2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法
(2)分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以 通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成 立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
【加固训练】若函数f(x)=
【规范解答】(1)选A.不等式f(x)>0，
即(ax-1)(x+b)>0，其解集是(-1，3)，所以 a 0， ， a 1 1 ，解得 1 b 3， a b 3， 于是f(x)=(-x-1)(x-3)，所以不等式f(-2x)<0即为 (2x-1)(-2x-3)<0， 解得 x 1 或 x 3 . 2 2 (2)x2+x-2=(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,解集为{x|-2<x<1}. 答案:{x|-2<x<1}
(3)①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，此时不等式的解集为 {x|x>1}.
1 ②当a≠0时，原不等式可化为 a x 1 (x ) 0. a 1 若a<0，则上式即为 x 1 (x ) 0， a 又因为 1 1， 所以此时不等式的解集为{x|x>1或 x 1 }. a a 若a>0，则上式即为 (x 1)(x 1 ) 0. a 1 (ⅰ)当 1 1， 即a>1时，原不等式的解集为 {x | x 1}； a a (ⅱ)当 1 1， 即a=1 a 1 (ⅲ)当 1， 即0<a<1时，原不等式的解集为 {x |1 x 1}. a a
【解析】(1)正确.由不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)可知函 数对应的抛物线开口向上，因此必有a>0. (2)正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知 结论是正确的.
(3)错误.只有当a>0时才成立，当a<0时，若方程ax2+bx+c=0没
有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为空集. (4)错误.还要考虑a=0的情况，不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成 立的条件是a=0,b=0,c≤0或a<0且Δ=b2-4ac≤0. (5)正确.当抛物线开口向下时，在x轴下方一定存在图象，因 此ax2+bx+c<0的解集一定不是空集. 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√
a (ⅰ)当 2，即a≥4时，g(x)在［-2,2］上单调递增，g(x) 2 a 4， 在［-2,2］上的最小值为g(-2)=7-3a，因此 a无 7 3a 0， 解；
(ⅱ)当 a 2， 即a≤-4时，g(x)在［-2,2］上单调递减，g(x) 2 在［-2,2］上的最小值为g(2)=7+a， a 4， 因此 解得-7≤a≤-4； 7 a 0， a (ⅲ) 2 2，即-4<a<4时，g(x)在［-2,2］上的最小值为 2 a a2 g( ) a 3， 2 4
【解析】选D.由题意,≧不等式ax2+bx+c>0的解集为(-2,1),
c ≨a<0,-2+1=- b ,(-2)×1= , a a
≨b=a,c=-2a,
≨不等式ax2+(a+b)x+c-a<0为ax2+2ax-3a<0,
≨x2+2x-3>0,≨(x+3)(x-1)>0,
≨x<-3或x>1.
(2)解关于x的不等式(1－ax)2＜1. 【解析】由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0， 即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈ ； 当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得 a 2 x(x－ 2 )＜0， a 即 0＜x＜2； a 当a＜0时，2 ＜x＜0. a 综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式
4.不等式4x2-mx+1≥0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围 是_______. 【解析】依题意，应有Δ=(-m)2-4×4×1≤0, 即m2-16≤0，解得-4≤m≤4. 答案：［-4,4］
5.某种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是
y=3 000+20x-0.1x2,x∈(0,240)，若每台产品的售价为25万元，
令g(a)=(x-1)a+x2+3，
g 3 0， 要使g(a)≥0在［-3,3］上恒成立，只需 g 3 0， 2 x 3x 6 0， 即 2 x 3x 0， 解得x≥0或x≤-3.
【规律方法】恒成立问题的两种解法 (1)更换主元法 如果不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的 关键．即需要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清晰 明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的 量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解 .
1.不等式(x+2)(x-1)>4的解集为( (A)(-∞,-2)∪(3,+∞) (C)(-2,3)
)
(B)(-∞,-3)∪(2,+∞) (D)(-3,2)
【解析】选B.原不等式可化为x2+x-6>0， 即(x+3)(x-2)>0，所以x>2或x<-3， 即解集为(-≦,-3)∪(2,+≦).
2.函数f(x)= 3x x 2 的定义域为( (A)［0,3］ (C)(-∞,0］∪［3,+∞)
则生产者不亏本时的最低产量是_______.
