均匀滤波器组技术

均匀滤波器组技术引言随着通信技术的广泛应用与快速发展，信号处理系统中数字信号处理、传输和存储的数据量越来越大，为了减少计算量，节省存储空间，降低信号处理的复杂度，常常需要对信号的抽样率进行转换，由此，多速率信号处理的技术应运而生。

对于高复杂度的数字信号处理，为了能够采用低成本的数字信号处理结构，有时需要在系统的不同阶段改变抽样频率，使用可变抽样率来实现数字信号处理应用，就称为多速率数字信号处理。

[1]这种系统广泛应用于图像编码、语音编码、雷达、信道化等多个领域。

而此项技术的发展与滤波器组技术的发展紧密相关，正是由于这些技术的快速发展使得多速率系统的处理效率越来越高，因此，我们有必要对滤波器组的相关技术进行深入了解。

滤波器组理论起源于上世纪八十年代，经过近三十年的发展，理论逐渐趋于成熟。

1984——1986年，Smith 和Mintze 各自独立地研究了两通道完全重构滤波器组的设计方法[2][3]；1987年V aidyanathan 系统地提出了M 通道正交滤波器组的理论，并给出了FIR 无损(lossless)系统的格型(lattice)结构[4]；1989年，Nguyen 和V aidyanathan 提出了一种双正交的两通道线性相位滤波器组，并给出了相应的格型分解结构[5]；1995年，Lin 等提出了线性相位余弦调制滤波器组的设计方法[6]；1999年，Helle 等人在总结前人工作的基础上给出了调制滤波器组的一般性理论框架[7]；同年Karp 和Fliege 提出了改进的DFT 滤波器组的完全重构理论[8]； 21世纪以来，对滤波器组的研究工作更多的集中在了如何在现有结构和设计方法的基础上利用优化的方法对其进行改进。

此外，非均匀滤波器组自上世纪九十年代以来得到了快速发展，由于非均匀滤波器理论的发展与小波变换紧密相连[9][10]，且均匀滤波器组是非均匀滤波器组的基础，所以，本文重点对均匀滤波器组进行介绍。

滤波器组技术以信号重建理论为基础，在滤波器组抽取和内插的过程中，信号会产生三种失真：混叠失真、幅度失真和相位失真。

信号的完全重建是指当滤波器组的传输函数为纯延迟时，系统可以完全重建（perfect reconstruction ）原信号，也称为（PR 系统）。

因此，本文首先要对信号重建的基本理论作必要的介绍。

另外，文中还将对几种典型的滤波器组进行归纳和分类。

从功能上看，滤波器组可分为分析滤波器组和综合滤波器组；从结构上看，可以分为树形结构和平行结构；从滤波器设计角度上看，还可以分为正交镜像滤波器组，仿酉滤波器组和调制滤波器组等。

本文分别对各种滤波器组进行对比，以期给相关研究人员提供指导意见。

1.信号完全重建对于给定的一个信号经过分析滤波器组后，再进行其他的相关操作，最后还可以通过综合滤波器组恢复和重建信号。

但是重建后的信号，往往不能与原信号完全相同，两者之间主要存在以下三种误差[11]：（1）混叠失真（alias distortion ）：主要是由于抽取产生的混叠带来的误差； （2）幅度失真（amplitude distortion ）：由滤波器幅频特性产生的误差； （3） 相位失真（phase distortion ）：由滤波器相频特性非线性造成的误差。

信号的重建是指系统最终输出的信号1()x nT ∧与系统输入的信号1()x nT 有如下关系：101()[()]x nT cx n n T ∧=-式中c 和0n 都是固定的常数。

也就是说，输出信号是输入信号的延迟，仅仅在幅度上两者有常数c 的差异。

其对应的频域关系如下：0()()n X z cz X z ∧-=x (n y (n )图1 两通道滤波器组Figure 1 Two-channel filter banks根据上图中两通道滤波器组的结构，从频域对系统的传输函数进行分析，可得： 0011001111()[()()()()]()[()()()()]()22X z H z G z H z G z X z H z G z H z G z X z ∧=++-+--通过上式可以看出由抽样率的转换而带来的混叠，即上式右侧第一项是输入信号()X z 对输出信号()X z ∧的贡献，右侧第二项则是输入信号()X z 的混叠分量对()X z ∧的贡献。

为了实现信号的重构，首先要保证输出信号()X z ∧无混叠成分，即：0011()()()()0H z G z H z G z -+-=取满足上式中滤波器传输函数最简单的情况：0110()(),()()G z H z G z H z =-=--则：01101()[()()()()]()2X z H z H z H z H z X z ∧=-+-令0110()[()()()()]T z H z H z H z H z =-+-如果()T z 的幅频响应为常数，无幅度失真，且相频响应为线性相位，则该滤波器组称为相位保持滤波器组。

如果无混叠滤波器组既无幅度失真又无相位失真，则称为完全重建滤波器组。

通常人们希望通过系统后，信号能够完全重建，但是由于不同的应用场景有不同的要求，有时更注重系统的计算量与效率，有时更希望得到大的阻带衰减，由于难以满足所有的要求，人们只能在满足一定条件的前提下，使信号通过系统后实现近似重建。

