抛物线的定义及其标准方程教案
《抛物线及其标准方程》教案(公开课)
(一)知识教育点使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．(二)能力训练点要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对照、概括、转化等方面的能力．(三)学科渗透点通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．1．重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识． )2．难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系． )3．疑点：抛物线的定义中需要加之“定点 F 不在定直线 l 上”的限制．(解决办法：向学生加以说明． )提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格．(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思量两个问题：问题 1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题 2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于 y 轴、开口向上或者开口向下两种情形．引导学生进一步思量：如果抛物线的对称轴不平行于 y 轴，那末就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更普通意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回顾平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹，当0＜e＜1 时是椭圆，当 e＞1 时是双曲线，那末当 e=1 时，它又是什么曲线？2．简单实验如图 2-29，把一根直尺固定在画图板内直线 l 的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点 F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺摆布滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义这样，可以把抛物线的定义概括成：平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线 l 上)．定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才干使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启示辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案 1： (由第一组同学完成，请一优等生演板． )以 l 为 y 轴，过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴建立直角坐标系(图 2-30)．设定点 F(p，0)，动点 M 的坐标为(x，y)，过 M 作MD⊥y 轴于 D，抛物线的集合为： p={M| |MF|= |MD|}．化简后得： y2=2px-p2(p＞0)．方案 2： (由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点 F 为原点，平行 l 的直线为 y 轴建立直角坐标系(图 2-31)．设动点 M 的坐标为(x，y)，且设直线 l 的方程为 x=-p，定点 F(0，0)，过 M 作MD⊥l 于 D，抛物线的集合为：p={M| |MF|= |MD|}．化简得： y2=2px+p2(p＞0)．方案 3： (由第三、四组同学完成，请一优等生演板． )取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴，x 轴与 l 交于 K，以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系(图 2-32)．抛物线上的点 M(x，y)到 l 的距离为 d，抛物线是集合 p={M||MF|=d}．化简后得： y2=2px(p＞0)．比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会浮现四种不同的情形，四种情形中 P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为 x 轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为 y2；当对称轴为 y 轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为 x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题： (1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0，-2)，求它的标准方程．方程是 x2=-8y．练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 F(3，0)；(3)焦点到准线的距离是 2．由三名学生演板，教师予以订正．答案是： (1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，因此只要给出确定p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或者准线方程给定以后，它的标准方程就惟一确定了；若抛物线的焦点坐标或者准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、布置作业到准线的距离是多少？点 M 的横坐标是多少？2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y； (2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0； (4)y2-6x=0．3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是 x 轴，并且顶点与焦点的距离等于 6；(2)顶点在原点，对称轴是 y 轴，并经过点 p(-6，-3)．4．求焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程．作业答案：3． (1)y2=24x，y2=-2x(2)x2=-12y(图略)4．分别令 x=0，y=0 得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为 x2=-12y 或者 y2=16x六、板书设计。
