空间几何体(知识点汇总)大全

数学必修（2）第一章《空间几何体》

1．空间几何体的类型

（1）多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

（2）旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。

2. 几种空间几何体的结构特征

（1）棱柱的结构特征

①棱柱的定义：一般的，有两个面互相平行，其余各面

都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平

行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互

相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做

棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面

与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四

边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五

棱柱……

②棱柱的分类

③棱柱的性质

<1>侧棱都相等，侧面是平行四边形；

<2>两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；

<3>过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；

<4>直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

图1-1 棱柱

④长方体的性质

长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上

三条棱的平方和：

AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12

⑤正棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是

由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的

矩形。

⑥棱柱的面积和体积公式

S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高)

S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底

V 棱柱 = S 底 ·h

（2）圆柱的结构特征

①圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋

转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体

叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的

边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面；平行于轴

的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋

转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧

面的母线。

②圆柱的性质

<1>上、下底及平行于底面的截面都是等圆；

<2>过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。

③圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 ④圆柱的面积和体积公式

S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)

S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2

V 圆柱 = S 底h = πr 2h

⑤棱柱与圆柱统称为柱体；

（3）棱锥的结构特征

①棱锥的定义

<1>棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各

面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面

所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫图1-3 圆柱

做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…

<2>正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

②正棱锥的结构特征

<1>平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

<2>正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；

<3>正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形)。

③正棱锥的侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 ④正棱锥的面积公式

S 正棱锥侧 = 2

1c h′ (c 为底面周长，h′为侧面斜高) S 正棱锥全 = 2

1c h′ + S 底面 ⑤棱锥的体积公式

V 棱锥 = 13

S 底面·h (h 为棱锥的高) （4）圆锥的结构特征

①圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在的

直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几

何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋

转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫

做圆锥的侧面。

②圆锥的结构特征

<1>平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径

之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；

<2>轴截面是等腰三角形；

<3>母线的平方等于底面半径与高的平方和：

222h r l +=

③圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。扇形弧长公式：r l ||α=；扇形面积公式：lr S 2

1=；（其中l 表示弧长，r 表示半径）

图1-5 圆锥

④圆锥的面积和体积的公式

S 圆锥侧 =π r ·l (r 为底面半径，l 为母线长)

S 圆锥全 = πr ·(r + l)

V 圆锥 = 13

πr 2·h (h 为圆锥高) ⑤棱锥与圆锥统称为锥体。

（5）棱台的结构特征

①棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截

棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥

的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；

棱台也有侧面、侧棱、顶点。

②正棱台的结构特征

<1>各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

<2>正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；

<3>正棱台的对角面也是等腰梯形；

<4>棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。

③正棱台的面积公式

S 棱台侧=2

n (a + b)·h′(a 为上底边长，b 为下底边长，h′为棱台的斜高，n 为边数) S 棱台全 = S 上底 + S 下底 + S 侧

④棱台的体积公式

V 棱台 = 13

(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、 S ′为上、下底面面积)

（6）圆台的结构特征

①圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆

锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底

面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 ②圆台的结构特征

<1>圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；

<2>圆台的截面是等腰梯形；

<3>圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。

③圆台的面积和体积公式

S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r 、R 为上下底面半径

) 图1-6 棱台

图1-7 圆台

S 圆台全 = π·r 2 + π·R 2 + π·(R + r)·l

V 圆台= 13(S ＋SS ′＋S ′)h= 13

(π r 2 + π R 2 + π r R) h (S 、 S ′为上、下底面面积，r 、R 为上、下底面圆的半径，h 为高)

⑤圆台和棱台统称为台体。

（7）球的结构特征

①球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转

轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，

简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的

半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

②球的结构特征

<1>球心与截面圆心的连线垂直于截面；

<2>截面半径等于球半径与截面和球心的距

离的平方差：r 2 = R 2 – d 2

③球与其他多面体的组合体的问题

球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：

<1>根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；

<2>找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；

<3>将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；

<4>注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长。 ④球的面积和体积公式

S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径)

V 球 = 43

π R 3 (R 为球半径) 3．投影

（1）投影、投影线和投影面：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中的光线叫做投影线，屏幕叫做投影面。

（2）中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。中心投影的投影线交于一点，它实质是一个电光源把一个图形射到一个平面上，这个图形的影子就是他在这个平面上的中心投影。

（3）中心投影的性质：

①投影线交于一点。②点光源物体越近，投影形成的影子越大。

（4）平行投影：我们把一束平行光线照射下形成的投影叫平行投影，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫斜投影。

图1-8 球

4．空间几何体的视图

（1）三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形，三视图是用平行投影得到。

①正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。

②侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。

③俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。

注意：<1> 俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。(简记“长对正、高平齐、宽相等”)

<2> 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。

<3> 球的三视图都是圆，长方体的三视图都是矩形．

<4> 圆柱的正视图、侧视图都是全等矩形，俯视图是圆．

<5> 圆锥的正视图、侧视图都是全等的等腰三角形，俯视图是圆及圆心．

<6> 圆台的正视图、侧视图都是全等的等腰梯形，俯视图是两个同心圆。

（2）直观图

①直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

②斜二测法做空间几何体的直观图

<1>建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的O x ，O y ，建立直角坐标系，即取∠xOy = 90°；

<2>画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的轴O′x′、O′y′，取∠x′O′y′ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平面；

<3>画对应图形，在坐标系x′O′y′中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x 轴的线段保持长度不变；平行于y 轴的线段长度减半。

<4>擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的

4

2倍。 ③解决关于直观图问题的注意事项

<1>由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”；

<2>由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。