_综合法与分析法习题课
第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾 解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一 些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法 的选取．
2．综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性 质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： ①a2≥0(a∈R)． ②(a－b) ≥0(a、b∈R)，其变形有 a ＋b
综合法
分析法
框图 表示
(P表示 已知条件 、已有的 定义、公理、定理 等， Q表示所要证明的结论 ) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法
[例 1] ＋b＋c)．
1 2 已知 a， b， c>0.求证： a ＋b ＋c ≥ (a ＋b2＋c2)(a 3
3 3 3
[分析] 不等式中的a，b，c为对称的，所以 从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式的性质推导出证 明的结论．
a b 2 2 ＋ ≥ ( a ＋ b ) 成立， b a
a2 b2 即证 b ＋ a ＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
a3＋b3 即证 ≥a＋b. ab 也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立． 即 a2－2ab＋b2≥0，也就是证(a－b)2≥0 成立． a b ∵(a－b) ≥0 恒成立，∴ ＋ ≥ a＋ b. b a
c a 等式两边同除以(a＋b)(b＋c)得， ＋ ＝1， a＋b b＋c
c a ∴a＋b＋1＋b＋c＋1 ＝3，
1 1 3 即 ＋ ＝ . a＋b b＋c a＋b＋c
[点评] 综合法和分析法各有优缺点．从 寻找解题思路来看，综合法由因导果，往 往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索 因，常常根底渐近，有希望成功，就表达 证明过程而论，综合法形式简洁，条理清 晰；分析法叙述繁琐，文辞见长．也就是 说分析法利于思考，综合法宜于表述．因 此，在实际解题时，常常把分析法和综合 法结合起来运用，先以分析法为主导求解 题思路，再用综合法有条理地表述解答或 证明过程．
a2＋b2 所以 ≥2 2，即 a2＋b2≥2 2(a－b)． a－b 2 当且仅当 a－b＝ ，即 a－b＝ 2时，取等号． a－b
[点评]
(1)本题证明的前半部分用分析法，要证结论成立，
a 2 ＋b 2 a2＋b2 只需证 ≥2 2，后半部分用综合法证明了 ≥2 2. a－b a－b
(2)在解决问题时，我们经常把综合法和分 析法结合起来使用，根据条件的结构特点去 转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结 构特点去转化条件，得到中间结论P，若由 P可以推出Q成立，就可以证明结论成 立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综 合法完成证明．
只需证 (a＋1)(a－2)< a(a－1)， 只需证(a＋1)(a－2)<a(a－1)， 即证－2<0，而－2<0 显然成立， 所以 a＋1－ a< a－1－ a－2成立.
[例3] △ABC的三个内角A、B、C成等差 数列，A、B、C的对边分别为a、b、c.
1 1 3 求证： ＋ ＝ . a＋b b＋c a＋b＋c
已知 a，b 是不等正数，且 a3－b3＝a2－b2，求证：1<a 4 ＋b<3.
[证明] ∵a3－b3＝a2－b2 且 a≠b，
∴a2＋ab＋b2＝a＋b， 由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>a2＋ab＋b2 得 (a＋b)2>a＋b，又 a＋b>0，∴a＋b>1，
4 要证 a＋b<3，即证 3(a＋b)<4， ∵a＋b>0，∴只需证明 3(a＋b)2<4(a＋b)， 又 a＋b＝a2＋ab＋b2 即证：3(a＋b)2<4(a2＋ab＋b2) 也就是证明(a－b)2>0 因为 a，b 是不等正数，故(a－b)2>0 成立． 4 故 a＋b< 成立． 3 4 综上，得 1<a＋b<3.
2 ( a ＋ b ) 2 ≥ab，a2＋b2≥ 2 . 2 2 2
a＋b ≥2ab， 2 Fra biblioteka＋b b a ③若 a、b∈(0，＋∞)，则 2 ≥ ab，特别是a＋b≥2. ④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R)．
3．综合法是一种由因索果的证明方法，其逻 辑依据也是三段论式的演绎推理方法．一般 问题都是用综合法解决的，要保证前提条件 正确，推理合乎规律，这样才能保证结论的 正确性．
3 ．设 a ， b ， c∈R ，且 a ， b ， c 不全相等，则不 等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一个充要条件是 ( ) A．a，b，c全为正数 B．a，b，c全为非 负实数 C．a＋b＋c≥0 D．a＋b＋c>0 [答案] C [解析] a3＋b3＋c3－3abc ＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc) ＝ (a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2] 而 a ， b ， c 不全相等 ⇔ (a － b)2 ＋ (b － c)2 ＋ (c － a)2>0，故a3＋b3＋c3≥3abc⇔a＋b＋c≥0.故应选C.
