3.2.3 奇偶性(解析版)高一数学同步讲义(新教材人教A版必修第一册)
3.2.2函数的奇偶性-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册3.2.2：函数的奇偶性课标解读：1. 函数的奇偶性的概念.（理解）2. 函数奇偶性的几何意义.（了解）3. 函数奇偶性的应用.（掌握） 学习指导：1. 学习时，应类比单数单调性，先由具体函数入手，对函数奇偶性有初步认识，然后由此抽象概括并用符号语言描述奇、偶性的定义.2. 实际上，函数的奇偶性就是平面几何中心对称图形，轴对称图形的解析表示. 知识导图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧函数奇偶性的应用函数奇偶性的判断方法单调性特征图像特征定义域特征奇、偶函数的特征函数奇偶性的定义函数的奇偶性 知识点1：函数的奇偶性 1.定义2.常见函数的奇偶性3.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设)(),(x g x f 的定义域分别是F 、G ，若F=G ，则有下列结论：例1-1：给出下列结论：①若)(x f 的定义域关于原点对称，则)(x f 是偶函数； ②若)(x f 是偶函数，则它的定义域关于原点对称； ③若)2()2(f f =-，则)(x f （R x ∈）是偶函数； ④若)(x f （R x ∈）是偶函数，则)2()2(f f =-； ⑤若)2()2(f f ≠-，则)(x f （R x ∈）不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=；⑦若)(x f 是定义域为R 的奇函数，则0)0(=f . 其中正确的结论是 .（填序号） 答案：②④⑤⑦例1-2：若函数)0)()((≠x f x f 为奇函数，则必有（ ）A.0)()(>-⋅x f x fB.0)()(<-⋅x f x fC.)()(x f x f -<D.)()(x f x f -> 答案：B知识点2：奇、偶函数的图像特征（几何意义） 1.奇函数的图像特征若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 2.偶函数的图像特征若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.例2-3：下列四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定经过原点； ③偶函数的图像关于y 轴对称；④奇函数))((R x x f y ∈=的图像必经过点)).(,(a f a - 表述正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D.4 答案：A例2-4：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的取值范围是（ ）.A.)32,31(B.)32,31[C.)32,21(D.)32,21[ 答案：A重难拓展知识点3：函数图像的对称性 1.图像关于点成中心对称图像结论1：函数)(x f y =的图像关于点）（b a P ,成中心对称图形的充要条件是函数b a x f x g -+=)()(为奇函数.一般结论：2.图像关于直线成轴对称图形结论2：函数)(x f 的图像关于直线a x =成轴对称图形的充要条件是函数)()(a x f x g +=为偶函数. 一般结论：例3-5：在定义在函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间上单调递减，则)(x f （ ）.A.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递增B.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递减C.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递增D.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递减 答案：B变式训练：若函数),(3)(2R b a bx ax x f ∈++=满足)1()1(x f x f -=+，且)(x f 的最大值为4，则=)(x f . 答案：322++-x x例3-6：函数233)(x x x f -=的图像的对称中心是（ ）A.（1,2）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（-1,2） 答案：C题型与方法题型1：函数奇偶性的判断 1.一般函数的奇偶性的判断 例7:判断下列函数的奇偶性；（1）;1)(23--=x x x x f （2）|;2||2|)(+--=x x x f （3）),0()(2R a x xa x x f ∈≠+=； （4）1111)(22+++-++=x x x x x f .答案：（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）奇函数.变式训练：已知|,2|)(,4)(2-=-=x x g x x f 则下列结论正确的是（ ） A. )()()(x g x f x h +=是偶函数 B. )()()(x g x f x h ⋅=是奇函数 C. xx g x f x h -⋅=2)()()(是偶函数 D. )(2)()(x g x f x h -=是奇函数 答案：D2.分段函数奇偶性的判断例8：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f ，则（ ）.A. )(x f 是奇函数B. )(x f 是偶函数C. )(x f 既是奇函数又是偶函数D. )(x f 既不是奇函数也不是偶函数 答案：A例9：如果)(x f 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）. A.)(x f x y += B.)(x xf y = C.)(2x f x y += D.)(2x f x y = 答案：B例10.（1）已知函数R x x f ∈),(，若R b a ∈∀,，都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f y =为奇函数.（2）已知函数R x x f ∈),(，R x x ∈∀21,，都有)()(2)()(212121x f x f x x f x x f ⋅=-++，求证：)(x f y =为偶函数.