正十二面体与正二十面体互为对偶 作法
第32届中国化学奥林匹克(决赛)试题解析(一)
第32届中国化学奥林匹克(决赛)试题解析(一)曹宇辉;董浩然;傅裕;霍培昊;刘静嘉;杨可心;余子迪【摘要】详细介绍和评析了第32届中国化学奥林匹克决赛试题,提供了解题思路、计算过程,并提供了有关参考文章.【期刊名称】《大学化学》【年(卷),期】2019(034)004【总页数】9页(P84-92)【关键词】化学竞赛;试题分析【作者】曹宇辉;董浩然;傅裕;霍培昊;刘静嘉;杨可心;余子迪【作者单位】北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871;北京大学化学与分子工程学院,北京 100871【正文语种】中文【中图分类】G64;O62018年11月30日，第32届中国化学奥林匹克(决赛)理论考试在山东济南顺利举行。
相比于往年，本次决赛的试题考查内容回归基础，引导学生用简单化学原理去解决复杂的化学问题。
在此，我们对第32届中国化学奥林匹克(决赛)理论试题进行了详细的解答，并对试题中涉及的化学问题进行了深入的探讨。
近年来，研究人员制得了一系列含Ir的化合物。
1-1 在该系列化合物中，[IrO4]+有A、B、C三种异构体。
A无对称中心，Ir―O键的键长均为170.8 pm。
B中Ir的配位数为4，氧化态为+7，只有两种Ir―O键，键长分别为188.8 pm和168.0 pm，C中只有一个镜面，也只有两种Ir―O键，键长分别为209.6 pm和167.9 pm。
画出A、B、C的结构。
1-2 IrBr3与N2O5可在室温下反应，得到一紫色配合物Ir3O(NO3)10，同时产生一红棕色的液体单质，并释放出具有顺磁性的无色气体，写出该反应的方程式。
1-3 具有三方双锥构型的Cr(CO)x(NO)y配合物，满足18电子规则，计算x和y。
正二十面体与正十二面体共轭生成的准晶结构模型
正二十面体与正十二面体共轭生成的准晶结构模型的报告，
800字
准晶结构模型由正二十面体(Icosahedron)和正十二面体(Dodecahedron)一起生成，它们共同构成了一个复杂的结构，
称为准晶结构模型。
此模型在物理学和化学中都有重要应用。
正二十面体是一个空心多面体，由12个正五边形构成，它包
含20个三角形面，也可能包含多个不同方向上的顶点。
正二
十面体也隐含着一种十二分之五的比例，因此它有着一定的对称性和美感。
正十二面体是一个空心多面体，其外壳由12个正五边形构成，每个正五边形的内部两条边的长度相等，而外部两条边的长度则在某种程度上保持不变，即使12个正五边形旋转也是如此。
正十二面体也具有一定的规律性，整体看上去具有完美的美感。
准晶结构模型的建立，使正二十面体和正十二面体保持比例并连接，使其形成一个空间多面体的合体，它不能仅仅由正二十面体或正十二面体组成，需要它们合作才能生成空间多晶。
准晶结构模型的建立非常细致，它被应用于物质的结构形状和空间的表示，也有助于提高空间性能，如传播速度、强度和耐久性。
准晶结构模型一般用于设计建筑物、汽车、航空模型等各种产品，既能提高其实用性，又能改善外观设计，使设计变得更加美观大方。
另外，正二十面体和正十二面体还可以用于生物学专业，有助于研究病毒的结构，帮助研究者更好地理解重要的结构特征和
致病机制，从而有效促进病毒的治疗。
从以上可见，正二十面体和正十二面体的准晶结构模型有着广泛的应用，展示了强大的功能和潜力。
因此，深入了解正二十面体和正十二面体的准晶结构模型，将为各行各业提供更多革新性的解决方案。
正多面体
不久（1751 年）欧拉严格证明了上述公式——人称它为欧拉公式。数学界将 V+F-E=2 称为欧拉示性数。 用欧拉公式证明正多面体只有 5 种 证明：对于正多面体，假设它的各面都是正 n 边形，而且每一个顶角处有 r 个边相遇。这样 就有： nF=2E (1) rV=2E (2) (1)的右边系数 2 是因为每边出现在 2 面中， （2）的右边系数 2 是因为每边通过 2 个顶角。 把（1）和（2）代入欧拉公式中，就得到：
