“分段函数”教学设计与教学反思
新人教版九年级数学《分段函数》教案
新人教版九年级数学《分段函数》教案一、教学目标1. 了解分段函数的定义和特点。
2. 能够根据给定的函数图像和定义，确定其函数表达式。
3. 掌握分段函数的图像绘制方法。
4. 能够应用分段函数解决实际问题。
二、教学内容1. 分段函数的概念和定义。
2. 分段函数的图像绘制方法。
3. 分段函数的应用实例。
三、教学重难点1. 学生理解和掌握分段函数的定义和特点。
2. 学生能够根据给定的函数图像和定义确定其函数表达式。
3. 学生能够灵活运用分段函数解决实际问题。
四、教学过程第一节：分段函数的概念和定义教学内容：1. 介绍分段函数的概念和定义。
2. 分析分段函数在数学和实际生活中的应用。
教学步骤：1. 引入分段函数的概念，让学生了解其基本定义。
2. 呈现一些实际问题，引导学生思考如何用分段函数来描述和解决。
3. 给出一些例子，让学生通过观察图像和函数表达式，归纳分析分段函数的特点。
第二节：分段函数的图像绘制方法教学内容：1. 讲解分段函数的图像绘制方法。
2. 给出一些例题和练，巩固学生的图像绘制能力。
教学步骤：1. 介绍如何根据分段函数的定义绘制函数图像。
2. 演示一些例题的图像绘制过程，引导学生掌握方法和技巧。
3. 让学生进行练，检验他们的图像绘制能力。
第三节：分段函数的应用实例教学内容：1. 利用分段函数解决实际问题的应用实例。
2. 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学步骤：1. 提供一些实际问题，让学生思考如何建立并求解相应的分段函数。
2. 引导学生分析问题的关键点和解题思路。
3. 给出一些实际应用实例的解题步骤和方法，让学生进行练。
五、教学评价1. 课堂参与情况和学生的讨论能力。
2. 学生的作业完成情况和正确率。
3. 学生在应用实例解题中的能力表现。
六、教学资源1. 教案和课件。
2. 分段函数的相关练题和题册。
七、拓展延伸1. 学生可以进一步探究其他类型的函数，如绝对值函数和指数函数的分段定义和图像特点。
湘教版数学八年级下册《4.5分段函数》教学设计
湘教版数学八年级下册《4.5分段函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.5分段函数》是学生在掌握了函数概念、一次函数、二次函数的基础上，进一步学习分段函数的基本概念、表示方法和性质。
分段函数是实际问题中较为常见的一种函数形式，对于培养学生解决实际问题的能力具有重要意义。
本节课的教学内容主要包括分段函数的概念、分段函数的表示方法、分段函数的性质及分段函数的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一次函数、二次函数的基本知识，具备了一定的函数观念。
但是，对于分段函数这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例来引导学生理解和掌握。
此外，学生对于函数的表示方法和解题策略已有了一定的基础，但如何在实际问题中灵活运用分段函数的知识，还需在本节课中进一步拓展和提高。
三. 教学目标1.理解分段函数的概念，掌握分段函数的表示方法。
2.了解分段函数的性质，能够运用分段函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分段函数的概念和表示方法。
2.分段函数的性质及其应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解分段函数的概念和应用。
2.讲练结合法：在讲解分段函数的基本概念和性质时，结合典型例题进行讲解，提高学生的解题能力。
3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生直观地理解分段函数的概念和性质。
2.典型例题：挑选具有代表性的例题，用于讲解和练习。
3.学习资料：为学生提供相关的学习资料，以便于课后巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如出租车计费问题，引出分段函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍分段函数的概念，讲解分段函数的表示方法，如分段函数的解析式和图象。
