小学数学 逻辑推理

逻辑推理

在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。

也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识。

所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。

例1 在一桩谋杀案中，有两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。

第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”

第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”

第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”

第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”

通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？

分析与解题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题的关键是：第四个人说了实话。

因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。

注意：像上面的例题，从众多的条件中抽取关键的条件，往往是进行分析和推理的突破口。

例2 某车间新调来三名青年工人，车间赵主任问他们三人的年龄。

小刘说：“我22岁，比小陈小2岁，比小李大1岁。”

小陈说：“我不是年龄最小的，小李和我差3岁，小李是25岁。”

小李说：“我比小刘年岁小，小刘23岁，小陈比小刘大3岁。”

这三位青年工人在他们每人说的三句话中，都有一句是错的。请你帮助赵主任分析出他们三人各是多少岁？

分析与解本题类似于例1，首先应找到解决问题的突破口。但本题又不完全同于例1，并不知道哪句话真，哪句话假。所以解决本题的首要目标是先确定一句话是真还是假。

经过审题，仔细分析这九句话，不难发现有两句话是相互矛盾的。一句话是小刘说的第一句话：“我22岁”，另一句话是小李说的第二句话：“小刘23岁”。这两句话不能都真，必有一句是假的。为了确定这两句话的真假性。可以先假设某一句为真，如果推不出矛盾，本题就获得了解决；如果推出矛盾，就说明这句话是假的，从而也就找到了突破口。

先假设小刘说的第一句话“我22岁”为真，那么小李说的第二句话“小刘23岁”就为假，因此小李的另外两句话就应该是真话，从“小陈比小刘大3岁”就推出小陈是25岁；又从“我比小刘年岁小”推出小李小于22岁。可是这样一来，小陈说的三句话中，“小李和我差3岁”和“小李25岁”这两句话都不能成立，这与本题中的要求（“每人说的三句话中，都有一句是错的”，即三句话中有两句话是真的）相矛盾。因此，小刘说的“我22岁”这句话是假的。

由于小刘说的第一句话是假的，所以后两句话就是真的。因此，小李说的第三句话“小陈比小刘大3岁”就是假的，所以，小李说的第二句话“小刘23岁”就是真的。于是就可以推出：小李22岁，小陈25岁，小刘23岁。

注意：这道题我们采用的解题方法是：先假设，然后根据已知条件，进行正确的推理。如果推出矛盾，则说明假设不合理，由此得到与假设相反的结果。如果由假设出发，没有推出矛盾的结果，则说明假设合理。这种方法就叫假设法，是我们解题中常用的一种方法，希望同学们能够掌握。

例3 四个人打桥牌，某人手中有13张牌，四种花色样样都有，四种花色的张数互不相同。红桃和方块共5张，红桃与黑桃共6张，有两张将牌（主牌）。试问这副牌以什么花色的牌为主牌？

分析与解这副牌的主牌不外乎就是红桃、黑桃、方块、草花这四种花色中的一种。

（1）假设红桃为主牌，那么红桃为2张，方块有3张，黑桃有4张，因为共有13张牌，所以草花有4张，这样，黑桃与草花的张数相同。与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾，因此，红桃不是主牌。

（2）假设方块为主牌，那么方块为2张，红桃有3张，黑桃也有3张，与已知条件“四种花色的张数互不相同”矛盾，因此，方块不是主牌。

（3）假设草花为主牌，那么草花有2张，并且推得红桃+黑桃+方块共有11张牌，而已知“红桃和方块共5张”，“红桃与黑桃共6张”，即得红桃+方块+红桃+黑桃共11张牌。由此得到红桃的张数应为0。与已知条件“四种花色样都有”相矛盾。说明草花不是主牌。

由以上推理得知：黑桃必为主牌。即黑桃有2张，可求出红桃有4张，方块有1张，那么草花有6张。

注意：本题所用的方法，是把所有不满足要求的都排除掉，剩下的就是满足要求的。这种解决问题的方法在数学中也是常见的，有时人们把它叫做筛法。在解决例3的过程中还用到了前面提到的假设法。

例4 有三个盒子，甲盒装了两个1克的砝码，乙盒装了两个2克的砝码，丙盒装了一个1克、一个2克的砝码。每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的。聪明的小明只从一个盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了。你知道这是为什么吗？

分析与解解决本题的关键是确定打开哪只盒子。

（1）若打开的是标有“两个1克砝码”的盒子。取出一个砝码放在天平上称一下，它可能是1克的，也可能是2克的。

①若是1克的砝码，那么甲盒的真实内容为“一个1克砝码、一个2克砝码”，那么乙盒的真实内容为“两个1克砝码”，两盒的真实内容为“两个2克砝码”。

②若是2克的砝码，那么甲盒的真实内容为“两个2克砝码”或“一个1克砝码、一个2克砝码”，无法对其真实内容作出准确的判断。

（2）若打开的是标有“两个2克砝码”的盒子。放到天平上称过以后，它可能是1克的，也可能是2克的。

①若是1克的砝码，那么乙盒的真实内容为“两个1克砝码”或“一个1克砝码、一个2克砝码”，无法对其真实内容作出准确的判断。

②若是2克的砝码，那么乙盒的真实内容为“一个1克砝码、一个2克砝码”，那么甲盒的真实内容为“两个2克砝码”，丙盒的真实内容为“两个1克砝码”。

根据上面两种情况的分析，可以确定打开的既不是标有“两个1克砝码”的盒子，也不是标有“两个2克砝码”的盒子，因为它们都不能完全确定这三个盒子的真实内容。因此，打开的应是标有“一个1克砝码、一个2克砝码”的盒子。