全!智能控制讲稿---一级倒立摆的模糊控制
一级倒立摆的模糊控制
一级倒立摆的模糊控制4.1倒立摆控制方法的研究倒立摆一般有两种起始状态的控制。
一种是在摆杆自然下垂，竖直向下为起始状态，通过不断的摆动,最终使其稳定在竖直向上的不稳定点,这种控制叫做起摆稳定控制,也即DOWN-UP控制；另一种是用手提起摆杆,在不稳定平衡点处开始实行控制,称作稳定控制,也即UP-UP控制。
同时倒立摆系统也是一个复杂的、非线性的、不稳定的高阶系统。
倒立摆的控制一直是控制理论及应用的典型课题。
在研究倒立摆这类多变量非线性系统的模糊控制时，一个难题就是规则爆炸(RuleEPxofsino)，比如一级倒立摆的控制涉及的状态变量共有4个，每个变量的论域作7个模糊集的模糊划分，这样，完备的推理规则库会包含74=2401个推理规则;而对于二级倒立摆有6个状态变量，推理规则会达到76=117649，显然如此多的规则是不可能实现的。
为了解决这个问题，张乃尧等提出双闭环的倒立摆模糊控制方案，内环控制倒立摆的角度，外环控制倒立摆的位移。
范醒哲等人将这一方法推广到三级倒立摆控制系统中，并提出两种模糊串级控制方案，用来解决倒立摆这类多变量系统模糊控制时的规则爆炸问题。
shulinagLei和RezaLnagari应用分级思想，将θθ,,,xx4个状态变量分成两个子系统，分别用两个模糊控制器控制，然后来协调子系统之间的相互作用。
本文模仿人类简化问题的思路，将单一的复杂控制策略转化为多级简单控制策略嵌套，通过分离变量的方法设计末控制器。
4.2倒立摆仿真的研究在第二章建立了一级倒立摆的数学模型，推导出倒立摆近似线性状态方程并分析了倒立摆系统的能控性、能观性。
在此基础上，第三章详细讨论了模糊控制倒立摆的方法，模糊控制器的设计方法，证明了利用模糊策略控制倒立摆系统是可行的。
本章是将在上面几章的基础上，用Matlab和Simulink工具进行一级倒立摆模糊控制系统的仿真研究。
Simulink是Matlab最重要的组件之一，它提供一个动态系统建模、仿真和综合分析的集成环境。
一级倒立摆的模糊控制系统设计毕业论文
2.1
图2-1倒立摆结构
在考虑空气流动、小车与导轨之间的摩擦力对倒立摆的影响之后，可将倒立摆抽象成小车和匀质杆，如图2–2所示。图2–2是系统中小车和摆竿的受力分析图，其中N 和P分别为小车和摆竿相互作用力的水平和垂直方向的分量。要求摆角的摆动不超过0.35rad。
表2-1 一级倒立摆系统参数
符号
1.4本论文的主要工作
本论文简单介绍倒立摆系统控制发展过程和国外发展现状；研究了一级倒立摆数学模型的建立；并用牛顿定律推导了倒立摆的数学模型。运用模糊控制的控制方法对倒立摆系统进行研究，并借助MATLAB语言以及SIMULINK进行仿真，在做了大量仿真研究工作的基础上，进行了硬件的调试，软件的编写和调试，对倒立摆控制中遇到的问题进行分析和讨论[8]。
意 义
实际数值
M
小车质量
1.096 kg
m
摆竿质量
0.109 kg
b
小车的摩擦系数
50N/S
l
摆杆转动轴心到杆质心的长度
0.25 m
I
摆杆惯量
0.0034 kg*m*m
F
加在小车上的力
X
小车位置
小车速度
摆杆与垂直向上方向的夹角
图2-2 小车与倒立摆受力分析图
应用牛顿力学进行受力分析，小车在水平方向的受力情况是
(2–6)
设 （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与1（单位是弧度）相比很小，即 ≤1，则可以进行近似处理： ， 。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方对方程组(2–7)进行拉普拉斯变换，得到
(2–8)
注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出是角度 ，求解方程组（2–8）的第一个方程，可以得到
一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书精讲
一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书精讲第一篇：一级直线倒立摆系统模糊控制器设计---实验指导书精讲一级直线倒立摆系统模糊控制器设计实验指导书目录实验要求........................................................................................................................... ...................3 1.1 实验准备........................................................................................................................... ................3 1.2 评分规则........................................................................................................................... ................3 1.3 实验报告内容........................................................................................................................... ........3 