江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试数学理试题
2018~2019学年镇江市上学期期中试卷
高三数学
2018．11
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．
．） 1．设集合A ＝{
x x }
4是小于的偶数，B ＝{﹣3，1，2，4}则A B ＝ ．
2．命题“0x ∀>，2
0x ≥”的否定为 ． 3．若复数12ai
z i
+=
-(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则a ＝ ． 4．函数27log (43)y x x =-+的定义域为 ．
5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且A ＝45°，C ＝75°，a ＝1，则b ＝ ． 6．已知函数1
()41
x f x a =+
+是奇函数，则(1)(0)f f -+＝ ． 7．已知e 为自然对数的底数，函数ln y ex x =-在[1，e ]的最小值为 ．
8．已知函数2
()24f x x ax =-+在(﹣1，+∞)上是增函数，则(2)f 的取值范围为 ．
9．将函数5sin(2)4
y x π
=+的图像向左平移ϕ(02
π
ϕ<<
)个单位弧，所得函数图象关于直
线4
x π
=
对称，则ϕ＝ ．
10．在△ABC 中，已知(tanA ＋1)(tanB ＋1)＝2，则cosC ＝ ． 11．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则
14
1
x y ++的最小值为 ． 12．已知函数()(22)x x
f x x -=-，则不等式(2)(l
g )f f x -<的解集为 ．
13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4(tanA ＋tanB)＝
tan A cos B ＋tan B
cos A
，则cosC 的最小值为 ．
14．已知函数2lg 0()20
x x f x x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩，，，若函数2
2()3()12y f x mf x m =++-有6个不同
的零点，则实数m 的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C sin B
c b
=． （1）求角C ； （2）若3
sin(B )3
5
π
-
=
，求cosA 的值． 16．（本题满分14分）
已知函数2
()(1)2f x x k x k =+-+-． （1）解关于x 的不等式()2f x <；
（2）对任意的x ∈(﹣1，2)，()1f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．
17．（本题满分14分）
已知函数4()log log a f x x x =+(0＜a ≠1)为增函数． （1）求实数a 的取值范围；
（2）当a ＝4时，是否存在正实数m ，n (m ＜n )，使得函数()f x 的定义域为[m ，n ]，值域为[
2m ，2
n
]？如果存在，求出所有的m ，n ，如果不存在，请说明理由． 18．（本题满分16分）
如图，郊外有一边长为200m 的菱形池塘ABCD ，塘边AB 与AD 的夹角为60°，拟架设三条网隔BE ，BF ，EF ，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE 与BF 相互垂直，E ，F 两点分别在塘边AD 和DC 上，区域BEF 为荷花种植区域．记∠ABE ＝θ，荷花种植区域的面积为S m 2．
（1）求S 关于θ的函数关系式； （2）求S 的最小值．
19．（本题满分16分）
已知函数32()3(36)12()f x x ax a x a a R =++-+∈． （1）若函数()f x 为奇函数，求实数a 的值；
（2）若对任意的a ∈[﹣1，1]，不等式()f x m <在x ∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围；
（3）若()f x 在0x x =处取得极小值，且0x ∈(0，3)，求实数a 的取值范围． 20．（本题满分16分）
已知函数()x
f x e =，2
()g x mx =．R m ∈，e 为自然对数的底数．
（1）如果函数()()()h x f x g x =-在(0，+∞)上单调递增，求m 的取值范围； （2）若直线1y kx =+是函数()y f x =图象的一条切线，求实数k 的值； （3）设1x ，2R x ∈，且12x x <，求证：122121
()()()()
2f x f x f x f x x x +->
-．
参考答案
1．{2} 2．0x ∃>，使2
0x ≤ 3．2 4．(3，+∞)(-∞，1) 56．
310 7．2 8．[12，+∞) 9．38π 10．3
4
π 11．92
12．(0，1100)(100，+∞) 13．7
8
14．m ＜﹣3。
江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试数学试卷
江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试数学试卷一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x 是小于4的偶数}，B ＝{－3，1，2，4}，则A ∩B ＝________．2. 命题“∀x ＞0，x 2≥0”的否定为______________．3. 若复数z ＝1＋a i 2－i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则a ＝________． 4. 函数y ＝log 7(x 2－4x ＋3)的定义域为________．5. (文)点M (－3，4)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为________．(理)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且A ＝45°，C ＝75°，a ＝1，则b ＝________．6. (文)经过点P (1，2)，且与直线3x ＋4y －100＝0垂直的直线的方程是________．(理)已知函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数，则f (－1)＋f (0)＝________． 7. (文)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________． (理)已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －ln x 在[1，e]上的最小值为________．8. (文)已知向量a 与b ，满足|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －b )，则向量a 与b 的夹角为________． (理)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________．9. (文)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n .若a 1＋a 4＋a 7＝0，则S 6a 6的值为________．(理)将函数y ＝5sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后，所得函数图象关于直线x ＝π4对称，则φ＝________． 10. 在△ABC 中，已知(tan A ＋1)(tan B ＋1)＝2，则cos C ＝________．11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则1x ＋4y ＋1的最小值为________． 12. 已知函数f (x )＝x (2x －2－x )，则不等式f (－2)＜f (lg x )的解集为________．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A，则cos C 的最小值为________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2f 2(x )＋3mf (x )＋1－2m 有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C c ＝sin B b. (1) 求角C 的值；(2) 若sin(B －π3)＝35，求cos A 的值．16. (本小题满分14分)已知k ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(1－k )x ＋2－k .(1) 解关于x 的不等式f (x )＜2；(2) 对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，求实数k 的取值范围．(文)如图，已知点A (1，1)，B (－1，1)，过点A 作直线l ，使得直线l 与y 轴正半轴交于点C ，与射线BO 交于点D .(1) 若直线l 的斜率为－3，① 求OA →·BC →的值；② 若OD →＝λOA →＋μOC →，求实数λ－μ的值；(2) 求△OCD 面积的最小值及此时直线l 的方程．(理)已知函数f (x )＝log a x ＋log 4x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数．(1) 求实数a 的取值范围；(2) 当a ＝4时，是否存在正实数m ，n (m ＜n )，使得函数f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2？如果存在，求出所有的m ，n ；如果不存在，请说明理由．如图，郊外有一边长为200 m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°.拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为S m2.(1) 求S关于θ的函数关系式；(2) 求S的最小值．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n ，n ∈N *，记b n ＝a n ＋3.(1) 求证：数列{b n }为等比数列；(2) 设数列{b 2n }的前n 项和为T n ，求证：S 2n ＋6n T n为定值； (3) 判断数列{2n －a n }中是否存在三项成等差数列，并说明你的结论．(1) 若函数f (x )为奇函数，求实数a 的值；(2) 若对任意的a ∈[－1，1]，不等式f (x )＜m 在x ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 若f (x )在x ＝x 0处取得极小值，且x 0∈(0，3)，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝mx 2，m ∈R ，e 为自然对数的底数．(1) 如果函数h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，求m 的取值范围；(2) 若直线y ＝kx ＋1是函数y ＝f (x )图象的一条切线，求实数k 的值；(3) 设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，求证：f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)求曲线y＝ln(x2－2x)在x＝3处的切线方程．22.(本小题满分10分)已知n为自然数，当n≥4时，用数学归纳法证明：2n＞n2＋3n＋22.23. (本小题满分10分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.(1) 当m＝2 018，n＝2 019时，试求f(x)展开式中x的偶次幂项的系数之和；(2) 若f(x)的展开式中x的系数为11，试求x2的系数取最小值时n的值．24.(本小题满分10分)高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组，学生是否参加哪个兴趣小组互不影响．已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a，没有参加的兴趣小组数为b，记ξ＝2a－b.(1) 求该同学参加数学兴趣小组的概率；(2) 求ξ的分布列和数学期望．【参考答案】1. {2}2. ∃x ＞0，x 2＜03. 24. (－∞，1)∪(3，＋∞)5. (文)22 (理)626. (文)4x －3y ＋2＝0 (理)3107. (文)[12，＋∞) (理)e8. (文)π4(理)[12，＋∞) 9. (文)－32 (理)3π8 10. －22 11. 92 12. (0，1100)∪(100，＋∞) 13. 7814. m ＜－3 15. 解：(1) 在△ABC 中，因为sin 2C c ＝sin B b ，由b sin B ＝c sin C得(1分) 2sin C cos C sin C ＝sin B sin B，(2分) 所以cos C ＝12.(4分) 又C ∈(0，π)，(5分)所以C ＝π3.(6分) (2) 因为C ＝π3，B ∈(0，2π3)，B －π3∈(－π3，π3)，则cos(B －π3)＞0.(8分) 又sin(B －π3)＝35，则cos(B －π3)＝1－sin 2（B －π3）＝1－（35）2＝45.(10分) 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ， 所以cos A ＝cos(2π3－B )＝cos ⎣⎡⎦⎤π3－（B －π3）(12分) ＝cos π3·cos(B －π3)＋sin π3·sin(B －π3)＝12×45＋32×35＝4＋3310.(14分) 16. 解：(1) 由f (x )＜2得不等式可变形为(x －k )(x ＋1)＜0，(1分) ① 若k ＝－1，则(x ＋1)2＜0，解集为∅；(3分)② 若k ＞－1，解集为(－1，k )；(5分)③ 若k ＜－1，解集为(k ，－1)．