四六十式多面体 62 面 三三三三五式多面体 92 面 M27-04t□ 对偶多面体 连结任何正多面体的相邻两面的中心，就形成对偶多面体。非常巧的是，除正四面体的 对偶体仍为正四面体外， 正方体与正八面体互为对偶体， 正十二面体与正二十面体也互为对 偶体。 M27-05d□ 卡塔朗体 卡塔朗立体是对偶的半正多面体，都是凸多面体。1865 年比利时数学家欧仁·查理·卡 塔朗最先描述它们。因为其对偶多面体半正多面体点匀称而面不匀称，卡塔朗立体，面匀称 而点不匀称。只有两个边匀称的卡塔朗立体：菱形十二面体和菱形三十面体。目前共计有 13 种卡塔兰立体，其对偶多面体均为半正多面体(阿基米德立体)。 M27-06t□ 会徽上的失误 美国数学会是一个拥有两万多名会员的组织（学术团体） ，在世界上影响较大。 1924 年美数学会会刊《美国数学月刊》创立，创刊号上刊登了美国数学会会徽，这是 一个以正 20 面体为主旨的图案，几十年来人们对它的权威性从未怀疑过。 上个世纪 80 年代初，美国华盛顿大学的布兰高·格林鲍华从当时民主德国的一枚邮票 上，发现票面图案中的正 20 面体图案有误：正 20 面体原本有一个基本特点：同一个平面内 的棱或交于一点或彼此平行，但邮票上的图案不是那样。 格氏立刻想到美数学会会徽上的图案，看后他不禁惊呆了，数学会的会徽上的图案，竟 然绘错了，更令人不解的是：它竟然错了五十多年而无人发现。 当他将问题指出后，美数学会终于将会徽图案作了修正。一个错了近 60 年的象征美国 数学会的会徽终于得以改正。 M27-07d□ 多面体的欧拉公式 欧拉 欧拉 1707 年 4 月 15 日出生于瑞士， 在那里受教育。 他一生大部分时间在俄罗斯帝国和 普鲁士度过。欧拉是一位数学神童。他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再 返圣彼得堡。欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计 75 卷。欧拉实际上支配了 18 世纪的数学， 对于当时的新发明微积分， 他推导出了很多结果。 在他生命的最后 7 年中， 欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作。 欧拉公式的发现 1750 年一个阴雨连绵的日子，数学家欧拉（Euler,L.）坐在桌前，摊开书本，拿起纸、 笔又在演算数学问题——这是一道涉及长方体的立体几何题目。 演算完毕， 他漫不经心地看 着所画图形且计算着该长方体中顶点数 8、面数 6 和棱数 12 间的关系。 思来算去他发现：8+6-12=2.随后眼睛一亮：这也许正是这类几何体的共性？ 接着欧拉又从去角立方体和三棱锥中发现： 顶点数+面数-棱数=4+4-6=2。 他又找来几个（凸的）几何体一一计算后发现，对（凸）多面体而言： 顶点数（V）+面数（F）-棱数（E）=2，即 V+F-E=2. 随即他便将此发现写信告诉另一位数学家哥德巴赫（Goldbach,C.） ，信中流露出他发现 此公式时的惊喜。
奥数题及答案：十二面体问题
奥数题及答案：十二面体问题奥数题及答案:十二面体问题店铺导语：奥数学习过程中面对有一定学习难度的内容，我们留下的问题会很多很多，题目的变化也会多种多样，我们要总结老师讲的知识点和做过的题型，在总结的过程中找到知识点的联系，在总结的过程中找出不同，总结越多，思考越多，我们收获的也就越多。
数学网为大家准备了小学五年级奥数题，希望店铺整理奥数题十二面体问题，可以帮助到你们，助您快速通往高分之路!!正十二面体是所谓“柏拉图立体”(Platonic solids)的5种正多面体之一。