1.4 安全注意事项........................................................................................................................... ........3 2 倒立摆实验平台介绍..........................................................................................................................4 2.1 硬件组成........................................................................................................................... ................4 2.2 软件结构........................................................................................................................... ................4 3 倒立摆数学建模（预习内容）............................................................................................................6 4 模糊控制实验........................................................................................................................... ............8 4.1 模糊控制器设计（预习内容）.......................................................................................................8 4.2 模糊控制器仿真........................................................................................................................... ...12 4.3 模糊控制器实时控制实验..............................................................................................................12 5 附录：控制理论中常用的MATLAB 函数.......................................................................................13 6 参考文献........................................................................................................................... .................14 实验要求1.1 实验准备实验准备是顺利完成实验内容的必要条件。
一阶倒立摆模糊控制实验报告
一阶倒立摆模糊控制实验报告本次实验旨在研究一阶倒立摆系统的模糊控制方法，通过对系统进行建模、设计控制器并进行仿真，最终评估控制效果。
实验过程主要包括系统建模、控制器设计、模糊控制器参数调节和性能评价四个步骤。
首先，我们对一阶倒立摆系统进行建模。
一阶倒立摆系统是一种具有非线性特性的控制系统，主要由电机、倒立摆、支撑杆等组成。
我们需要建立数学模型描述系统的动力学特性，包括倒立角度、倒立角速度、杆角度等状态变量，并考虑控制输入电压对系统的影响。
接着，我们设计模糊控制器。
模糊控制是一种基于模糊逻辑的控制方法，适用于非线性系统和模糊系统。
我们根据系统模型，设计模糊控制器的模糊规则、隶属函数等参数，以实现系统的稳定控制。
在设计过程中，我们需要考虑系统的性能指标，如超调量、稳态误差等。
第三步是模糊控制器参数调节。
通过仿真实验，我们可以对模糊控制器的参数进行调节，以使系统的性能达到最佳状态。
调节参数的过程需要考虑系统的稳定性、鲁棒性和响应速度，以达到控制效果的要求。
最后，我们对模糊控制系统进行性能评价。
通过对系统的响应曲线、稳定性、控制精度等指标进行分析，评价模糊控制器的控制效果。
我们可以比较模糊控制系统和传统控制系统的性能，探讨模糊控制在一阶倒立摆系统中的优势和局限性。
总的来说，本次实验通过研究一阶倒立摆系统的模糊控制方法，探讨了模糊控制在非线性系统中的应用。
通过实验，我们对模糊控制的基本原理和设计方法有了更深入的理解，同时也对一阶倒立摆系统的控制特性有了更清晰的认识。
希望通过实验的研究，能够为控制系统的设计和应用提供一定的参考和借鉴。
一级倒立摆的模糊控制
一级倒立摆的模糊控制一、 立题背景倒立摆( Inverted Pendulum)是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
它是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问题的抽象。