(7分)(2) 由对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，即x 2＋(1－k )x ＋1－k ≥0恒成立， 即x 2＋x ＋1≥k (x ＋1)，对任意x ∈(－1，2)恒成立，(8分)k ≤（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1.(10分) 因为(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）·1x ＋1－1＝2－1＝1.(12分) 当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0∈(－1，2)时，(13分) ⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x ＋1－1min ＝1，故实数k 的取值范围是(－∞，1]．(14分)17. (文)解：(1) 因为直线l 过A (1，1)，且斜率为－3，所以直线l ：y －1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋4.(1分)令x ＝0得C (0，4)；令y ＝－x 得D (2，－2)．(2分)① 因为OA →＝(1，1)，BC →＝(1，3)，所以OA →·BC →＝1×1＋1×3＝4.(4分)② 因为OD →＝λOA →＋μOC →，则(2，2)＝λ(1，1)＋μ(0，4)，(5分)即2＝λ，－2＝λ＋4μ，则λ＝2，μ＝－1，(6分)所以λ－μ＝3.(7分)(2) 由图中两直线相交位置可得，直线l 的斜率k 存在，且k ＜－1，(8分) 设直线l ：y －1＝k (x －1)．令x ＝0得C (0，1－k )；令y ＝－x 得D (k －1k ＋1，1－k k ＋1)．(9分) 则S △OCD ＝12OC ·|x D |＝12·（1－k ）2－1－k(10分) ＝12⎣⎡⎦⎤（－k －1）＋4－k －1＋4≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（－k －1）·4（－k －1）＋4＝4，(13分) 当且仅当－k －1＝4－k －1，即k ＝－3∈(－∞，－1)时，(S △OCD )min ＝4. 此时直线l ：y ＝－3x ＋4.(14分)(理)解：(1) (解法1)因为f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝1x ln a ＋1x ln 4＝1x (1ln a ＋1ln 4)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(2分) 则1ln a ＋1ln 4≥0，ln 4a ln a ·ln 4≤0，解得a ＞1或0＜a ≤14.(4分) 又当a ＝14时，f (x )＝0为常数函数，不合题意．(5分) 所以a ＞1或0＜a ＜14.(6分) (解法2)因为f (x )＝log a x ＋log 4x ＝log 4x log 4a ＋log 4x ＝log 4x (1log 4a＋1)，(2分) 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1log 4a ＋1＞0，即1＋log 4a log 4a＞0， 所以log 4a ＜－1或log 4a ＞0，(4分)即a ＞1或0＜a ＜14.(6分) (2) 当a ＝4时，f (x )＝2log 4x 在(0，＋∞)上为增函数．(7分)因为函数f (x )在定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2，则有f (m )＝2log 4m ＝m 2，f (n )＝2log 4n ＝n2，所以m ，n 为方程log 2x ＝x2在(0，＋∞)上的两个不等的实数解．(9分)显然m ＝2，n ＝4符合方程．(11分)令h (x )＝log 2x －x 2，由h ′(x )＝1x ln 2－12＝2－x ln 22x ln 2＝0，得x ＝2ln 2.(12分)当x ∈(0，2ln 2)时，h ′(x )＞0，h (x )为增函数，在(0，2ln 2)上至多有一个零点；当x ∈(2ln 2，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )为减函数，在(2ln 2，＋∞)上至多有一个零点．所以h (x )＝log 2x －x2至多只有两个实数解．(13分)故存在唯一正实数m ＝2，n ＝4符合题意．(14分)18. 解：(1) 在△ABE 中，∠ABE ＝θ，∠A ＝π3，则∠AEB ＝2π3－θ.由AB sin ∠AEB ＝BE sin A，得BE ＝1003sin （2π3－θ）.(2分)在△BCF 中∠C ＝π3，∠CBF ＝π6－θ，则∠BCF ＝π2＋θ.同理可得，BF ＝1003cos θ.(4分)则S ＝12BE ·BF ＝15 000cos θsin （2π3－θ）.(7分)(2) 设f (θ)＝cos θ·sin(2π3－θ)＝cos θ·(sin 2π3cos θ－cos 2π3sin θ)＝32cos 2θ＋12sin θcos θ＝32·1＋cos 2θ2＋14sin 2θ＝34＋12sin(2θ＋π3)．(11分) 因为π2＋θ＜2π3，所以θ∈(0，π6)．(12分)则当θ＝π12时，f (θ)max ＝2＋34，则S min ＝15 0002＋34＝60 000(2－3)．(14分)答：(1) 函数关系式为S ＝30 00032＋sin （2θ＋π3）；(2) 当θ＝π12时，面积S 的最小值为60 000(2－3)m 2.(16分)19. (文)(1) 证明：因为S n ＝2a n －3n ①，当n ＝1时，a 1＝2a 1－3，则a 1＝3. 当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－3(n －1) ②，①－②得a n ＝2a n －2a n －1－3n ＋3(n －1)，即a n ＝2a n －1＋3，(2分) 则a n ＋3＝2(a n －1＋3)，即b n ＝2b n －1，又b 1＝a 1＋3＝6≠0，(3分) 所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列．(4分)(2) 证明：由(1)知b n ＝6×2n －1＝3×2n ，a n ＋3＝b n ＝3×2n ，则有a n ＝3×2n －3.同时b 2n ＝9×4n ，即数列{b 2n }是以3为首项，4为公比的等比数列，(5分)得T n ＝36（1－4n ）1－4＝12(4n －1)．(6分)因为S n ＝2a n －3n ，所以S 2n ＝2a 2n －6n ＝6(4n －1)－6n ，(8分) 则S 2n ＋6n T n ＝6×（4n －1）12（4n －1）＝12为定值．(10分)(3) 解：令c n ＝2n －a n ＝3－2n ，若存在m ＜p ＜n ，使得c m ，c p ，c n 成等差数列， 则c p －c m ＝c n －c p ，2c p ＝c m ＋c n ，即2·2n ＝2m ＋2p (*)．(12分) 等式两边同时除以2m 得2n＋1－m＝1＋2p－m.因为m ＜p ＜n ，所以n ＋1－m ，p －m 均为正整数，(14分) 故(*)式左边为偶数，而右边为奇数，所以(*)式不能成立． 故数列{2n －a n }中不存在三项成等差数列．(16分)(理)解：(1) (解法1)因为函数f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )对一切实数恒成立， 即x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝－[(－x )3＋3a (－x )2＋(3－6a )(－x )＋12a ]， 即6a (x 2＋4)＝0对一切实数x 恒成立，(2分) 所以a ＝0.(3分)(解法2)因为函数f (x )为奇函数，且函数的定义域为R ， 所以f (0)＝0，得a ＝0.(1分)此时f (x )＝x 3＋3x ，f (－x )＝(－x )3＋3(－x )＝－x 3－3x ＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数，故a ＝0.(3分)(2) f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝a (3x 2－6x ＋12)＋x 3＋3x . 设函数g (a )＝(3x 2－6x ＋12)a ＋x 3＋3x ，因为3x 2－6x ＋12＝3(x －1)2＋9＞0，所以函数g (a )在[－1，1]上单调递增． 令h (x )＝g (a )max ＝g (1)＝x 3＋3x 2－3x ＋12，(5分)由h ′(x )＝3x 2＋6x －3＝3[x ＋(1＋2)][x －(2－1)]，令h ′(x )＝0得x ＝2－1. 当x ∈(－1，2－1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )为减函数； 当x ∈(2－1，1)时，h ′(x )＞0，函数g (x )为增函数．(7分)而h (1)＝13，h (－1)＝17，所以h (x )max ＝17，则m ＞17.(8分) (3) 因为f (x )在x ＝x 0∈(0，3)处取得极小值 (*)，则令f ′(x )＝3[x 2＋2ax ＋(1－2a )]＝0，令s (x )＝x 2＋2ax ＋(1－2a ) ①. 则方程①有两个不相等的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，所以Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，解得a ＞－1＋2或a ＜－1－2 ②.(9分) 设s (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，则f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)． 当x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数； 当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数； 当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，所以f (x )的极小值在较大根x 2处取得，令x 2＝x 0∈(0，3)．(10分) (解法1)1° 当x 1＜0，x 0∈(0，3)时，因为x 1＜0＜x 0＜3，则s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，s (3)＝(3－x 1)(3－x 0)＝10＋4a ＞0， 解得a ＞12.(11分)反之，当a ＞12时，Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，方程①有两个实根x 1，x 0；且满足s (0)＝1－2a ＜0，s (3)＝10＋4a ＞0，则方程在区间(0，3)上必有一根x 0； 又s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，而x 0＞0，所以x 1＜0. 所以满足条件(*)．此时a ＞12③.(12分)2° 当x 1，x 0∈(0，3)时，s (x )的对称轴为x ＝－a ＝x 0＋x 12∈(0，3) ④，s (x )在(0，－a )上为减函数，在(－a ，3)上为增函数．因为0＜x 1＜－a ＜x 0＜3，所以s (0)＝1－2a ＞s (x 1)＝0，s (3)＝10＋4a ＞s (x 0)＝0. 结合②④，解得－52＜a ＜－1－ 2.(13分)反之，当－52＜a ＜－1－2时，Δ＞0，方程①必有两不相等的根x 1，x 0.又1＋2＜－a ＜52，所以对称轴x ＝－a ∈(0，3)，而函数s (x )min ＝s (－a )＜0，因为s (x )在(0，－a )上为减函数，且s (0)＝1－2a ＞0，则s (x )在(0，－a )上必有一根x 1； s (x )在(－a ，3)上为增函数，且s (3)＝10＋4a ＞0，则s (x )在(－a ，3)上必有一根x 0， 显然x 1＜x 0.所以满足条件(*)．此时－52＜a ＜－1－2 ⑤.(14分)3° 当方程有一根分别为0时，此时s (x )的两根分别为－1，0，不合题意．(15分)综上，由③⑤得－52＜a ＜－1－2或a ＞12.(16分)(解法2)此时方程s (x )＝0有两个实根x 1，x 0，x 1＜x 0， 则x 1＝－a －a 2＋2a －1＜x 0＝－a ＋a 2＋2a －1，(12分) 则0＜－a ＋a 2＋2a －1＜3，即a ＜a 2＋2a －1＜3＋a ⑥.1° 当a ＞－1＋2时，⑥平方得a 2＜a 2＋2a －1＜(3＋a )2，解得a ＞12.(13分)2° 当a ＜－1－2时，a ＜a 2＋2a －1恒成立．由a 2＋2a －1＜3＋a ，平方解得－52＜a ＜－1－ 2.(15分)综上，由1°，2°可得a ＞12或－52＜a ＜－1－ 2.(16分)20. (1) 解：因为h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －mx 2在(0，＋∞)上为增函数， 则h ′(x )＝e x－2mx ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≤e xx恒成立．(2分)设函数k (x )＝e xx ，x ∈(0，＋∞)，则k ′(x )＝e x （x －1）x 2＝0，得x ＝1.所以k (x )min ＝k (1)＝e ，所以m ≤e2.(4分)(2) 解：设切点为(x 0，e x 0)．因为f ′(x )＝e x ，所以e x 0＝k ，e x 0＝kx 0＋1，(6分) 所以e x 0(x 0－1)＋1＝0.令l (x )＝e x (x －1)＋1，l ′(x )＝e x ·x ＝0，得x ＝0.所以l (x )min ＝l (0)＝0，所以x 0＝0，所以k ＝1.