1 2 ∴a ＋b ＋c ≥3(a ＋b2＋c2)(a＋b＋c)．
3 3 3
[点评] 1.综合法证明问题的步骤 第一步：分析条件，选择方向．仔细分析 题目的已知条件 ( 包括隐含条件 ) ，分析已 知与结论之间的联系与区别，选择相关的 公理、定理、公式、结论，确定恰当的解 题方法． 第二步：转化条件，组织过程．把题目的 已知条件，转化成解题所需要的语言，主 要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的 语言，清晰的思路．
[分析] 条件与结论跨越较大，不易下手， 可考虑用分析法证明；由于分析法是执果 索因，逐步寻找成立的充分条件，因此分 析法的倒退过程就是综合法．
[证明]
分析法：
1 1 3 要证 ＋ ＝ ， a＋b b＋c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 即证 ＋ ＝3， a＋b b＋c c a 也就是 ＋ ＝1， a＋b b＋c
[例 4]
如果 a>b， ab＝1， 求证： a2＋b2≥2 2(a－b)，
并指明何时取“＝”号．
[分析] 先用分析法将所证不等式转化为易 证的等价式子，再用综合法进行证明．
[解析]
因为 a>b，a－b>0，所以欲证 a2＋b2≥2 2(a－b)．
a2＋b2 只需证 ≥2 2. a－b 因为 a>b，所以 a－b>0，又知 ab＝1， a2＋b2 a2＋b2－2ab＋2ab (a－b)2＋2 所以 ＝ ＝ a－b a－b a－b 2 ＝(a－b)＋ ≥2 a－b 2 (a－b)· ＝2 2. a－b
一、选择题 1．用分析法证不等式：欲证①A>B，只需 证②C<D，这里①是②的 ( ) A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分条件 D．必要条件 [答案] D [ 解析 ] ∵ ② ⇒①，但①不一定推出② .故 应选D.
2．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等 式成立的是 A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 1 1 1 1 C. ＋ ＋ ≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤ a b c 3 [答案] B [解析] 因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将 三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc， 即a2＋b2＋c2≥1. 又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， 所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，B成立．故应选B. ( )
已知 a、b、c∈R 且 a＋b＋c＝1，
1 1 1 －1· －1≥8. 求证：a－1· b c
＋
[证明]
1 1 1 ∵a－1b－1 c－1
(b＋c)(a＋c)(a＋b) ＝ abc 2 bc· 2 ac· 2 ab 8abc ≥ ＝ ＝8， abc abc 当且仅当 a＝b＝c 时等号成立，∴不等式成立.
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 需证c2＋a2＝ac＋b2， 又△ ABC 三内角 A 、 B 、 C 成等差数列，故 B ＝60°，
由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， 故c2＋a2＝ac＋b2得证． 综合法： 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ∴B＝60°. 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， 得c2＋a2＝ac＋b2， 等式两边同时加上ab＋bc得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
[例 2]
a b 已知 a>0，b>0，求证： ＋ ≥ a＋ b. b a
[分析] 要证明上述不等式成立，暂无条件 可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐 步反推，寻找使当前命题成立的充分条件， 即用分析法证明． a b
[证明] ∵a>0，b>0，要证 ＋ ≥ a＋ b成立， b a
只需证
求证：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)(n≥2)．
[证明] 分析法： 要证 logn(n＋1)>logn＋1(n＋2) 1 只需证明 >logn＋1(n＋2) logn＋1n ∵logn＋1n>0 ∴只需证 logn＋1n· logn＋1(n＋2)<1.
logn＋1n＋logn＋1(n＋2) 2 ∵logn＋1n· logn＋1(n＋2)< 2 logn＋1[n(n＋2)] 2 ＝ 2
∵n(n＋2)<(n＋1)2 ∴lg[n(n＋2)]<lg(n＋1)2
《综合法与分析法》课件1_(北师大版选修2-2)
例：有下列各式： 1 1> , 2 1 1 1+ + > 1, 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > , 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + > 2 2 3 4 5 6 7 15 你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
证 法1:∵ a、b、c 为 不相等正 数 ，且abc = 1，
bc + ca ca + ab ab + bc = + + 2 2 2
>
abc +
2
a bc +
2
ab c =
2
a + b + c.
