高三理科数学一轮复习基本不等式复习课件
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第四节基本不等式课件高三数学一轮复习
基本不等式再理解:变形公式
ab a b (a 0,b 0) 2
和定积最大
积定和最小
2.利用基本不等式求最值问题
已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_x__＝__y__时，x＋y 有
_最___小___值是__2__p___．(简记：积定和最小)
(2)如果和 x ＋y 是定值 p，那么当且仅当_x_＝___y__时，xy 有
答案 (1)C (2)5＋2 6
某厂家拟定在 2018 年举行促销活动，经调查测算，该产 品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万 元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产 品的年销量只能是 1 万件．已知 2018 年生产该产品的固定投 入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家 将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍． (1)将 2018 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元 的函数；(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金) (2)厂家 2018 年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大？
制 50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小
时耗油
2＋ x2 360
升，司机的工资是每小时
14
元.
(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；
(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
(1)y＝m(kx2＋9)＝m x
x＋9x
，x∈[1，10].
值，则 a＝________． (2)不等式 x2＋x<a＋b对任意 a，b∈(0，＋∞)恒成立，
高考数学一轮复习第6章不等式6.3基本不等式课件理
第二十七页，共61页。
2．(2018·广西三市调研)已知 m，n 为正实数，向量 a ＝(m,1)，b＝(1－n,1)，若 a∥b，则m1 ＋2n的最小值为_3_＋__2__2__．
第二十八页，共61页。
解析 ∵a∥b，∴m－(1－n)＝0，即 m＋n＝1，又 m，
n
为
正
实
数
，
∴
1 m
＋
2 n
＝
＝fa＋2 b，Q＝f(
ab)，R＝f
a2＋2 b2，则(
)
A．P＜Q＜R B．P＜R＜Q
C．R＜Q＜P D．R＜P＜Q
用导数法．
第三十页，共61页。
解析 f′(x)＝x＋1 1－1＝x－＋x1(x＞－1)，由 f′(x)>0 解 得－1<x<0，由 f′(x)<0 解得 x>0，所以 f(x)在(－1,0)上单调 递增，在(0，＋∞)上单调递减．
∴存在 m＝± 3使得△ABF1 的面积最大．
第四十页，共61页。
方法技巧 基本不等式的综合运用常见题型及求解策略
1．应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小， 有时也与其他知识进行综合命题，如角度 1 典例，结合函数 的单调性进行大小的比较．
根据题意得出三角形面积表达式，求最 值时，用基本不等式法．
第三十六页，共61页。
解 (1)易知直线 l：x＝my＋2 与 x 轴的交点坐标为 (2,0)，∴椭圆 C：ax22＋y2＝1(a>0)的一个焦点坐标为(2,0)，
∴c＝2，∴a2＝c2＋1＝4＋1＝5. 故椭圆 C 的方程为x52＋y2＝1. (2)存在． 将 x＝my＋2 代入x52＋y2＝1 并整理得(m2＋5)y2＋4my－ 1＝0， Δ＝(4m)2－4(m2＋5)×(－1)＝20m2＋20>0，
高三一轮总复习理科数课件：-基本不等式 .ppt..