（3）设函数)(x f 是定义在),(l l -上，证明：)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数. 答案：略题型2：奇、偶函数图像特征的应用例11：已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域都是]3,3[-，且它们在]3,0[上的图像如图所示，则不等式0)()(<x g x f 的解集是 .答案：}321012|{<<<<-<<-x x x x 或或例12：（1）奇函数)(x f y =的局部图像如图所示，则)2(f 与)4(f 的大小关系为 .（2）已知)(x f 是定义在]3,0()0,3[⋃-上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图像如图所示，那么)(x f 的值域是 .答案：（1）)4()2(f f > （2）]3,1()1,3[⋃-- 题型3：函数奇偶性的应用 1.利用奇偶性求参数的值例13：（1）若函数b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则a = ；=b .（2）若)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . （3）已知函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则a = . 答案：（1）310 （2）4 （3）-1变式训练：若函数),)(2)(()(为常数b a a bx a x x f ++=是偶函数，且它的值域为]4,(-∞，则该函数的解析式)(x f = .答案：422+-x2.利用奇偶性求函数的值例14：（1）已知8)(35-++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，则=)2(f （ ）. A.-26 B. -18 C.-10 D.10 （2）已知)(x f 为奇函数，3)2(,2)()(=-+=g x f x g ，则=)2(f （ ）. A.-1 B. 0 C.1 D.2（3）设函数1)1()(22++=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M+n= .答案:（1）A （2）A （3）2例15：设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）A.0.5B. -0.5C.1.5D.-1.5 答案：B3.利用奇偶性求分段函数形式的解析式例16：（1）已知函数)(x f 为R 上的偶函数，且当0<x 时，)1()(-=x x x f ，则当0>x 时，=)(x f .（2）)(x f 为R 上的奇函数，当0>x 时132)(2++-=x x x f ，则)(x f 的解析式为=)(x f .（3）已知⎩⎨⎧>+≤+=0,0,)(22x bx ax x x x x f 为奇函数，则b a += .答案：（1）)1(+x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-0,1320,00,13222x x x x x x x （3）0变式训练：若函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，11)()(-=+x x g x f ，则)(x f = .4.函数奇偶性的综合应用 1.函数奇偶性与单调性综合例17：已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0,2]上单调递增，则（ ）A.)4()3()1(f f f <<-B.)1()3()4(-<<f f fC.)1()4()3(-<<f f fD.)3()4()1(f f f <<- 答案：D例18:：（1）已知函数)(x f y =在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f ，则实数a 的取值范围为 .（2）定义在[-2,2]上的偶函数)(x f 在区间[0,2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围为 .2.函数奇偶性与对称性的综合例19:（1）定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递增，且)2(+x f 为偶函数，则（ ） A.)3()1(f f <- B.)3()0(f f > C.)3()1(f f =- D.)3()0(f f = （2）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则)2()1(f f + +=++)5()4()3(f f f . 答案：（1）A （2）0易错提醒易错1： 没有搞清分段函数的概念致错例20：判断函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=0,320,30,32)(22x x x x x x x x f 的奇偶性.答案：既不是奇函数也不是偶函数易错2：判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错.例21：已知函数R x a x x x f ∈+-+=,1||)(2，a 为实数，判断函数)(x f 的奇偶性. 答案：0=a 时，是偶函数；0≠a 时，既不是奇函数也不是偶函数高考链接考向1：函数奇偶性的直接考察例23：设函数)(x f ，)(x g 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A.)()(x g x f 是偶函数B.|)(|)(x g x f 是奇函数C.)(|)(|x g x f 是奇函数D.|)()(|x g x f 是奇函数答案：B例24：设函数ax x a x x f +-+=23)1()(，)(x f 是奇函数，则=a .答案：1例25：已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当)0,(-∞∈x 时，,2)(23x x x f +=则=)2(f .答案：12例26：函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递减，且为奇函数.若1)1(-=f ，则满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围是（ ）A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案：D基础巩固1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b}，则a+b=（ ）. A.