其他4种为正四面体、正方体、正八面体与正二十面体。
这些立体的每个面都是正多边形，每个顶点与其他的顶点看起来都一样。
正十二面体有12个面，每一面都是正五边形。
曾有人利用12面，每面代表一个月，做成年历。
以正十二面体为基础，还可以制作出外形非常吸引人的`星状体。
图2是正十二面体展开图的一半。
在纸上或纸板上完成图形之后，只要把纸叠在一起，用圆见的针尖穿刺各个顶点，就可以复制此图形。
(1)画出一个大圆。
(2)由中心O画5条线至圆周，即OA、OB、OC、OD、OE，夹角都是72°。
(3)将AB、BC、CD、DE与EA连线，形成正五边形。
(4)画出ABCDE所有的对角线。
这些对角线会在中心形成较小的五边形PQRST.这个五边形将是正十二面体中的一面。
(5)现在画出PQRST的对角线(以虚线表示)，并作其延长线，以形成其他小五边形的边。
(6)用穿刺卡片纸的方法复制所需要的平面图。
(7)在画好的平面图中加上画斜线的粘贴部分，如图2所示。
(8)仔细剪下平面图，并在所有折线(例如PQ)处用笔或刀背划出刻痕，以便于折叠。
(9)最后用速干胶粘合。
在制作过程中要力求精确，否则最后的模型会无法嵌合在一起。
在完成正十二面体之后，只要在上面加些尖角，就成了绝佳的圣诞节饰品(图3)。
这些尖角呈五面金字塔形，金字塔的每一面都是与正十二面体展开图中APQ相等的等腰三角形。
UG 正多面体建模
UG6.0正多面体建模正多面体又称柏拉图立体,由欧拉定理可证明正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共五种，均由古希腊人发现。
根据正多面的性质我用UG6.0整理出了建模方法,文中多处运用编辑对象显示和隐藏命令而又没说明，请大家不要奇怪，除此之外任一命令都有说明，有不妥之处希望大家批评指正。
1.计算法2.拉伸法一.正四面体 3.通过曲线组法4.正方体对角线法1.计算法正多面体具有高度对称性,从立体几何角度解析,很容易理解面夹角的关系,也算是从几何中找到了根本吧。
为便于分析构建了如上图正四面体线框,正四面体各面夹角相等,只要求出任两面夹角,在UG6.0中通过两次旋转,N 边曲面再缝合后便能得到正四面体.由上图知线段DF 垂直于线段AD 且∠CAD 就是面1与面2的夹角。
求出∠BAD 再乘以2就是面1与面2的夹角。
线段AB 是正四面体棱切球半径等于4/2a ,线段BD 等于内切球半径12/6a (注a 是正四面体棱长)。
所以∠BA D＝Arcsin 4/212/6a a ＝35.2644°，再乘以2等于70.5288°。
（如若计算的不够精确在UG 6.0里可能不能有效缝合)①引用几何体在草图里创建任一正三角形，而且还要确定出过中心的矢量，下一步作为矢量，角度栏里是计算的角度值。
②引用几何体③N边曲面④缝合2.拉伸法选择拉伸命令进入拉伸草图环境,画任一正三角形,完成草图。
拉伸参数如上图。
这种方法操作少面且结果直接是实体简单,只要明白70.5288度的由来,这种方法使用性更广。
3.通过曲线组在草图环境下画任一正三角形,通过派生曲线,找到三角形中心,完成草图。
建模环境下过中心画一直线垂直于正三角形且长度为边长的3/6倍,这条直线就是正四面体的高。
通过曲线组法建立的也是实体正四面体,这种方法操作起来有点小麻烦,但这种方法本身具有鲜明的特点。
4.正方体对角线法画任一正方体,连接DE,EB,BD,DG,EG,BG。
正二十面体和正十二面体外接、内切球面半径公式的推导
(1) (2)
和内切球面半径公式.虽然有些文献给出了该公式, 但没有给出推导过程,想 来 问 题 可能 在于尺规作图 太繁琐,因为欲推公式,必得辅以图形 ,既 然后者难 以满足,则前者自是省略而不彰显.本文借助梅氏作
后面的运算中会遇到 g 与(1-g)的频繁交换.
需要先画母体图形.欧氏采用球形、立方体分别作为 具体作法完全不同于欧氏而优于欧氏.