(8分)(3) 证明：因为f (x )＝e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且x 2－x 1＞0，e x 2－e x 1＞0，(9分) 所以f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1⇔e x 1＋e x 22＞e x 2－e x 1x 2－x 1⇔x 2－x 12＞e x 2－e x 1e x 2＋e x 1⇔12(x 2－x 1)＞e x 2－x 1－1e x 2－x 1＋1⇔12(x 2－x 1)＞1－2e x 2－x 1＋1(*)．(12分)令x 2－x 1＝t ＞0，F (t )＝t 2＋2e t ＋1－1，F ′(t )＝12－2e t（e t ＋1）2＝（e t －1）22（e t ＋1）2.(14分)因为t ＞0，所以F ′(t )＞0，所以F (t )在(0，＋∞)上单调递增，所以F (t )＞F (0)＝0，(*)式成立，则f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(16分)附加题 21. 解：y ′＝1x 2－2x (x 2－2x )′＝2x －2x 2－2x，(4分)则切线在x ＝3处的斜率k ＝2×3－232－2×3＝43.(6分)当x ＝3时，y ＝ln 3，(8分)则切线方程为y －ln 3＝43(x －3)，即4x －3y －12＋3ln 3＝0.(10分)22. 证明：① 当n ＝4时，24＝16＞42＋3×4＋22＝15，则结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k (k ≥4)时，满足2k＞k 2＋3k ＋22，(4分)则当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k＞2×k 2＋3k ＋22＝2k 2＋6k ＋42.(6分)因为k ≥4，则2k 2＋6k ＋42－（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22＝k 2＋k －22＞0，所以2k 2＋6k ＋42＞（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22.(8分)即当n ＝k ＋1时，有2n ＞n 2＋3n ＋22成立．(9分)综合①②，当n ≥4，n ∈N 时，有2n＞n 2＋3n ＋22.(10分)23. 解：(1) 记f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 019x 2 019.令x ＝－1，得f (－1)＝a 0＋a 1(－1)＋a 2(－1)2＋…＋a 2 019(－1)2 019＝－1， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 018－a 2 019＝－1 ①.(2分) 令x ＝1，得f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019， 即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019 ②.(4分) 由①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 018)＝－1＋22 018＋32 019， 则a 0＋a 2＋…＋a 2 018＝12(22 018＋32 019－1)．(6分)(2) 根据题意得C 1m ＋2C 1n ＝11，则m ＋2n ＝11，(7分) 则x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m （m －1）2＋2n (n －1)(8分)＝m 2－m 2＋(11－m )(11－m 2－1)＝(m －214)2＋35116.(9分)因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(10分)24. 解：(1) 设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A ，B ，C ， 对应的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，P (C )＝z .(1分) 因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，则P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝x (1－y )(1－z )＝0.08 ①；(2分) 因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12， 则P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝xy (1－z )＝0.12 ②；(3分) 因为该同学至少参加一个兴趣小组的概率是0.88， 则P (A ＋B ＋C )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C ) ＝1－(1－x )(1－y )(1－z )＝0.88 ③.(4分) 由①②③，解得x ＝0.4，y ＝0.6，z ＝0.5. 答：该同学参加数学兴趣小组的概率为0.6.(5分) (2) 依题意知ξ的所有可能取值为－3，0，3，6，(6分) P (ξ＝－3)＝(1－x )(1－y )(1－z )＝0.12，P (ξ＝0)＝x (1－y )(1－z )＋(1－x )y (1－z )＋(1－x )(1－y )z ＝0.38， P (ξ＝3)＝xy (1－z )＋x (1－y )z ＋(1－x )yz ＝0.38， P (ξ＝6)＝xyz ＝0.12.(8分) ξ的分布列为(9分)数学期望E (ξ)＝－3×0.12＋0×0.38＋3×0.38＋6×0.12＝1.5.(10分)。
江苏省镇江市2019届高三上学期期末考试数学试题(小题解析版)
江苏省镇江市2018~2019学年第一学期期末试卷高三数学2019．1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．．） 1．已知集合A ＝{0，1，2}，集合B ＝{﹣1，0，2，3}，则A B ＝ ．答案：{0，2} 考点：集合的运算。
解析：取集合A ，B 的公共部分，得：AB ＝{0，2}2．函数()lg(3)f x x =-的定义域为 ． 答案：（－∞，2］考点：函数的定义域，对数函数。
解析：由lg(3)0x -≥，得：31x -≥，解得：2x ≤3．从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是 ． 答案：15考点：古典概型。
解析：从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数共有：25C ＝10种， 和为6的有：15、24两种，故所求概率为：P ＝21105=4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ． 答案：8考点：算法初步。
解析：第1步：T ＝3，i ＝4；第2步：T ＝7，i ＝6； 第3步：T ＝13，i ＝8，退出循环，此时，i ＝85．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 ．答案 考点：圆锥的侧面积与体积的计算。
解析：设圆锥的底面半径为R ，母线长为l ， 因为底面积为π，所以，R ＝1，又侧面积为2π， 所以，12122l ππ⨯⨯⨯=，解得：l ＝2， 所以，圆锥的高为h 3V ＝213133π⨯⨯=6．抛物线28y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为 ． 答案：65考点：抛物线与双曲线的性质，点到直线的距离公式。
解析：抛物线28y x =的焦点为：F （2,0），双曲线221169x y -=的一条渐近线为：340x y -=， 距离为d657．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-，则63S S ＝ ． 答案：12考点：等比数列的通项公式，前n 项和公式。
江苏省南京市、镇江市2019届高三上学期期中联考试题 数学(理科)含答案
高三数学(理科 第I 卷）注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题-第14题）、解答题（第15题-第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定位置。
3.答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。
答题卡不折叠、无破损。
4.如有做图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。
1.设集合A={x x |是小于4的偶数}, B={-3,1, 2, 4}，则=B A ▲ .2.命题“ x ∀>0，02≥x 的否定为 ▲ .3.若复数i R a iai z ,(21∈-+=为虚数单位）是纯虚数，则a= ▲ . 4.函数)34(log 27+-=x x y 的定义域为▲ .5.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且1,75,4500===a C A ，则b 的最小值 ▲ .6. 已知函数141)(++=x a x f 是奇函数，则=+-)0()1(f f ▲ . 7.已知e 为自然对数的底数，函数x ex y ln -=在],1[e 的最小值为▲ .8.已知函数42)(2+-=ax x x f 在),1(+∞-上是增函数，则)2(f 的取值范围为▲ .9.将函数)42sin(5π+=x y 的图像向左平移 )2＜＜0(πϕϕ个单位后，所得函数图像关于直线4π=x 对称，则=ϕ▲ .10.在ABC ∆中，己知2)1)(tan 1(tan =++B A ,则=C cos = ▲ .11.已知x>0，y>0，x+y=1,则141++y x 的最小值为▲ . 12.己知函数)22()(x x x x f --=，则不等式)(lg ＜)2(x f f -的解集为▲ .13.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知AB B A B A cos tan cos tan )tan (tan 4+=+，则C cos 的最小值 ▲ . 14.己知函数⎩⎨⎧≤=0x 2x,-x -0>,lg )(2x x x f ，若函数m x mf x f y 21)(3)(22-++= 有6 个不同的零点，则实数a 的取值范围为▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
(2021年整理)江苏省镇江市2019届高三上学期期末考试数学试题(无附加题)
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江苏省镇江市2018~2019学年第一学期期末试卷高三数学2019．1一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合A ＝｛0，1，2｝,集合B ＝{﹣1，0，2,3｝，则A B ＝ ． 2．函数()lg(3)f x x =-的定义域为 ．3．从1，2,3,4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是 ． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为 ． 5．已知一个圆锥的底面积为π,侧面积为2π，则该圆锥的体积为．6．抛物线28y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为．7．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-，则63S S ＝ ． 8．已知函数1()22x xf x =-，则满足2(5)(6)0f x x f -+>的实数x 的取值范围是 ． 9．若2cos 2sin()4παα=-，α∈（2π，π），则sin 2α＝ ．10．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，点D,E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F,使得DE ＝3EF ，则AF BC ⋅的值为 ．11．已知等差数列{}n a 的公差为d （d ≠0），前n 项和为n S ，且数列{}n S n +也为公差为d 的等差数列，则d ＝ ． 12．已知x ＞0,y ＞0,14x y x y+=+，则x y +的最小值为 ．13．已知圆O ：221x y +=，圆M:22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P,过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B,使得PA ⊥PB ，则实数a 的取值范围为 ．14．设函数32()f x ax bx cx =++（a ,b ，c ∈R ，a ≠0)．若不等式()()2xf x af x '-≤对一切x ∈R 恒成立，则b ca+的取值范围为 ．二、解答题(本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B,C 所对的边分别为a ,b ，c ,且cosB cosC 3cosB c b a +=． （1）求cos B 的值；（2）若CA CB -＝2,△ABC 的面积为b ．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥V —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N ．(1）求证：BC ⊥平面VCD ； （2)求证：AD ∥MN ．17．（本小题满分14分）某房地产商建有三栋楼宇A，B，C,三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为120°，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．