3.操练（10分钟）针对分段函数的性质，如单调性、奇偶性等，挑选典型例题进行讲解和练习。
分段函数 初中八年级下册数学教案教学设计课后反思 人教版
§19．2 一次函数----------分段函数（授课：聂博）教学目标（一）教学知识点１．了解一次分段函数的概念。
2. 掌握如何求分段函数解析式，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象。
3.能综合利用一次分段函数解析式与图象分析并解决实际问题。
（二）能力训练目标１．经历分段函数应用过程，提高研究数学问题的技能。
２．体验数形结合，逐步学习利用这一思想分析解决问题。
３．体会分类讨论思想的应用。
（三）情感与价值观要求１．积极参与活动，提高学习兴趣。
２．养成实事求是、具体问题具体分析的习惯。
教学重点１．确定一次函数解析式。
建立函数模型解决实际问题。
２．灵活运用知识解决相关问题。
教学难点对数形结合思想的领会，提升分析解决问题的能力。
教学方法：讲练结合，归纳─总结学法：实践─应用─创新。
教具准备多媒体演示。
教学过程一、复习回顾：我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的求法及图象特征。
现在请同学们完成下面各题：１、填空题：(1) 有下列函数：①y=6x-5, ②y=5x ,③y=x+4 , ④ y=-4x+3 。
其中过原点的直线是_____；函数y随x的增大而增大的是___________；函数y随x的增大而减小的是______；(2)、如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么k的值为________。
2、待定系数法求一次函数解析式的步骤是？二、问题情景：有这样一个问题，大家来分析思考，寻求解决的办法。
小亮在超市的糖果柜台看见某种糖果特价：该糖果的价格为5元／千克，如果一次购买2千克以上，超过2千克部分的糖果的价格打8折，请帮他完成下面问题：1（1（2）写出购买糖果数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数图象。
思考：⑴付款金额y随数量x变化的规律是否一直不变？若不是，该怎样分？分成几段？x的相应范围是多少？⑵函数解析式是否应相应地写出几个？函数图象有几部分构成呢？小结：在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系式（或图象）也不相同，我们称这样的函数为分段函数。
高中数学讲解分段函数教案
高中数学讲解分段函数教案
一、教学目标：
1. 理解分段函数的概念；
2. 能够根据图像和定义求分段函数的值；
3. 能够解决实际问题中涉及到分段函数的计算和应用。
二、教学重点与难点：
重点：掌握分段函数的概念及应用方法；
难点：理解分段函数的图像和定义。
三、教学过程：
1. 概念引入
示意图展示，引导学生思考分段函数的概念，并举例说明分段函数的应用场景。
2. 分段函数的定义
通过简单的例题，引导学生理解分段函数的定义，并让学生学会根据定义求分段函数的值。
3. 分段函数的图像
通过绘制分段函数的图像，让学生直观感受分段函数的特点，掌握函数图像的变化规律。
4. 分段函数的计算与应用
练习题目，让学生熟练掌握分段函数的求解方法，并能够灵活运用于实际问题中。
四、教学总结：
总结分段函数的概念和应用方法，强调分段函数在解决实际问题中的重要性和实用性。
五、课后作业：
1. 完成练习题目，并总结解题方法；
2. 梳理课堂知识点，做好笔记。
六、扩展拓展：
扩展分段函数的应用领域，如金融、经济等领域中的分段函数应用案例，激发学生对分段函数的兴趣和学习积极性。
高中数学分段函数总结教案
高中数学分段函数总结教案教学内容分析：分段函数是高中数学中的一个重要内容，通过本课的学习，学生将能够掌握分段函数的定义、性质、图像及求解等知识。
本节课将对分段函数进行总结，让学生加深对分段函数的理解，同时通过解题训练提高学生的分析和解决问题的能力。