-1 B.1 C.0D.22.下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的是（ ）. A.x x f =)( B.1)(2+-=x x fC.xx f 1)(= D.1||)(-=x x f3.如图奇函数)(x f 在区间[3,7]上单调递减且最小值为5，那么)(x f 在区间[-7，-3]上（ ）.A.单调递增且最小值为-5B.单调递增且最大值为-5C.单调递减且最小值为-5D.单调递减且最大值为-54.已知偶函数)(x f 在区间[-3，-1]上单调递减，则)2(),1(),3(f f f -的大小关系为 .5.若定义在(-1,1)上的奇函数1)(2+++=nx x m x x f ，则常数m ，n 的值分别为 .6.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=.（1）现已画出)(x f 在y 轴及y 轴左侧的图像，如图所示，请把函数)(x f 的图像补充完整，并根据图像写出)(x f 的单调递增区间；（2）写出函数)(x f 的值域.能力提升：7.设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）.A.)(|)(|x g x f -是奇函数B.)(|)(|x g x f +是偶函数C.|)(|)(x g x f -是奇函数 B.|)(|)(x g x f +是偶函数8.若定义在R 上的函数)(x f 满足：R x x ∈∀21,，有)()()(2121x f x f x x f +=++1，则下列说法一定正确的是（ ）.A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.1)(+x f 是奇函数D.1)(+x f 是偶函数9.已知函数)(x f 是定义在]2,1[a a -上的偶函数，且当0>x 时，)(x f 单调递增，则关于x 的不等式)()1(a f x f >-的解集为（ ） A.)35,34[ B.]35,34()32,31[⋃ C.)32,31[]31,32(⋃-- D.无法确定，随a 的变化而变化 10.已知函数)(x f y =是偶函数，其图像与x 轴有9个交点，则方程0)(=x f 的所有实数根之和是（ ）A.0B.3C.6D.911.已知定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递减，且)2(+x f 为偶函数，则)211(),4(),1(f f f -的大小关系为（ ） A.)211()1()4(f f f <-< B.)211()4()1(f f f <<- C.)1()4()211(-<<f f f D.)4()211()1(f f f <<- 12.若,+∈∈N n R x ，定义：)1(...)2)(1(-+⋅⋅++=n x x x x M n x ，例如）（）（）（）（234555-⨯-⨯-⨯-=-M 1201-=-⨯）（，则函数199)(-=x xM x f （ ）A. 是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数13.已知)(x f 是奇函数，当0<x 时，x x x f 2)(2+=，则)1(f 的值是 .14.函数)(x f 是奇函数，且在[-1,1]上单调递增，1)1(-=-f .（1）则)(x f 在[-1,1]上的最大值为 .（2）若12)(2+-≤at t x f 对任意∈x [-1,1]及任意∈a [-1,1]都成立，则实数t 的取值范围是 .15.已知)(x f 是定义在R 上的函数，设2)()()(,2)()()(x f x f x h x f x f x g --=-+=. （1）试判断)(x g 与)(x h 的奇偶性；（2）试判断)(x g ，)(x h 与)(x f 的关系；（3）由此你能猜想出什么样的结论？16.已知函数21)(x b ax x f ++=是定义在（-1,1）上的奇函数，且.52)21(=f （1）确定函数)(x f 的解析式；（2）用定义证明)(x f 在（-1,1）上是增函数;（3）解不等式：0)()1(<+-t f t f .17.已知定义在),0()0,(+∞⋃-∞上的函数)(x f 满足：①)()()(),,0()0,(,y f x f xy f y x +=+∞⋃-∞∈∀ ②当1>x 时，,0)(>x f 且1)2(=f .（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）判断函数在),0(+∞上的单调性；（3）求函数)(x f 在区间]4,0()0,4[⋃-上的最大值；（4）求不等式4)()23(≥+-x f x f 的解集.参考答案1. A2. D3. B4. )3()2()1(-<<f f f5. 0 06. （1）图像略 )(x f 的单调增区间是),1(,0,1+∞-）（ （2）值域为),1[+∞ 7. D8. C9. B10. A11. A12. A13. 114. （1）1 （2）}202|{≥=-≤t t t t 或或15. （1）)(x g 是偶函数 )(x h 是奇函数 （2）)()()(x h x g x f += （3）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.16. （1）21)(x x x f += （2）略 （3）}210|{<<t t 17. （1）)(x f 为偶函数 （2）单调递增 （3）2 （4）}382{≥-≤x x 或.。
3.2.2函数的奇偶性一-高一数学人教A版必修一同步课件
x -3 -2 -1 0 1 2 3
g(x) 1 1 1
3
2
1 11 23
一三、学点习拨目精标讲（28分分钟钟））
奇函数：
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ，都 有－x I 且 f(－x)=－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
奇函数图象有什么特征？ 关于原点成中心对称
3、若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a ＝___13_____，b＝_0_____
3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)成立.
