第二章正弦交流电路及应用

瞬时值是变量，注意要用小写英文字母表示。
最大值 U m、I m
正弦量振荡的最高点称为最 大值，用Um(或Im)表示。
Um
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有效值
i
U、I
R I R
有效值是指与正弦量热效应相同的直流电数值。
交流电流i 通过电阻R时， 在t 时间内产生的热量为Q；
直流电流I通过相同电阻R时， 在t 时间内产生的热量也为Q。
例：正弦量i=14.1sin(ωt+36.9°)A的最大值相量表示为：
I m 14.1/ 36.9A
其有效值相量为： 10/ 36.9A I 由于一个电路中各正弦量都是同频率的，所以相量只需 对应正弦量的两个要素即可。 即模值对应正弦量的最大值或有效值，
幅角对应正弦量的初相位。


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di dt
电感元件上
u超前i 90°
u、i 最大值的数量关系为： U m I mL
u、i的有效值关系式： I
U U L 2fL
上式称为电感元件上的欧姆定律表达式。
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U U U I 2fL L X L
X L L
电感元件的电抗，简称感抗 感抗反映了电感元件对正弦交流电 流的阻碍作用 单位也是Ω
(3)正弦量的相量图表示法
按照各个正弦量的大小和初相位的关系 在复平面中用有向线段画出的图形，称为相量图。
， 已知两正弦量 u1 2U1 sin t 1 ，u 2 2U 2 sin t 2
把它们表示为相量后画在相量图中。 两电压的有效值相量为 U 1 U1 1 , U 2 U 2 2 画在相量图中： 熟练后可直接画作
u u1 u2 u3 u4
不能！ 因为180V的正弦交流电， 其最大值≈255V >180V!
何谓反相？同相？ 超前？滞后？
u1与u2反相，即相位差为180°； ωt u3超前u190°，或说u1滞后u390°， 二者为正交的相位关系。 u1与u4同相，即相位差为零。
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习题1
• 教材P70
– 2-1 – 2-2
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补充内容：复数的运算
A 6 j8 B 3 j 4
C 10 30 D 6135
A+B= A-B= A· B=
C+D= C-D= C· D=
A/B=
C/D=
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(2)正弦量的相量表示法
与正弦量相对应的复数形式的电压和电流称为相量。 为区别与一般复数，相量的顶上一般加符号“· ”。
U m I m R 或 U IR
相量关系式：
相量图：
I

u、i的最大值或有效值之间 符合欧姆定律
U U0 U 0 I0 R R R
I
U
电工技术 电阻元件上的功率关系 1)瞬时功率 p
i 2 I sin ( t ) u 2 U sin ( t )
瞬时功率用小写！
m m m m
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(3) 正弦交流电的相位、初相位和相位差 相位
u Um sin( t u ) u Um si n( t u )
相位是随时间变 化的电角度，是 时间t 的函数。
显然，相位反映了正弦量随时间变化的整个进程。
初相位
初相是对应 t =0时 的确切电角度。
初相位确定了正弦量计时始的位置 初相位规定不得超过±180°。

正弦量与纵轴相交处若 在正半周，初相为正。
-
正弦量与纵轴相交处若 在负半周，初相为负。
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相位差 u U m sin( t u ), i I m sin( t i ) u、i 的相位差为： (t u ) (t i )
利用相量图辅助分析， 根据平行四边形法则， 由相 U 量图可以清楚地看出： 根据直角三角 U1sinψ1+U2sinψ2 形的勾股弦定理： U2
U (U1 cos 1 U 2 cos 2 ) 2 (U1 sin 1 U 2 sin 2 ) 2
2 U1
1
夹角φ arctan
+j