倒立摆的控制一直是控制理论及应用的典型课题倒立摆系统通常用来检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。
又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内外学者的广泛关注。
控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以倒立摆为例加以研究。
本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究了倒立摆的控制系统仿真问题。
仿真 的成功证明了本文设计的模糊控制器有很好的稳定性。
二、 倒立摆的数学模型质量为m 的小球固结于长度为L 的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M 的小车铰接相连。
由经验知：通过控制施加在小车上的力F （包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。
在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型。
倒立摆模型如图2-1所示。
图 2-2 单机倒立摆模型图小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。
电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。
导轨截面成H 型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行长度为1米。
轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机构。
以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入 以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入。
即X=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡x'x 'θθ Y=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x θ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x由线性化后运动方程组得x1’=θ’=x2 x2’=''θ=()Ml g m M +x1-Ml1 F X3’ =x ’=x4 x4’=x ’’=-M mg x1+M 1 F 故空间状态方程如下：X ’=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'4'3'2'1x x x x =()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+00010000000010M mgMl g m M ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-M Ml 1010 F Y= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡31x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡01000001 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x + 0⨯F 其中，M=1 kg ，m=0.1kg ，l=.1m ，g=10m/s 。
一阶倒立摆模糊控制matlab仿真
一阶倒立摆模糊控制仿真实验分析报告%mainclearclose all%load table.matglobal Table;global RULE;global UCenter;global Width;global num;global RuleMatch; %前件匹配方式0 取小；1乘积global Defuzzy; %反模糊化方法0: COG ; 1:COA; 2:MAXglobal g0;global g1;global h;x=[0.4,0,0];RuleMatch = 1; %前件匹配方式0 取小；1乘积Defuzzy = 0;%反模糊化方法0: COG ; 1:COA; 2:MAXg0=1.5;g1=0.1;h=1;% u=0;% Table = u;% [m,n]=size(u);% num = (m-1)/2;%u=[];RULE =[2, 2, 2, 1, 0; ...2, 2, 1, 0,-1;...2, 1, 0,-1,-2;...1, 0,-1,-2,-2;...0,-1,-2,-2,-2];%% RULE =[2,2,1,1,0; ...% 2,1,1,0,-1;...% 1,1,0,-1,-1;...% 1,0,-1,-1,-2;...% 0,-1,-1,-2,-2];RULE=RULE + 3*ones(size(RULE));%原始的%UCenter=[-20,-10,0,10,20];%改进的%UCenter=[-25,-15,0,15,25];UCenter=[-20,-15,0,15,20];Width(1)=(UCenter(5)-UCenter(4))/2;Width(2)=(UCenter(5)-UCenter(3));Width(3)=(UCenter(4)-UCenter(3))*2;Width(4)=Width(2);Width(5)=Width(1);x=x';[t,y]= ode45('P_Pendulum',[0,5],x);% [t,y]= ode45('P_Pendulum_tab',[0,10],x);% y2=y.