高等数学(下)期中考试题及答案

f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．
(一)高等数学(下)期中考试试卷(I)
试
一、填空、选择题 1．如果函数 f ( x, y ) 满足如下条件中的
x→ x0 y → y0
题
，则该函数在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续．
(A) lim f ( x, y0 ) = f ( x0 , y0 ) 且 lim f ( x0 , y ) = f ( x0 , y0 ) ． (B) f ( x, y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处沿 l 方向有
D1 + D2
∫∫ (x
2
+ y2 dσ +
)
D3 + D4
∫∫ xy d σ ．
π
4
D3 + D4
∫∫ xy d σ = 0 ，故
2
I=
D1 + D2
∫∫ (x
2
+ y d σ = 2 ∫∫ x + y d σ = 2 ∫ π d θ ∫ ρ 3 d ρ =
2 2
D1
)
(
)
3π 4 4
1
0
．
七、 Ω 在 xOy 面上的投影区域为 D ： x + y ≤
解得 x = y = r , z =
3r ．即在 (r , r , 3r ) 点处，函数达到最大，其最大值为 max f = f (r , r , 3r ) = 3 3r 5 ．
六、两直线 | y |=| x | 将 D 划分为有 y 轴穿过的上下四分之一圆盘记为 D1 与 D2 ，有 x 轴穿过的左右四分 之一圆盘记为 D3 与 D4 ，则 I = 由对称性，
∂f ． ∂l
(C) f ( x, y ) 有偏导数 f x ( x0 , y 0 ) ， f y ( x0 , y0 ) ． (D) f ( x, y ) 在 ( x 0 , y 0 ) 处可微分． 2． 设函数 f ( x, y, z ) 可微分且 f x (0,0,0) = 1 ， f y (0,0,0) = 2 ， f z (0,0,0) = 3 .如果 u = f ( x, sin x, tan x) ， 则
⎧ xy , ( x, y ) ≠ (0, 0) , ⎪ 在点 (0, 0) 处（ 7．二元函数 f ( x, y ) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ 0, ( x, y ) = (0, 0) ⎩ (A)连续、偏导数存在． (C)不连续、偏导数存在． (B)连续、偏导数不存在． (D)不连续、偏导数不存在．
f ( x) d x ，则 F ′(2) = (D) 0．
．
(A) f (2) ．
3
(B) 2 f (2) ．
(C) − f (2) ．
y⎞ ∂2z ∂z ⎛ 二、设 z = x f ⎜ xy, ⎟ ， f 具有二阶连续偏导数，求 和 2 ． ∂y ∂y x⎠ ⎝
三、设有螺旋线 x = 2 cos t ， y = 2 sin t ， z = ⑴ 求出螺旋线上点 M ( 2 ,
故 d x : d y : d z = 1: −1: 0 ，因此切线的方向向量为 (1, −1, 0) ，所求切线的对称式方程为
x −1 y −1 z +1 ． = = 1 0 −1
6．
∫
2 0
d x∫
2x
x −2 x
2
f ( x, y ) d y =
∫
0
−1
d y∫
1+ y +1 1− y +1
v
6．设 f ( x, y ) 为连续函数，若交换积分次序，则 二、设 f ( x − y , ln x) = ⎜1 −
．
∫
2 0
d x∫
2x x −2 x
2
f ( x, y ) d y =
．
⎛ ⎝
∂f ∂f y ⎞ e x− y ，写出 f ( x, y ) 的表达式并求 与 ． ⎟ x ⎠ x ln x ∂x ∂y
4
π
t．
G 2 , 1) 处的指向朝下的单位切向量 eτ ；
⑵ 求出螺旋线上点 M 处的切线方程； G ⑶ 求函数 u = x + 2 y + 3z 在点 M 处沿方向 eτ 的方向导数．
四、设闭曲面 Σ 的方程为 F ( x, y, z ) = 0 ，其中 F ( x, y, z ) 具有一阶连续偏导数且三个偏导 数不同时为零．点 P ( x1 , y1 , z1 ) 为 Σ 外一点．若点 Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为 Σ 上离开点 P 最近的一点， 试用拉格朗日乘子法证明：直线 PQ 为曲面 Σ 在点 Q 处的法线． 五、计算二重积分 ∫∫ ( x 2 y 3 + e x ) d x d y ，其中 D 为由直线 y = x ， y = − x 和 x = 1 所围成的闭
2 2 2
位法向量为 ± ⎜
1 1 ⎞ ⎛ 3 ,− ,− ⎟． 11 11 ⎠ ⎝ 11
⎧x 2 + y 2 + z 2 = 3, 两端求微分，并代入点的坐标，得 5．对 ⎨ ⎩x + y + z = 1
⎧d x + d y − d z = 0 , ⎨ ⎩d x + d y + d z = 0 ,
2
D
区域． 六、计算三重积分 ∫∫∫ x 2 + y 2 d v ，其中 Ω 为由锥面 z = x 2 + y 2 ， z =
Ω
(
)
1 2 x + y 2 和平面 2
z = 1 所围成的闭区域．
七、求过点 M (−1, 0, 4) 且平行于平面 3x − 4 y + z − 10 = 0 ，又与直线 的直线的方程．
(二)高等数学(下)期中考试试卷(II)
试
一、填空、选择题
题
1．函数 z = ln(1 + x 2 + y 2 ) 在点 (1, 2) 处的全微分是
． ． ．
2．曲面
x2 + y2 − z 2 = 1 在点 M (1, 1, 0) 处的切平面方程是 2
3．设 f ( x, y ) = e xy + x ln y ，则 grad f (1, 2) =
） ．
8．根据判定极值的充分条件，函数 f ( x, y ) = 2 x 2 − xy + 3 y 2 + 5 在点 (0, 0) 处（ (A)取得极大值． (C)不取得极值． 9．设 f ( x) 为连续函数， F (t ) = ∫ d y ∫
1 t t y
） ．
(B)取得极小值． (D)不能判定是否取得极值．
4．设 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 上连续，则由积分中值定理，在 D 上至少存在一点 (ξ , η ) ，
使 ．
1 1− y y −1
2
5．将二次积分 I = ∫ d y ∫
0
f ( x, y ) d x 交换积分次序，得 I =
．
．
⎛ x2 y2 ⎞ 6．设 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ R 2 } ，则 ∫∫ ⎜ ⎟d xd y = ⎜ 2 + 3 ⎟ ⎠ D ⎝
=
3
(
)
所求切线方程为
x y z x −1 y +1 z −1 = = ． = = 与 −2 1 0 0 1 3
(2)取 M 1 (0 ,0 ,0 ) ， M 2 = (1 , − 1 , 1) ， M 1 M 2 = (1 , − 1 ,1 ) ．所求距离为