对于 D，因为 ab>0， 所以ba＋ab≥2 ba·ab＝2. 答案：D
你是我心中最美的云朵
10
2．(2017 届郑州模拟)设 a>0，b>0，若 a＋b＝1，则a1＋b1的最小值是( )
A．2
B．14
C．4
D．8
解析：由题意a1＋b1＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2 ba×ab＝4，当且仅当ab＝ba，
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家 至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
你是我心中最美的云朵
23
解
：
(1)
由
题
意
可
知
，
二
氧
化
碳
每
吨
的
平
均
处
理
成
本
为
y x
＝
1 2
x
＋
80
000 x
－
200≥2
1 80 2x·
你是我心中最美的云朵
22
[自 主 演 练]
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主 题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转 化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y＝12x2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元．
(2)记 g(x)＝x＋22x5(0<x≤14.5)，显然是减函数，所以 x＝14.5 时，g(x)有最小值， 相应造价 f(x)有最小值，此时宽也不超过 14.5 米．
你是我心中最美的云朵
10
2．(2017 届郑州模拟)设 a>0，b>0，若 a＋b＝1，则a1＋b1的最小值是( )
A．2
B．14
C．4
D．8
解析：由题意a1＋b1＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2 ba×ab＝4，当且仅当ab＝ba，
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家 至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
你是我心中最美的云朵
23
解
：
(1)
由
题
意
可
知
，
二
氧
化
碳
每
吨
的
平
均
处
理
成
本
为
y x
＝
1 2
x
＋
80
000 x
－
200≥2
1 80 2x·
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22
[自 主 演 练]
首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主 题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转 化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y＝12x2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元．
(2)记 g(x)＝x＋22x5(0<x≤14.5)，显然是减函数，所以 x＝14.5 时，g(x)有最小值， 相应造价 f(x)有最小值，此时宽也不超过 14.5 米．
不等式的性质基本不等式课件高三数学一轮复习
常用变形 ab≤(a＋4b)2≤a2＋2 b2
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
举题说法
不等式的性质
1 (1) (多选)已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式一
定成立的是
( BCD
)
A．ac(a－c)＞0
B．c(b－a)＜0
【解C析．】c因b2为＜aa，b2b，c满足c＜a＜b，且Dac．＜a0b，＞所a以c c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b
3．已知 x＞1，则 x＋x－1 1的最小值为 ( C )
A．1 C．3
B．2 D．4
【解析】因为 x＞1，所以 x－1＞0，所以 x＋x－1 1＝(x－1)＋x－1 1＋1≥2 (x－1)·x－1 1 ＋1＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1，即 x＝2(x＝0 舍去)时等号成立，此时 x＋x－1 1取最小 值 3.
4．(多选)下列说法正确的是
()
A．若
x＜1，则函数 2
y＝2x＋2x1－1的最小值为－1
B．若实数 a，b，c 满足 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝2，则a＋4 1＋b＋1 c的最小值
是3
C．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 2a＋b＋ab＝6，则 2a＋b 的最大值是 4
D．若实数 a，b 满足 a＞0，b＞0，且 a＋b＝2，则a＋a21＋b＋b21的最小值是 1
【解析】设 2α－β＝m(α＋β)＋n(αห้องสมุดไป่ตู้β)，则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， 解得mn＝＝3212，，
所以 2α－β
＝12(α＋β)＋32(α－β).
因为 π＜α＋β＜54π，－π＜α－β＜－π3，所以π2＜12(α＋β)＜58π，－32π＜32(α－β)＜－π2，所
以－π＜12(α＋β)＋32(α－β)＜π8，即－π＜2α－β＜π8，所以 2α－β 的取值范围是－π，π8.
高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
高考理科数学一轮复习课件基本不等式
特殊性质
当$a < b < 0$时，有$frac{1}{b} < frac{1}{a}$；当$0 < a < b$时，有 $frac{1}{a} > frac{1}{b}$。
D
常见不等式关系
• 算术平均值与几何平均值关系：对于非负实数$a_1, a_2, \ldots, a_n$，有 $\frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}$。
• 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：对于任意实数序列${a_i}$和 ${bi}$（$i = 1, 2, \ldots, n$），有$\left(\sum{i=1}^{n} ai^2\right) \left(\sum{i=1}^{n} bi^2\right) \geq \left(\sum{i=1}^{n} a_ib_i\right)^2$。
解一元二次不等式方法
配方法
将不等式化为完全平方 的形式，从而确定解集 。
因式分解法
将不等式因式分解，根 据每个因式的符号确定 解集。
数轴标根法
在数轴上标出方程的根 ，根据不等式的性质确 定解集。
图像法
画出抛物线的图像，根 据图像确定不等式的解 集。
03 绝对值不等式解法
绝对值概念及性质
绝对值定义
绝对值不等式分类与解法
一元一次绝对值不等式
形如$|ax + b| > c$或$|ax + b| < c$的不等式。解法：根 据绝对值定义，将不等式转化为两个一元一次不等式组进 行求解。
一元二次绝对值不等式
基本不等式课件-2025届高三数学一轮复习
2
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
＋
b
＝
＋ b ≥2
2
＋ b 的最小值为2
2
2.
