《概率与概率分布》PPT课件
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概率与概率分布
第五章 概率及概率分布
掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布
掌握概率的概念、性质和法则 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布
的基础知识。
概率与概率分布
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人 寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资 料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性 的数学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数 之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能 性较大？
概率与概率分布
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
概率与概率分布
2. 概率
概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
概率与概率分布
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
概率与概率分布
三、概率的加法和乘法
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的 事件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽 管我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数 分布，但我们知道这是的频数分布会无限接近 概率分布。
概率与概Байду номын сангаас分布
概率论二维随机变量及其分布 ppt课件
二维随机变量的分布函数
F ( x , y ) P { X x , Y y } 就是随机点 (X,Y)落入区域
{t,s ( )|t x ,s y }
的概率(如图1).
由概率的加法法则，随机点(X,Y)落入矩形域
{ x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 }
的概率
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F (x ,y)1 2 2arc 2 x t 2a anrc 3 y .ta
(2)由 (1)式得
P { 2 X , 0 Y 3 } F ( , 3 ) F ( , 0 ) F ( 2 , 3 ) F ( 2 , 0 ) 1/1.6
完 21
三、二维离散型随机变量及其概率分布
Pi1
i
Pi 2
Pij
i
27
联合概率分布表
对离散型随机变量而言，联合概率分布不仅比联合
分布函数更加直观，而且能够更加方便地确定(X,Y)
取值于任何区域 D上的概率. 设二维离散型随机变
量的概率分布为
P { X x i , Y y j } p i ( i j , j 1 , 2 , )
二维离散型随机变量及其概率分布
分布:
p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
p i P {X x i} p i,ji 1 ,2 , j
p j P { Y y j}p i,jj 1 ,2 ,25 i
二维离散型随机变量及其概率分布
分布: p i ( i 1 , 2 , )p , j( j 1 , 2 ).
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F(x, )
概率与概率分布.ppt
– 可以在相同的条件下重复进行
–
–
每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
事件的概念
1. 事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
– 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
2. 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件
–
– –
例如：掷一枚骰子可能出现的点数
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
3. 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 4. 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
事件与样本空间
1. 例如：掷一枚骰子出现的点数 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}
主观概率定义
1. 对一些无法重复的试验，确定其结果的概率 只能根据以往的经验人为确定 2. 主观概率是一个决策者对某事件是否发生， 根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的 判断 3. 例如，我认为2011年的中国股市是一个震荡 向上的状况
概率的性质与运算法 则
概率的性质
1. 非负性
– 对任意事件A，有 0 P 1
概率的统计定义
在相同条件下进行 n次随机试验，事件 A 出现
m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。 随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆 动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定， 这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为