（1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值;（2）当楼宇D与楼宇B，C间距离相等时，拟在楼宇A，B间建休息亭E，在休息亭E和楼宇A，D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a，2a(单位：元千米，a为常数)．记∠BDE＝ ，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>的长轴长为4，两准线间距离为42．设A为椭圆C的左顶点，直线l过点D（1，0)，且与椭圆C相交于E,F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若△AEF的面积为10，求直线l的方程；（3）已知直线AE,AF分别交直线x＝3于点M，N，线段MN的中点为Q,设直线l和QD的斜率分别为k(k≠0),k′，求证：k·k′为定值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a是各项均为正数的等比数列，12a=，2464a a=．数列{}n b满足：对任意的正整数n,都有11122(1)22nn na b a b a b n++++=-⋅+．（1）分别求数列{}n a与{}n b的通项公式；(2）若不等式12111(1)(1)(1)22221n nb b b bλ---<+n都成立,求实数λ的取值范围；（3）已知k N*∈，对于数列{}n b,若在k b与1k b+之间插入k a个2，得到一个新数列{}n c．设数列{}n c的前m项的和为m T，试问：是否存在正整数m，使得m T＝2019？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）己知函数()ln f x a x bx =-（a ，b ∈R)．（1）若a ＝l ，b ＝l,求函数()y f x =的图像在x ＝1处的切线方程； （2）若a ＝l,求函数()y f x =的单调区间；（3)若b ＝l ，己知函数()y f x =在其定义域内有两个不同的零点1x ,2x ，且12x x <．不等式12(1)(0)a m x mx m <-+>恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案16、(1)ABCD是矩形，所以，BC⊥CD，VD⊥平面ABCD，所以，VD⊥BC，又VD交CD于D所以,BC⊥平面VCD(2）AD∥BC，得AD∥平面VBC,平面ADMN交平面VBC于MN所以，AD∥MN17、。
江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
镇江市2018秋高三期中考试试卷(一)数 学(满分160分，考试时间120分钟)2018．11一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 设集合A ＝{x |x 是小于4的偶数}，B ＝{－3，1，2，4}，则A ∩B ＝________．2. 命题“∀x ＞0，x 2≥0”的否定为______________．3. 若复数z ＝1＋a i2－i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则a ＝________．4. 函数y ＝log 7(x 2－4x ＋3)的定义域为________．5. (文)点M (－3，4)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为________． (理)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且A ＝45°，C ＝75°，a ＝1，则b ＝________．6. (文)经过点P (1，2)，且与直线3x ＋4y －100＝0垂直的直线的方程是________．(理)已知函数f (x )＝a ＋14x ＋1是奇函数，则f (－1)＋f (0)＝________．7. (文)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________． (理)已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x －ln x 在[1，e]上的最小值为________． 8. (文)已知向量a 与b ，满足|a|＝1，|b|＝2，a ⊥(a －b )，则向量a 与b 的夹角为________． (理)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－1，＋∞)上是增函数，则f (2)的取值范围是________． 9. (文)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，其前n 项和为S n .若a 1＋a 4＋a 7＝0，则S 6a 6的值为________．(理)将函数y ＝5sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后，所得函数图象关于直线x ＝π4对称，则φ＝________．10. 在△ABC 中，已知(tan A ＋1)(tan B ＋1)＝2，则cos C ＝________． 11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1，则1x ＋4y ＋1的最小值为________．12. 已知函数f (x )＝x (2x －2－x )，则不等式f (－2)＜f (lg x )的解集为________．13. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan Bcos A ，则cos C 的最小值为________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2f 2(x )＋3mf (x )＋1－2m 有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2C c ＝sin Bb .(1) 求角C 的值；(2) 若sin(B －π3)＝35，求cos A 的值．16. (本小题满分14分)已知k ∈R ，函数f (x )＝x 2＋(1－k )x ＋2－k . (1) 解关于x 的不等式f (x )＜2；(2) 对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，求实数k 的取值范围．(文)如图，已知点A (1，1)，B (－1，1)，过点A 作直线l ，使得直线l 与y 轴正半轴交于点C ，与射线BO 交于点D .(1) 若直线l 的斜率为－3，① 求OA →·BC →的值；② 若OD →＝λOA →＋μOC →，求实数λ－μ的值； (2) 求△OCD 面积的最小值及此时直线l 的方程．(理)已知函数f (x )＝log a x ＋log 4x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数． (1) 求实数a 的取值范围；(2) 当a ＝4时，是否存在正实数m ，n (m ＜n )，使得函数f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2？如果存在，求出所有的m ，n ；如果不存在，请说明理由．如图，郊外有一边长为200 m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°.拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝θ，荷花种植区域的面积为S m2.(1) 求S关于θ的函数关系式；(2) 求S的最小值．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n ，n ∈N *，记b n ＝a n ＋3. (1) 求证：数列{b n }为等比数列；(2) 设数列{b 2n }的前n 项和为T n ，求证：S 2n ＋6nT n为定值； (3) 判断数列{2n －a n }中是否存在三项成等差数列，并说明你的结论．(1) 若函数f (x )为奇函数，求实数a 的值；(2) 若对任意的a ∈[－1，1]，不等式f (x )＜m 在x ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围；(3) 若f (x )在x ＝x 0处取得极小值，且x 0∈(0，3)，求实数a 的取值范围．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝mx 2，m ∈R ，e 为自然对数的底数．(1) 如果函数h (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增，求m 的取值范围； (2) 若直线y ＝kx ＋1是函数y ＝f (x )图象的一条切线，求实数k 的值；(3) 设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，求证：f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.2018秋高三期中考试试卷(一)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. (本小题满分10分)求曲线y ＝ln(x 2－2x )在x ＝3处的切线方程．22.(本小题满分10分)已知n 为自然数，当n ≥4时，用数学归纳法证明：2n＞n 2＋3n ＋22.23. (本小题满分10分)已知m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n.(1) 当m＝2 018，n＝2 019时，试求f(x)展开式中x的偶次幂项的系数之和；(2) 若f(x)的展开式中x的系数为11，试求x2的系数取最小值时n的值．24.(本小题满分10分)高三年级成立语文、数学、英语兴趣小组，学生是否参加哪个兴趣小组互不影响．已知某同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，至少参加一个兴趣小组的概率为0.88.若该学生参加的兴趣小组数为a，没有参加的兴趣小组数为b，记ξ＝2a－b.(1) 求该同学参加数学兴趣小组的概率；(2) 求ξ的分布列和数学期望．2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江)数学参考答案及评分标准1. {2}2. ∃x ＞0，x 2＜03. 24. (－∞，1)∪(3，＋∞)5. (文)22 (理)626. (文)4x －3y ＋2＝0 (理)3107. (文)[12，＋∞) (理)e8. (文)π4 (理)[12，＋∞)9. (文)－32 (理)3π8 10. －22 11. 92 12. (0，1100)∪(100，＋∞) 13. 78 14. m ＜－315. 解：(1) 在△ABC 中，因为sin 2C c ＝sin B b ，由b sin B ＝csin C 得(1分)2sin C cos C sin C ＝sin Bsin B ，(2分)所以cos C ＝12.(4分)又C ∈(0，π)，(5分) 所以C ＝π3.(6分)(2) 因为C ＝π3，B ∈(0，2π3)，B －π3∈(－π3，π3)，则cos(B －π3)＞0.(8分)又sin(B －π3)＝35，则cos(B －π3)＝1－sin 2（B －π3）＝1－（35）2＝45.(10分)又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以cos A ＝cos(2π3－B )＝cos ⎣⎡⎦⎤π3－（B －π3）(12分) ＝cos π3·cos(B －π3)＋sin π3·sin(B －π3)＝12×45＋32×35＝4＋3310.(14分)16. 解：(1) 由f (x )＜2得不等式可变形为(x －k )(x ＋1)＜0，(1分) ① 若k ＝－1，则(x ＋1)2＜0，解集为∅；(3分) ② 若k ＞－1，解集为(－1，k )；(5分) ③ 若k ＜－1，解集为(k ，－1)．(7分)(2) 由对任意x ∈(－1，2)，f (x )≥1恒成立，即x 2＋(1－k )x ＋1－k ≥0恒成立， 即x 2＋x ＋1≥k (x ＋1)，对任意x ∈(－1，2)恒成立，(8分) k ≤（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1.(10分)因为(x ＋1)＋1x ＋1－1≥2（x ＋1）·1x ＋1－1＝2－1＝1.(12分)当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0∈(－1，2)时，(13分)⎣⎡⎦⎤（x ＋1）＋1x ＋1－1min ＝1，故实数k 的取值范围是(－∞，1]．(14分)17. (文)解：(1) 因为直线l 过A (1，1)，且斜率为－3，所以直线l ：y －1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋4.(1分) 令x ＝0得C (0，4)；令y ＝－x 得D (2，－2)．(2分)① 因为OA →＝(1，1)，BC →＝(1，3)，所以OA →·BC →＝1×1＋1×3＝4.(4分) ② 因为OD →＝λOA →＋μOC →，则(2，2)＝λ(1，1)＋μ(0，4)，(5分)即2＝λ，－2＝λ＋4μ，则λ＝2，μ＝－1，(6分) 所以λ－μ＝3.(7分)(2) 由图中两直线相交位置可得，直线l 的斜率k 存在，且k ＜－1，(8分) 设直线l ：y －1＝k (x －1)．令x ＝0得C (0，1－k )；令y ＝－x 得D (k －1k ＋1，1－kk ＋1)．(9分)则S △OCD ＝12OC ·|x D |＝12·（1－k ）2－1－k(10分)＝12⎣⎡⎦⎤（－k －1）＋4－k －1＋4≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（－k －1）·4（－k －1）＋4＝4，(13分)当且仅当－k －1＝4－k －1，即k ＝－3∈(－∞，－1)时，(S △OCD )min ＝4.此时直线l ：y ＝－3x ＋4.(14分)(理)解：(1) (解法1)因为f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则f ′(x )＝1x ln a ＋1x ln 4＝1x (1ln a ＋1ln 4)≥0在(0，＋∞)上恒成立．