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例.已知a、b、c 为 不相等正数 ，且abc = 1， 1 1 1 证求 ：a + b + c < + + . a b c
证法2:∵a、b、c为 不相等正数 ，且abc = 1，
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
综合法与分析法 (习题课）
_综合法与分析法习题课
[例 2]
a b 已知 a>0，b>0，求证： ＋ ≥ a＋ b. b a
[分析] 要证明上述不等式成立，暂无条件 可用，这时可以从所要证明的结论出发，逐 步反推，寻找使当前命题成立的充分条件， 即用分析法证明． a b
[证明] ∵a>0，b>0，要证 ＋ ≥ a＋ b成立， b a
只需证
综合法
分析法
框图 表示
(P表示 已知条件 、已有的 定义、公理、定理 等， Q表示所要证明的结论 ) 特点 顺推证法或由因导果法 逆推证法或执果索因法
[例 1] ＋b＋c)．
1 2 已知 a， b， c>0.求证： a ＋b ＋c ≥ (a ＋b2＋c2)(a 3
3 3 3
[分析] 不等式中的a，b，c为对称的，所以 从基本的不等式定理入手，先考虑两个正数 的均值定理，再根据不等式的性质推导出证 明的结论．
一、选择题 1．用分析法证不等式：欲证①A>B，只需 证②C<D，这里①是②的 ( ) A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分条件 D．必要条件 [答案] D [ 解析 ] ∵ ② ⇒①，但①不一定推出② .故 应选D.
2．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等 式成立的是 A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 1 1 1 1 C. ＋ ＋ ≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤ a b c 3 [答案] B [解析] 因为a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，将 三式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc， 即a2＋b2＋c2≥1. 又因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc， 所以(a＋b＋c)2≥1＋2×1＝3，B成立．故应选B. ( )
综合法和分析法 课件
题型三、分析法证明不等式
例 3 已知 a＞b＞0，求证：a－8ab2＜a＋2 b－ ab＜a－8bb2. 【精彩点拨】 本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由 a＞b＞0 得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等 式，从中找到证题的线索．
【自主解答】 要证原不等式成立，只需证a－4ab2＜a＋b－2 ab＜a－4bb2，
1 欲证 loga(ax＋ay)＜18＋loga2，只需证 ax＋ay＞2a8.∵y＋x2＝0,0＜a＜1，
∴x＋y＝x－x2＝－x－122＋14≤14.当且仅当 x＝12时，(x＋y)max＝41，
1 ∴ax＋y≥a4，
1 ax＋y≥a8当x＝12，y＝－41时取等号.①
1 又 ax＋ay≥2 ax＋y(当且仅当 x＝y 取等号), ②∴ax＋ay≥2a8.③
题型二、综合法与分析法的综合应用
例 2 设实数 x，y 满足 y＋x2＝0，且 0＜a＜1，求证：loga(ax＋by)＜18＋loga2. 【精彩点拨】 要证的不等式为对数不等式，结合对数的性质，先用分析法探路， 转化为要证明一个简单的结论，然后再利用综合法证明．
【自主解答】 由于 0＜a＜1，则 t＝logax(x＞0)为减函数．
即证a2－ab2＜( a－ b)2＜a2－bb2.只需证a2－ab＜ a－ b＜a2－bb，
即
a＋ 2a
b＜1＜
a＋ 2b
b，即
ba＜1＜
a b.