教学目标：1. 知识与技能：掌握分段函数的定义、性质及图像等知识，能够准确解析和应用分段函数进行实际问题的求解。
2. 过程与方法：培养学生分析问题的能力，引导学生探索问题解决的方法和思路。
3. 情感态度与价值观：培养学生勤奋学习、积极思考、团结合作的学习态度，促进学生的创新意识和实践能力的提升。
教学重点和难点：重点：分段函数的定义，性质及图像。
难点：分段函数的解析与应用。
教学过程设计：一、导入环节（5分钟）教师引导学生回顾分段函数的定义和性质，提出本节课的学习内容和目标。
二、知识讲解（15分钟）1. 分段函数的定义及性质；2. 分段函数的图像特点；3. 分段函数的求解方法。
三、示例讲解（15分钟）教师通过具体的例题，演示如何解析和应用分段函数进行求解。
四、练习环节（15分钟）学生进行课堂练习，巩固所学知识，提高解题能力。
五、反馈与讨论（10分钟）教师与学生一起总结学习内容，讨论学习中的问题及解题思路。
六、拓展延伸（5分钟）教师引导学生进行延伸思考，拓展分段函数的应用领域，提高学生的分析与解决问题的能力。
七、作业布置（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生对分段函数的定义、性质及图像等知识有了更深入的理解，能够运用所学知识解答实际问题。
同时，学生在课堂练习中也提高了解题的能力。
在以后的教学中，需要引导学生多进行实际问题的应用，提高学生的解决问题的能力及创新思维。
初中数学分段函数教案
初中数学分段函数教案教学目标：1. 理解分段函数的概念和特点；2. 能够正确理解和运用分段函数的解析式；3. 能够解决与分段函数相关的实际问题。
教学内容：1. 分段函数的概念和特点；2. 分段函数的解析式的表示方法；3. 分段函数的实际应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的概念，复习常量与变量的含义；2. 提问：我们已经学过函数的概念和表示方法，那么有没有遇到过一种函数，它的表达式不是一直不变的呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解分段函数的概念：分段函数是一种特殊的函数，它的定义域被划分为几个区间，每个区间上函数的表达式可能不同；2. 举例说明分段函数的特点：每个区间上的函数表达式可以是不同的，且在每个区间的边界点上，函数值是连续的；3. 讲解分段函数的解析式的表示方法：用分段的方式来表示函数的表达式，通常使用区间符号来表示不同区间的函数表达式。
三、实例分析（15分钟）1. 给出一个实际问题：一个物体从静止开始做直线运动，加速度为常数a，求物体在任意时刻t的速度v；2. 引导学生分析问题：物体在不同的时间段内速度的变化可能不同，需要分段来考虑；3. 引导学生列出分段函数的解析式：根据物体的运动方程，可以得到速度v与时间t的分段函数解析式。
四、练习与讨论（15分钟）1. 给学生发放练习题，让学生独立完成；2. 组织学生进行小组讨论，共同解决问题；3. 选取几个学生的解答进行讲解和分析。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结分段函数的概念和特点；2. 提问：分段函数在实际应用中有什么作用？如何解决与分段函数相关的问题？教学准备：1. 教学PPT；2. 练习题。
教学评价：1. 学生能够理解分段函数的概念和特点；2. 学生能够正确理解和运用分段函数的解析式；3. 学生能够解决与分段函数相关的实际问题。
分段函数的教学设计
分段函数的教学设计分段函数是高中数学中的一个重要概念，它是由不同的函数组成的，每个函数在定义域的不同区间上有不同的表达式。
学生在学习分段函数时，需要理解函数的定义、定义域、值域以及函数图像的特点。
本教学设计将通过引入实际问题、图像分析和解决实际问题的应用等多种教学方法，帮助学生深入理解分段函数的概念和性质。
一、教学目标：1. 理解分段函数的定义和性质；2. 能够根据实际问题建立分段函数的模型；3. 能够绘制分段函数的图像，并分析其特点；4. 能够解决实际问题，运用分段函数进行计算。
二、教学内容：1. 分段函数的定义和性质；2. 分段函数的图像分析；3. 分段函数的应用。