(2分)则1ln a ＋1ln 4≥0，ln 4a ln a ·ln 4≤0，解得a ＞1或0＜a ≤14.(4分) 又当a ＝14时，f (x )＝0为常数函数，不合题意．(5分)所以a ＞1或0＜a ＜14.(6分)(解法2)因为f (x )＝log a x ＋log 4x ＝log 4x log 4a ＋log 4x ＝log 4x (1log 4a ＋1)，(2分)又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，则1log 4a ＋1＞0，即1＋log 4a log 4a ＞0，所以log 4a ＜－1或log 4a ＞0，(4分) 即a ＞1或0＜a ＜14.(6分)(2) 当a ＝4时，f (x )＝2log 4x 在(0，＋∞)上为增函数．(7分) 因为函数f (x )在定义域为[m ，n ]，值域为⎣⎡⎦⎤m 2，n 2， 则有f (m )＝2log 4m ＝m 2，f (n )＝2log 4n ＝n 2，所以m ，n 为方程log 2x ＝x2在(0，＋∞)上的两个不等的实数解．(9分)显然m ＝2，n ＝4符合方程．(11分)令h (x )＝log 2x －x 2，由h ′(x )＝1x ln 2－12＝2－x ln 22x ln 2＝0，得x ＝2ln 2.(12分) 当x ∈(0，2ln 2)时，h ′(x )＞0，h (x )为增函数，在(0，2ln 2)上至多有一个零点； 当x ∈(2ln 2，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )为减函数，在(2ln 2，＋∞)上至多有一个零点． 所以h (x )＝log 2x －x 2至多只有两个实数解．(13分) 故存在唯一正实数m ＝2，n ＝4符合题意．(14分)18. 解：(1) 在△ABE 中，∠ABE ＝θ，∠A ＝π3，则∠AEB ＝2π3－θ. 由AB sin ∠AEB ＝BE sin A ，得BE ＝1003sin （2π3－θ）.(2分) 在△BCF 中∠C ＝π3，∠CBF ＝π6－θ，则∠BCF ＝π2＋θ. 同理可得，BF ＝1003cos θ.(4分) 则S ＝12BE ·BF ＝15 000cos θsin （2π3－θ）.(7分) (2) 设f (θ)＝cos θ·sin(2π3－θ)＝cos θ·(sin 2π3cos θ－cos 2π3sin θ) ＝32cos 2θ＋12sin θcos θ＝32·1＋cos 2θ2＋14sin 2θ＝34＋12sin(2θ＋π3)．(11分) 因为π2＋θ＜2π3，所以θ∈(0，π6)．(12分) 则当θ＝π12时，f (θ)max ＝2＋34，则S min ＝15 0002＋34＝60 000(2－3)．(14分) 答：(1) 函数关系式为S ＝30 00032＋sin （2θ＋π3）；(2) 当θ＝π12时，面积S 的最小值为60 000(2－3)m 2.(16分) 19. (文)(1) 证明：因为S n ＝2a n －3n ①，当n ＝1时，a 1＝2a 1－3，则a 1＝3. 当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－3(n －1) ②，①－②得a n ＝2a n －2a n －1－3n ＋3(n －1)，即a n ＝2a n －1＋3，(2分)则a n ＋3＝2(a n －1＋3)，即b n ＝2b n －1，又b 1＝a 1＋3＝6≠0，(3分)所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列．(4分)(2) 证明：由(1)知b n ＝6×2n －1＝3×2n ，a n ＋3＝b n ＝3×2n ，则有a n ＝3×2n －3.同时b 2n ＝9×4n ，即数列{b 2n }是以3为首项，4为公比的等比数列，(5分)得T n ＝36（1－4n ）1－4＝12(4n －1)．(6分)因为S n ＝2a n －3n ，所以S 2n ＝2a 2n －6n ＝6(4n －1)－6n ，(8分)则S 2n ＋6n T n ＝6×（4n －1）12（4n －1）＝12为定值．(10分) (3) 解：令c n ＝2n －a n ＝3－2n ，若存在m ＜p ＜n ，使得c m ，c p ，c n 成等差数列， 则c p －c m ＝c n －c p ，2c p ＝c m ＋c n ，即2·2n ＝2m ＋2p (*)．(12分)等式两边同时除以2m 得2n ＋1－m ＝1＋2p －m .因为m ＜p ＜n ，所以n ＋1－m ，p －m 均为正整数，(14分)故(*)式左边为偶数，而右边为奇数，所以(*)式不能成立．故数列{2n －a n }中不存在三项成等差数列．(16分)(理)解：(1) (解法1)因为函数f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )对一切实数恒成立， 即x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝－[(－x )3＋3a (－x )2＋(3－6a )(－x )＋12a ]， 即6a (x 2＋4)＝0对一切实数x 恒成立，(2分)所以a ＝0.(3分)(解法2)因为函数f (x )为奇函数，且函数的定义域为R ，所以f (0)＝0，得a ＝0.(1分)此时f (x )＝x 3＋3x ，f (－x )＝(－x )3＋3(－x )＝－x 3－3x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故a ＝0.(3分)(2) f (x )＝x 3＋3ax 2＋(3－6a )x ＋12a ＝a (3x 2－6x ＋12)＋x 3＋3x .设函数g (a )＝(3x 2－6x ＋12)a ＋x 3＋3x ，因为3x 2－6x ＋12＝3(x －1)2＋9＞0，所以函数g (a )在[－1，1]上单调递增． 令h (x )＝g (a )max ＝g (1)＝x 3＋3x 2－3x ＋12，(5分)由h ′(x )＝3x 2＋6x －3＝3[x ＋(1＋2)][x －(2－1)]，令h ′(x )＝0得x ＝2－1. 当x ∈(－1，2－1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )为减函数；当x ∈(2－1，1)时，h ′(x )＞0，函数g (x )为增函数．(7分)而h (1)＝13，h (－1)＝17，所以h (x )max ＝17，则m ＞17.(8分)(3) 因为f (x )在x ＝x 0∈(0，3)处取得极小值 (*)，则令f ′(x )＝3[x 2＋2ax ＋(1－2a )]＝0，令s (x )＝x 2＋2ax ＋(1－2a ) ①.则方程①有两个不相等的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，所以Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，解得a ＞－1＋2或a ＜－1－2 ②.(9分)设s (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，则f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)．当x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数，所以f (x )的极小值在较大根x 2处取得，令x 2＝x 0∈(0，3)．(10分)(解法1)1° 当x 1＜0，x 0∈(0，3)时，因为x 1＜0＜x 0＜3，则s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，s (3)＝(3－x 1)(3－x 0)＝10＋4a ＞0，解得a ＞12.(11分) 反之，当a ＞12时，Δ＝4a 2－4(1－2a )＞0，方程①有两个实根x 1，x 0； 且满足s (0)＝1－2a ＜0，s (3)＝10＋4a ＞0，则方程在区间(0，3)上必有一根x 0； 又s (0)＝x 1x 0＝1－2a ＜0，而x 0＞0，所以x 1＜0.所以满足条件(*)．此时a ＞12③.(12分)2° 当x 1，x 0∈(0，3)时，s (x )的对称轴为x ＝－a ＝x 0＋x 12∈(0，3) ④， s (x )在(0，－a )上为减函数，在(－a ，3)上为增函数．因为0＜x 1＜－a ＜x 0＜3，所以s (0)＝1－2a ＞s (x 1)＝0，s (3)＝10＋4a ＞s (x 0)＝0.结合②④，解得－52＜a ＜－1－ 2.(13分) 反之，当－52＜a ＜－1－2时，Δ＞0，方程①必有两不相等的根x 1，x 0. 又1＋2＜－a ＜52，所以对称轴x ＝－a ∈(0，3)，而函数s (x )min ＝s (－a )＜0， 因为s (x )在(0，－a )上为减函数，且s (0)＝1－2a ＞0，则s (x )在(0，－a )上必有一根x 1； s (x )在(－a ，3)上为增函数，且s (3)＝10＋4a ＞0，则s (x )在(－a ，3)上必有一根x 0，显然x 1＜x 0.所以满足条件(*)．此时－52＜a ＜－1－2 ⑤.(14分) 3° 当方程有一根分别为0时，此时s (x )的两根分别为－1，0，不合题意．(15分)综上，由③⑤得－52＜a ＜－1－2或a ＞12.(16分) (解法2)此时方程s (x )＝0有两个实根x 1，x 0，x 1＜x 0，则x 1＝－a －a 2＋2a －1＜x 0＝－a ＋a 2＋2a －1，(12分)则0＜－a ＋a 2＋2a －1＜3，即a ＜a 2＋2a －1＜3＋a ⑥.1° 当a ＞－1＋2时，⑥平方得a 2＜a 2＋2a －1＜(3＋a )2，解得a ＞12.(13分) 2° 当a ＜－1－2时，a ＜a 2＋2a －1恒成立．由a 2＋2a －1＜3＋a ，平方解得－52＜a ＜－1－ 2.(15分) 综上，由1°，2°可得a ＞12或－52＜a ＜－1－ 2.(16分) 20. (1) 解：因为h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －mx 2在(0，＋∞)上为增函数，则h ′(x )＝e x－2mx ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即2m ≤e xx 恒成立．(2分) 设函数k (x )＝e xx ，x ∈(0，＋∞)，则k ′(x )＝e x （x －1）x 2＝0，得x ＝1.所以k (x )min ＝k (1)＝e ，所以m ≤e 2.(4分) (2) 解：设切点为(x 0，e x 0)．因为f ′(x )＝e x ，所以e x 0＝k ，e x 0＝kx 0＋1，(6分) 所以e x 0(x 0－1)＋1＝0.令l (x )＝e x (x －1)＋1，l ′(x )＝e x ·x ＝0，得x ＝0.所以l (x )min ＝l (0)＝0，所以x 0＝0，所以k ＝1.(8分)(3) 证明：因为f (x )＝e x 在(－∞，＋∞)上单调递增，且x 2－x 1＞0，e x 2－e x 1＞0，(9分)所以f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1⇔e x 1＋e x 22＞e x 2－e x 1x 2－x 1⇔x 2－x 12＞e x 2－e x 1e x 2＋e x 1⇔12(x 2－x 1)＞e x 2－x 1－1e x 2－x 1＋1⇔12(x 2－x 1)＞1－2e x 2－x 1＋1(*)．(12分) 令x 2－x 1＝t ＞0，F (t )＝t 2＋2e t ＋1－1，F ′(t )＝12－2e t（e t ＋1）2＝（e t －1）22（e t ＋1）2.(14分) 因为t ＞0，所以F ′(t )＞0，所以F (t )在(0，＋∞)上单调递增，所以F (t )＞F (0)＝0，(*)式成立，则f （x 1）＋f （x 2）2＞f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.(16分)2018秋高三期中考试试卷(一)(镇江)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：y ′＝1x 2－2x (x 2－2x )′＝2x －2x 2－2x，(4分) 则切线在x ＝3处的斜率k ＝2×3－232－2×3＝43.(6分) 当x ＝3时，y ＝ln 3，(8分)则切线方程为y －ln 3＝43(x －3)，即4x －3y －12＋3ln 3＝0.(10分) 22. 证明：① 当n ＝4时，24＝16＞42＋3×4＋22＝15，则结论成立．(2分) ② 假设当n ＝k (k ≥4)时，满足2k＞k 2＋3k ＋22，(4分) 则当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k＞2×k 2＋3k ＋22＝2k 2＋6k ＋42.(6分) 因为k ≥4， 则2k 2＋6k ＋42－（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22＝k 2＋k －22＞0， 所以2k 2＋6k ＋42＞（k ＋1）2＋3（k ＋1）＋22.(8分) 即当n ＝k ＋1时，有2n＞n 2＋3n ＋22成立．(9分) 综合①②，当n ≥4，n ∈N 时，有2n＞n 2＋3n ＋22.(10分) 23. 解：(1) 记f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 019x 2 019.令x ＝－1，得f (－1)＝a 0＋a 1(－1)＋a 2(－1)2＋…＋a 2 019(－1)2 019＝－1， 即a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 018－a 2 019＝－1 ①.(2分)令x ＝1，得f (1)＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 019＝22 018＋32 019 ②.(4分)由①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 018)＝－1＋22 018＋32 019，则a 0＋a 2＋…＋a 2 018＝12(22 018＋32 019－1)．(6分) (2) 根据题意得C 1m ＋2C 1n ＝11，则m ＋2n ＝11，(7分)则x 2的系数为C 2m ＋22C 2n ＝m （m －1）2＋2n (n －1)(8分) ＝m 2－m 2＋(11－m )(11－m 2－1)＝(m －214)2＋35116.(9分) 因为m ∈N *，所以m ＝5时，x 2的系数取得最小值22，此时n ＝3.(10分)24. 解：(1) 设该同学参加了语文、数学、英语兴趣小组的事件分别为A ，B ，C ， 对应的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，P (C )＝z .(1分)因为该同学只参加语文兴趣小组的概率为0.08，则P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝x (1－y )(1－z )＝0.08 ①；(2分)因为该同学只参加语文和数学兴趣小组的概率为0.12，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝xy(1－z)＝0.12②；(3分)因为该同学至少参加一个兴趣小组的概率是0.88，则P(A＋B＋C)＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－(1－x)(1－y)(1－z)＝0.88③.(4分)由①②③，解得x＝0.4，y＝0.6，z＝0.5.答：该同学参加数学兴趣小组的概率为0.6.(5分)(2) 依题意知ξ的所有可能取值为－3，0，3，6，(6分)P(ξ＝－3)＝(1－x)(1－y)(1－z)＝0.12，P(ξ＝0)＝x(1－y)(1－z)＋(1－x)y(1－z)＋(1－x)(1－y)z＝0.38，P(ξ＝3)＝xy(1－z)＋x(1－y)z＋(1－x)yz＝0.38，P(ξ＝6)＝xyz＝0.12.(8分)ξ的分布列为(9分)数学期望E(ξ)＝－3×0.12＋0×0.38＋3×0.38＋6×0.12＝1.5.(10分)。