只需证ab＜1＜ba.∵a＞b＞0，∴ba＜1＜ab成立．∴原不等式成立．
1．解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开方性 质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法．证明过程一要注意格 式规范，二要注意逻辑关系严密、准确．
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
2.2.综合法与分析法-人教A版选修2-2教案
一、教学目标
1.理解综合法和分析法的概念。
2.掌握综合法和分析法的基本原理。
3.能够应用综合法和分析法解决实际问题。
4.培养学生系统思维的能力。
二、教学内容
1.综合法的概念和基本原理。
2.分析法的概念和基本原理。
3.综合法和分析法的应用。
三、教学过程
1. 导入（5分钟）
教师通过提问和讲解，引导学生了解问题解决的两种方法：综合法和分析法，并介绍本节课的教学目标和重点。
2. 讲解（25分钟）
2.1 综合法的概念和基本原理
1.综合法是从整体综合出发，从多个方面考虑，综合分析问题的方法。
2.综合法的基本原理是整体观念、多元观念和系统观念。
2.2 分析法的概念和基本原理
1.分析法是从局部出发，从单个方面考虑，分析问题的方法。
2.分析法的基本原理是简化化、抽象化和精确化。
3. 练习（25分钟）
1.给学生提供综合法和分析法的例子，让学生分别应用综合法和分析法解决问题。
2.针对不同的问题，让学生思考采用哪种方法更适合。
4. 总结（5分钟）
让学生回顾本节课的重点内容，并讲解综合法和分析法的区别和联系。
四、教学反思
本节课通过提供练习例子的方式，让学生更深入地理解了综合法和分析法的概念和应用方法。
同时，通过问题讨论的方式，培养了学生系统思维的能力。
第二章 推理与证明习题课
易错提醒
(1)找不准归纳的对象． m 的位置在最高次幂 如
的系数位置． 因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行 归纳； 是 cos2α 的系数， p 所以从 cos2α 的系数入手进行归纳． n 却不能从 cos4α 的系数入手进行归纳，因为第①个式子中没 有 cos4α，缺少归纳的特征项． (2)规律找不准．在 cos2α 的系数：2，－8,，－32，p 的规 律很多考生找不准．事实上，可将各数拆分为 1×2，－2 ×4,3×6，－4×8，即(－1)n＋1· (2n)＝(－1)n＋12n2. n· ∴p＝(－1)6· 2＝50. 2×5
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任 何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于 n(n-1)/2.
解析 因为 a1＝1，2＝3，3＝6， an＝an－1＋n(n≥2)， a a „， 所以 an－an－1＝n， 于是 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1＝ n(n＋1) n＋(n－1)＋„＋2＋1＝ ， 2 2 010(2 010＋1) 所以 a2 010＝ 2 ＝1 005×2 011＝2 021 055.
解析 由所给函数及其导函数知，偶函数的导函数为 奇函数． 因此当 f(x)是偶函数时， 其导函数应为奇函数， 故 g(－x)＝－g(x)．
高中数学选修1-2第二章课后习题解答
高中数学高中数学新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P30）1、由12341a a a a ====，猜想1na=.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=××. 4、略. 练习（P33）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；是等比数列； …………………………大前提…………………………大前提又因为0cq ¹，则q 是非零常数，则11n n nna cq q a cq ++==；……………………小前提……………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =¹的数列{}n a 是等比数列.……………………结论……………………结论 3、由A D B D >，得到ACD BCD Ð>Ð的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是因为这个推理的大前提是“在同一“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 4、略.习题2.1A 组（P35） 1、2(1)n -（n 是质数，且5n ³）是24的倍数.2、21n a n =+()n N *Î. 3、2F V E +=+. 4、当6n £时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *Î.5、212111(2)n n A A A n p++³-（2n >，且n N *Î）. 6、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *Î）.7、如图，作DE ∥AB 交BC 于E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形所以四边形ABED 是平行四边形是平行四边形.. 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等. . DEBAC（第7题）又因为四边形ABED 是平行四边形是平行四边形. .所以所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等， 又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△DEC 是等腰三角形是等腰三角形, , 所以DEC C Ð=Ð 因为平行线的同位角相等因为平行线的同位角相等 又因为DEC Ð与B Ð是平行线AB 和DE 的同位角的同位角, , 所以DEC B Ð=Ð 因为等于同角的两个角是相等的，因为等于同角的两个角是相等的， 又因为DEC C Ð=Ð，DEC B Ð=Ð, 所以B C Ð=Ð习题2.1B 组（P35） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P42）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2q q q q q q q -=+-=，所以，命题得证. 2、要证67225+>+，只需证22(67)(225)+>+， 即证1324213410+>+，即证42210>，只需要22(42)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证.3、因为、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b a a a a -=-+==， 又因为又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab a a a a a a a a a a +-=+-=×22222222sin (1cos )sinsin161616sin tan cos cos aa aa a a aa-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P43）1、假设B Ð不是锐角，则90B г°. 因此9090180C B Ð+г°+°=°. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B Ð一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则2325=+.所以22(23)(25)=+，化简得5210=，从而225(210)=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2A 组（P44） 1、因为、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B p <+<，从而2A B p+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -¹.