【解析】要使生产者不亏本，则应满足25x≥3 000+20x-0.1x2，
整理得x2+50x-30 000≥0，解得x≥150或x≤-200(舍去)，
故最低产量是150台. 答案：150台
考向 1 一元二次不等式的解法 【典例1】(1)(2013·大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)·(x+b)， 如果不等式f(x)>0的解集是(-1,3)，则不等式 f(-2x)<0的解集是( )
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x<x1或 _________ x>x2} ______
{x|x1<x<x2} ___________
R __
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0，则可先 根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.
【提醒】当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论
其等于0的情况.
【变式训练】(1)(2013·绍兴模拟)不等式ax2+bx+c>0的解集 为(-2,1),则不等式ax2+(a+b)x+c-a<0的解集为( (A)(-∞,- 3 )∪( 3 ,+∞) (B)(-3,1) (C)(-1,3) (D)(-∞,-3)∪(1,+∞) )
4 a 4， 因此 解得-4<a≤2. a2 a 3 0， 4
综上所述，实数a的取值范围是-7≤a≤2.
【互动探究】本例(2)中，若对一切a∈［-3，3］，不等式
f(x)≥a恒成立，那么实数x的取值范围是什么？
【解析】不等式f(x)≥a即x2+ax+3-a≥0.
3.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表
示为
{x|x>x2或x<x1}
R
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2)，则必有a>0.( )
(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞)，则方程 ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( )
第二节 一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的定义 2 的不等式叫做一 只含有一个未知数且未知数的最高次数是__ 元二次不等式.
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如 表
判别式 Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图 象
Δ >0
Δ =0
Δ <0
)
(B)(0,3) (D)(-∞,0)∪(3,+∞)
【解析】选A.依题意有3x-x2≥0，解得0≤x≤3，即定义域为 ［0,3］.
3.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是 ( 1 , 1 )， 则a+b=( 2 3 (A)10 (B)-10 (C)14 (D)-14
)
1 1 【解析】选D.由题意 a 0, x1 , x 2 是方程ax2+bx+2=0的 2 3 两个根，所以 1 1 b , 1 1 2 , 解得a=-12，b=-2,故 2 3 a 2 3 a a+b=-14，选D.
(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式 ax2+bx+c>0的解集为R.( )
(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ =b24ac≤0. ( )
(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，则不等式 ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.( )
2015年高考数学总复习精品课件：第5章 第2讲 一元二次不等式及其解法
得 11＋ ×bb＝ ＝3a2a， ，
解得ab＝ ＝12， .
第十六页，编辑于星期五：十一点 二十六分。
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0， 即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0. 当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2<x<c}； 当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为∅. 综 上 所 述 ， 当 c>2 时 ， 不 等 式 ax2 － (ac ＋ b)x ＋ bc<0 的 解 集 为 {x|2<x<c}； 当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}； 当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为∅.
④当 2a≤－12，即 a≤－14时，
x
1 2
,
1 2
1 2
f′(x)
－
0
f(x)
极小值
1 2
,
＋
∴ f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 12，＋∞ ， 单 调 递 减 区 间 为 －12，12.
综上所述，当 a≤－14时，f(x)的单调递增区间为12，＋∞， 单调递减区间为－12，12；
解：(1)∵a＝1，
∴f(x)＝x22－3x＋52ln(2x＋1)，x>－12. f′(x)＝x－3＋2x＋5 1＝2x＋12x＋x－13＋5＝2x－2x1＋x1－2，
令 f′(x)＝0，则 x＝12或 x＝2，
x
1 2
,
1 2
2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法
(2)分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以 通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成 立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
【加固训练】若函数f(x)=
数m的取值范围是( )
ax2+bx+c>0 (a&g2} ______
{x|x1<x<x2} ___________
R __
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0，则可先 根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.
第二节 一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的定义 2 的不等式叫做一 只含有一个未知数且未知数的最高次数是__ 元二次不等式.
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如 表
判别式 Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图 象
Δ >0
Δ =0
Δ <0
(3)①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，此时不等式的解集为 {x|x>1}.