m P( A) p n
概率的统计定义
（实例）
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有 超过用电指标天数 12 P( A) 0.4 试验的天数 30
–
–
每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果
事件的概念
1. 事件：随机试验的每一个可能结果(任何样本点集合)
– 例如：掷一枚骰子出现的点数为3
2. 随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件
–
– –
例如：掷一枚骰子可能出现的点数
例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 例如：掷一枚骰子出现的点数大于6
3. 必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示 4. 不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示
事件与样本空间
1. 例如：掷一枚骰子出现的点数 一个试验中所有基本事件的集合，用表示 例如：在掷枚骰子的试验中，{1,2,3,4,5,6}
主观概率定义
1. 对一些无法重复的试验，确定其结果的概率 只能根据以往的经验人为确定 2. 主观概率是一个决策者对某事件是否发生， 根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的 判断 3. 例如，我认为2011年的中国股市是一个震荡 向上的状况
概率的性质与运算法 则
概率的性质
1. 非负性
– 对任意事件A，有 0 P 1
概率的统计定义
在相同条件下进行 n次随机试验，事件 A 出现
m 次，则比值 m/n 称为事件A发生的频率。 随着n的增大，该频率围绕某一常数P上下摆 动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定， 这个频率的稳定值即为事件A的概率，记为
m P( A) p n
概率的统计定义
（实例）
【例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为1000度。按照上个月的用电记录，30天中有12天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：上个月30天的记录可以看作是重复进行了30次 试验，试验A表示用电超过指标出现了12次。根据概 率的统计定义有 超过用电指标天数 12 P( A) 0.4 试验的天数 30
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
概率论与数理统计连续型随机变量及其概率分布ppt课件
0 x
则t , dt d
1-(x)
x1
2
3
F(x) 1
(t )2
1 x e
2 2
dt
x
2
e 2 d
( x )
2
2
4. P{a X b} (b ) ( a )
P{X b} (b ) P{X a} 1 (a )
例6
设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解：X 的密度函数为
f
x
1 10
e
x 10
0
x0 x0
令：B={ 等待时间为10-20分钟 }
则 PB P10 X 20
20
1
x
e 10 dx
10 10
x
e 10
20
e 1
e 2
0.2325
10
例5 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生
故障的次数 N( t ) 服从参数为t 的Poisson分布,
P(2
X
4)
4
2
2
2
2
(0)
0.3
2
0.8
P( X 0) 0.2
解二 图解法
0.2 0.15
0.1 0.05
0.3 0.2
-2
2
4
6
由图 P( X 0) 0.2
例 3 原理
设 X ~ N ( , 2), 求 P(| X | 3 )
解 P(| X | 3 ) P( 3 X 3 )
应用场合:
若随机变量Ｘ在区间(a,b)内等可能的取值，则
X ~ U a,b
例3 秒表的最小刻度差为0.01秒. 若计时精度 是取最近的刻度值, 求使用该秒表计时产生的 随机误差X 的概率密度, 并计算误差的绝对值 不超过0.004秒的概率.
随机事件与概率随机变量与概率分布PPT教学课件
天气系统，如高压、冷锋等
⑵锋是影响天气的重要天气系统，
冷暖空气的交界面叫锋面。
向 东 南 移 动
大风 降温 降雨
向东北移动
升温 降雨
如何从锋的图例 上知道它是向哪 个方向移动呢?
三角形或半圆凸 所指的方向
过境前 过境时 过境后
冷锋
气温高,气压低
出现较大风 雨雪天气
气温下降,气压 上升,天气转好
问题的引伸
随机事件的数量化—随机变量 多个事件的概率描述—概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散变量(疗效分级、受教育程度) 计数变量(如单位时间或空间内检出细菌的
数量、发生某事件的数量)
连续变量 如血压、血脂、血糖等
判断：白色的程度越浓，表明云层越厚， 这种云区下面下雨往往就越大。
问题：
古代劳动人民并没有现代科技手段， 他们是如何预知未来的天气形势呢？
燕子低飞要下雨
天气谚语
一场秋雨凉一阵 •东虹日头西虹雨1
暖锋 气温低气压高
多连续性降水
气温上升,气压 下降,天气转晴
常见天气系统
高压 低压 冷锋 暖锋 台风
探 1、请分析当天的天气形势，并说明理由。 究 2、预测北京、上海、广州未来24小时天气形势，并说明理由
活
动
1012.5
1017.5
1007.5
低
1017.5
高
1007.5 1002.5
低
* *
1017.5 1012.5
定小概率事件选择大概率事件
多个随机事件的关系
任一事件发生：和事件 几个事件同时发生：积事件 一事件发生则另一事件不发生：互斥 当只有两种事件时，互斥即对立
⑵锋是影响天气的重要天气系统，
冷暖空气的交界面叫锋面。
向 东 南 移 动
大风 降温 降雨
向东北移动
升温 降雨
如何从锋的图例 上知道它是向哪 个方向移动呢?