三、教学过程：1. 导入新知识（5分钟）通过一个实际问题引入分段函数的概念，例如：小明去超市买水果，苹果的单价为2元/斤，当购买的重量小于5斤时，每斤的价格为2元；当购买的重量大于等于5斤时，每斤的价格为1.5元。
请问小明购买6斤苹果需要多少钱？2. 概念解释与讲解（15分钟）解释分段函数的定义和性质，引导学生理解分段函数的概念。
讲解分段函数的定义域、值域以及函数图像的特点。
3. 分组讨论与总结（15分钟）将学生分成小组，让每个小组选择一个实际问题，建立相应的分段函数模型，并解决问题。
每个小组选择一个代表，向全班汇报他们的问题和解决方法。
全班共同讨论，总结分段函数的建模方法和解决问题的思路。
4. 图像分析与绘制（20分钟）通过绘制分段函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。
引导学生发现分段函数在不同区间上的函数表达式和图像的关系。
让学生观察函数图像的连续性和不连续性，并解释其原因。
5. 实际问题的应用（20分钟）通过一些实际问题的应用，让学生运用分段函数进行计算。
例如：小明去超市买水果，苹果的单价为2元/斤，当购买的重量小于5斤时，每斤的价格为2元；当购买的重量大于等于5斤时，每斤的价格为1.5元。
请问小明购买6斤苹果需要多少钱？请问购买10斤苹果需要多少钱？6. 拓展应用（15分钟）通过一些拓展应用，让学生进一步巩固和应用所学的知识。
分段函数教案
分段函数教案一、教学目标1. 知识与技能：了解和理解分段函数的概念和性质，掌握绘制分段函数图像的方法。
2. 过程与方法：通过讲解、示例和练习，帮助学生从实际问题中抽象出分段函数，并正确绘制其图像。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学思维的兴趣和探索精神，增进对分段函数在实际问题中应用的认识和理解。
二、教学重难点1. 教学重点：分段函数的概念和性质，分段函数图像的绘制方法。
2. 教学难点：从实际问题中抽象分段函数，正确绘制分段函数图像。
三、教学过程1. 导入新知识：通过一个实际问题引入分段函数的概念。
例如：小明买东西总共花费了60元，如果货物单价小于等于10元，他要支付的运费是5元；如果货物单价大于10元，他要支付的运费是2元。
那么买货物的单价x和小明支付的总费用y之间的关系可以用一个分段函数来表示。
2. 介绍分段函数的定义和表示方法。
例如：一个分段函数可以写成f(x) = {x^2, x ≥ 0； 1/x, x < 0}。
3. 结合具体的实例，让学生通过思考和讨论，从实际问题中抽象出分段函数的定义和表示方法。
例如：一个池塘里有鱼，如果鱼的数量小于等于50条，鸟儿每天吃10条鱼；如果鱼的数量大于50条，鸟儿每天吃20条鱼。
那么鱼的数量x和鸟儿每天吃的鱼的数量y之间的关系可以用一个分段函数来表示。
4. 讲解分段函数图像的绘制方法。
例如：对于一个分段函数f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}，可以先分别绘制两个子函数的图像，然后将两个子函数的图像连接起来，形成整个分段函数的图像。
5. 示例演练：给出一个分段函数的例子，让学生根据定义和绘图方法，绘制出该函数的图像。
例如：f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}。
6. 课堂练习：让学生根据实际问题，抽象出分段函数，并正确绘制出该函数的图像。
7. 总结与拓展：对学生进行总结回顾，巩固已学知识。
分段函数教学设计
《分段函数》教学设计一、学情分析学生前面已经学习了函数的概念，对函数有了一定的了解，但是高一学生刚从初中进入高中，数学基础薄弱，逻辑思维欠缺，举一反三的能力差。
所以教学内容和选题上注重基础培养，由浅入深。
本节课内容是分段函数，教学上从学生的认知水平出发，由具体的函数图像让学生直观感知分段函数的定义，从而归纳出分段函数的定义。
题目选题上注重层次训练，循序渐进，从而让学生掌握分段函数的相关应用。
二、教学目标（一）知识与技能1、理解分段函数的定义、定义域和值域；2、分段函数的应用：懂得求分段函数的函数值和自变量值；会作分段函数的图象，并掌握其简单应用。