1 ②当a≠0时，原不等式可化为 a x 1 (x ) 0. a 1 若a<0，则上式即为 x 1 (x ) 0， a 又因为 1 1， 所以此时不等式的解集为{x|x>1或 x 1 }. a a 若a>0，则上式即为 (x 1)(x 1 ) 0. a 1 (ⅰ)当 1 1， 即a>1时，原不等式的解集为 {x | x 1}； a a (ⅱ)当 1 1， 即a=1时，原不等式的解集为 ； a 1 (ⅲ)当 1， 即0<a<1时，原不等式的解集为 {x |1 x 1}. a a
山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测35一元二次不等式及其解法 Word版含解析
课时限时检测(三十五) 一元二次不等式及其解法(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 不等式2x 2＋x －1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12或x <－1，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12，故选A.【答案】 A2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 【解析】 依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a ＜0，不等式x 2－bx －a ＜0可化为1a x 2－ba x －1＞0， 即－16x 2＋56x －1＞0，解得2＜x ＜3 . 【答案】 A3．(2013·湖北高考)已知全集为R ，集合A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎝ ⎛12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎝ ⎛12x≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，所以A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．【答案】 C4．(2014·中山模拟)若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 【解析】 由Δ＝a 2＋8＞0知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (1)f (5)≤0，解得－235≤a ≤1.故选B.【答案】 B5．(2014·郑州模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[，5＋∞)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．[－2,5]【解析】 因为x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所地要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A.【答案】 A6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)【解析】 (1)当x ＜0时，f (x )＝x ＋6＞3， 则－3＜x ＜0.(2)当x ≥0时，x 2－4x ＋6＞3⇔(x －1)(x －3)＞0， 解之得，x ＞3或0≤x ＜1.由(1)、(2)知，f (x )＞3的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·广东高考)不等式x 2＋x －2<0的解集为________．【解析】 方程x 2＋x －2＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1，故不等式x 2＋x －2<0的解集为(－2,1)．【答案】 (－2,1) 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是{x |x ＜－1或x ＞－12}，则实数a ＝________.【解析】 ax －1x ＋1＜0⇔(x ＋1)(ax －1)＜0，依题意，a ＜0且1a ＝－12. ∴a ＝－2. 【答案】 －29．(2014·黄冈模拟)若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为________．【解析】 不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a ＜0，即a 2－a ＜0，解得0＜a ＜1，所以不等式at 2＋2t －3＜1转化为t 2＋2t －3＞0，解得t ＜－3或t ＞1. 【答案】 {t |t ＜－3或t ＞1}三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＜0(a ∈R)． 【解】 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)＜0，(1)当a ＝a 2即a ＝0或a ＝1时，原不等式变为x 2＜0或(x －1)2＜0，解集为∅； (2)当a ＞a 2即0＜a ＜1时，解集为{x |a 2＜x ＜a }； (3)当a 2＞a 即a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a ＜x ＜a 2}； 综上得：原不等式的解集为： 当a ＝0或a ＝1时，为∅； 当0＜a ＜1时，为{x |a 2＜x ＜a }； 当a ＜0或a ＞1时，为{x |a ＜x ＜a 2}．11．(12分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入(万元)R (x )满足R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x ＞5.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？ 【解】 依题意得G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )， 则f (x )＝R (x )－G (x )，所以f (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x ＞5.(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0， 因为f (x )＞0∴⎩⎨⎧ 0≤x ≤5，－0.4x 2＋3.2x －2.8＞0或⎩⎨⎧x ＞5，8.2－x ＞0. ∴⎩⎨⎧0≤x ≤5，x 2－8x ＋7＜0或5＜x ＜8.2. ∴1＜x ≤5或5＜x ＜8.2，即1＜x ＜8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内． (2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6. 而当x ＞5时，f (x )＜8.2－5＝3.2所以当工厂生产400台产品时，盈利最大， 此时，R (4)4＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)． 即每台产品的售价为240元．12．(13分)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．【解】 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1＞0恒成立．(2)若x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4.∴g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减． ∴g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4.(3)若x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0化为a ≤3x 2－1x 3. 设h (x )＝3x 2－1x 3， 则h ′(x )＝3(1－2x )x 4， ∴h (x )在[－1,0)上单调递增．∴h(x)min＝h(－1)＝4，从而a≤4. 综上所述，实数a的值为4.。