三角形或半圆凸 所指的方向
过境前 过境时 过境后
冷锋
气温高,气压低
出现较大风 雨雪天气
气温下降,气压 上升,天气转好
问题的引伸
随机事件的数量化—随机变量 多个事件的概率描述—概率分布
随机变量及其概率分布
随机变量的分类
离散变量(疗效分级、受教育程度) 计数变量(如单位时间或空间内检出细菌的
数量、发生某事件的数量)
连续变量 如血压、血脂、血糖等
判断：白色的程度越浓，表明云层越厚， 这种云区下面下雨往往就越大。
问题：
古代劳动人民并没有现代科技手段， 他们是如何预知未来的天气形势呢？
燕子低飞要下雨
天气谚语
一场秋雨凉一阵 •东虹日头西虹雨1
暖锋 气温低气压高
多连续性降水
气温上升,气压 下降,天气转晴
常见天气系统
高压 低压 冷锋 暖锋 台风
探 1、请分析当天的天气形势，并说明理由。 究 2、预测北京、上海、广州未来24小时天气形势，并说明理由
活
动
1012.5
1017.5
1007.5
低
1017.5
高
1007.5 1002.5
低
* *
1017.5 1012.5
定小概率事件选择大概率事件
多个随机事件的关系
任一事件发生：和事件 几个事件同时发生：积事件 一事件发生则另一事件不发生：互斥 当只有两种事件时，互斥即对立
概率与概率分布PPT课件
其概率分布见下表
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
0
1
P
0.05
0.95
一、案例 [投篮命中次数的概率分布] 某人投篮的命中率为0.7，现投篮20次，则投篮命中
的次数 是随机变量，可能取值为0，1，2，…，20，
其概率分布为
P( k) C2k0 (0.7)k (0.3)20k (k 1,2,,20)
二项分布
如果随机变量 取值为0，1，2，…，n，其概率
分布为
P( k) Cnk pk (1 p)nk (k 1,2,, n) 则称 服从参数为n,p的二项分布，记作
～B(n, p)
三、进一步练习 练习[摸球] 练习 [使用寿命] 按规定，某种型号电子元件的使用 寿命超过1500小时的为一级品．已知某大批产品的一 级品率为0.2，现从中随机地抽查10只，设10只元件
从有3件废品的一批产品中任取5件，观察出现废品 的件数．我们发现这个随机试验的所有可能结果可 以用0，1，2，3这4个数字来表示．
案例3 [抛硬币] 抛一枚硬币，结果只有“出现正面”和“出现反面” 两种情况，若用数0表示出现正面，数1表示出现反 面，那么，抛一枚硬币的结果也可以用0，1这2个数 字来表示．
二、 概念和公式的引出
伯努利试验
如果一次随机试验只出现两种结果，用随机变量 取0或1来表示，那么称 服从两点（或0-1）分布． 设 取0时的概率为p，则 的概率分布见下表
0
1
P
p
1 p
三、进一步练习
练习[产品抽样]
某厂生产的产品合格率为0.95，今抽取一件产品进行
检验，则抽出合格品的件数 服从两点分布．
一定顺序列出．如掷一枚骰子，可用
取值1，2，…，6来表示所有结果．
二、 概念和公式的引出
概率论课件：第二章随机变量及其概率分布
π 3π ⎞ ⎛ π 0 ⎟ 22.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 2 2 ⎟ ，求 Y 的分布律： ⎜ ⎝ 0.3 0.2 0.4 0.1 ⎠
（1） Y = ( 2 X − π ) ;
2
（2） Y = cos( 2 X − π ). ⎧2 x , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0 , 其它
它意味着第 i 次（ i ≥ k ）成功，且 i − 1 次试验中成功 k − 1 次，设这两个事件分别为A1 ，A2，
则A = A 1 A 2 , 且P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 )(A 1与A 2 独立 ), 而 P(A 1 ) = p,
1 k −1 1 k −1 i − k P( A2 ) = Cik−− ⋅ q i −1−( k −1) = Cik−− q . 1 p 1 ⋅ p
, ( 2,6),
, (6,1),
例如(6,1) , (6,6)} .这里，
8
5 36
9
4 36
10
3 36
11
2 36
12
1 36
PK
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
概率 P{X = k }, k = 0,1,2,3.
