高等数学侯风波1章课件
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电子教案-高等数学(四版_侯风波)演示文稿-10-电子课件
上点P0 (x0 , y0 )的 邻域，而称不包含点 P0的邻域为无 心邻域．
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例 3 设 f (x, y) exy ，求 f (2,3).
导数，记为
z x
f , x x0 x y y0
xx0 , zx
y y0
xx0 或f x (x0 , y0 ) .
y y0
类似地，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有改变量y ，
如果极限 lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) 存在，则称此极限为函
y0
y
数 z f (x, y)在点（x0，y0）处对 y 的偏导数，记为
f (x, y)在区域 D 内的每一点都连续,则称 f (x, y) 在区域 D
上连续．
若令 x x0 x, y y0 y ，则式
lim
x x0
f
(x, y)
f
(x0 , y0 ) ,
y y0
可写成 lim x0
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0 ,
y0 )
0.
y0
即
lim z 0.
x0
y0
证
因为P RT ，所以P
V
V
RT V2
．
又 V RT ，所以V R ．
P
T P
同样由 T PV ，所以T V ．
R
P R
因此,
P V V T
T P
(
RT V2
二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例 3 设 f (x, y) exy ，求 f (2,3).
导数，记为
z x
f , x x0 x y y0
xx0 , zx
y y0
xx0 或f x (x0 , y0 ) .
y y0
类似地，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有改变量y ，
如果极限 lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 ) 存在，则称此极限为函
y0
y
数 z f (x, y)在点（x0，y0）处对 y 的偏导数，记为
f (x, y)在区域 D 内的每一点都连续,则称 f (x, y) 在区域 D
上连续．
若令 x x0 x, y y0 y ，则式
lim
x x0
f
(x, y)
f
(x0 , y0 ) ,
y y0
可写成 lim x0
f
( x0
x,
y0
y)
f
(x0 ,
y0 )
0.
y0
即
lim z 0.
x0
y0
证
因为P RT ，所以P
V
V
RT V2
．
又 V RT ，所以V R ．
P
T P
同样由 T PV ，所以T V ．
R
P R
因此,
P V V T
T P
(
RT V2
《高等数学》 课件 高等数学第一章
2 函数的极限
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
高等数学 第一章. 第二节
第 22 页
定义1 给定一个数列xn ，如果当n无限增大时，xn 无限接近于某一
个确定常数A，则称当n趋于无穷时，数列xn 的极限为A，记作
lim
n∞
xn
A?或xn
A（n
∞）．
此时也称数列xn 收敛．如果当n无限增大时，xn 无限接近的常数A不存在，
则称数列xn 发散，此时也称数列xn 的极限不存在．
称为中间变量．
1）复合函数的复合原则：前一个函数的定义域与后一个函数的值域
的交集非空，即中间变量有意义．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
第 16 页
例1 将y表示成x的复合函数．
（1）y eu，u sin v，v 3 x；（2）y ln u，u 2 v， 2 v sec x； （3）y arcsin u，u 2 x．2
四、基本初等函数
基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数． 1.幂函数y x ( R)?
幂函数y x 的定义域和值域随的取值不同而不同，但是无论 取何值，幂
函数在x (0， ∞)内总有定义．常见的幂函数的图像如图所示．
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
2.指数函数y a x (a 0，a 1)
指数函数y a（ x a 0，a 1）的定义域 为(∞， ∞，) 值域为(0， ∞．) 指数函数的 图像如图所示．
第 11 页
1 函数
高等数学 第一章. 第一节
3.对数函数y loga x (a 0，a 1)
对数函数y loga x（a 0，a 1）的定义域为(0， ∞， ) 值域为(∞， ∞．) 对数函数y loga x是指数函数y ax的 反函数，其图像如图所示．
第一章《高等数学(上册)》课件
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
图 1-1
图 1-2
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
16世纪末期，为适应生产实践的需要，人 们开始对各种变化过程中量与量之间的关系进行 研究，于是产生了函数的概念．函数既是现代数 学中最重要的基本概念之一，也是高等数学的主 要研究对象．极限是微积分学的理论基础，极限 方法是高等数学中研究问题的一种基本方法．本 章将着重介绍有关函数、极限和连续的基础知识 及基本方法．
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
在平面直角坐标系中，偶函数的图形是关于y轴对称 的，如图1-1所示；奇函数的图形是关于原点对称的，如 图1-2所示．
高等数学第一章1.1 函数ppt课件
22 22 2222 a b 2 a b c d c d
2 2 22 22 (| x | | y |) | x y | 2 a b c d 2 ac 2 b
为证三角不等式只须证明
2 22 2 ac bd a b c d
为证上式，又只须证明
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U ( a ) { x a x a } .
a
a
0
a
x
U a ). 点 a 的去心的 邻域 , 记作 (
U ( a ) { x 0 x a } .
a a ; ab a b ; 运算性质: b b a x a ; x a ( a 0 ) x a 或 x a ; x a ( a 0 )
a , b R , 且 a b .