U2
U2

2 1
U1
U1 1
2
0
1
选定某一个量为参考相量，另一个量 +1 则根据与参考量之间的相对位置画出。
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利用相量图中的几何关系，可以简化同频率正弦量之 间的加、减运算及其电路分析。举例如下：
已知u1 2U1 sin t 1 ，u2 2U2 sin t 2 ，求u u1 u2。
极坐标形式如何化 为代数形式？
相量等于正弦量 的说法对吗？ 正弦量的解析式 和相量式之间能 用等号吗？
利用几何图形关系： a jb A 利用三角函数关系： A a jb
A a 2 b 2， tg 1
b a
a A cos， Asin b
不对！相量和正弦量之间只有对应关系，没有相等 之说。因此，解析式和相量式之间不能画等号！
相位差不得超过±180°!
注 意 不同频率的正弦量之间不存在相位差的概念。
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何谓正弦量的三要素？ 它们各反映了什么？
耐压为220V的电容器 ，能否用在180V的正 弦交流电源上？
正弦量的三要素是指它的最大值、角 频率和初相位。最大值反映了正弦量 的大小及做功能力；角频率反映了正 弦量随时间变化的快慢程度；初相确 定了正弦量计时始的位置。
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– 2-6
– 2-7
– 2-8 – 2-16
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2.2 正弦交流电的表示方法
正弦量可用相量形式来表示。
【复平面】
Im
u
ω
0
A
u U m sin t

Um
Re

正弦量的最大值对应复数A的模值； 正弦量的初相与复数A的幅角对应； 正弦量的角频率对应复数A绕轴旋转的角速度ω； 显然，复数A就是正弦电压u 的相量。 二者具有一一对应关系。
显然，两个同频率正弦量之间的相位之差，实际上等 于它们的初相位之差。 0, 相位超前， u i ,电压超前电流
u i
相 位 关 系
0, 相位滞后， u i ,电压滞后电流 0,同相， u i ,电压电流同相 180, 反相， u i - 180,电压电流反相
2f
2 T
三者是从不同的角度反映的同一个问题： 正弦量随时间变化的快慢程度
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(2) 正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值 瞬时值 u、 i
正弦量随时间按正弦规律变化，对应各个时刻的数 值称为瞬时值，瞬时值是用正弦解析式表示的，即：
u U m sin(t u ) i I m sin(t i )
U1 sin 1 U 2 sin 2 U1 cos 1 U 2 cos 2
由相量与正弦量之间的对应关系最后得 u u1 u2 2U sin(t ) U1cosψ1+U2cosψ2
三角函数运算由几何分析运算所替代，化复杂为简单！
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如何把代数形式变 换成极坐标形式？
4 B 3 j 4 B 5180 arctan 3 +1 4 第三象限 C 3 j 4 C 5 arctan 180 3 4 第四象限 D 3 j 4 D 5 arctan 3
第二象限
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第二章 正弦交流电路及应用
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主要内容
• • • • • • • 1.正弦交流电路的基本概念 2.正弦交流电的表示方法 3.单一参数的正弦交流电路 4.RLC串联电路 5.RLC并联电路 6.功率因数的提高 7.谐振电路
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2.1 正弦交流电路的基本概念
大小和方向均随时间变化的电压或电流称为交流电。
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复数的运算法则
设有两个复数分别为： A a a1 jb1 A
B B b a2 jb2
A、B加、减、乘、除时运算公式如下： A B (a1 a2 ) j (b1 b2 )
A B (a1 a2 ) j (b1 b2 ) A B AB a b A A a b B B
2 2 1
b a
a A cos， Asi n b
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已知复数A的模A=5，幅角=53.1°，试写出复数A 的极坐标形式和代数形式表达式。 根据模和幅角可直接写出极坐标形式：A=5/53.1° 实部 a1 5 cos53.1 3 虚部 a2 5 sin 53.1 4 由此可得复数A的代数形式为： A 3 j 4
可见，额定电压相同时，瓦数越大的灯泡，其灯丝电阻越 小。而电压一定时，瓦数越大向电源吸取的功率越多，视其 为大负载。学习时一定要区别大电阻和大负载这两个概念。
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2. 电感元件
电感元件上的电压、电流关系： u L
i uL
L
电流、电压的瞬时值表达式： 设 i I m sin t di 则 u L I mL cost U m si n ( t 90 ) dt
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习题2
• 教材P70
– 2-4 – 2-5 – 2-9
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2.3 单一参数的正弦交流电路
1. 电阻元件
i
u
R
电阻元件上的电压、电流关系: u i 欧姆定律的交流表达式 R 电流、电压的瞬时值表达式： 设 i I m sin t 电阻元件上 则 u I m R sin t U m sin t u、i 同相！