2 2
2 ，当且仅当
.
1
＝
，
2
��
2
＝，
即a
(3)[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数 x ， y ， z 满足4 x 2－3 xy ＋ y 2－
z ＝0，则
的最大值为
1 .
[解析] 因为4 x 2－3 xy ＋ y 2－ z ＝0，所以 z ＝4 x 2－3 xy ＋ y 2，所以
FO ⊥ AB ，连接 DA ， DO ， DB ， FC ，作 CE ⊥ DO ，垂足为 E . 由图可知，☉ O 的
半径等于
＋
＋
＝
＝
.
2
2
2
(1)因为 DC 是Rt△ ADB 斜边上的高，所以由射影定理得 DC 2 ＝ AC ·CB ＝ ab
⇒ DC ＝ .由 DO ≥ DC 得
＋2≥2
−1
−1
−1
1
当 x －1＝
，即 x ＝2时，等号成立.故选C.
−1
2
＞0，则 x －1＞0，所以 x
−1
( − 1) ·
1
＋2＝4，当且仅
−1
(2)[江苏高考]已知5 x 2 y 2＋ y 4＝1( x ， y ∈R)，则 x 2＋ y 2的最小值是
[解析] 解法一
2
1
5 2
−2
−2
＝6，当且仅当
4
·
−2
( − 2) ＋2
4
4
新教材高考数学一轮复习第一章1.3等式不等式的性质与基本不等式课件
ab.其中所有正确结论的序号是(
+
>2;③lg
a2>lg
)
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
(2)(多选)(202X山东青岛5月模拟,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式
中正确的是(
)
A.log2(ab)>log2b2
C. <1<
B.ac2>bc2
1 a 1 b
D.( ) >( )
所示,则下列式子中正确的是(
A.b-a<c+a
B.c2<ab
C.
D.|b|c<|a|c
>
)
(2)(2020 山西太原三模,理 3)已知 a>b>1,c<0,则(
A.
<
C.ac<bc
B.ca<cb
D.loga(b-c)>logb(a-c)
)
答案 (1)D
(2)C
解析 (1)(方法1)根据数轴可得c<b<a<0,且|c|>|b|>|a|,对于A:因为c<b,a<0,
<
1
2
2
<0.代入验证①(-1)
<(-2)
成立,代入②
5
>2 成立,代入③lg(-1)2=0<lg
2
2 错误,由此排除 B,C,D 三个选项,故选
(2)由 a>b>0,得 ab>b2,
所以 log2(ab)>log2b2,故 A 正确;
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利用二次函数求某一区间的最值
配凑成和成 定值
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜13 则1-3x＞0；
可用均值不等式法 ∵0＜x＜1 ，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
1 3
3x（1-3x3）≤
1 3
(
3x
1 2Biblioteka 3x)2
1 12
当且仅当 3x=1-3x
即x=1 6
时
ymax=
1 12
1
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
解：1 2x y 2 2xy
错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即
1 x
1 y
的最小值为 4
2
过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的，
几何意义：
ab
均值不等式的几何解释是:
a
b
半径不小于半弦.
结构特点： 均值不等式的左式为和结
构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正
数的和与两正数的积之间的大小关系, 运
用该不等式可作和与积之间的不等变换.