*y;% inty = intnum(t,y2)%% int_e2 = inty(1)+inty(2);% int_u2 = inty(3);%int_y2 = sum(y.^2);%int_e2 = int_y2(1)+int_y2(2);%int_u2 = int_y2(3);figuresubplot(2,1,1)plot(t,y(:,1 ),'r',t,y(:,2),'k')%xlabel('t(sec)')% str1 = sprintf('x(0)=[%2.2f,%2.2f]',x(1),x(2)); % Title(str1,'Interpreter','latex','fontsize',14)%% str1=sprintf('t(sec)---index:$\\int{e^{T}(t)e(t)dt}=$ %f', int_e2);%str1 = '$\int{e^2}dt$'% text(6,0,str1,'Interpreter','latex','fontsize',14)%% xlabel(str1,'Interpreter','latex','fontsize',14)legend('x1(rad)', 'x2(rad/s)')title('输出隶属函数中心值：[-20,-15,0,15,20]')subplot(2,1,2)plot(t,y(:,3),'r')xlabel('t(sec)')ylabel('u(N)')% str1=sprintf('t(sec)--index:$\\int{u^{2}(t)dt}$= %f', int_u2);% %H = Title(str1,'Interpreter','latex','fontsize',14)% xlabel(str1,'Interpreter','latex','fontsize',14)% inverted pendulum stabilized% program on 2006,10,26function xdot = P_Pendulum(t,x)global RULE;global UCenter;global step;global k;global Kc;global QQ;global Width;global RuleMatch; %前件匹配方式0 取小；1乘积global Defuzzy; %反模糊化方法0: COG ; 1:COA; 2:MAXglobal g0;global g1;global h;M = 1;m =0.5;g = 9.8;l = 0.5;a = 1/(m+M);%计算隶属度mu_e= emembershipdegree(-x(1)*g0);mu_de = demembershipdegree(-x(2)*g1);%pausemu_e_id = find(mu_e>0);mu_de_id = find(mu_de>0);eLen= length(mu_e_id);deLen = length(mu_de_id);mu_pre= zeros(1,4);fuzzy_out = zeros(1,4);weight = zeros(1,4);in =1;%规则匹配for (i=1:eLen)for(j=1:deLen)switch RuleMatchcase 0%前件采用取小推理mu_pre(in)= min(mu_e(mu_e_id(i)),mu_de(mu_de_id(j)));case 1%前件采用乘积推理mu_pre(in)= mu_e(mu_e_id(i))*mu_de(mu_de_id(j));end%计算规则匹配度fuzzy_out(in) = RULE(mu_e_id(i),mu_de_id(j));in=in+1;endendnRule = eLen *deLen;u = 0;summu =0;%反模糊化for(i=1:nRule)switch Defuzzycase 0%按照重心法计算(COG)weight(i)= Width(fuzzy_out(i))*(mu_pre(i)-mu_pre(i)*mu_pre(i)/2);case 1% 按照中心平均法weight(i)=mu_pre(i);case 2% 取大法(大中求中)[max_v,max_id] = max(mu_pre);weight(max_id)=1;endu = weight(i)*UCenter(fuzzy_out(i))+u;summu =summu + weight(i);end%u=0;u=h*u/summu;if (u>20)u=20;endif (u<-20)u=-20;endt% if(t>2.5 && t<2.6 )% u=u+20;% end% if (u>20)% u=20;% end%% if (u<-20)% u=-20;% end% xdot(1)=x(2);% xdot(2)=(g*sin(x(1))-a*m*l*x(2)*x(2)*sin(2*x(1))/2-a*cos(x(1))*x(3))/(4*l/3-a*m*l*cos(x(1))*cos(x(1))); % xdot(3)=-100*x(3)+100*u;% x(3) = u;xdot(1)=x(2);xdot(2)=(g*sin(x(1))-a*m*l*x(2)*x(2)*sin(2*x(1))/2-a*cos(x(1))*x(3))/(4*l/3-a*m*l*cos(x(1))*cos(x(1))); xdot(3)=-100*x(3)+100*u;xdot = xdot';y=zeros(1,5);if (x<= -pi/2)y(1) =1 ;elseif (x<=-pi/4)y(1) = abs(x+pi/4)/(pi/4);y(2) = 1-abs(x+pi/4)/(pi/4); elseif (x<= 0)y(2) = 1-abs(x+pi/4)/(pi/4);y(3) = 1- abs(x)/(pi/4);elseif (x<=pi/4)y(3) = 1- abs(x)/(pi/4);y(4) = 1-abs(x-pi/4)/(pi/4); elseif (x<=pi/2)y(4) = 1-abs(x-pi/4)/(pi/4);y(5) = abs(x-pi/4)/(pi/4);elseif (x>pi/2)y(5) =1;endfunction y = demembershipdegree(x) y=zeros(1,5);if (x<= -pi/4)y(1) =1 ;elseif (x<=-pi/8)y(1) = abs(x+pi/8)/(pi/8);y(2) = 1-abs(x+pi/8)/(pi/8); elseif (x<= 0)y(2) = 1-abs(x+pi/8)/(pi/8);y(3) = 1- abs(x)/(pi/8);elseif (x<=pi/8)y(3) = 1- abs(x)/(pi/8);y(4) = 1-abs(x-pi/8)/(pi/8); elseif (x<=pi/4)y(4) = 1-abs(x-pi/8)/(pi/8);y(5) = abs(x-pi/8)/(pi/8);elseif (x>pi/4)y(5) =1;endy=zeros(1,5); if (x<= -30) y(1) =0 ; elseif (x<=-20)y(1) = 1-abs(x+20)/(10); elseif (x<=-10)y(1) = 1-abs(x+20)/(10); y(2) = 1-abs(x+10)/(10); elseif (x<= 0)y(2) = 1-abs(x+10)/(10); y(3) = 1- abs(x)/(10); elseif (x<=10)y(3) = 1- abs(x)/(10); y(4) = 1-abs(x-10)/(10); elseif (x<=20)y(4) = 1-abs(x-10)/(10); y (5) = 1-abs(x-20)/(10); elseif (x>30) elseif (x<=30)y(5) = 1-abs(x-20)/(10); elseif (x>30) y(5) =0; end不同的推理方式，反模糊化方法初始值：x0=[0.1 0]’t(sec)u (N )t(sec)u (N )t(sec)u (N )t(sec)u (N )t(sec)u (N )t(sec)u (N )不同的初始条件前件隶属度函数计算方法：乘积模糊蕴含关系计算方法：取小 反模糊化方法：COGt(sec)u (N )t(sec)u (N )t(sec)u (N )t(sec)u (N )结论：当初始角达到一定程度时，控制力趋向饱和，系统不稳定。
基于模糊控制的一级倒立摆控制系统设计【毕业作品】
BI YE SHE JI（20 届）基于模糊控制的一级倒立摆控制系统设计所在学院专业班级自动化学生姓名学号指导教师职称完成日期年月II摘要倒立摆系统是研究控制理论的典型实验装置，具有价格低廉，结构简单，参数易于调整等优点。
但是倒立摆同时也是一个典型的快速，非线性，多变量，本质不稳定系统，对于其稳定性的控制绝非易事。
也正因为如此，对于倒立摆系统控制方法的研究和开发才具有重要和深远的意义。
目前适用此系统的控制理论包括变结构控制，非线性控制，目标定位控制，智能控制等。
本文根据一级直线倒立摆系统，建立了数学模型，依据模糊控制的相关规则设计了模糊控制规则，并从位移和角度观点出发设计了双模糊控制器，经过仿真调试对重要参数进行不断的调试和优化，最终实现了“摆杆不倒，小车稳住”的总体目标。
对于实物实验系统，本文对构成倒立摆运动控制系统的电机，编码器和运动控制模块进行了比较选择，选择了交流伺服电机，增量式光电编码器和基于DSP技术的运动控制器作为主要的硬件组合，该运动控制器具有良好的性能，可以保证控制的精度。
关键词：倒立摆，模糊控制，系统设计，仿真，稳定IIAbstractInverted pendulum system is the study of the typical experiment device control theory, which is inexpensive, simple structure and easy to adjust the parameters. But it is also a system that typical rapid, nonlinear, many variables, and its essence is not stable, for its stability control is not going to be easy. Also because of this inverted pendulum system control method of the research and development are important and profound significance. At present the system for the control theory