抛物线及其标准方程教案
抛物线及其标准方程教案教案：抛物线及其标准方程目标：1.了解抛物线的定义和性质。
2.学习抛物线的标准方程，并能够根据给定的条件写出抛物线的标准方程。
3.能够利用抛物线的标准方程求解与抛物线相关的问题。
教学步骤：Step 1：导入通过展示一张抛物线的图片，引起学生对抛物线的兴趣，并提出问题：“你认为抛物线有什么特点？”Step 2：定义抛物线讲解抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它的每个点到焦点的距离与该点到直线的距离相等。
Step 3：抛物线的性质- 抛物线是对称的，它关于焦点所在的直线称为对称轴。
- 抛物线的顶点是对称轴上的点，也是抛物线的最低点（凹部）或最高点（凸部）。
- 抛物线的焦点到顶点的距离称为焦距。
- 抛物线是单调增加或单调减少的。
Step 4：抛物线的标准方程介绍抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a，b，c是常数，a不等于零。
说明标准方程的各个参数的含义：- a决定抛物线的开口方向和大小。
- b决定抛物线在对称轴上的位置。
- c是抛物线的顶点的纵坐标。
Step 5：根据条件写出抛物线的标准方程示范如何根据给定的条件写出抛物线的标准方程，例如：- 已知抛物线的顶点坐标为(2,5)，求抛物线的标准方程。
- 已知抛物线与x轴相交于点(1,0)和(-3,0)，求抛物线的标准方程。
- 已知抛物线经过点(1,3)和(4,6)，求抛物线的标准方程。
Step 6：练习与讨论让学生自主完成一些练习题，并与全班讨论答案。
示范题目：1. 已知抛物线的焦点在原点，对称轴与x轴平行，焦距为4，求抛物线的标准方程。
2. 已知抛物线过点(3,-1)，且与y轴平行，求抛物线的标准方程。
3. 已知抛物线的标准方程为y = -2x^2 + 4x - 3，求抛物线的顶点坐标和焦距。
Step 7：拓展如果时间允许，可以讲解一些与抛物线相关的应用问题，例如：一个摄像机抛出的炮弹在空中的轨迹是一个抛物线，如何求解炮弹的最大高度和飞行距离等。
抛物线教案
抛物线教案(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--抛物线教案：抛物线及其标准方程索争科攀钢一中【教学目的】1．掌握抛物线的定义及其标准方程；2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；3．认识抛物线的变化规律.【教学重点】抛物线的定义及标准方程【教学难点】区分标准方程的四种形式【课时安排】两课时【教学过程】第一课时一、导入新课：通过前面的学习，我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？用自制的抛物线作图演示模板作出抛物线，然后得出结论，曲线就是初中见过的抛物线。
下面，我们就将学习抛物线的定义及其标准方程。
二、讲授新课：1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线。
点F 叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程。
2．抛物线的标准方程：23①推导过程：取过点F 且垂直于直线l 的直线为x 轴，垂足为K ，线段KF 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图8—20）。
设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2p x -=设点M （x ，y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d 。
由抛物线的定义知，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==.|2|)2(|,2|,)2(||2222px y p x p x d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得y 2=2px （p >0） ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是2p x -=。
②抛物线标准方程的四种形式：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px ，x 2=2py ，x 2=－2py 。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自高中数学教材选修22第二章第四节《抛物线及其标准方程》。
具体内容包括：1. 抛物线的定义及其简单性质；2. 抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 抛物线的图形及其在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 让学生掌握抛物线的定义、标准方程及其简单性质；2. 培养学生运用抛物线知识解决实际问题的能力；3. 培养学生的观察能力、空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：抛物线标准方程的推导，抛物线图形的识别；2. 教学重点：抛物线的定义，标准方程及其性质。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，黑板，粉笔；2. 学具：直尺，圆规，量角器，练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）展示图片：篮球投篮、投掷铅球、卫星轨道等；（2）提问：这些情景中，物体的运动轨迹有什么共同特点？2. 知识讲解（1）抛物线的定义：物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束，这样的运动轨迹称为抛物线；（2）抛物线的标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；（3）抛物线的性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线等。