二、公式的拓展
a 2 b2 2ab(a,b R)
2(a2 b2 ) (a b)2
x
y
1 2
2 2
2 2
即此时 ymin 3 2 2
特别警示：
用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 条件，特别地，如果多次运用均值不等式求 最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取 “=” 成立的诸条件是否相容。
广东碧桂园学校 陟乃赋
（5）错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。
∵ △ = (c+3b) -4(c +3b +3bc)
=-3(c+b) ∴ f(a) ≥0 (当且仅当-b=c=a取等号)
四、公式的应用（二）—求函数的最值
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值；
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
求 x y 的最小值；
和定积最大 积定和最小
一正二 定三相
等
（3）已知 0 x 1 ，求函数 y x(1 3x) 的最大值；
3
创造条件
（4）已知 x, y是正数，满足 2x y 1 ，
求 1 1 的最小值； xy
注意取等号的条件
（3
）已知：0＜x＜
1 3
，求函数y=x（1-3x）的最大值
分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，
正确解法一 “1”代换法
1 1
6.
9
1
（5）已知正数a、b满足a+2b=1，求
1
的最小值
ab
正解：
11 ab
a 2b a 2b
a
b
3 2b a ab
3 2
2
当且仅当 2b a 即: a 2b 时取“=”号 ab
而 a 2b a 2b 1
故结果错。
广东碧桂园学校 陟乃赋
1
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
正解：
1 1 xy
2x y 2x y
x
y
3 y 2x xy
3 2
2
“1”代换法
当且仅当 y 2x 即: y 2x 时取“=”号 xy
而 y 2x
2x y 1
b a
1 2 2
2 2 2
即此时 zmin 3 2 2
2
a 0,
b 0,
a b 4,
求
a
1
2
b
1
2
的最小值．
a b
解：由 a b 4, ，得 a 2 b2 (a b)2 2ab 16 2ab.
(a b)2 4ab
2ab ab
ab
ab 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时“=”成立 (a, b R )
三、公式的应用（一）—证明不等式
（以下各式中的字母都表示正数）
（1） (a b)(b c)(c a) 8abc
（2） 已知 a b c 1
1.已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1的最小值.
ab
解法一： a, b R , a 1 2，2b 1 2 2
a
b
(a 2b) ( 1 1 ) 2 2 2, 1 1 2 2 1
ab
ab
解法二：由a 2b 1及a、b R , 1 1 (a 2b)( 1 1 )
习题课
不等式定理及其重要变形：
（定理）重要不等式 a2 b2 2ab(a,b R)
（推论）基本不等式（又叫均值不等式）
a b ab
2
(a,b R )
ab (a b)2 2
代数意义：
如果把 a b 看做是两正数a、b 2
的等差中项, ab 看做是两正数a、b 的 等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两 个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
a2 b2 c2 ab bc ca
1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
3ab 3bc 3ca
ab bc ca 1 3
注意:本题条件a,b,c为实数
△法解不等式
求证:a +ac+c +3b(a+b+c) ≥0 证明: 原式=a +(c+3b)a+(c +3b +3bc) ≥0 设f(a)= a +(c+3b)a+(c +3b +3bc)
求证 ( 1 1)(1 1)(1 1) 8
abc
3。已知 : a b c 1
求证：ab bc ca 1 3
证明：a b c 1
(a b c)2
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
1
a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca
ab
ab
2 2ab 2 1 , 1 1 的最小值为4 2. ab a b
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值. ab
解法三： 1 1 2 1 ，当且仅当a b时""成立, a b ab
又 a 2b 1,a b 1 , 1 1 2 3 ab
配凑成和成 定值
分析二、 挖掘隐含条件
∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜13 则1-3x＞0；
可用均值不等式法 ∵0＜x＜1 ，∴1-3x＞0
∴y=x（1-3x）=
1 3
3x（1-3x3）≤
1 3
(
3x
1 2Biblioteka 3x)2
1 12
当且仅当 3x=1-3x
即x=1 6
时
ymax=
1 12
1
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
解：1 2x y 2 2xy
错因：
xy 1 即 1 2 2 2 2 xy
1 1 2 1 22 2 4 2 x y xy
即
1 x
1 y
的最小值为 4
2
过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的，
几何意义：
ab
均值不等式的几何解释是:
a
b
半径不小于半弦.
结构特点： 均值不等式的左式为和结
构, 右式为积的形式, 该不等式表明两正
数的和与两正数的积之间的大小关系, 运
用该不等式可作和与积之间的不等变换.