（二）过程与方法1、通过具体函数图象让学生感知、总结、体会分段函数的概念；2、让学生自主学习，自主作图，了解作图的基本要求并培养学生动手操作和自主学习的能力。
（三）情感与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生辩证地看待事物的观念、分类讨论和数形结合的数学思想。
三、教学重点难点教学重点：1、理解分段函数的定义、定义域和值域；2、懂得求分段函数的函数值和自变量值；3、会作分段函数的图象，并掌握其简单应用。
教学难点：1、由分段函数的函数值求自变量值；2、分段函数的图象和应用。
四、教法学法：讲练结合，自主学习五、教学工具：多媒体辅助教学六、教学流程（一）问题引入观察下列函数图象，指出它们分别是哪些函数的图象？问题1：图④是哪类函数的图象？引出分段函数的定义（二）新课讲授 1、分段函数的定义：一般地，在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫做分段函数。
⎩⎨⎧≥<≤-+=0,202,1)(x x x x x f 例如： ①分段函数定义域：各段定义域的并集②分段函数值域：各段值域的并集2、分段函数的应用一：分段函数求值类型一：求函数值)()1(.1,1,1,1)(.1A f x x x x x f =⎩⎨⎧<+-≥-=则设函数例A.0B.1C.2D.3变式1.例1条件不变，则（ B ）方法归纳：①分段函数求值，要注意自变量范围，代入相应的解析式求得 =)]1([f f②遇到多层“f ”的问题，按照“由里到外”原则，层层处理类型二：由分段函数的函数值求自变量值3、分段函数的应用二：分段函数的图象和应用（三）课堂小结分段函数的定义：同一个函数的量不同，解析式不同分段函数的应用：1、分段函数求值：对号入座2、分段函数的图象和应用：描点法作图，图像变换作图3、数学思想：分类讨论，数形结合.（四）课后作业课本：P49 习题9 第2，3题（五）板书设计§1.2.6分段函数1、定义2、应用一：类型一：类型二：3、应用二：多媒体演示例1、例2、例3、。
八年级数学下册《分段函数》教案、教学设计
2.强调分段函数在实际问题中的应用，提高学生的数学应用意识；
3.鼓励学生提出疑问，针对学生的困惑进行解答；
4.总结本节课的教学目标和学生的学习成果，为下一节课的学习做好铺垫。
五、作业布置
为了巩固学生对分段函数知识的掌握，提高学生的应用能力，特布置以下作业：
1.分段函数的定义及表示方法
（1）通过具体实例，让学生了解分段函数的概念；
（2）介绍分段函数的表示方法，如列表法、解析法等；
（3）强调不同区间内函数表达式的转换。
2.分段函数的性质
（1）通过图像展示，让学生直观地感受分段函数的性质；
（2）引导学生发现图像与函数性质之间的关系；
（3）总结分段函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
二、学情分析
八年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了函数的基本概念、性质和图像，能够解决一些简单的实际问题。但在面对分段函数这类较为复杂的问题时，学生可能会在理解、分析和应用上存在一定的困难。因此，在教学过程中，应关注以下几点：
1.学生对分段函数定义的理解程度，部分学生可能对分段函数的定义较为陌生，需要通过具体实例和形象比喻帮助学生理解；
2.激发学生的学习兴趣，让学生在探索分段函数的过程中，体验数学学习的乐趣；
3.培养学生勇于挑战、克服困难的意志品质，遇到问题要积极思考、主动探究；
4.让学生认识到数学与现实生活的密切联系，体会数学的价值，增强学生的数学应用意识。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的学习积极性，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。
4.教师巡回指导，关注学生的讨论进度和疑问，给予适时解答。