{ x a x b } 称为开区间,
o a b { x a x b } 称为闭区间, o
记作 ( a ,b )
x 记作 [ a ,b ] x
a
b
{ x a x b } 称为半开区间, { x a x b } 称为半开区间,
(3) 狄利克雷函数
1 当 x 是有理数时 yD (x ) 0 当 x 是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数 y max{ f ( x ), g ( x )} y min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
y
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
x y x y . 绝对值不等式: 绝对值不等式的两个变形公式：
2 2 22 22 (| x | | y |) | x y | 2 a b c d 2 ac 2 b
为证三角不等式只须证明
2 22 2 ac bd a b c d
为证上式，又只须证明
点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U ( a ) { x a x a } .
a
a
0
a
x
U a ). 点 a 的去心的 邻域 , 记作 (
U ( a ) { x 0 x a } .
a a ; ab a b ; 运算性质: b b a x a ; x a ( a 0 ) x a 或 x a ; x a ( a 0 )
a , b R , 且 a b .
{ x a x b } 称为开区间,
o a b { x a x b } 称为闭区间, o
记作 ( a ,b )
x 记作 [ a ,b ] x
a
b
{ x a x b } 称为半开区间, { x a x b } 称为半开区间,
(3) 狄利克雷函数
1 当 x 是有理数时 yD (x ) 0 当 x 是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数 y max{ f ( x ), g ( x )} y min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
y
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
x y x y . 绝对值不等式: 绝对值不等式的两个变形公式：
《高等数学第一章》PPT课件
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
高等数学第一章复习课ppt课件.ppt
3.极限的性质
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 x l D .且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通
常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3.反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4.隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
5.反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
3.连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4.间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.函数的性质
高等数学第一章的总结-PPT
n
1
lim
n
n2 n2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
1
n2
n2
1
2
n2
1
n
1
例:
lim
1
1
(e n
2
en
n
en
)
n n
1
e
x
d
x
e 1
0
1
n
1
解：原式
lim
n
1 n
e
n
(1
e
1
n
)
(1
e) lim
n
n
1
1en
1en
1
(1 e) lim ln(1 u) (1 e) lim ln(1 u) u e 1.
)x
e
两个重要极限
(1) lim sin 1
0
(2) lim ( 1 1 ) e
1
或 lim(1 ) e
0
注: 代表相同的表达式
思考与练习
填空题 ( 1～4 )
1. lim sin x __0___ ;
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
从此时刻以后 0 x x0 0 x x0
f (x)
f (x) A
x x0
x x0 0
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5
x2,
x0 x 0在x 0处
x0
的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x) 的
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
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所以 f (t) (t 1)2 3(t 1) t 2 5t 4,
所以 f (x)= x2 5x 4.
（２）定义域
例 4 求函数y = x2 x 6+arcsin2x 1定义域．
7 解 这是两个函数之和的定义域，先分别求出每个函 数的定义域, 然后求其公共部分即可．
7
7
－7≤2x－1≤7 ，
解得
－3≤x ≤4 ，
即arcsin 2x 1的定义域为[3, 4] . 7
于是，所求函数的定义域是
［－3，－2］ [3，4］ .
例5 下列函数是否相同,为什么? (1) y = ln x2 与y = 2lnx ; (2) = u 与y = x ．
解 (1) y = ln x2 与y = 2lnx 不是相同的函数,因为定 义域不同.
使 x2 x 6有定义,必须满足 x2－ x－6≥0，即
(x 3)(x 2) 0 ， 解得 x ≥3 或 x ≤－2 ，即 x2 x 6 的 定 义 域 为 ( , 2 ] [ 3, ; )
而使a r c s i n2x 1有定义,必须满足∣2x 1∣≤1，即
例 8 作出下面分段函数的图形：
f(x)
0,
f
(
x)
x
2
,
3 x,
1 x 0, 0 x 1, 1 x 2.
