过t分钟后你与地面的距离为．
16．（5分）定义在实数集R上的奇函数f（x）满足f（x+2）+f（x）＝0且当x∈（0，1]时f （x）＝x，则下列四个命题正确的序号是．
①f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）＝0；
②方程f（x）＝log5|x|有5个根；
③f（x）＝；
④函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．
三、解答题（共70分．解答应写出必要的文宇说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分．
17．（12分）已知等差数列{a n}中，a2＝5，前5项和S5＝45．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式．
（Ⅱ）若b n＝（﹣1）n a n，求数列{b n}前2n项和T2n．
18．（12分）如图所示，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC＝90°，RB＝BC＝2．点A，D分别是RB，RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到P AD位置，使P A⊥AB，连接PB，PC．
（Ⅰ）求证：AD∥面PBC；
（Ⅱ）求二面角A﹣CD﹣P的余弦值．
19．（12分）按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表1是甲套设备的样本频数分布表，图1是乙套设备的样本频率
分布直方图．
表1：甲套设备的样本频数分布表
[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]质量指标值[95，100）[100，
105）
频数14192051（Ⅰ）将频率视为概率，若乙套设备生产了5000件产品，则其中合格品约有多少件？
（Ⅱ）填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：
甲套设备乙套设备合计合格品
不合格品
合计
（Ⅲ）根据表1和图1，对甲、乙两套设备的优劣进行比较．
参考公式及数据：x2＝
P（x2≥k）0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635 20．（12分）在直角坐标系中椭圆C：＝1经过A（，0），B（0，2）两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）过原点O的直线与线段AB交于点D，与椭圆C交于E，F两点，求四边形AEBF 面积的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝ax2+2x+ax+lnx，（a∈R）
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）＝，若对任意给定的x0∈（0，2]，关于x的函数y＝f（x）﹣g
（x0）在（0，e]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（其中e为自然对数的底数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号。[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以坐
标系原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅰ）写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在C1上，点Q在C2上，且∠POQ＝，求△POQ的面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝2|x﹣|﹣|2x+1|．
（Ⅰ）求f（x）的最大值t；
（Ⅱ）若正实数m，n满足n+m＝mn，求证：≥t．
2019年陕西省高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤3}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤3}D．{x|2＜x≤3}【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|0≤x≤3}，
∴A∩B＝{x|0≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）复数的模是（）
A．B．C．D．
【分析】利用商的模等于模的商求解．
【解答】解：||＝．
故选：D．
【点评】本题考查复数模的求法，是基础的计算题．
3．（5分）若抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0），则准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝1C．x＝﹣1D．x＝2
【分析】抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0），可得＝2，解得p，即可得出．
【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点坐标为（2，0），
∴＝2，解得p＝4．
则准线方程为：x＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．64B．32C．80D．32
【分析】根据三视图画出几何体的直观图，判断几何体的形状以及对应数据，代入公式计算即可．
【解答】解：几何体的直观图是：是放倒的三棱柱，底面是等腰三角形，底面长为4，高为4的三角形，棱柱的高为4，
所求表面积：S＝＝32+16．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图求几何体的面积，关键是判断几何体的形状与对应数据是解题的关键．
5．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”
思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：sin15°＝0.2588，sin7.5°＝0.1305）
A．12B．24C．48D．96
【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．
【解答】解：模拟执行程序，可得：
n＝6，S＝3sin60°＝，
不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，
不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，
满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．
故选：B．
【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．
6．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5D．5
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图：
联立，解得A（﹣1，1）．
化目标函数z＝3x﹣2y为y＝，
由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为﹣5．
故选：C．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝b cos C且c＝6，A＝，则△ABC的面积（）
A．2B．3C．4D．6
【分析】利用余弦定理求出B，然后求解C，再利用正弦定理求得a，然后由三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵a＝b cos C，
∴由余弦定理可得a＝b cos C＝b×，即a2+c2＝b2，
∴△ABC为直角三角形，B为直角，
∵A＝，c＝6，
∴可得C＝，
由正弦定理，即＝，解得a＝2．
∴S△ABC＝ac＝×6×2＝6．
故选：D．
【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，注意正弦定理以及三角形边角关系的应用，是基础题．
8．（5分）函数（x∈[﹣π，π]）的图象大致是（）A．B．
C．D．
【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的特殊点的位置判断即可．
【解答】解：函数（x∈[﹣π，π]）是奇函数，排除选项A、C，当0＜x≤π时，f（x）＝﹣xe cos x，f′（x）＝﹣e cos x（1+x sin x），
存在x0∈（0，π），1+x0sin x0＝0时，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（x0，π），f′（x）＞0，函数是增函数，排除D．
故选：B．
【点评】本题考查函数的导数的应用函数的单调性以及函数的奇偶性的判断，考查数形结合以及函数的图象的判断能力．
9．（5分）如图，在?OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC＝3BF，若＝m，其中m，n∈R，则m+n的值为（）
A．1B．C．D．
【分析】由平面向量的线性运算得：＝＝﹣，＝﹣，＝
+，由此求得m，n的值即可．
【解答】解：因为＝+＝+，＝+＝+，
所以＝﹣，＝﹣，
又＝+＝﹣+﹣＝+，
所以m＝，n＝，
故m+n＝，
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应熟知平面向量的三角形合成法则，是基础题目．
10．（5分）已知函数f（x）＝x3+3x，则不等式＞x3+3x的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1）B．[﹣2，﹣1）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）D．（﹣2，1）
【分析】根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可．
【解答】解：函数f（x）＝x3+3x在R递增，
不等式＞x3+3x，
即f（）＞f（x），故＞x，
故＜0，
故（x+2）（x+1）（x﹣1）＜0，
解得：x＜﹣2或﹣1＜x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查转化思想，不等式问题，是一道常规题．11．（5分）已知直线y＝与曲线C：＝1（a＞0，b＞0）右支交于M，N