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“分段函数”教学设计与教学反思作者：吴中才来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第06期1 内容和内容解析分段函数是人教B版必修1第二章第2.1.2节“函数的表示方法”中的一个内容，其特点是在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，因而需要按自变量的不同取值区间将函数进行分段表示.分段函数在生活中的众多收费问题中普遍存在，在数学中也随处可见，在数学史上也不乏典例，尤其在高等数学中常常是构造反例的首选.因而，分段函数是普遍存在又比较重要的一类函数，是函数解析式表示法中的一个典型代表.分段函数的概念不是一个严格的数学定义，因而对于概念的内涵和外延不宜作过多的挖掘.分段地表示一个函数，并不是唯一的表示方法，常常只是为了更加直观、方便.分段函数的解析式虽然有“几段”，但它终究是一个函数，而不是“几个函数”.因而研究分段函数时，常常需要分段研究，整体考虑.分类讨论与数形结合的思想方法是高中数学学习的两种重要思想方法，在分段函数的学习过程中体现尤为明显.准确地进行分类讨论，恰当地运用数形结合，对训练学生的思维能力、分析问题和解决问题的能力有一定的作用.鉴于上述分析，本节课的重点是分段函数的概念以及运用分段研究、整体考虑的方法研究分段函数的定义域、值域、求函数值.2 目标和目标解析分段函数是研究函数的一个有效载体，如果将分段函数的教学目标仅仅定位于了解概念，那么分段函数蕴含的分类思想与数形结合的方法就不能得到较好地体现和渗透.因此，本节课的教学在呈现分段函数的概念之后，引导学生运用研究函数的方法来研究分段函数的定义域、值域、求函数值等，在此基础上引入一个简单的含参问题，激发学生思维的参与度，培养学生研究问题的意识.本节课的教学目标定位为：（1）通过具体实例，了解分段函数的概念，会运用研究函数的方法研究分段函数的定义域、值域等，同时巩固函数的概念与三种表示方法.（2）通过搜索知识经验和生活经验中的分段函数，体会函数建模思想；通过对简单含参分段函数的研究，进一步渗透数形结合思想和分类讨论的思想.3 教学问题诊断分析本节课的重点内容是分段函数的概念以及以分段函数为载体进行函数的简单研究.在概念的学习中，可能有学生会认为分段函数的“段”是等长的，引入新课时特别安排了一个非等长例子以澄清认识；还可能有学生认为分段函数是几个函数，教学时在概念呈现之后立即向学生阐明分段函数是一个函数.这样尽可能消除这些事实性知识在学生认知中的潜在难点.运用研究函数的一般方法来研究分段函数是教学的难点，原因有二：一是函数的研究经验并不多，学生还没有巩固研究函数的方法，就要开始独立去研究一类新的函数，对学生应用知识和方法的能力有较高的要求；二是分段函数本身就蕴含着分类讨论，尤其在分段函数的解析式中加入参数讨论，这就更增加了思维要求和教学难度.在本章函数的定义域、解析式、值域的学习中，学生已初步体会到借助函数图象来研究函数性质的方法；在前面章节“集合”的学习中，学生已经训练了一些难度相当的参数讨论问题，并感受了数轴和韦恩图在集合运算中的作用，这些都渗透了数形结合和含参分类讨论的思想.虽然这些为本节课的教学打下了一定的知识基础、能力基础和方法基础，但由于课堂时间紧（上课时间只有30分钟，另外10分钟完成教学目标检测与课堂问卷调查），分类讨论与数形结合对学生的思维要求高，因此，借助函数图象研究分段函数的性质、含参问题的分类讨论仍是本节课的教学难点.4 教学支持条件分析结合前面的分析可知，在本节课的教学中，运用数形结合的方法研究分段函数的性质是一个难点，完成分段函数中含参问题的讨论是另一个难点.前者难在学生的形象思维与抽象思维的转接，后者难在逻辑思维的拓展与思维场的初步形成.为了突破后一个难点，在研究分段函数中的含参问题时借助几何画板作图，观察参数变化引起函数图象的变化规律，帮助学生获得分析分段函数的直观印象与感性认识；以问题的内在逻辑有层次地组织学生的思维活动，引导学生积极思考问题，深入交流讨论，独立研究，分组汇报，让学生在碰撞中收获思维火花，提升思维能力.5 教学过程设计（一）复习引入我们知道，确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应法则.因此，我们写函数解析式的时候，一定别忘记在解析式后面带上它的定义域.上节课我们学习了函数的三种表示方法——列表法、图象法、解析法.