2015届高考数学一轮复习 一元二次不等式及其解法跟踪检测 理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(三十六) 一元二次不等式及其解法第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·潍坊质检)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．33．(2014·湖北八校联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]5．(2013·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．8．(2013·广州调研)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．第Ⅱ组：重点选做题1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]2．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 原不等式可化为－x 2＋4x x －2≤0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)(x －2)≥0，x －2≠0. 由标根法知，0≤x <2或x ≥4.2．选A 由题意得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.3．选A 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．4．选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]5．选B 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－235，1. 6．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，328．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2<1，b >1无解．综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)9．解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ m <67.法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 10．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .第Ⅱ组：重点选做题1．选C 函数图像恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0. 解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19.2．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0， 解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)。
高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)
高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。
【重点难点】1。
教学重点：会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m，m＋1],都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是________．解析［由题可得f（x）<0对于x∈［m，m＋1］恒成立，即错误!解得－错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理：知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ＝0Δ数＋a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2＋bx＋c＝0（a>0)的根x1，x2(x1<x2)x1＝x2＝－错误!ax2＋bx＋c〉0 （a>0)的解集｛x|x〈x1或x〉x2｝{x｜x≠x1}Rax2＋bx＋c<0 （a〉0）的解集{x|x1〈x<x2｝∅∅知识点2 用程序框图表示ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解过程1．必会结论；（1)（x－a）(x－b）〉0或(x－a)(x－b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。
由常见问题的解决和总结，使学。
2015高考数学一轮课件：7.2 一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的解集及解集的确定 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 (a≠0)的 解集的确定受 a 的符号、b2－4ac 的符号 的影响，且与相应的二次函数、一元二 次方程有密切联系，可结合相应的函数 y ＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象，数形结合求 得不等式的解集． 若一元二次不等式经过不等式的同解变 形后，化为 ax2＋bx＋c>0(或<0)(其中 a>0) 的形式，其对应的方程 ax2＋bx＋c＝0 有 两个不等实根 x1，x2(x1<x2) (此时 Δ＝b2 －4ac>0)，则可根据“大于取两边，小于 夹中间”求解集．
第二页，编辑于星期五：十三点 二十四分。
基础知识·自主学习
要点梳理
2．一元二次不等式与相应的二次函数及
一元二次方程的关系如下表：
难点正本 疑点清源
2．解含参数的一元二
判别式 Δ＝b2 －4ac
二次函数 y＝ ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝
0(a>0)的根
Δ>0
有两相 异实根
思维启迪
解析
探究提高
－2x2 对一切实数 x 恒成立，求实数
a 的取值范围．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十八页，编辑于星期五：十三点 二十四分。
题型分类·深度剖析
题型二
一元二次不等式恒成立问题
【例 2】 已知不等式 ax2＋4x＋a>1
思维启迪
解析
探究提高
－2x2 对一切实数 x 恒成立，求实数 化为标准形式 ax2＋bx＋c>0 后
aa＝的－取2 时 值，范解围集．不是 R，因此 a≠－2，
2015高考数学一轮配套课件：7-2一元二次不等式及其解法
诊断·基础知识
突破·高频考第点二十页，编辑于培星养期五·：解十四题点能六分力。
当 m＝0 时，－6＜0 恒成立；
当 m＜0 时，g(x)在[1,3]上是减函数，
所以 g(x)max＝g(1)⇒m－6＜0， 所以 m＜6，所以 m＜0.
综上所述：m 的取值范围是mm＜67
.