including variable structure control, nonlinear control, the goal positioning control, intelligent control, etc.According to the level of linear inverted pendulum system, this paper established the mathematical model, based on the fuzzy control rules we designed its fuzzy control rules, and from the view point of view design displacement and the dual fuzzy controller, through the simulation test of continuing the important parameters of debugging and optimization, and finally achieved "swinging rod, the car is not steady overall goal.For physical experiment system, this paper constitutes inverted pendulum motion control system of motor, encoder and motion control module are compared choice. Choose the ac servo motor, the solid-axes photoelectric encoder and the motion controller based on DSP technology as the main combination of hardware, this controller has good performance, and can ensure the precision of the control.Key words: inverted pendulum，Fuzzy control，System design ，The simulation，stabilityII目录摘要 (I)Abstract.......................................................................................................................................... I I 目录 (III)第一章引言 (1)1.1课题研究目的及意义 (1)1.3倒立摆系统介绍 (3)第二章倒立摆系统建模 (6)第三章模糊控制 (11)3.1概念 (11)第四章基于模糊控制的一级倒立摆系统设计 (15)4.1控制系统部件选择 (15)4.1.1位置传感器选择 (15)4.1.3运动控制模块 (17)4.2 模糊控制器设计 (18)4.2.1 确定模糊控制器的结构 (19)4.2.2位置模糊控制器的设计 (19)4.2.3角度模糊控制器设计 (27)4.3simulink仿真 (28)4.3.1将simulink与模糊控制器相关联 (28)4.3.2进行仿真 (32)结论 (39)III参考文献 (40)致谢 (41)III第一章引言1.1课题研究目的及意义倒立摆系统作为一个本身绝对不稳定的非线性系统，兼具高阶次、多变量、强耦合的特点。
旋转倒立摆的模糊控制
WORD文档下载可编辑旋转倒立摆的模糊控制摘要：该文针对一级旋转倒立摆系统进行研究。
基于Lagrange方程进行了对旋转倒立摆的系统建模，并在Matlab环境下使用了模糊控制，实现了倒立摆的良好控制，采用积分消除了稳态误差。
实验证明，此种模糊控制方法有一定的鲁棒性并且控制效果较好。
关键词：一级旋转倒立摆；模糊控制；Matlab一、控制对象一级旋转倒立摆倒立摆系统是自动控制理论中比较典型的控制对象,许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等,都可以通过倒立摆系统直观地表现出来。
因此它成为自动控制理论研究的一个较为普遍的研究对象。
倒立摆系统作为一个被控对象,是快速、多变量、开环不稳定、非线性的高阶系统,必须施加十分有力的控制手段才能使之稳定。
对倒立摆的研究在现实中也有一定的指导意义,航天器的发射就是很好的例子, 未来仿人类机器人的发展也离不开倒立摆模型。
一直以来,很多种控制方法已经应用到倒立摆的控制当中本文采用了一种模糊控制方法实现了对一级旋转倒立摆的控制。
目标是使倒立摆在保持平衡的同时,旋臂还能够快速跟踪一个位置给定信号。
该次设计所研究的旋转倒立摆系统模型如图1所示,倒立摆模块由倒立摆的摆杆和一个支撑摆杆的旋转臂组成,摆杆固定在旋转臂一端,可以在垂直于转臂的方向上做360度的转动。
旋臂的另一端安装在一个旋转伺服装置上,伺服装置通过电机驱动齿轮转动来实现旋臂在水平面内做360度的旋转。
在摆杆的底端以及旋臂的里端均装有光电编码器,用来检测角度的变化并将信号传送给计算机。