2 1
-1 O 1 2 x
解 该分段函数的图形如上图所示．
定义 2 设D 与M 分别是两个数集，存在对应律f ,若
对D 中的每一个数 x ，通过对应规律 f ，集合M 中都有惟
日期(9月)
19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
最高气温/℃
28 28 27 25 24 26 27 25 23 22 21
这个表格确实表达了温度是日期的函数，这里不存 在任何计算温度的公式（否则就不需要气象局了），但 是每一天都会产生出一个惟一的最高气温，对每个日期 t，都有惟一个与 t 相应的惟一最高气温 N ．
3x,
f
(x)
3,
3x 6,
0 x 1, 1 x 3, 3 x 5.
该函数f ( x)的定义域为 D=［0，5］，但它在定义域内 不同的区间上是用不同解析式来表示的，这样的函数称为 分段函数．分段函数是定义域上的一个函数,不要理解为多 个函数，分段函数需要分段求值，分段作图．
一确定的数 y 与之对应,则称 y 为从 D 到M 的函数（也
称为映射）,记作 f : D M ,其中 D 称为函数f 的定义
域, D 中的每一个 x 根据对应规律 f 对应于一个 y ， 记
作 y = f (x) , 称为函数 f 在 x 的函数值，全体函数值的集
合
w y y f (x), x D M
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第一章 函 数
第一节 函数及其性质 第二节 初等函数 第三节 数学模型方法简述
第一节 函数及其性质
一、 函数的概念 二、 函数的几种特性 三、 反函数
第一节 函数及其性质
一、 函数的概念
例 7 王先生到郊外去观景，他匀速前进，离家不久， 他发现一骑车人的自行车坏了，他帮助这个人把自行车修 好，随后又上路了．请把王先生离家的距离关于时间的函数 用图形描述出来．
解 王先生离家的距离关于时间的函数图形见左下图．
离家距离
离家距离
9 6 3
O
时间
O 1 2 3 4 5 时间
如果给上页左图标明具体的数值如上页右图，则可由解析表 达式表示为
D
M
称为函数 f 的值域，x 称为
f
f 的自变量，y 称为因变量，
如右图所示．
二、 函数的几种特性
有界性 设函数 f (x)在某区间 I 上有定义，若存在正数M ， 使得 f (x) M ，则称 f (x)在 I 上有界.
单调性
设函数 f (x)在某区间 I 上有定义，对于区间 I 内任 意两点 x 1，x 2，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则 称 f (x)在I 上单调增加，区间 I 称为单调增区间；
1．函数的定义
定义 1 设有两个变量 x和 y ，若当变量 x在实数 的某一范围 D 内，任意取定一个数值时，变量 y 按照一 定的规律 f ，有惟一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的 函数,记作 y = f (x)， xD，其中变量 x称为自变量，变 量 y 称为函数（或因变量）．自变量的取过对应规律f ，函数y 有惟一
确定的值 y0 相对应，则称 y0 为 y f (x) 在 x0 处的函数
值，记作 y0
y x x0
f (x0 ).
函数值的集合，称为函数的值
域，记作 M .
2.函数的两个要素 函数的对应规律和定义域称为函数的两个要素. （１）对应规律
例 1 f (x)=2 x2+3 x 1 就是一个特定的函数， f 确定的对应规律为：
f （ ）=2( )2+3( )－1 .
例 2 设y = f (x)=1 sin1 ，求 f ( 2 )．
xx
π
解
y x2 π
f (2) π
π sin( 2
π) 2
π. 2
例 3 设 f (x +1)= x 2-3 x ，求 f (x) . 解 令 x 1 t ，则 x t 1,
若 f (x1) f (x2 )则称 f (x) 在 I 上单调减少，区间 I 称为单调减区间.
奇偶性
设函数 f (x)在某区间 I 上有定义，I 为关于原点对 称的区间，若对于任意 x I ，都有 f (x)= f (x) ， 则称 f (x )为偶函数；若f (- x )= - f (x) ，则称 f (x) 为奇函数.
(2) = u 与y = x 是相同的函数,因为对应规
律与定义域均相同.
3. 函数的表示法：表格法、图像法及公式法．
函数可以用至少三种不同的方法来表示：表格法、图 像法和公式法．
例 6 中央电视台每天都播放天气预报，经统计，某 地 1999 年 9 月 19 日—29 日每天的最高气温如下表所示．