下面，我们从一个简单的函数图象出发，继续研究函数的相关问题.图1引例根据函数的图象（图1）写出函数的解析式：设计意图根据图象写解析式，复习函数的表示法，同时为引出分段函数的概念铺垫.教学时，先呈现第一段让学生写解析式，再补全第二段，继续让学生写解析式，写完后将两段合并到一个花括号下，形成分段函数的解析式.最后，将第二段往右平移1个单位，体会定义域断开的情形取定义域的并集.（二）新课讲解概念像上面这个函数，在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.（板书）分段函数是一个函数的分段表达形式，它是一个整体，而不是几个函数，它的每一“段”对应的自变量x的取值区间也不一定都等长.回问（1）从引例中分段函数的图象，我们可以读取哪些信息？（定义域、值域、变化趋势、求给定自变量对应的函数值如求f（2），f（f（2））等.）注学生答完后再将函数图象作一点变化——将第二段往右平移一个单位.然后问学生：定义域是什么？如何求f（3），f（f（3））？给一个x值一定可以求出一个函数值，有没有出现问题的时候？学生答f（f（23））.（2）你还能提出什么问题吗？抑或能发现点什么吗？（形如f（f（x））的求值一定能求吗？已知函数值求对应的自变量值，如求使f（x）=1的x值，定义域内任意一点处的若干次迭代函数值一定会循环吗？如果定义域不连续能求f（f（32））吗？）（3）在你的知识积累和生活经验中，见过哪些分段函数？请举例.注学生答：物理上路程和时间之间的关系图象（变速运动）、电信的计价方式.下面，我们来看一个生活中收费的例子：练习1 某路公交车的线路总长20km，票价制定的规则是：（1）乘坐不超过5km，票价2元；（2）乘坐5km以上，每增加5km，票价增加1元.（不足5km的按5km计算）①试问：票价f（x）是里程x的函数吗？为什么？②如果是，请你选用恰当的方法表示这个函数.（补充呈现列表法——公交车分段票价表）注学生给出解析式f（x）=-[-x5]+1，0③怎么求该函数的值域？设计意图根据实际问题情境写解析式，渗透建模思想，体现分段的必要性和普遍性，同时巩固函数的三种表示方法以及不连续分段函数值域的求法.我们再来看一个数学中的例子：图2练习2 如图2，直角梯形OABC中，AB∥OC，AB=1，OA=OC=2，直线l：x=t（0①这里S是t的函数吗？为什么？②不写函数解析式，你能画出S关于t的大致函数图象吗？（用坐标纸画）③请写出函数的解析式，并根据解析式检验你所画的图象.设计意图通过根据数学问题不先写函数解析式，而直接判断S是不是t的函数，并画出大致图象，强化函数中函数值与自变量的对应关系，进一步巩固函数概念，也加强对分段函数的认识.然后写出解析式检验之，渗透一种论证的科学态度和科学精神.从前面的研究可以看到，分段函数常常需要分段研究，分类讨论，研究时常常要结合图象进行.分类讨论最有趣的还是含有参数问题的研究.下面，我们一起来研究一个含参数的分段函数：活动研究函数f（x）=x2-2ax+a，（x≥0）-x2-2ax-a，（x活动采取分组研究、分组汇报、质疑答辩的形式进行：（1）展示你们画出的函数图象.（2）你们觉得这个函数的图象有些什么特点？（3）你们是怎么画这个函数图象的？（4）从所画的函数图象，你们能读出些什么信息？注呈现题目时教师引导：这道题同样没有给出问题，就是让你研究这个函数的图象，现在大家自行研究.通过研究该函数的图象，你得出了些什么？在研究中你有什么认识？希望大家用研究函数的一般方法，来指导你的行为.讲解完毕，借助几何画板动态呈现函数图象随着参数a的变化而变化情况.学生回答：分a>0、a=0、a教师补充：现在有几个参考问题，看看大家在研究的过程中是否考虑到：思考（1）当a取何值时，函数的图象与x轴有4个交点？（2）函数图象会不会经过某些定点？（3）要使函数的图象关于y轴对称，应当怎么修改函数的解析式？（4）参数a对函数图象的影响体现在哪？（学生回答后用几何画板辅助演示）（教师总结：关键是有了研究的方法和兴趣，就会发现一些有趣的性质.）设计意图让学生利用研究函数的方法，经历研究分段函数的过程，初步体会参数对函数图象的影响，运用数形结合与分类讨论的方法分析解决问题.通过思考中的问题，让学生初步感受到研究函数的一些方向，一定程度上对学生深入研究函数带来一点启示.