2、分析： 显然 X 服从离散型概率分布，而且 X 的可能取值为 0，1，2，3.问题归结为求
∴ X 的分布律为：
P{X = 0} = P ( A1 ) = 1 / 2; P{X = 1} = P ( A1 A2 ) = 1 / 2 2 ; P{X = 2} = P ( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 ;
X Pi
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A×B=A和B同时发生。 概率的乘法法则：有限个独立事件乘积的概率等于这 些事件概率的乘积。 例：两个学生从5个试题中任意抽取一题，第一个学生 把抽出的题还回去后，第二个学生再抽，则两个学生 都抽到试题2的概率为1/25。
例：根据统计结果，男婴出生的概率是22/43，女 婴出生的概率是21/43，某单位有两名孕妇，问两名孕 妇都生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是多少？ 其中一男一女的概率是多少？
• 例：某班有20名男生，25名女生，现随机从全班同 学中抽取一名同学，抽到男生的概率为20/45=4/9， 抽到女生的概率为25/45=5/9。
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
三、概率的加法和乘法
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
• 概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽管 我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数分布， 但我们知道这是的频数分布会无限接近概率分布。
四、概率分布
概率分布：对随机变量取值的概率分布情况用数学 方法进行描述。
例：为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响， 某大学统计出学生中只有父亲具有大学文化程度的占 30％，只有母亲具有大学文化程度的占20％，而双方 都具有大学文化程度的占有10％，问从学生中任抽一 名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？
2. 概率的乘法
独立事件：出现概率相互不影响的事件。 事件之积：有限个互相独立事件同时发生。如：
例如掷两颗骰子的试验，点数就是随机现象，它 一共有11种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果 计算P，便得到了如下表所示的概率分布。
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 P(X)
频率分布与概率分布的区别
经验分布：
频率分布是经资料整理而来;频 率分布随样本不同而不同;频率 分布有对应的频数分布。
的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后， 法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯 (1777—1855)提出了最小平方法。
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
四、概率分布
• 随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结 果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率 分布则要在满足完备性(穷举)和互不相容性(互斥) 的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果， 以及每种结果所伴随的概率是多少。
• 应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象呈 现的宏观结果而言的。它可以在宏观层次加以识 别而与特定排列次序无关。
理论分布： 概率分布是先验的；概 率分布是唯一的；概率 分布无频率分布所对应 的频数分布。
• 概率分布是理论性的或理念性的，它描绘了在一个完美的世 界中百分比应该是多少。不幸的是，根据现实的（实际得到 的）数据得到的百分比和理论上的总是不完全一致。
• 假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
2. 概率
• 概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
• 在相同的条件下，某个事件A发生的概率是一个常 数。
• 根据概率的计算方法，概率可分为后验概率和先 验概率。
⑴ 后验概率（统计概率）
• 以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率作 为随机事件A概率的估计值。
第五章 概率及概率分布
• 掌握概率的概念、性质和法则 • 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布的基础知识。
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保 险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料， 这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数 学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和 为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的事 件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
概率的加法法则：有限个互不相容事件之和的概率 等于这些事件概率的和。
例：某学生从5个试题中任意抽取一题，则抽到试题 2或试题3的概率为2/5。
例：根据上海市职业代际流动的统计，向下流动的 概率是0.07，静止不动的概率是0.6，求向上流动的概 率是多少？
• 事件A的频率不是常数,它随试验次数的变化而变 化，但是随着试验次数的无限增大，事件A的频率 会逐渐趋近于一个常数P，P就是随机事件A出现概 率的近似值。
⑵ 先验概率（古典概率）
• 如果某个随机现象所有可能结果是有限的，其总数 为n，每一种可能结果出现的可能性相等，这个现 象中的随机事件A包括m个可能结果，则事件A的概 率为ｍ与ｎ的比值，即 P（A）=ｍ/ｎ。
根据随机变量取值情况可分为：离散变量概率分布 连续变量概率分布
离散变量概率分布
离散型随机变量的取值是可数的，如果对X的每个可 能取值xi计算其实现的概率Pi ，我们便得到了离散型 随机变量的概率分布，即
离散变量概率分布
离散型随机变量的概 率分布也可以用表格 和图形两种形式来表 示。由于离散型随机 变量的特点，表示离 散型随机变量概率分 布多为折线图。
例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰 子连掷四次，只出现一个6 点的机会比较多，而同 时将两枚掷24次，只出现一次双6 的机会却很少。