2.分析与综合滤波器组滤波器组是一组拥有共同输入或输出信号的一组滤波器。

其中有一个输入多个输出，将信号进行子带分解的滤波器组，称为分析滤波器组；有一个输出多个输入，将输入信号进行整合重构的滤波器组，则称为综合滤波器组。

[12]其结构示意图如下图所示：x (n )x 0(n )x 1(n )x M-1(n )0()x n ∧1()x n ∧1(M x n ∧-()x n ∧(a)分析滤波器组(b)综合滤波器组图2 分析滤波器组与综合滤波器组Figure 2 Analysis and synthesis filter banks图2(a)中所示的是一个具有共同输入信号的滤波器组。

输入信号()x nT 进入M 个通道，每个通道中有一个滤波器(),0,11k H z k M =- 。

设()x nT 为一个宽带信号，经过各个通道中的带通滤波器后，被分为K 个子带信号，(),0,11k x n k M =- ，这样的滤波器组称为分析滤波器组。

滤波后各通道的输出信号为窄带信号，因此，信号的抽样率被降低。

如果输入信号()x nT 是一个满带信号，其频谱占满π-到π的区域，而各通道的子信号具有相同的带宽B ，也就是说2B M π=，则抽样率最多可降低为1M T ，如果抽样率低于1M T，则必将出现混叠。

所以，各个通道滤波后的信号最大可进行M 倍的抽取，即抽取因子D M ≤，我们将D M =的抽取称为最大抽取。

具有多个输入信号和一个共同输出信号的滤波器组称为综合滤波器组，如图2(b)所示。

综合滤波器组的输入信号为(),0,11k x n k M ∧=- ，对信号先进行零值内插，经综合滤波器后保留了所需的子带，得到相应子带信号，再将其相加起来，就得到所求的综合信号()x n ∧。

为了提高系统的效率，可以把滤波器组设计为多相结构，无论是分析滤波器组还是综合滤波器组都有Ⅰ型和Ⅱ型两种结构[13]。

另外，还可以把多相结构转换为高效结构，即把数据量较小的一端通过滤波器组，下图中(b)与(a)相比，其计算量减少了一半。

))(a)两通道分析滤波器组的多相结构(b)两通道分析滤波器组的高效结构图3 两通道滤波器组的多相与高效结构Figure 3 The structure of polyphase and efficient two-channel filterbanks3.滤波器组分类随着多速率滤波器组理论的发展，各种类型的滤波器组开始出现，人们对这些滤波器组的改进都是围绕信号重建、计算量和滤波器通带阻带特性这几个问题来进行的，希望能够在完全重建的基础上得到高效和大阻带衰减的滤波器组。

本文将介绍几种常用的滤波器组，这些滤波器组满足完全重建或近似重建的要求，并且性能也比较出众，是近年来人们研究滤波器组的热点。

3.1正交镜像滤波器组这类滤波器组是相对提出较早的滤波器组，其中共轭正交镜像滤波器组的提出首次满足了完全重建的条件。

这类滤波器组的优点是设计相对较为简单，由于其滤波特性取决于原型滤波器的特性，所以它的设计就可以简化为原型滤波器组的设计，并且易于实现完全（或近似）重构。

由正交镜像滤波器组构成的多通道滤波器组，分为树形结构和平行结构两种。

其中树形结构的延迟较大，计算量随级数的增加成幂次方增长，但其滤波特性可由两通道滤波器组的特性推断，易于实现完全重建。

平行结构虽然计算量相对较小，但设计复杂，若实现完全重建，则滤波器不能实现较窄的过渡带，且阻带衰减也不够大。

下面将对两种常见的正交镜像滤波器组进行分析。

3.1.1标准正交镜像滤波器组一个两通道标准正交镜像滤波器（quadrature mirror filter ，QMF ）组结构与普通的两通道滤波器组相同，但其两个滤波器的幅频特性0()j H e ω与1()j H e ω关于2π成镜像对称，所以才称之为正交镜像滤波器组。

它具有的特殊频响特性可使整个系统的假频效应获得抵消，加之这些带通滤波器均可从一只低通原型滤波器导出，执行这些滤波器时许多计算部分可以共用，从而使整个系统的结构大为简化[14]。

图4 两通道正交镜像滤波器幅频响应Figure 4 Amplitude frequency response of two-channel QMFs上图是两通道正交镜像滤波器组的幅频响应示意图，从图中可以看出0()j H e ω是一个低通滤波器，而1()j H e ω是一个高通滤波器。

由信号重建理论可得，两通道标准正交镜像滤波器组（QMFB ）是一个无混叠输出的系统。

如果用FIR 滤波器实现此系统，则很容易得到线性相位的相频响应。

但是对其幅频响应进行分析可知，如果要求系统无幅度失真，则0()j H e ω与1()j H e ω的幅频特性是不能得到陡峭的通带边缘，阻带也不能尽快衰减，也就是说这样的线性相位滤波器是没有实用意义的。

所以，只能利用优化的理论，来设计近似满足无幅度失真的FIR 线性相位滤波器[15]。

文献[16]则证明了奇数阶椭圆低通半带滤波器可以满足无幅度失真的条件，并可以得到陡峭的通带边缘，但只能通过非线性优化，尽量减小相位失真。

因此，QMFB 只能近似满足完全重建。

人们对QMFB 的设计焦点主要集中于对原型滤波器的改进，或是通过优化方法调整滤波器系数[17]-[20]来得到需要的滤波器组。

3.1.2共轭正交镜像滤波器组在QMFB 的基础上，有人又提出了另一种设计[21]，使滤波器的响应满足下式：(1)110()()N H z z H z ---=- 1()H z 的定义与QMFB 中1()H z 的定义的幅频特性一样，只是在相频特性上不同，由于1z -是z 的共轭，所以称其为共轭正交滤波器组。