3. 例题讲解（1）求抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；（2）已知抛物线的焦点为F(1,0)，求该抛物线的标准方程。
4. 随堂练习（2）已知抛物线的焦点和顶点，求其标准方程。
5. 小结六、板书设计1. 定义：抛物线是物体在只受重力作用下，从一点出发，经过一段时间后，落回到这一点，且在运动过程中始终受到同一平面的约束的运动轨迹；2. 标准方程：y²=2px(p>0)和x²=2py(p>0)；3. 性质：对称性、开口方向、顶点、焦点、准线；4. 例题：抛物线y²=4x的焦点、顶点和准线；已知焦点求抛物线标准方程。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课一、教学内容本节课的教学内容来自于高中数学教材，第三章解析几何，第五节抛物线。
本节课的主要内容有：抛物线的定义、性质、标准方程及其应用。
其中，重点讲解抛物线的标准方程及其求法。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义和性质，掌握抛物线的标准方程及其求法。
2. 能够运用抛物线的性质和方程解决一些实际问题。
3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三、教学难点与重点重点：抛物线的标准方程及其求法。
难点：抛物线性质的理解和应用。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、投影仪、教学课件。
学具：笔记本、尺子、圆规、直尺。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察一些生活中常见的抛物线形状，如篮球投篮、抛物线运动等，引发学生对抛物线的兴趣。
2. 讲解抛物线的定义和性质：在黑板上画出一条抛物线，讲解抛物线的定义，如焦点、准线等，并引导学生理解抛物线的性质。
3. 讲解抛物线的标准方程：通过示例，讲解如何求解抛物线的标准方程，让学生跟随步骤，进行练习。
4. 应用练习：给出一些抛物线应用问题，让学生运用所学知识解决，如求解抛物线与坐标轴的交点等。
六、板书设计板书设计如下：抛物线的定义和性质：焦点：到抛物线上任意一点的距离等于到准线距离的点。
准线：与抛物线对称，且到焦点的距离等于到抛物线上任意一点的距离。
抛物线的标准方程：y^2 = 4ax （a > 0）y^2 = 4ax （a < 0）七、作业设计（1）焦点在x轴上，顶点在原点，开口向上。
（2）焦点在y轴上，顶点在原点，开口向下。
答案：（1）y^2 = 4ax（2）x^2 = 4ay2. 已知抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，求解抛物线与x轴、y 轴的交点坐标。
答案：与x轴的交点：(a, 0)，(a, 0)与y轴的交点：(0, 2a)，(0, 2a)八、课后反思及拓展延伸本节课通过讲解抛物线的定义、性质和标准方程，让学生掌握了抛物线的基本知识，能够在实际问题中应用。
公开课教案《折纸法探究抛物线的定义和标准方程》
公开课教案《折纸法探究抛物线的定义和标准方程》一、教学目标1. 让学生通过折纸活动，直观地理解抛物线的定义和标准方程。
2. 培养学生动手操作、观察分析、推理归纳的能力。
3. 提高学生对数学美的感知，激发学习兴趣，培养合作意识。
二、教学内容1. 抛物线的定义2. 抛物线的标准方程3. 折纸法探究抛物线三、教学重点与难点1. 重点：抛物线的定义和标准方程的理解与应用。
2. 难点：通过折纸活动，引导学生发现抛物线的性质，推导标准方程。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究。
2. 运用直观演示法，让学生清晰地观察抛物线的形成过程。
3. 利用合作学习法，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入：利用多媒体展示各种抛物线的实际应用，如奥运会射击、跳远等，激发学生的兴趣。
2. 新课：介绍抛物线的定义，引导学生思考抛物线的特点。
3. 折纸活动：发放折纸材料，引导学生动手折纸，观察折痕，发现抛物线的性质。
4. 小组讨论：学生分组讨论，总结抛物线的特点，尝试推导标准方程。
5. 展示与评价：各小组展示研究成果，师生共同评价，完善理解。
6. 总结：回顾本节课的学习内容，强化抛物线的定义和标准方程。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学反思在课后，教师应引导学生进行教学反思，思考折纸活动对于理解抛物线定义和标准方程的帮助，以及自己在探究过程中的收获和不足。
教师也应对本次课程进行自我反思，考虑教学方法的有效性、学生的参与度以及教学目标的达成情况，为后续的教学活动提供改进的方向。
七、课后练习为学生设计一系列的课后练习题，包括理论题和应用题。
理论题旨在巩固抛物线定义和标准方程的知识，应用题则要求学生将所学知识应用于实际问题中，如计算抛物线上的点的坐标、分析实际场景中的抛物线运动等。
通过这些练习题，可以检验学生对课堂内容的掌握情况。
八、拓展阅读推荐学生阅读一些关于抛物线的历史背景、数学原理和应用案例的拓展材料。
《抛物线及其标准方程》教案(公开课
《抛物线及其标准方程》教案(公开课《抛物线及其标准方程》教案(公开课)一、教学内容本节课选自《解析几何》教材第四章第一节，主要内容包括抛物线的定义、性质及其标准方程的推导和应用。
二、教学目标1. 理解抛物线的定义，掌握抛物线的性质。
2. 学会推导抛物线的标准方程，并能解决实际问题。
3. 能够运用抛物线标准方程解决几何问题和实际应用。