诊断·基础知识
突破·高频考第点二十一页，编辑培于养星期·五解：十题四能点 六力分。
判别式Δ＝ b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
一元二次方 程ax2＋bx＋ c＝0(a＞0)
的根
有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根 x1＝x2＝－2ba
ax2＋bx＋c ＞0(a＞0)的 {x|x＞x2或x＜x1}
解集
x|x≠－2ba
ax2＋bx＋c
＜0(a＞0)的 {x|x1＜x＜x2}
∅
诊断·基础知识
突破·高频考第点十六页，编辑于培星养期五·：解十四题点能六分力。
法二 由 x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，
∵a＞0，∴不等式 x2－2ax－8a2＜0 的解集为(－2a,4a)，
又∵不等式 x2－2ax－8a2＜0 的解集为(x1，x2)，
∴x1＝－2a，x2＝4a.∵x2－x1＝15，
• 2．当判别式Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a＞0)解集 为R；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)解集为∅.二者不要混 为一谈．
• 3．含参数的不等式的求解，注意选好分类标
准，避免盲目讨论．
诊断·基础知识
突破·高频考第点二十八页，编辑培于养星期·五解：十题四能点 六力分。
思想方法 5——数形结合思想在“三个二次”间关系的应用
2015届高考数学总复习第六章 第二节一元二次不等式及其解法课件 理
由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
所以原不等式等价于
所以原不等式的解集为{x|－2≤x<1或1<x≤4} 点评:(1)解分式不等式的指导思想是将分式不等式转化为整 式不等式 , (2)解分式不等式或高次不等式常用穿根法．利用穿根法解不
等式时，分解因式后各因式中x的最高次项系数须为正．
变式探究
给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函
数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
变式探究
4．已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a
恒成立，则a的取值范围是__________．
解析：由已知得x2－2ax＋2－a≥0在x∈[－1，＋∞)上恒成 立，令g(x)＝x2－2ax＋2－a， Δ＞0， 2 即Δ＝4a －4(2－a)≤0或a≤－1， 解得－3≤a≤1. g－1≥0， 答案：[－3,1]
－6<0，可以用一次函数的单调性求解．
解析：将f(x)<－m＋5变为m(x2－x＋1)－6<0，则命题 等价于m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1)－6<0恒成立． ∵x2－x＋1＞0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增， ∴只要g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0， 即x2－x－2<0，解得－1<x<2. 答案：(－1,2)
第六章
第二节 一元二次不等式及其解法
解一元二次不等式
【例1】 解下列不等式：
(1)19x－3x2≥6； (2)0＜x2－x－2≤4.
自主解答：
解析：(1)(法一)原不等式可化为3x2－19x＋6≤0，
方程3x2－19x＋6＝0的解为x1＝
，x2＝6.
函数y＝3x2－19x＋6的图象开口向上且与x轴有两个交点
一元二次不等式及其解法全
要点梳理
2.分式不等式与一元二次不等式的关系:
⑴
x a 0 ( x a)( x b) 0; xb
(2)
f (x) g( x)
≥
0
f (x)g(x)
g(
x)
0
≥
0
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题型一 解一元二次不等式
求下列不等式的解集.
(1) 4x2 4x 1 0
(2) x 2 2x 3 0
⑶ 3x 2 2x2
有两相等 实根x1=x2 {x|x≠x1}
Δ<0
y
O
x
无实根
R
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要点梳理
忆一忆知识要点
用程序框图描述一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的求解的
算法过程
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上述不等式 ax2+bx+c>0(<0)中的 a 均大于 0，若 a<0，则可先进行转化，使 x2 的系数为正，但一 定注意在转化过程中不等号的变化.
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已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x＜-2,
或 x 1 }, 求 ax2 -bx+c>0的解集.
2
解: 由已知得
2, 1 是方程ax2 bx c 0 2
的两个根，且a＜0，
144aa122bb
c c
0, 0.
解得
b
5 2
a
,c
a.
∴不等式 ax2 bx c 0 即为 2x2 5x 2 0
高三数学第一轮复习
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知识网络
不等式的基本性质
两个实数大小的比较
不
一元二次不等式及 其解法
不等式的实际应用
§9.2一元二次不等式及其解法
1
x
1
若 a<0,则原不等式等价于 x- (x-1)<0,解得 <x<1.
若 a>0,则原不等式等价于
(x-1)>0.
1
1
1
1
1
a>1 时, <1,解 x- (x-1)>0 得 x>1 或 x< ;
1
1
1
0<a<1 时, >1,解 x- (x-1)>0,得 x> 或 x<1.
以不等式的解集不可能是 R,故 B 错误;
因为 f(x)=mx2-2x-1 的图象开口向上,所以不等式 mx2-2x-1>0(m>0)的解集可
能表示为两根之外,不可能为两根之间,故 C 错误;
因为 f(x)=mx2-2x-1 的图象开口向上,所以不等式 mx2-2x-1>0(m>0)的解集不
可能为⌀,故 D 错误.
有两相等实根1 =
2 = −
2
{| ≠ 1 }
________________________________
⌀
没有实数
根
⌀
________
5
目录
拓展知识
不等式 ax2+bx+c>0(<0)恒成立的条件
= = 0,
（1）不等式 ax2+bx+c>0 对任意实数 x 恒成立⇔
【解析】要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立,则 mx -mx+m-6<0,即 m