长为 1,以 及 NK ≡g,且 由 文 献 [1] 知 NKLQT 为正二 十面体的共同中心点,外接半径显然为 R 外 =OK 2=Os 2+sK 2= 即
2
如图 1 所示,采用立方体为母体,令立方体的边
十面体的 一个 平 面 ,s 为 NK 中点 ,O 为 母 体和正二 g + = 1 (2-g), (1 2 ) (2 ) 4
1
（2017） 第 22 卷第 12 期
蒋德瀚： 正二十面体和正十二面体外接、 内切球面半径公式的推导
Vol.22 No.12 （2017）
式,补加了若干线条和笛卡尔坐标.
本 文 沿用 了文 献 [1] 中 部分 图 , 为了 推导半径公 即 r内 =
3
正二十面体外接和内切球面半径
点便是正二十面体的全部顶点.
1
前言
2010 年,《高等数学研究》发表数学史家沈康身
[1]
半径公式的过程,因与下文大同小异,故不再考虑.
些证明提出些许补充.至于利用欧几里德作图法推导
(1923—2009) 专题研究论文 , 对自古以来关于正 究和综合评述,结论指出,中国清代学贯中西 、著作
2
常识温故
对于平面上 的正 n 边 形 (n=3,4,…),尺规作图
一般化,设正二十面体的棱长为 a,则 g= √ 5 -1 ,g2= 3- √ 5 ,所以 2 2 R外 R外 R外 1 = = = a NK g 2
约翰逊多面体的一种再分类
约翰逊多⾯体的⼀种再分类说明：本⽂为第⼀届和乐杯数学科普⼤赛参赛作品本⽂为第⼀届和乐杯数学科普⼤赛参赛作品说明：约翰逊多⾯体的⼀种再分类第⼀节前⾔约翰逊多⾯体是指除了正多⾯体、半正多⾯体（包括13种阿基⽶德多⾯体、⽆穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱、⽆穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形⾯组成的凸多⾯体。
为了知识上的连贯性，同时也是⽅便理解，在讨论约翰逊多⾯体之前，我们先介绍⼀下正多⾯体和半正多⾯体。
1.正多⾯体正多⾯体也叫柏拉图多⾯体，由柏拉图及其追随者对它们所作的研究⽽得名。
正多⾯体具有⾼度对称的特点，其每个⾯都相同、每条棱都相同、每个顶点都相同。
正多⾯体共有5个，分别是正四⾯体、正六⾯体、正⼋⾯体、正⼗⼆⾯体、正⼆⼗⾯体。
正多⾯体我们都⽐较熟悉，这⾥就不作过多介绍。
2.半正多⾯体根据托罗尔德⼽塞特在1900年给出的定义，半正多⾯体有下⾯⼏种：阿基⽶德多⾯体，⽆穷多个侧棱与底棱相等的正棱柱，以及⽆穷多个侧棱与底棱相等的正反棱柱。
1）阿基⽶德多⾯体是以两种及以上的正多边形为⾯的凸多⾯体，并且都可以从正多⾯体经过截⾓、截半、扭棱等操作构造出来，其每个顶点都是全等的。
阿基⽶德体共有13个，因阿基⽶德的研究⽽命名，遗憾的是其研究记录已遗失。
2）侧棱垂直于底⾯的棱柱叫直棱柱，底⾯为正多边形的直棱柱叫正棱柱。
其中，侧⾯为正⽅形，也就是所有棱长都相同的正棱柱即属于半正多⾯体。
根据底⾯边数的不同，这样的正棱柱有⽆穷多个[2]。
⽅便起见，后⾯分别简称“正3/4/5棱柱”、“棱柱”。
3）由两个边数相同的平⾏基底和侧⾯的三⾓形组成的多⾯体叫反棱柱。
特别的，基底是两个正多边形，侧⾯是等腰三⾓形的反棱柱叫正反棱柱。
其中侧⾯为正三⾓形，也就是所有棱长都相同的正反棱柱即属于半正多⾯体。
根据底⾯边数的不同，这样的正反棱柱同样有⽆穷多个。
⽅便起见，后⾯简称“反棱柱”。
3.约翰逊多⾯体1966年，美国数学家诺曼·约翰逊发现了92种约翰逊多⾯体。
正二十面体&&正十二面体
展开图如下所示：若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为Φ,0,±1)}，在此Φ = (1+正十二面体是正二十面体的对偶多面体。