三、教学难点与重点重点：抛物线的定义、性质及其标准方程。
难点：抛物线标准方程的推导和应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：直尺、圆规、练习本。
五、教学过程1. 实践情景引入2. 知识讲解(1) 抛物线的定义：平面内到一个定点F的距离等于到一条定直线l的距离的点的轨迹。
(2) 抛物线的性质：① 对称性；② 焦点、准线；③ 直线与抛物线的交点；④ 平面几何关系。
(3) 抛物线的标准方程：y^2 = 2px (p > 0) 或 x^2 = 2py (p > 0)。
3. 例题讲解(1) 求抛物线y^2 = 4x的焦点和准线。
(2) 已知抛物线x^2 = 8y，求过点P(2,3)且与抛物线相切的直线方程。
4. 随堂练习(1) 求抛物线y^2 = 12x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 16y，求过点A(4,2)且与抛物线相交的直线方程。
5. 课堂小结六、板书设计1. 定义2. 性质3. 标准方程4. 例题解析5. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目(1) 求抛物线y^2 = 20x的焦点、准线及对称轴。
(2) 已知抛物线x^2 = 18y，求过点B(3,2)且与抛物线相切的直线方程。
2. 答案(1) 焦点：F(5,0)，准线：x = 5，对称轴：y轴。
(2) 直线方程：y = 4/3x 2/3。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入、知识讲解、例题讲解、随堂练习等环节，使学生掌握了抛物线的定义、性质和标准方程。
《抛物线及其标准方程》 讲义
《抛物线及其标准方程》讲义一、抛物线的定义在平面内，到一个定点 F 和一条定直线 l（F 不在 l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
为了更好地理解抛物线的定义，我们可以通过一个简单的实例来感受。
比如，我们在生活中常见的喷泉喷出的水线，在忽略空气阻力的情况下，水线的轨迹就近似于一条抛物线。
从几何角度来看，抛物线是一种非常优美和对称的曲线。
它的每一个点到焦点和准线的距离关系始终保持不变，这一特性是抛物线的本质特征。
二、抛物线的标准方程1、焦点在 x 轴正半轴上的抛物线标准方程当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上时，其标准方程为＼（y^2 ＝2px\）（＼（p>0\）），其中＼（p\）为焦点到准线的距离。
此时，焦点的坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为＼（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
2、焦点在 x 轴负半轴上的抛物线标准方程当抛物线的焦点在 x 轴的负半轴上时，其标准方程为＼（y^2 ＝－2px\）（＼（p>0\）），焦点的坐标为\（（＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为＼（x ＝＼frac{p}｛2}＼）。
3、焦点在 y 轴正半轴上的抛物线标准方程当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴上时，标准方程为＼（x^2 ＝ 2py\）（＼（p>0\）），焦点坐标为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为＼（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
4、焦点在 y 轴负半轴上的抛物线标准方程当抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上时，标准方程为＼（x^2 ＝－2py\）（＼（p>0\）），焦点坐标为\（（0, ＼frac{p}｛2}）＼），准线方程为＼（y ＝＼frac{p}｛2}＼）。
三、推导抛物线的标准方程以焦点在 x 轴正半轴上的抛物线为例来推导标准方程。
设抛物线的焦点为\（F(＼frac{p}｛2}， 0)＼），准线方程为\（x ＝＼frac{p}｛2}＼），抛物线上任意一点\（M(x, y)＼）。
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圆锥曲线教案抛物线的定义及其标准方程教案
教学目标
1．使学生理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程，并能初步利用它们解决有关问题．
2．通过教学，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力，既教猜想，又教证明．
3．培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题．
教学重点与难点
抛物线标准方程的推导及有关应用既是教学重点，又是难点．
教学过程
师：请同学们回忆椭圆和双曲线的第二定义．
生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨道，当e ＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线．
(计算机演示动画——图2-45)
(1)不妨设定点F到定直线l的距离为p．
(2)通过提问，让学生思考随着e的变化曲线的形状的变化规律．同时演示动画，让学生充分体会这种变化规律，为学生猜测e=1时曲线形状奠定基础．
师：那么，当e=1时，轨迹的位置和形状是怎样的？大胆地猜一猜！
(可请学生直接画出自己想象中曲线的形状，并利用投影展示．)
师：同学的猜测对不对呢？请同学看屏幕．(图2-46)
我们利用电脑精确地计算展示到定点F的距离和它到定直线距离的比为1
的点的轨迹．
师：你见过这种曲线吗？(抛物线)
这就是我们这节课主要的研究对象．
(师板书课题——抛物线的定义及其标准方程)
师：能否给抛物线下个定义？
生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是1的点的轨迹叫抛物线．师：换句话说，就是与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