①式变形得①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B p <+<，所以4A B p+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为PD ^平面ABC ，所以PD AB ^. 因为AC BC =，所以ABC D 是等腰三角形. 因此ABC D 底边上的中线CD 也是底边上的高，也是底边上的高， 因而CD AB ^ 所以AB ^平面PDC . 因此AB PC ^.3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B p<不成立，即2B p³，则B 是ABC D 的最大内角，的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而从而 11112a c b b b +>+=. 这与211b a c =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B p<.习题2.2B 组（P44） 1、因为、因为 1tan 12tan aa-=+，所以12tan 0a +=，从而2sin cos 0a a +=.另一方面，要证另一方面，要证3sin 24cos2a a =-， 只要证226sin cos 4(cos sin )a a a a =-- 即证即证 222sin 3sin cos 2cos 0a a a a --=，即证即证 (2s i n c o s )(s i n 2c o s a a a a+-= 由2sin cos 0a a +=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0a a a a +-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.2、由已知条件得、由已知条件得2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②要证2a cx y +=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2x y a b b c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.第二章 复习参考题A 组（P46）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *Î）个圆圈.2、333n 个（n N *Î）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==………… 猜想()2n f n =.4、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ¢，B ¢，C ¢，D ¢，则，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ¢¢¢¢+++=¢¢¢¢ 用“体积法”证明：用“体积法”证明： O A O B O C O DA AB BC CD D¢¢¢¢+++¢¢¢¢ O B C D O C D AO D A B OA B C A B C D BC D A CD AB D A B CV VV V V VVV --------=+++1A B C D A B C DVV --==5、要证、要证(1tan )(1tan )2A B ++= 只需证只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证即证t a n t a n 1t a n t a A B A B +=- 由54A B p +=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k p p +¹+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式.所以，命题得证. 第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；部分； （2）2n 条线段；条线段；（3）222n n ++部分. 2、因为90BSC Ð=°，所以BSC D 是直角三角形.A BCDA'B'D'C'（第4题）在Rt BSC D 中，有222BC SB SC =+.类似地，得类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在ABC D 中，根据余弦定理得中，根据余弦定理得2222cos 02AB AC BC SA A AB AC AB AC+-==>××2222cos 02AB BC AC SB B AB BCAB BC+-==>×× 2222cos 02BC AC AB SC C BC ACBC AC +-==>×× 因此，,,A B C 均为锐角，从而ABC D 是锐角三角形. 3、要证、要证cos 44cos 43b a -= 因为因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)b a b a -=´-´ 2212sin 24(12sin 2)b a =--´-222218s i n c o s 4(18s i n c o s )b b a a =--´-222218s i n (1s i n )4[18s i n (1s i n )]bb a a=---´-- 只需证只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3b b a a ---´--= 由已知条件，得由已知条件，得 sincos sin2q q a +=，2sin sin cos b q q =，代入上式的左端，得代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]b b a a ---´-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )q q q q a a =---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )q q q q q q q q =--+++-222238s i n c o s 8s i nc o s 68s i n c o s 8s i nc o sq q q q q q q q =--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43b a -=。
综合法和分析法 课件
用分析法证明不等式 设 x≥1，y≥1，证明 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy. 证明：由于 x≥1，y≥1， 要证 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy， 只需证 xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 因为 x≥1，y≥1， 所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．
综合法与分析法
1．综合法
一般地，从_已__知__条__件___出发，利用定义、公理、定理、性质等， 经过一系列的__推__理__、__论__证__而得出__命__题__成立，这种证明方 法叫做综合法．综合法又叫__顺__推__证__法__或__由__因__导__果__法__．
2．分析法 证明命题时 ， 从 _要__证__的__结__论___出 发 ， 逐步寻求使它成立的 _充__分___条件，直到所需条件为_已__知___条件或一个__明__显__成__立__的
事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出 __要__证__的__命__题__成 立 ，这种证明方法叫做分析法．这是一种 _执__果__索__因___的思考和证明方法．
用综合法证明不等式 设 a>b>c>0，证明：2a2＋a1b＋a（a1－b）－10ac＋25c2 ≥4.