（三）课堂小结本节课学习了分段函数.分段函数是一个函数的分段表示形式，研究时需要分段研究，整体考虑.定义域是自变量各取值区间的并集，值域是因变量在各段取值范围的并集.求函数值，需找准自变量所在区间对应的解析式.（四）布置作业作业 P44练习B.补充题已知函数f（x）=x2-x-1，（x≥0）x2+x-1.（x（1）画出函数的图象，写出定义域与值域.（2）求f（f（1））的值.（3）求使得f（x）=0的x值.五、课堂目标检测设计1.函数g（x）的图象如图3所示：图3（1）函数g（x）的解析式；（2）函数g（x）的定义域为；（3）函数g（x）的值域为 .[考核目标：从函数的图象得出函数解析式、定义域及值域]2.已知f（x）=2x-1，-5≤x-3，-2≤xx2-14，x≥3 则（1）f（4）= ；（2）f（f（4））= ；（3）f（f（f（4）））= .[考核目标：从分段函数的解析式，得出特殊的函数值]3.某同学以5km/h的速度从A地步行到相距6km的B地，在B地停留1小时后，再以4km/h的速度返回A地.假设该同学始终以匀速行走，他离A地的距离f（x）是时间x的函数，则：（1）函数f（x）的函数解析式为；（2）函数f（x）的定义域为；（3）函数f（x）的值域为；（4）请在下面给定的坐标系（图4）中作出函数f（x）的图象：图4[考核目标：从实际问题中建构分段函数的解析式，进而得出定义域、值域，会作出函数图象]6 教学反思本节课的教学对象整体基础较好，思维能力较强，因而课堂比较活跃，推进比较顺利.回首本节课的设计与教学，我还是觉得有一些地方值得改进：6.1 关于教学设计教学设计中分段函数的概念是借助一个引例来给出的，引例中有三个动作：一是写出一段的函数解析式；二是补充第二段后再写出函数解析式；三是将函数图象的第二段往右平移一个单位，体会定义域“断开”的情形.在实际教学中是放在讲完概念、并且回问第一个问题之后再提出来的.从学生的认知规律来看，实际教学的顺序更符合学生的认识次序.所以，原教学设计在此处对学生的认知心理显得略欠考虑.我很庆幸实际教学中将这一次序调整了过来！作为反思，我想如果将这一教学设计试讲一遍，也许会发现这一问题.6.2 关于教学过程本节课在时间分配、师生互动对话、学生独立思考、学生高质量回答问题、按教学设计进行教学活动等方面都比较成功，所有教学设计的内容及提问也很适合学生的思维能力，在一定程度上能激发学生的思维参与.但教学中有一个细节的失误却让我无法释怀：教学设计中练习1是一个实际背景问题，目的是巩固分段函数的概念.请学生选用恰当的方法表示这个函数是为了进一步巩固函数的表示方法，我期望学生用分段函数表示出来，然后补充图象表示方法，并不期望学生用统一的解析式表示.教学时有一个学生给出了解析式f （x）=-[-x5]+1，06.3 关于教学效果本节课30分钟课堂教学结束后，学生利用10分钟时间做了一份目标检测题和调查问卷，从统计结果看，学生对本节课的教学目标达成很好，对本节课的情感体验和听课感受也非常理想.我自己完成教学后，整体感觉事先设计的想法都较好地得到了落实，尤其是在最后活动中让学生思考我设计的参考问题时，同学们都争先恐后地快速报出了答案，这说明他们在自行研究函数的图象时，就已经不自觉地考虑到了这些问题，这正是教学设计的目的所在，检测学生是否会用分析一般函数的方法来分析含参数的分段函数的图象和性质.整节课教与学的活动进行很流畅，学生思维的参与度很高.6.4 关于教学方法在本节课教学过程中，我一直比较沉得住气，在给出问题后不急于引导，而是让学生充分地思考，然后充分地交流.在交流过程中，我比较注意倾听，同时注意对学生的回答予以判断，及时肯定或提出质疑，与学生进行动态的对话，并尽可能发动全班更多的同学参与对话，提高大家的思维参与度.这是我一直比较注重的教学方式，即“设置问题→独立思考→交流对话→概括总结”，由于它的重要环节是“交流对话”，我自己把它称为“对话法”.古希腊哲学家和教育家苏格拉底比较注重用一个问题回答一个问题，在回答中提出新的问题，这种方法被称为苏格拉底教学法或诘问法.课堂教学用诘问法进行教学对教师的要求比较高，我认为并不是所有数学内容都能很好地运用诘问法进行教学，对话法则相对容易上手，如果问题设置合理，它也能较好地促进学生的元认知活动.龙源期刊网 。