江苏省镇江市大路中学2019年高三数学理模拟试题含解析
江苏省镇江市大路中学2019年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,且g(3)=0.则不等式的解集是A．（－3,0)∪(3,+∞) B．(－3,0)∪(0, 3)C．(－∞,- 3)∪(3,+∞) D．(－∞,－ 3)∪(0, 3)参考答案：2. 已知（）A． B．－C． D．－参考答案：D3. 己知双曲线的方程为，直线的方程为，过双曲线的右焦点的直线与双曲线的右支相交于、两点，以为直径的圆与直线相交于、两点，记劣弧的长度为，则的值为A．B．C．D．与直线的位置有关参考答案：B4. 展开式中的系数为（）A. -7B. 28C. 35D. 42参考答案：B【分析】的通项为,令分别得到系数，进而求和.【详解】∵二项式的通项为，分别令，则的系数为.故选B.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.5. 已知等差数列中，，则的值是（▲ ）A．15 B．30 C．31 D．64参考答案：A6. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（A）3 （B）4 （C）5 （D）6参考答案：B7. 设U={﹣1，0，1，2}，集合A={x|x2＜1，x∈U}，则?U A=（）A．{0，1，2} B．{﹣1，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{﹣1，0，1} 参考答案：B【分析】化简集合A，求出A的补集即可．【解答】解：设U={﹣1，0，1，2}，集合A={x|x2＜1，x∈U}={0}，∴?U A={﹣1，1，2}，故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．8. 设为等比数列的前项和，，则=（）A．－11 B．－8 C．－7 D．11参考答案：C9. 已知，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略10. 已知全集（）A．{0} B．{2} C．{0，1，2} D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果S是＿＿＿＿参考答案：1007根据程序框图，，输出的S为1007．12. 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位:环）如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是。
2019-2020学年江苏省镇江市高三(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年江苏省镇江市高三（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.设全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1,2，3，5，8}，则∁U A=______ ．2.命题“∃x∈R，x2−4x+4<0”的否定是 _____________．3.函数f(x)=2√x+2+lg(1−2x)的定义域是______ ．4.已知扇形的周长是10，面积是4，则扇形的圆心角的弧度数为：5.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(0)=______．6.若函数是偶函数，则实数a的值为________．7.已知：A+B=π4，且A≠π2+kπ，B≠π2+kπ，k∈Z，则(1+tanA)(1+tanB)=______ ．8.设函数f(x)=e x sin x的图像在点(0,0)处的切线与直线x+my+1=0平行，则m=____.9.函数的零点个数为____________．10.已知ab>0 , a+b=5，则2a+1+1b+1的最小值为__________．11.定义在(0,π2)的函数的最大值为__________12.已知α∈(π2,π),sinα=35,则tan(π4−α)=__________．13.已知函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．14.函数f(x)=|2x+a|+x−a，x∈R的最小值为3，则a的值为______ ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知函数(1)求f(x)的最小正周期．(2)当x∈[0,π2]时，求f(x)的最小值及以及取得最小值时x的集合．16.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若a+2b=2ccosA．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)已知△ABC的面积为√3，b=4，求边c的长．17.已知函数g(x)=f(x)+x(x∈R)为奇函数．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若x>0时，f(x)=log2x，求当x<0时，函数g(x)的解析式．18.已知函数f(x)是定义在[−e,0]∪(0，e]上的奇函数，当x∈[−e,0)时，有f(x)=ax−ln(−x)(其中e为自然对数的底，a∈R)．(1)求函数f(x)的解析式．(2)试问是否存在实数a，使得当x∈(0,e]时，f(x)的最大值是2？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．19.如图，在半径为40cm的半圆(O为圆心)形铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中A，B在直径上，C，D在圆周上．(1)设AD=x，将矩形ABCD的面积y表示为x的函数，并写出定义域(2)应怎样截取，才能使矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数f(x)=x2−ax−aln x(a∈R)．(1)若函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值；(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥−x33+5x22−4x+116．-------- 答案与解析 --------1.答案：{4,6，7，9，10}解析：解：∵全集U ={n ∈N|1≤n ≤10}，A ={1,2，3，5，8}， ∴∁U A ={4,6，7，9，10}． 故答案为：{4,6，7，9，10}． 利用补集定义直接求解．本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2.答案：∀x ∈R ，x 2−4x +4≥0解析： 【分析】此题考查特称命题的否定，考查全称命题与特称命题的否定关系，考查计算能力． 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：命题“∃x ∈R ，x 2−4x +4<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2−4x +4≥0”. 故答案为∀x ∈R ，x 2−4x +4≥0．3.答案：(−2,12)解析： 【分析】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，是基础题． 根据函数成立的条件即可求出函数的定义域． 【解答】解：要使函数有意义，则{x +2>01−2x >0，即{x >−2x <12，即−2<x<12，∴函数的定义域为(−2,12)，故答案为：(−2,12).4.答案：解析：【分析】本题是基础题，考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，考查计算能力，是高考中常见的题型．【解答】解：设扇形的弧长为：l半径为r，所以2r+l=10，所以l=2，r=4，所以扇形的圆心角的弧度数是，故答案为．5.答案：32解析：解：根据函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象，可得14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2，再根据五点法作图可得2⋅7π12+φ=2π，求得φ=5π6，∴f(x)=3sin(2x+5π6)，∴f(0)=3sin5π6=32，故答案为：32．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而求得f(0)的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．6.答案：−1解析：本题主要考查函数的奇偶性及对数运算，是基础题．由偶函数定义得出等式求出a的值即可．【解答】解：因为函数f(x)是偶函数，所以f(−x)=f(x)，即lg(1−x)+lg(1−ax)=lg(1+x)+lg(1+ax)，也即lg(1−x)(1−ax)=lg(1+x)(1+ax)所以1+ax2−(a+1)x=1+ax2+(a+1)x，所以(a+1)=0，故a=−1．故答案为−1．7.答案：2解析：解：∵A+B=π4，且A≠π2+kπ，B≠π2+kπ，k∈Z，∴tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=tan45°=1∴tanA+tanB+tanAtanB=1∴(1+tanA)(1+tanB)=1+tanA+tanB+tanAtanB=2故答案为：2．根据正切的两角和公式，利用tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=1可求得tanA+tanB+tanAtanB的值，代入(1+tanA)(1+tanB)答案可得．本题主要考查了两角和与差的正切函数．注意对两角和与差公式的变形利用．8.答案：−1解析：【分析】本题属于利用导数求某点处的曲线方程，考察了对导数的几何意义的理解．首先要判定点是否满足曲线，而后求导求出切线方程的斜率，切线方程与直线x+my+l=0平行，故斜率相等．属中等题．【解答】解：点(0,0)满足曲线f(x)，对f(x)求导：f′(x)=e x sinx+e x cosx；过(0,0)的切线方程斜率为：f′(0)=1；∴切线方程为：y−0=1×(x−0)⇒y=x；由直线x+my+l=0，则y=−1m x−1m∵切线方程与直线x+my+l=0平行；∴−1m=1解得m=−1．故答案为−1．9.答案：4【分析】本题考查函数的零点与方程的根，由f(x)=0得|lgx|=sinx，分别作出两个函数的图象，根据图象的交点个数进行判断即可.属基础题目．【解答】解：令f(x)=0得|lgx|=sinx，作出y=|lgx|与y=sinx的函数图象，如图所示：由图象可以知道两图象有4个交点，所以f(x)共有4个零点.故答案为4．10.答案：3+2√27解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于一般题．由已知得a+1+b+1=7，然后利用基本不等式求解即可．【解答】解：因为ab>0 , a+b=5，所以a+1+b+1=7，a>0，b>0所以2a+1+1b+1=17(a+1+b+1)(2a+1+1b+1)=17(3+2(b+1)a+1+a+1b+1)≥17(3+2√2(b+1)a+1×a+1b+1)=3+2√27，当且仅当a+1=√2(b+1)时取等号，所以2a+1+1b+1的最小值为3+2√27．故答案为3+2√27．11.答案：3√3【分析】本题考查了利用导函数研究其单调性，求其最大值的问题．属于基础题．利用导函数研究其单调性，求其最大值．【解答】解：函数f(x)=8sinx−tanx，那么：f′(x)=8cosx−1cos2x =8cos3x−1cos2x，令f′(x)=0，得：cosx=12∵x∈(0,π2)，∴x=π3.当x∈(0,π3)时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0,π3)上是单调增函数．当x∈(π3,π2)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(π3,π2)上是单调减函数．∴当x=π3时，函数f(x)取得最大值为3√3，故答案为3√3.12.