建立模型的基本过程如下：void CTestView::ReadPoint()//点表{double a=180;//长方形的宽double b=a*(1+sqrt(5))/2;//黄金分割的矩形的长double half=0.5;//第一个长方形的各个顶点P[0].x=half*a;P[0].y=0;P[0].z=half*b;P[1].x=-half*a;P[1].y=0;P[1].z=half*b;P[2].x=half*a;P[2].y=0;P[2].z=-1/2.0*b;P[3].x=-1/2.0*a;P[3].y=0;P[3].z=-half*b;//第二个长方形的各个顶点P[4].x=half*b;P[4].y=-half*a;P[4].z=0;P[5].x=half*b;P[5].y=half*a;P[5].z=0;P[6].x=-half*b;P[6].y=half*a;P[6].z=0;P[7].x=-half*b;P[7].y=-half*a;P[7].z=0;//第三个长方形的各个顶点P[8].x=0;P[8].y=-half*b;P[8].z=half*a;P[9].x=0;P[9].y=-half*b;P[9].z=-half*a;P[10].x=0;P[10].y=half*b;P[10].z=half*a;P[11].x=0;P[11].y=half*b;P[11].z=-half*a;}void CTestView::ReadFace()//面表{//面的边数、面的顶点编号F[0].SetEN(3) ;F[0].p[0]=0 ;F[0].p[1]=5 ;F[0].p[2]=10 ;F[1].SetEN(3) ;F[1].p[0]=5 ;F[1].p[1]=2 ;F[1].p[2]=11 ;F[2].SetEN(3) ;F[2].p[0]=11 ;F[2].p[1]=3 ;F[2].p[2]=6 ;F[3].SetEN(3) ;F[3].p[0]=6 ;F[3].p[1]=1 ;F[3].p[2]=10 ;F[4].SetEN(3) ;F[4].p[0]=7 ;F[4].p[1]=1 ;F[4].p[2]=6 ;F[5].SetEN(3) ;F[5].p[0]=1 ;F[5].p[1]=0 ;F[5].p[2]=10 ;F[6].SetEN(3) ;F[6].p[0]=8 ;F[6].p[1]=0 ;F[6].p[2]=1 ;F[7].SetEN(3) ;F[7].p[0]=0 ;F[7].p[1]=4 ;F[7].p[2]=5 ;F[8].SetEN(3) ;F[8].p[0]=4 ;F[8].p[1]=2 ;F[8].p[2]=5 ;F[9].SetEN(3) ;F[9].p[0]=2 ;F[9].p[1]=3;F[9].p[2]=11 ;F[10].SetEN(3);F[10].p[0]=2 ;F[10].p[1]=9;F[10].p[2]=3 ;F[11].SetEN(3);F[11].p[0]=3 ;F[11].p[1]=7 ;F[11].p[2]=6;F[12].SetEN(3);F[12].p[0]=4 ;F[12].p[1]=9;F[12].p[2]=2;F[13].SetEN(3);F[13].p[0]=9;F[13].p[1]=7 ;F[13].p[2]=3 ;F[14].SetEN(3);F[14].p[0]=7 ;F[14].p[1]=8;F[14].p[2]=1 ;F[15].SetEN(3);F[15].p[0]=8;F[15].p[1]=4 ;F[15].p[2]=0;F[16].SetEN(3);F[16].p[0]=10 ;F[16].p[1]=5 ;F[16].p[2]=11;F[17].SetEN(3);F[17].p[0]=6;F[17].p[1]=10;F[17].p[2]=11;F[18].SetEN(3);F[18].p[0]=4 ;F[18].p[1]=8;F[18].p[2]=9 ;F[19].SetEN(3);F[19].p[0]=8 ;F[19].p[1]=7 ;F[19].p[2]=9;}正十二面体正十二面体是五个柏拉图立体之一,共有二十个顶点、三十条边和十二个面,而每一个面皆是正五边形正十二面体是由12 个正五边形所组成的正多面体。
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作法
先做一正十二体在平面上，先点选平面
在点选中心点，选择原点为中心点
拉开至所需要的大小
做相邻形，分别点选三个 点
点选完即出现新三角形
用轴反射反射新三角形的顶点，分别以对 边反射对顶点，先点选其中一边
在点选对顶点
同样作法，反射其余两点
再做三顶点的正三角形，分别点选三顶点
点选完即为左图
做此三角形的内正二十面体，移至里面在 作正二十面体
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