涉及到的参数有：θ1 ——旋转臂的旋转角l1 ——旋转臂从电机轴到摆支撑点的长度——0 . 25mJ1 ——为旋转臂的转动惯量——0 . 01kg ·m2θ2 ——倒立摆的旋转角l2 ——倒立摆的旋转轴到重心的长度——0 . 1mm2 ——倒立摆的质量——0 . 1kgJ2 ——倒立摆的转动惯量——0 . 001kg·m2M ——电机产生的转矩二、设计方案既涉及设计过程(一)、建模：系统采用拉格朗日动力学分析法[1] 建立运动方程为：因摆杆摆动幅度小, 可认为sinθ1≈θ1 , sinθ2≈θ2 , cos (θ2 +θ1) ≈1 , 由此将(1) 式和(2) 式作线性化处理,得:由(3) 式和(4) 式可求出:令系统的状态矢量为x = [ x1 x2 x3 x4 ]′=[θ1 θ2 θ1′θ2′]′，得状态空间方程：即输入而输出部分的故输出为由于旋转倒立摆系统自身的特点,在没有控制或控制效果不佳的情况下很难稳定。
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其中，M=1 kg，m=0.1kg，l=.1m，g=10m/s。 立题方案
倒立摆系统是一个比较复杂的不稳定、多变量、带有非线 性和强耦合特性的高阶机械系统，它的稳定控制是 控制理论应用的一个典型范例。早在上个世纪五十 年代，国外就丌始了倒立摆的研究，我国学者也从 80年代初开始倒立摆系统的研究。
1966年Schaefer和cannon就应用bang-bang控制理论，将一个曲轴稳 定于倒置位置，实现了单级倒立摆的稳定控制。在60年代后期，作为 一个典型的不稳定、严重非线性证例，倒立摆的概念被提出，并将其 用于检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到 世界各国许多科学家的重视，寻找不同的控制方法实现对倒立摆的控 制。目前，倒立摆的控制方法可分如下几类： (1) 线性理论控制方法 将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理获得系统在平衡点附 近的线性化模型，然后再利用各种线性系统控制器设计方法得到期望 的控制器。。这类方法对一、二级的倒立摆(线性化后误差较小、模型 较简单控制时，可以解决常规倒立摆的稳定控制问题。但对于像非线 性较强、模型较复杂的多变量系统(三、四级以及多级倒立摆)线性系统 设计方法的局限性就十分明显。 (2) 预测控制和变结构控制方法 由于线性控制理论与倒立摆系统多变量、非线性之间的矛盾使人们意 识到针对多变量、非线性对象，采用具有非线性特性的多变量控制解 决多变量、非线性系统的必由之路。人们先后丌展了预测控制、变结 构控制和自适应控制的研究。预测控制是一种优化控制方法，强调实 模型的功能而不是结构。变结构控制是一种非连续控制，可将控制对 象从任意位置控制到滑动曲面上，仍然保持系统的稳定性和鲁棒性， 但是系统存在颤抖。预测控制、变结构控制和自适应控制在理论上有 较好的控制效果，但由于控制方法复杂，成本也高，不易在快速变化 的系统上实时实现。
小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机 编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。 导轨截面成H型，小车在轨道上可以自由滑动，其在轨道上的有效运行 长度为1米。轨道两端装有电气限位开关，以防止因意外失控而撞坏机 构。以摆角θ、角速度θ’、小车位移x、加速度x’为系统状态变量，Y为 输出，F为输入以摆角θ、角速度θ’、小车位移x、加速度x’为系统状态 变量，Y为输出，F为输入。
一级倒立摆的模糊控制
立题背景 倒立摆( Inverted Pendulum)是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使 其处于动态平衡的一种摆。它是一个复杂的快速、非线性、多 变量、强耦合的非最小相位系统,是重心在上、支点在下控制问 题的抽象。 倒立摆的控制一直是控制理论及应用的典型课题倒立摆系统通常用来 检验控制策略的效果,是控制理论研究中较为理想的实验装置。 又因其与火箭飞行器及单足机器人有很大的相似之处,引起国内 外学者的广泛关注。控制过程中的许多关键问题,如镇定问题、 非线性问题、鲁棒性问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以 倒立摆为例加以研究。 本文围绕一级倒立摆系统，采用模糊控制理论研究了倒立摆的控制系 统仿真问题。仿真的成功证明了本文设计的模糊控制器有很好 的稳定性。
图5-4输入比例因子较小的仿真曲线
图5-5输入比例因子增大的仿真曲线
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倒立摆的数学模型 质量为m的小球固结于长度为L的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又 和质量为M的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车 上的力F（包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立 状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下， 推导小车倒立摆系统的数学模型。倒立摆模型如图2-1所示。
本系统采用双闭环的模糊控制器控制，分别设计角度和位移模糊控制 器。图4-2中，e ø,ec1分别为倒立摆的摆角偏差和摆角偏差变化 率，作为角度模糊控制器的输入， 分别为倒立摆的位移偏差和 位移偏差变化率，作为位移模糊控制器的输入，控制系统在第 一阶段先控制摆杆摆角的平衡，所以当输出量摆角|φ |≥5°时， a=1，控制量u=u 1，当摆杆接近平衡范围时系统进入第二控制 阶段，即输出量摆角|φ |<5°时，控制量u=au1=(1-a )u2，逐 渐将输出量位移控制在平衡点。