答案：7解析：由题意知tanα=sinαcosα=−34，tan(π4−α)=tanπ4−tanα1+tanπ4tanα=1−(−34)1+1⋅(−34)=7.13.答案：解：依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x−a=0，即2x=a必有一个根，此时0<a≤1；当x>0时，方程有两个不等的实根，即方程x2−3ax+a=0有两个不等的正实根，于是有，由此解得a>49．因此，满足题意的实数a需满足即．故答案为．解析：本题考查函数的零点与方程根的关系，分段函数性质，考查了分析能力和转化能力，属于中档题．要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2x−a=0必有一个根，当x>0时，方程有两个不等的实根，根据指数函数的性质和一元二次方程根的分布即可求出a的范14.答案：−2解析：解：∵f(x)=|2x+a|+x−a={−x−2a,x<−a2 3x,x≥−a2故函数f(x)在区间(−∞,−a2]上为减函数，在区间[−a2,+∞)上为增函数，故当x=−a2时，函数f(x)=|2x+a|+x−a取最小值−32a故−32a=3解得a=−2故答案为：−2利用零点分段法，将函数f(x)的解析式化为分段函数，进而根据一次函数的图象和性质，求出函数的最值，进而可得a的值．本题考查的知识点绝对值函数，分段函数的单调性和最值，其中分析出原函数的单调性及最值点是解答的关键．15.答案：解：f(x)=cos2x−2sinxcosx−sin2x=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π4)，(1)T=π；(2)∵0≤x≤π2,∴π4≤2x+π4≤54π，当2x+π4=π⇒x=38π，∴x=38π时，f(x)有最小值−√2．故x的集合{3π8}．解析：本题主要考查三角函数最小正周期的求法和三角函数的最值的求法，先把函数化简为y= Asin(wx+ρ)或y=Acos(wx+ρ)的形式再解题，为基础题．(1)先根据三角函数的二倍角公式化简为y=√2cos(2x+π4)，再由T=2π2可得答案．(2)先根据x的范围确定2x+π4的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值．16.答案：解：(Ⅰ)由正弦定理有sinA+2sinB=2sinCcosA，有sinA+2sin(A+C)=2sinCcosA，得sinA+2sinAcosC=0．由0<A<π，得sinA>0，有cosC=−12，由0<C <π，得C =2π3．(Ⅱ)△ABC 的面积为12absinC =√3． 又b =4，sinC =√32，∴a =1．由余弦定理得：c 2=1+16−2×1×4×(−12)=21． ∴c =√21．解析：本题考查正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和与差的三角函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．(Ⅰ)已知等式利用正弦定理和两角和的正弦公式化简、整理并结合已知条件，可确定出C 的度数； (Ⅱ)由题意，根据三角形面积公式，求出边a ，再由余弦定理即可求出边c ．17.答案：解：(1)∵函数g(x)=f(x)+x(x ∈R)为奇函数，∴g(−x)=−g(x)， 即f(−x)−x =−f(x)−x ， 即f(−x)=−f(x) 则函数f(x)是奇函数； (2)∵x <0，∴−x >0， 则f(−x)=log 2(−x)， ∵函数f(x)是奇函数，∴f(−x)=log 2(−x)=−f(x)， 即f(x)=−log 2(−x)，x <0，则g(x)=f(x)+x =x −log 2(−x)，x <0故当x <0时，函数g(x)的解析式为g(x)=x −log 2(−x)，x <0．解析：(1)根据函数奇偶性的定义进行判断； (2)根据函数奇偶性的性质即可求g(x)的解析式．本题主要考查函数奇偶性的判断，和函数奇偶性的应用，利用定义法是解决本题的关键．18.答案：解：(1)当x ∈(0,e]时，−x ∈[−e,0)，则f(−x)=a(−x)−lnx ，又f(x)是奇函数，故f(x)=−f(−x)=ax +lnx ， 故f(x)={ax −ln(−x),−e ≤x <0ax +lnx,0<x ≤e ；(2)当x ∈(0,e]时，f(x)=ax +lnx ， f′(x)=a +1x =ax+1x，①当a ≥0时，f′(x)>0，f(x)在区间(0,e]递增，故函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是f(e)=ae +1=2，故a =1e >0满足题意；②当−1a ≥e ，即−1e ≤a <0时，f′(x)=a +1x ≥−1e +1x ≥−1e +1e =0，故f(x)在(0,e]递增，此时f(x)在区间(0,e]的最大值是f(e)=ae +1=2，则a =1e >0，不满足条件=1e ≤a <0；③当a <−1e 时，可得f(x)在区间(0,−1a ]递增，在区间[−1a ,e]递减，故x =−1a 时，f(x)max =f(−1a )=−1+ln(−1a )，令f(−1a )=2，得a =−1e 3>01e ，不满足条件，综上a =1e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最大值是2．解析：(1)设x ∈(0,−e]，则−x ∈[−e,0)，故f(−x)=−ax −ln(x)，根据函数的奇偶性求出此时的解析式，即可得到函数在定义域内的解析式；(2)假设存在实数a 满足条件，通过讨论a 的范围，利用函数的单调性求出函数的最小值，解出a 的值即可．本题考查对数函数的单调性和特殊点，函数的奇偶性，利用导数研究函数得最值，体现了分类讨论的数学思想，确定函数的最小值，是解题的难点和关键．19.答案：解：(1)AB =2OA =2√402−x 2=2√1600−x 2，∴y =f(x)=2x√1600−x 2，x ∈(0,40)．(2)y 2=4x 2(1600−x 2)≤4×(x 2+1600−x 22)2=16002，即y ≤1600，当且仅当x =20√2时取等号．∴截取AD =20√2时，才能使矩形材料ABCD 的面积最大，最大面积为1600cm 2．解析：(1)AB =2OA =2√1600−x 2，可得y =f(x)的解析式．(2)平方利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.答案：解：(1)f′(x)=2x −a −a x ，由题意可得f′(1)=0，解得a =1．经检验，a =1时f(x)在x =1处取得极值，所以a =1．(2)证明：由(1)知，f(x)=x 2−x −ln x ，令g(x)=f(x)−(−x 33+5x 22−4x +116)=x 33−3x 22+3x −ln x −116，由g′(x)=x2−3x+3−1x =x3−1x−3(x−1)=(x−1)3x(x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)=0，所以f(x)≥−x33+5x22−4x+116成立．解析：本题考查了函数的极值，考查不等式的证明以及导数的应用，是一道中档题．(1)求出函数的导数，求出a的值，检验即可；(2)令g(x)=f(x)−(−x33+5x22−4x+116)，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．。
江苏省镇江市高三上学期期中数学试卷(理科)
江苏省镇江市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知均为单位向量，它们的夹角为60，那么（）A .B .C .D . 42. （2分）若函数f(x)在x=x0处有定义，则“f(x)在x=x0处取得极值”是“f'(x0)=0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2019高一上·延边月考) α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（）A . m，n是平面内两条直线，且，B . 内不共线的三点到的距离相等C . ，都垂直于平面D . m，n是两条异面直线，，，且，4. （2分） (2018高二下·凯里期末) 某几何体的三视图及尺寸大小如图所示，则该几何体的体积为（）A . 6B . 3C . 2D . 45. （2分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且＝2.347x－6.423；②y与x负相关且＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④6. （2分） (2016高二下·重庆期中) 已知（﹣）5的展开式中含的项的系数为30，则a=（）A .B . ﹣C . 6D . ﹣67. （2分）执行如图所示的程序框图，若p=0.9，则输出的n为（）A . 6B . 5C . 4D . 38. （2分）在中，，则角B等于（）A . 30度B . 45度C . 60度D . 120度9. （2分）(2020·吉林模拟) 已知分别为双曲线的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）已知命题p：∃x0∈[1，2]，x02﹣4x0+6＜0，则￢p为（）A . ∀x∉[1，2]，x2﹣4x+6≥0B . ∃x0∈[1，2]，x02﹣4x0+6≥0C . ∀x∉[1，2]，x2﹣4x+6＞0D . ∀x∈[1，2]，x2﹣4x+6≥011. （2分）已知a，b，c为正数，则（ + + ）（）有（）A . 最大值9B . 最小值9C . 最大值3D . 最小值312. （2分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，图中描述了甲乙丙三辆汽车，在不同速度下的燃油效率请况，下列叙述错误的是（）A . 消耗1升汽油，乙车行驶的最大路程超过5千米B . 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少C . 甲船以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D . 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·滨州模拟) 已知直线l：x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的一条对称轴，过点A （﹣4，a）作圆C的两条切线，切点分别为B、D，则直线BD的方程为________．14. （1分） (2020高一下·海淀期中) 设集合，，若，则的取值范围为________．15. （1分）（2016秋•城阳区校级月考）已知f（x）是定义在实数集上的函数，当x∈（0，1]时，f（x）=2x ，且对任意x都有f（x+1）= ，则f（log25）=________．16. （1分）(2017·临沂模拟) 若命题“∃x∈R，|x+1|+|x﹣a|＜4”是真命题，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2019·南通模拟) 设集合是集合…，的子集．记中所有元素的和为（规定：为空集时， =0）．若为3的整数倍，则称为的“和谐子集”．求：（1）集合的“和谐子集”的个数；（2）集合的“和谐子集”的个数．18. （15分） (2016高二上·潮阳期中) 已知a∈R，函数f（x）=log2（ +a）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＜0；（2）若a＞0，不等式f（x）＜log2（x+ ）恒成立，求a的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．19. （5分） (2016高二上·重庆期中) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20. （5分） (2018高二下·巨鹿期末) 在平面直角坐标系xoy中，已知直线的参数方程为，直线与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长。
【精品试题】【市级联考】江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试数学理试题(解析版)