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马 (1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题 时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754) 发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705) 提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯(1749— 1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论
例：根据统计结果，男婴出生的概率是22/43，女 婴出生的概率是21/43，某单位有两名孕妇，问两名孕 妇都生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是多少？ 其中一男一女的概率是多少？
• 例：某班有20名男生，25名女生，现随机从全班同 学中抽取一名同学，抽到男生的概率为20/45=4/9， 抽到女生的概率为25/45=5/9。
二、概率的性质
1. 对于任何事件Ａ，均有0≤Ｐ（Ａ）≤1 2. 不可能事件的概率为零，P（V）=0 3. 必然事件的概率为1，P（U）=1
三、概率的加法和乘法
正面的数量 0 1 2
总计
频数（f） 253 499 248 1000
百分比（%） 25.3 49.9 24.8 100.0
• 概率分布实质上是无限次抛掷的频数分布。尽管 我们永远不能观察到这个无限次抛掷的频数分布， 但我们知道这是的频数分布会无限接近概率分布。
四、概率分布
概率分布：对随机变量取值的概率分布情况用数学 方法进行描述。
例：为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响， 某大学统计出学生中只有父亲具有大学文化程度的占 30％，只有母亲具有大学文化程度的占20％，而双方 都具有大学文化程度的占有10％，问从学生中任抽一 名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？
2. 概率的乘法
独立事件：出现概率相互不影响的事件。 事件之积：有限个互相独立事件同时发生。如：
例如掷两颗骰子的试验，点数就是随机现象，它 一共有11种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果 计算P，便得到了如下表所示的概率分布。
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计 P(X)
频率分布与概率分布的区别
经验分布：
频率分布是经资料整理而来;频 率分布随样本不同而不同;频率 分布有对应的频数分布。
的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后， 法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯 (1777—1855)提出了最小平方法。
一、频率和概率的定义
1. 频率 对随机现象进行观测时，若事件Ａ在ｎ次观测中出 现了ｍ次,则ｍ与ｎ的比值，就是事件Ａ出现的频 率（也称为相对频数）。用 Ｗ（Ａ）表示事件Ａ 的频率。 公式为：Ｗ（Ａ）=ｍ/ｎ
四、概率分布
• 随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结 果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率 分布则要在满足完备性(穷举)和互不相容性(互斥) 的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果， 以及每种结果所伴随的概率是多少。
• 应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象呈 现的宏观结果而言的。它可以在宏观层次加以识 别而与特定排列次序无关。
理论分布： 概率分布是先验的；概 率分布是唯一的；概率 分布无频率分布所对应 的频数分布。
• 概率分布是理论性的或理念性的，它描绘了在一个完美的世 界中百分比应该是多少。不幸的是，根据现实的（实际得到 的）数据得到的百分比和理论上的总是不完全一致。
• 假设把两枚硬币投1000次，得到的结果为下表：
2. 概率
• 概率是对随机事件出现可能性大小的客观量度。
事件Ａ发生的概率记为P（Ａ）。
• 在相同的条件下，某个事件A发生的概率是一个常 数。
• 根据概率的计算方法，概率可分为后验概率和先 验概率。
⑴ 后验概率（统计概率）
• 以随机事件A在大量重复试验中出现的稳定频率作 为随机事件A概率的估计值。
第五章 概率及概率分布
• 掌握概率的概念、性质和法则 • 明确概率分布的含义，了解二项试验和分布的基础知识。
第一节 概率的一般概念
概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保 险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料， 这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数 学。
参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和 为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？
1. 概率的加法
互不相容事件：在一次试验中不可能同时出现的事 件。
事件之和：有限个互不相容事件中任意一个发生。 如：A+B=A或B发生。
概率的加法法则：有限个互不相容事件之和的概率 等于这些事件概率的和。
例：某学生从5个试题中任意抽取一题，则抽到试题 2或试题3的概率为2/5。
例：根据上海市职业代际流动的统计，向下流动的 概率是0.07，静止不动的概率是0.6，求向上流动的概 率是多少？
• 事件A的频率不是常数,它随试验次数的变化而变 化，但是随着试验次数的无限增大，事件A的频率 会逐渐趋近于一个常数P，P就是随机事件A出现概 率的近似值。
⑵ 先验概率（古典概率）
• 如果某个随机现象所有可能结果是有限的，其总数 为n，每一种可能结果出现的可能性相等，这个现 象中的随机事件A包括m个可能结果，则事件A的概 率为ｍ与ｎ的比值，即 P（A）=ｍ/ｎ。
根据随机变量取值情况可分为：离散变量概率分布 连续变量概率分布
离散变量概率分布
离散型随机变量的取值是可数的，如果对X的每个可 能取值xi计算其实现的概率Pi ，我们便得到了离散型 随机变量的概率分布，即
离散变量概率分布
离散型随机变量的概 率分布也可以用表格 和图形两种形式来表 示。由于离散型随机 变量的特点，表示离 散型随机变量概率分 布多为折线图。
例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰 子连掷四次，只出现一个6 点的机会比较多，而同 时将两枚掷24次，只出现一次双6 的机会却很少。
概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马 (1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题 时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754) 发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705) 提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯(1749— 1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论