图5-2 输出比例因子较大的仿真曲线
分析：输出比例因子增大后，角度的响应曲线一直震荡，位移的响应 曲线不在收敛，超调过大，以致系统发散而ห้องสมุดไป่ตู้稳定。
图5-3输出比例因子较小的仿真曲线
分析：调小输出比例因子，系统的超调量减小，但过渡时间较长。在 20s左右，系统趋于稳定。由仿真曲线可知，摆杆随后一直处于 倒立位置,角度偏差几乎为零， 小车位置保持在平衡位置附近。
4.1 角度模糊控制器
模糊推理系统中以作为控制器输入，控制电压u 1为控制器的输出。取 输入和输出u 1的模糊子集为{NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB}，其中论 域为[-0.526,0.526]，论域为[-1,1]，u 1论域为[-6,6]。选择输入 量、输出u1的隶属函数为三角形(trimf)。根据电机输出力的大小 与摆杆角度、角速度的关系，确定角度控制的模糊规库如表4-1 所示。在设计 控制规则时，有些特殊情况必须予以考虑，如倒立摆摆杆出现最大偏 角时，不再考虑角速度的变化，应及时输出最大控制力使摆杆 不倒。 表 4-1 角度模糊规则表
模糊控制器由4部分组成：模糊化、知识库、模糊推理、清晰化。图41表示了模糊控制器的基本结构。图中，R为系统设定值(精确量)；e,e 分别为系统误差与误差变化率(精确量)；言E,和E分别为反映系统误差 与误差变化的语言变量的模糊集合(模糊量)；u为模糊控制器输出的控 制作用(精确量)：y为系统输出(精确量)。
情况二：保持输出比例因子不变，仅改变输出比例因子k、k时，角度 和位移响应曲线如图5-4、5-5所示。 Kec增大, 反应变迟钝,调节时间变短,超调量增大; Kec减小, 反应加快, 上升速率小, 调节时间长, 超调量小. 通过仿真还可发现, Kec过 小时, 调节时间就会过长, 严重时系统无法稳定工作。 分析：减小输入比例因子，降低了对误差和误差变化率的分辨能力， 超调量较小，但调节时间较长，反应较慢，调节惰性加大，稳 定精度降低。摆角稳定在10左右。
建模仿真 用Simulink来搭建角度模糊控制器和位移模糊控制器[3-6]，其仿真 框图如图5-1所示。通过模糊控制器模块，可以和包含模糊控制 器的fis文件联系起来，还可以随时改变输入输出论域，隶属度 函数以及模糊规则，方便仿真和调试。
在simulink环境下构建模糊控制系统，完成系统中各参数的整定，即系 统中加权系数a取0.3，比例因子ke,kecku对控制效果的影响很显 著,因而对量化因子的优化设计就显得非常重要[8]，经过大量仿 真实验，不断调整角度模糊控制器输入比例因子kφ、keφ， 输 出比例因子ku1。以及位移模糊控制器输入比例因子kx、kex， 输出比例因子ku2。根据实际系统参数及状态方程，在matlab环 境下编写控制程序，进行仿真试验研究，双模糊控制器的输出 权重经过不断地试验得到，仿真后的系统输出曲线如下所示。 情况一：通过实验，保持输入比例因子不变，仅改变输出比例因子 ku1、ku2时，角度和位移响应曲线如图5-2、5-3所示。 分析图5-2可看出,随着输出比例因子(ku1、ku2)增大，上升速率加快, 响应时间减小。通过仿真还可得知: Ku1、Ku2 过大时,系统输出 上升速率过大，从而产生过大的超调乃至振荡和发散,严重时将 会影响系统的稳态工作；而Ku1、Ku2 过小时,系统的增益很小, 系统输出上升速率较小,调节速度变慢,即系统的过渡过程较长， 如图5-3所示。
方案三：由倒立摆系统数学模型，倒立摆系统是一个具有两输出变量 的不稳定系统，按照传统模糊控制设计方法，一个两输入的模 糊控制器不可能实现对输出变量摆角和小车位移的控制，得需 要一个四输入的模糊控制器。对于多变量模糊控制系统，由于 可能的控制规则数目是输入变量数的指数，但模糊规则的建立 给系统的设计带来了很大难度，为此，本系统采用双闭环的模 糊控制器控制策略。采用Mamdani模糊模型，分别设计角度和 位移模糊控制器。 模糊控制器是按一定的语言规则进行工作的，而这些控制规则是建 立在总结操作员控制经验的基础上的。且大多数模糊逻辑推理 方法采用Mamdani极大极小推理法。模糊PID的模糊规则太多， 较为复杂。综上，本文采用方案三。 控制器设计 模糊控制理论是建立在模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理 基础上的一种计算机数字控制理论。‘模糊控制是一种非线性 控制，属于智能控制的范畴，目前它己经成为智能控制的一种 重要而有效的形式。模糊控制是通过模拟人脑的模糊思维方法, 从而实现被控系统的控制的。模糊控制器和模糊控制规则是设 计的核心环节。
4.2 位移模糊控制器 小车位移模糊控制器的两个输入变量为位移偏差e x 和位移偏差变 化率 ， 其中论域为 [-0.3,0.3]， 论域为[-1,1]，分别定义5个模糊子集{NB,NS,ZE,PS,PB}， 输出u 2控制论域为[-2.4，2 . 4 ] ， 分割成5 级模糊子集， 分 别为{ N B , N S , , Z E , P S , P B } ， 量化等级为{-2.4,1.2,0,1.2,2.4}。选择输入量的隶属函数为三角形（trimf）。输 出u2的隶属函数为单点常数。根据电机输出力的大小与小车位 移、速度的关系，小车位移模糊控制规则库如表2所示，考虑到 有些情况不允许发生，不设定模糊规则，如小车位移为NB的同 时小车速度为NB的状态不可控，应预先加以调整。设定模糊决 策采用Mamdani型推理算法，解模糊用重心平均法。 表2 位移模糊控制器