2018~2019学年镇江市上学期期中试卷高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1.设集合A＝，B＝{﹣3，1，2，4}则A B＝__________．【答案】{2}【解析】【分析】B是有限集，从中找出满足集合A的元素即可．【详解】集合A＝故A∩B={2}．故答案为：{2}．【点睛】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素．二是考查抽象集合的关系判断以及运算．2.命题“，”的否定为__________．【答案】，使【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，x2≥0”的否定为：∃x＞0，使x2＜0．故答案为：∃x＞0，使x2＜0．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的关系，基本知识的考查，注意命题的否定与否命题的区别．命题的否定是既否结论，又否条件；否命题是只否结论.3.若复数(，是虚数单位)是纯虚数，则a＝__________．【答案】2【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．【详解】根据复数的除法运算得到：∵是纯虚数，∴得a=2．故答案为：2．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.4.函数的定义域为__________．【答案】(3，)(，1)【解析】【分析】由对数式的真数大于0求解一元二次不等式得答案．【详解】由x2﹣4x+3＞0，得x＜1或x＞3．∴函数的定义域为（﹣∞，1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．解一元二次不等式，经常会和二次函数的图像结合，需要考虑的有：二次函数的二次项系数，两根关系等.5.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且A＝45°，C＝75°，a＝1，则b＝__________．【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据正弦定理可求b的值．【详解】∵A=45°，C=75°，a=1，∴B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理可得：b=.故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答6.已知函数是奇函数，则＝__________．【答案】【解析】【分析】由奇函数得f（0）=0，求出a，进而求出f（﹣1），求和得结果．【详解】∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∴a+=0，∴a=-，∴f（﹣1）=则f（﹣1）+f（0）=．故答案为：．【点睛】本题考查函数的奇偶性，根据奇函数f（0）=0求出a值，是解决该类问题的关键，属基础题．7.已知e为自然对数的底数，函数在[1，e]的最小值为__________．【答案】e【解析】【分析】求出函数的导数，得到极值点，判断端点的函数值，然后求解函数的最小值．【详解】e为自然对数的底数，函数y=ex﹣lnx，可得y′=e﹣，令e﹣=0，可得x=，x∈[1，e]时，y′＞0，所以函数y=ex﹣lnx在[1，e]上是增函数，所以函数的最小值为：e．故答案为：e．【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最小值的求法，考查转化思想以及计算能力．8.已知函数在(﹣1，)上是增函数，则的取值范围为__________．【答案】[12，)【解析】【分析】根据二次函数的单调性求出a的范围，从而求出f（2）的范围即可．【详解】函数的对称轴是x=a，函数在(﹣1，)上是增函数，故a≤﹣1，﹣4a≥4，故f（2）=4﹣4a+4=8﹣4a≥12，故答案为：[12，+∞）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．9.将函数的图像向左平移()个单位弧，所得函数图象关于直线对称，则＝__________．【答案】【解析】【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【详解】将函数的图象向左平移φ（）个单位弧，可得y=5sin（2x+2φ+）的图象，根据所得函数图象关于直线对称，可得2•+2φ+=kπ+，求得φ=﹣，k∈Z，令k=1，可得φ=，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.10.在△ABC中，已知(tanA＋1)(tanB＋1)＝2，则cosC＝__________．【答案】【解析】【分析】化简（tanA+1）（tanB+1）=2，求得A+B的值，利用三角形内角和求出C的值，进一步得答案．【详解】△ABC中，由（tanA+1）（tanB+1）=2，得（sinA+cosA）（cosB+sinB）=2cosAcosB，∴sinAcosB+cosAsinB=cosAcosB﹣sinAsinB，化简得sin（A+B）=cos（A+B），即tan（A+B）=1；又0＜A+B＜π，∴A+B=，∴C=π﹣（A+B）=．∴cosC=﹣．故答案为﹣【点睛】本题考查了三角恒等变换，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答11.已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由已知可得，x+y+1=2，从而=[x+（y+1）]，展开利用基本不等式可求．【详解】∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴x+y+1=2，则=[x+（y+1）]，当且仅当且x+y=1即x=，y=时取得最小值故答案为：.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.12.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】(0，)(100，)【解析】【分析】根据题意，分析可得函数f（x）=x（2x﹣2﹣x）为偶函数且在R上是增函数，则不等式f（﹣2）＜f（lgx）可以转化为|﹣2|＜|lgx|，解可得x的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，对于函数f（x）=x（2x﹣2﹣x），有f（﹣x）=（﹣x）（2﹣x﹣2x）=x（2x﹣2﹣x）=f（x），则函数f（x）为偶函数，函数f（x）=x（2x﹣2﹣x），其导数f′（x）=x（2x﹣2﹣x）+x•ln2（2x+2﹣x）＞0，则f（x）为增函数；不等式f（﹣2）＜f（lgx）⇒|﹣2|＜|lgx|，解可得：0＜x或x＞100即不等式的解集是（0，）∪（100，+∞）；故答案为：（0，）∪（100，+∞）．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4(tanA＋tanB)＝＋，则cosC的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得4sin（A+B）=sinA+sinB，结合三角形内角和定理，正弦定理得4c=a+b，由余弦定理及a+b=4c，可得cosC，再由基本不等式求解．【详解】∵4（tanA+tanB）=则4（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB，即4sin（A+B）=sinA+sinB，又∵A+B=π﹣C，∴4sinC=sinA+sinB，由正弦定理得，4c=a+b．由余弦定理得cosC=,∵4c=a+b，∴cosC=，∴cosC的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，等差数列的性质，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.14.已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是__________．【答案】m＜﹣3【解析】【分析】令t=f（x），则原函数y等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，转化为一元二次函数和二次方程问题，结合函数f（x）的图象，讨论t的范围，从而确定m的取值范围．【详解】令t=f（x），则原函数等价为y=2t2+3mt+1﹣2m，作出函数f（x）的图象如图，学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...学*科*网...图象可知：当t＜0时，函数t=f（x）有一个零点；当t=0时，函数t=f（x）有三个零点；当0＜t＜1时，函数t=f（x）有四个零点；当t=1时，函数t=f（x）有三个零点；当t＞1时，函数t=f（x）有两个零点．要使关于x的函数y=2f2（x）+3mf（x）+1﹣2m有6个不同的零点，则方程2t2+3mt+1﹣2m=0有两个根t1，t2，且0＜t1＜1，t2＞1或t1=0，t2=1，令g（t）=2t2+3mt+1﹣2m，则由根的分布可得，将t=1，代入g（t）=0得m=﹣3，此时2t2﹣9t+7=0的另一个根为t=，不满足t1=0，t2=1，若0＜t1＜1，t2＞1，则即解得m＜﹣3，故答案为：m＜﹣3【点睛】本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角C；（2）若，求cosA的值．【答案】：（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果;（2）利用（1）的结论和三角函数关系式中角的变换求出结果．【详解】（1）∵, ∴,∴∵,∴.（2）∵,∴,∴∵,∴∴.【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理，三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答16.已知函数．（1）解关于x的不等式；（2）对任意的(﹣1，2)，恒成立，求实数k的取值范围．【答案】：（1）当时，解集为,当时，解集为. 当时，解集为.（2）【解析】【分析】（1）按照k与﹣1的大小分三种情况讨论；（2）分离参数k后，构造函数，利用基本不等式求得最小值即可．【详解】（1）因为f（x）＜2，∴x2+（1﹣k）x﹣k＜0，∴（x+1）（x﹣k）＜0当k＞﹣1时，﹣1＜x＜k，当k=﹣1时，不等式无解，当k＜﹣1时，k＜x＜﹣1，综上所述：当k＞﹣1时，不等式的解集为（﹣1，k）；当k=﹣1时，不等式无解；当k＜﹣1时，不等式的解集为（k，﹣1）；（2）对任意的x∈（﹣1，2），f（x）≥1⇔k≤=x+1+﹣1恒成立，令g（x）=x+1+﹣1，x∈（﹣1，2），则k≤g（x）min∵g（x）≥2﹣1=1，即g（x）min=1，故k≤1．【点睛】本题考查了含参数的一元二次不等式的解法、不等式恒成立、基本不等式．属中档题．解一元二次不等式，经常会和二次函数的图像结合，需要考虑的有：二次函数的二次项系数，两根关系等.17.已知函数(0＜a≠1)为增函数．（1）求实数a的取值范围；（2）当a＝4时，是否存在正实数m，n(m＜n)，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[，]？如果存在，求出所有的m，n，如果不存在，请说明理由．【答案】：（1）或（2）存在满足条件的m，n，且m=2,n=4.【解析】【分析】（1）根据题意得到恒成立，又，进而得到参数值;(2)根据题意得到函数表达式为，在上单调递增,∴，进而得到m、n是方程的两个根，求出m,n的值.【详解】（1）由得：又，所以或（2）当a=4时，,∵在上单调递增,∴∴m、n是方程的两个根.解得：m=2,n=4∴存在满足条件的m，n，且m=2,n=4.【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.18.如图，郊外有一边长为200m的菱形池塘ABCD，塘边AB与AD的夹角为60°，拟架设三条网隔BE，BF，EF，把池塘分成几个不同区域，其中网隔BE与BF相互垂直，E，F两点分别在塘边AD和DC上，区域BEF为荷花种植区域．记∠ABE＝，荷花种植区域的面积为Sm2．（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的最小值．【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，即可求出函数的关系式；（2）根据三角函数的性质即可求出．【详解】（1）由正弦定理可得=，即=，=，即=，∴BE=，BF=，∴S=，（0≤θ≤）；（2）令f（θ）=cos2θ+sinθcosθ=+sin2θ=sin（2θ+）+，当2θ+=，即θ=时，f（θ）有最大值为+1，此时S有最小值为120000﹣60000．【点睛】本题考查了正弦定理和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，考查了函数y=Asin （ω x +φ）的图像和性质，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ω x +φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x。
江苏省镇江市2019届高三上学期期中考试 数学理试题(含详细答案)
镇江大市统考高三理科2018.11.15一、填空题1、设集合A ＝｛x ｜x 是小于4的偶数｝，{}3,1,2,4,________B A B =-⋂=则2、命题2"00"x x ∀≥＞，的否定为_____________ 3、若复数()1,2aiz a R i i+=∈-是虚数单位是纯虚数，则a =_____________ 4、函数()27log 43y x x =-+的定义域为_____________5、在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，且A ＝45°，C ＝75°，a ＝1，则b ＝＿＿6、已知函数1()41xf x a =++是奇函数，则f （－1）+f （0）＝＿＿＿＿ 7、已知e 为自然对数的底数，函数y ＝e x－lnx 在［1，e ］的最小值为＿＿8、已知函数()224f x x ax =-+在()1,-+∞上是增函数，则()2f 的取值范围为_____________ 9、将函数5sin(2)4y x π=+的图象向左平移(0)2πϕϕ<<个单位，所得函数图象关于直线4x π=对称，则ϕ＝＿＿＿＿10、在ABC ∆中，已知()()tan 1tan 12A B ++=，则cos C =_____________ 11、已知14001,1x y x y x y +=++＞，＞，则的最小值为_____________ 12、已知函数()()22,x xf x x -=-则不等式()()2lg f f x -＜的解集为_____________13、在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别为,,a b c ，已知()tan tan 4tan tan cos cos A BA B B A+=+，则cos C 的最小值_____________14、已知函数()2lg , 02 0x x f x x x x ⎧⎪=⎨--≤⎪⎩＞，，若函数()()22312y f x mf x m =++-有6个不同的零点，则实数m 的取值范围是_____________二、解答题（90分） 15、（本小题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且sin 2sin C Bc b= (1)求角C(2)若3sin()=35B -π，求cos A 的值16.（本小题满分14分）已知k R ∈,函数2()(1)2f x x k x k =+-=-(1)解关于x 的不等式()2f x ＜(2)对任意(1,2),()1x f x ∈-≥恒成立，求实数k 的取值范围17、（本小题满分14分）已知函数4()log log (0a f x x x a =+>且a ≠1）为增函数。