二、公式的拓展
a 2 b2 2ab(a,b R)
2(a2 b2 ) (a b)2
x
y
1 2
2 2
2 2
即此时 ymin 3 2 2
特别警示：
用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 条件，特别地，如果多次运用均值不等式求 最值，则要考虑多次“≥”（或者“≤”）中取 “=” 成立的诸条件是否相容。
广东碧桂园学校 陟乃赋
（5）错题辨析
阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。
∵ △ = (c+3b) -4(c +3b +3bc)
=-3(c+b) ∴ f(a) ≥0 (当且仅当-b=c=a取等号)
四、公式的应用（二）—求函数的最值
（1） 已知 x, y 是正数，x y P（定值），
求 xy的最大值；
（2） 已知 x, y 是正数， xy S（定值），
求 x y 的最小值；
和定积最大 积定和最小
一正二 定三相
等
（3）已知 0 x 1 ，求函数 y x(1 3x) 的最大值；
3
创造条件
（4）已知 x, y是正数，满足 2x y 1 ，
求 1 1 的最小值； xy
注意取等号的条件
（3
）已知：0＜x＜
1 3
，求函数y=x（1-3x）的最大值
分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，
正确解法一 “1”代换法
1 1
6.
9
1
（5）已知正数a、b满足a+2b=1，求
1
的最小值
ab
正解：
11 ab
a 2b a 2b
a
b
3 2b a ab
3 2
2
当且仅当 2b a 即: a 2b 时取“=”号 ab
而 a 2b a 2b 1
故结果错。
广东碧桂园学校 陟乃赋
1
（4）已知正数x、y满足2x+y=1，求
1
的最小值
xy
正解：
1 1 xy
2x y 2x y
x
y
3 y 2x xy
3 2
2
“1”代换法
当且仅当 y 2x 即: y 2x 时取“=”号 xy
而 y 2x
2x y 1
b a
1 2 2
2 2 2
即此时 zmin 3 2 2
2
a 0,
b 0,
a b 4,
求
a
1
2
b
1
2
的最小值．
a b
解：由 a b 4, ，得 a 2 b2 (a b)2 2ab 16 2ab.
(a b)2 4ab
2ab ab
ab
ab 2
a2 b2 2
当且仅当a=b时“=”成立 (a, b R )
三、公式的应用（一）—证明不等式
（以下各式中的字母都表示正数）
（1） (a b)(b c)(c a) 8abc
（2） 已知 a b c 1
1.已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1的最小值.
ab
解法一： a, b R , a 1 2，2b 1 2 2
a
b
(a 2b) ( 1 1 ) 2 2 2, 1 1 2 2 1
ab
ab
解法二：由a 2b 1及a、b R , 1 1 (a 2b)( 1 1 )
习题课
不等式定理及其重要变形：
（定理）重要不等式 a2 b2 2ab(a,b R)
（推论）基本不等式（又叫均值不等式）
a b ab
2
(a,b R )
ab (a b)2 2
代数意义：
如果把 a b 看做是两正数a、b 2
的等差中项, ab 看做是两正数a、b 的 等比中项, 那么均值不等式可叙述为: 两 个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
a2 b2 c2 ab bc ca
1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
3ab 3bc 3ca
ab bc ca 1 3
注意:本题条件a,b,c为实数
△法解不等式
求证:a +ac+c +3b(a+b+c) ≥0 证明: 原式=a +(c+3b)a+(c +3b +3bc) ≥0 设f(a)= a +(c+3b)a+(c +3b +3bc)
求证 ( 1 1)(1 1)(1 1) 8
abc
3。已知 : a b c 1
求证：ab bc ca 1 3
证明：a b c 1
(a b c)2
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca
1
a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca
ab
ab
2 2ab 2 1 , 1 1 的最小值为4 2. ab a b
已知a，b R，且a 2b 1，求 1 1 的最小值. ab
解法三： 1 1 2 1 ，当且仅当a b时""成立, a b ab
又 a 2b 1,a b 1 , 1 1 2 3 ab