【证明】 因为 a>b>c>0， 所以 2a2＋a1b＋a（a1－b）－10ac＋25c2 ＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋a1b＋a（a1－b） ＝(a－5c)2＋ab＋a1b＋a(a－b)＋a（a1－b） ≥0＋2＋2＝4， 当且仅当 2，c＝ 52时，等号成立．
“问题导学”下的习题课教学模式
“问题导学”下的习题课教学模式【关键词】问题导学习题课教学模式习题课，是指教师经过一个阶段的教学，根据知识系统要求和学生学习实际，通过习题讲解或指导学生完成习题，达到巩固所学知识目的的课型。
习题课的主要任务，是针对学生所学知识的难点和易错点，通过习题讲解或训练，帮助学生提高对所学知识的理解和认识，完善知识结构，形成一定的解题技能、技巧，培养数学思想，发展思维能力。
“黄河清问题导学教学法”习题课教学模式，将教学过程分为四个环节：知识回顾一例题讲解一方法总结一应用探究，对每个环节的教学都赋予了明确的标准和要求，构建了教学的核心要素，为提高教学效益、促进学生能力发展提供了一个可以借鉴的教学范式。
以下对此作简要的阐述。
一、知识回顾知识回顾是习题课重要的教学环节。
学生对数学知识和方法能否形成合理的认知结构，能否正确地理解和掌握知识间的内在联系，教师适时对知识进行梳理、整合、强调、深化至关重要。
特别地，以习题为载体，启发学生分析知识的整体结构和各知识点间的联系，突出解决学生认知上的一些重点、难点问题，有利于学生全面、系统地掌握所学知识，提高联想记忆，逐步学会自主进行深层次的知识拓展。
在这一环节，教师要注重从以下两个方面去设置问题，引导学生思考：一是以概念和基本方法作为出发点去引导学生回顾和构建知识网络。
概念是从一些具有相同属性的事物或现象中抽象出来的，这些本质属性就是这一概念的内涵，满足这些内涵的全部对象就是这个概念的外延。
不少同学之所以学习数学有很多障碍，概念不清往往是最直接的原因。
因此，在知识回顾环节，教师要注重对概念进行辨析，让学生对概念的内涵认识得更深刻，对概念的外延了解得更丰富，这是提高学生对知识认知能力的重要途径。
同时，思想方法又是数学的灵魂，掌握数学的思想方法是提高数学能力的关键。
特别是在课堂学习中，往往某一方法在这节课的内容中它是孤立的，但是在整个章节中它却起到联系与转化的桥梁作用，是解决全局性问题的根本办法，这就需要教师的启发与引导，使它的作用充分显现出来。
综合法与分析法 课件
题型二 分析法与综合法的灵活运用
例 3 设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x⇔ (x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证x＋14＋y＋14≥ x＋ y.
而 x＋14≥2
x
4＝
x，y＋14≥2
y
4＝
y，
当且仅当 x＝y＝14时，等号成立，
∴12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
＞c＋c m，
2ab＋m a＋b
c
即证ab＋m a＋b ＋m2＞c＋m，
ab＋m a＋b ＋m2 c＋m 只需证 2ab＋m a＋b ＜ c ，
m2－ab
m
即证 1＋2ab＋m a＋b ＜1＋c，
只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 即证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立．
＝1，
所以 ab＋bc＋ca≤13.当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．
题型二 分析法证明不等式
例 2 设△ABC 的边长分别是 a，b，c 且 m＞0，求证：a＋a m＋b＋b m＞c＋c m.
证明：由已知 a＞0，b＞0，c＞0，m＞0.
abc 欲证a＋m＋b＋m＞c＋m，
只需证a
b＋m ＋b a＋m a＋m b＋m
2.2.2 反证法
综合法和分析法的应用 (习题课)
知识回顾
1.综合法的基本含义和思维流程分别 是什么？ 含义:利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理、性质、法则等，经过一系列 的推理论证，最后推导出所证结论成立.
流程:
P Þ Q1 Q1 Þ Q2 Q2 Þ Q3 … Qn Þ Q
2.分析的基本含义和思维流程分别是什 么？ 含义:从所证结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直到归结为判定一个显 然成立的条件（已知条件、定义、公理、 定理、性质、法则等）为止.
练习：
1、 已知实数a，b，c满足0<a,b,c<1，求证： (1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不可能同时大于1/4．
2、已知函数y ax x 2 (a 1) x 1
(1)证明：函数f (x)在区间（－1,)上为增函数 （2)用反证法证明：方程f(x)＝0没有负根
3、已知a+b+c>0，ab+ac+bc>0，abc>0，求证： a>0，b>0，c>0．
2.2.2直接证明与间接 证明
—反证法
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎， C说A、B都撒谎。则C一定是在撒谎，为 什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. 那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立;
则C必定是在撒谎.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫 反证法。
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反面成立。
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。