(投影)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
师：它的方程是什么样子呢？我们可以预先做一个估计．
如图2-47(1)，椭圆的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：
如图2-47(2)，双曲线的图形是关于x轴、y轴和原点对称的，其方程为：
在方程中都仅有x、y的二次项．
当e=1时，图形变成了开口的一支，从而丧失了关于y轴和原点的对称性，那么方程将会发生怎样的变化？
生：在方程中，一定会失去x2项，而且会出现x的一次项，(否则方程变成y2=b2，它表示直线．)所以方程应为Ay2+Bx+C=0的形式．
师：同学的猜测对不对呢？可否从理论上给予说明？
生：建立直角坐标系．
师：如何建立？
学生甲：取经过定点F且垂直于定直线l的直线为x轴，设x轴与l相交于点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，设所求轨迹上一点坐标为M(x，y)．师：点M满足什么条件？
生：到定点F的距离和到定直线l的距离的比是1．
师：这些条件能否转化成点M的坐标所满足的条件？
请同学化简上式，并通过投影展示演算过程，得：y2=2px．(1)
师：显然符合预想的形式．这个方程就叫作抛物线的标准方程．
在你以往的学习过程中，是否见到过类似这种形式的方程？
生：二次函数的表达式．
师：若将x与y换个位置，它就是缺少一次项和常数项的二次函数，而曲线的形状也与抛物线完全一致．
师：由于抛物线开口方向的不同，共有4种不同情况．(计算机演示——图2-48)
师：请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程，并说明理由．
观察图形，分辨这些图有何相同点和不同点．
生：共同点有：①原点在抛物线上．②对称轴为坐标轴．③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一．
不同点：①抛物线的焦点在x轴上时，方程左端是y2，右端是2px；当抛物线的焦点在y轴上时，方程左端是x2，右端是2py．②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的正半轴上，方程右端取正号．
开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时，焦点在x轴(y轴)的负半轴上，方程右端取负号．
师：作为应用，请同学们看下面的例题．(展示投影)
例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．
(2)分析要求抛物线的标准方程，需①确定焦点在y轴的负半轴上，②求出p值．
例2 经过抛物线的焦点F，作一条直线垂直于x轴，和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2．求y1·y2的值．(计算机演示图形——图2-49)
师：首先弄清题意——条件有哪些？求什么？如何求？
(师板书)
故y1·y2=-p2．
师：还有其他办法吗？可否根据抛物线的定义？
生：如图2-50，根据抛物线的定义，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．
引申1：上例中若缺少“垂直于x轴”的条件，结果怎样？
(计算机演示动画——图2-51)
师：由于缺少垂直的条件，上例中的方法均不适用了．
怎样求交点坐标？
生：只需求直线方程与抛物线方程的公共解．
师：如何建立直线方程？
生：利用点斜式．
(请同学自行写出解题过程，并利用投影仪展示解题过程．)
与抛物线方程联立，消去x可得：
引申2：以AB为直径的圆和准线具有怎样的位置关系？
(计算机演示动画——图2-52)
学生乙：以AB为直径的圆和准线相切．
师：能否给予证明？这作为思考题，请同学们课下完成．
师：请同学小结这节课的内容．
(抛物线的定义；p的几何意义；标准方程的4种形式．)
作业：
课本第98页习题八：1，2．
设计说明
1．关于教学过程
(1)由于抛物线的定义是本章的主要内容之一，因而将它作为教学目标之一．
(2)MM教学方式在课堂教学中十分重视的一个方面就是合情推理方法的运用，逻辑思维能力的提高以及良好个性品质的培养．这对于提高学生的一般科学素养，形成和发展他们的数学品质，必将起着十分重要的作用，因而制定了目标2．
(3)按照大纲的要求，在教学中培养学生运用数学思想方法解决有关问题，据此制定了目标3．
2．关于教学重点
为实现教学目标，把充分展现抛物线的定义及标准方程的探索、发现、推理的思维过程和知识形成的过程作为本节课的重点．
3．关于教学方法
按照MM教学方式“学习、教学、研究同步协调原则”和“二主方针”，运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，提高能力、增长才干，采用启发式．
4．关于教学手段
利用计算机辅助教学，演示图形的动态变化过程，弥补传统教学手段(如投影片、模型等)的不足之处．
(1)在新课引入部分，通过动画演示，使学生充分理解并且掌握3种圆锥曲线的统一定义，以及曲线形状变化与常数e的大小之间的关系．
(2)在抛物线定义的引入部分，利用电脑精确测算“两个距离”，以及动点M的任意选取，充分展示了满足条件的点的轨迹，避免了传统教学中此处的生硬与牵强．
(3)在例2及引申中也采用动画演示，弥补了投影片无法实现的动态效果．
5．关于教学过程
(1)复习内容的确定，旨在通过联想，为运用类比方法探索抛物线的定义奠定基础．
(2)通过引导学生观察椭圆、双曲线图形的变化规律，类比、联想、进而猜想出e=1时轨迹形状是抛物线，然后进行推理证明．即通过既教猜想、又教证明这一MM可控变量的操作，旨在揭示科学实验的规律，从而暴露知识的形成过程，体现科学发现的本质，培养学生合理推理能力、逻辑推理能力、科学的思维方式、实事求是的科学态度及勇于探索的精神等个性品质．
(3)学以致用是教学的主要目标之一，在例题求解过程中，运用波利亚一般解题方法，培养学生合理的思考问题，清楚地表达思想和有条不紊的工作习惯．
(4)让学生小结，充分发挥学生的主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力．。