若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)成立.
4、如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数
f(x)具有奇偶性.
当奇函数在x=0处有意义时，
函数值f（0）=0
三、点拨精讲（28分钟） 函数奇偶性的判断方法
偶函数图象有什么特征？ 关于y轴成轴对称
三、点拨精讲（28分钟）
下列函数是偶函数的是( A )
A.f(x)=x2
B.f(x)=x+1
C.f(x)=x3
D.f(x)=-x+2
已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋ 2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． ●(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象； ●(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； ●(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．
高一数学第一册第三章：
函数的概念及性质
第一节：函数的奇偶性（一)
对称是大自然的一种美！
对称美在数学中随处可见
一、学习目标（2分钟）
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
3.2.3 函数的奇偶性(课件)高一数学同步精讲课件(人教A版2019必修第一册)原创精品
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果
∀x∈I，都有-x∈I，且 f(-x)＝f(x)，
那么函数f(x)就叫做偶函数.
例如，函数f(x)=x2+1,
2
g(x)= 2 都是偶函数.
+11
2 奇函数
1
观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象,你能发现这两个函
数图象有什么共同特征吗？
图形特征：图象关于原点O对称；
分
类
讨
论
解：(2)定义域为R，
当a≠0时，f(-x)=-f(x)
函数f(x)= + − − 是奇函数；
当a=0时，f(x)=0在R上恒成立
函数f(x)= + − − 既是奇函数又是偶函数.
方法：定义域关于原点对称，只需分两种情况考虑f(x)与
f(-x)的关系即可.
7.已知奇函数f(x)在[0,+∞)上单调递减，则不等式
当x<0时，-x>0 , 从而f(-x)=-x(1-x)+1,
又f(-x)=-f(x)
所以x<0时 f(x)=x(1-x)-1，
(1 + ) + 1 (x > 0)
(x = 0)
故f(x)解析式为 f(x)= 0 ,
(1 − ) − 1 (x < 0)
4.已知f(x)，g(x)是R上的奇函数，试判断
故 f(-m)=g(-m)+4= 3
方法：利用奇函数的性质，推导出f(m)与f(-m)的关系.
2.设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且
f(x)+g(x)=x2+2x，求函数f(x)、g(x)的解析式.
3.2.2函数的奇偶性-高一数学课件(人教A版必修第一册)
则6= f(-5) ≤ f(x) ≤ f(7)
因此，f(x) 在[-7,-5]上是减函数，最小值是6
方法小结
• 偶函数 y 轴两侧的函数单调性相反；
• 奇函数原点两侧的函数单调性相同；
题型三 利用奇偶性和单调性比较大小
则f(x)在[-7,-5]上是( C )
A.增函数，最大值是6
B.增函数，最小值是6
C.减函数，最小值是6
D.减函数，最大值是6
解析：任取x1、x2∈[-7,-5]且 x1<x2，即-7≤ x1< x2≤-5，则5≤-x2<-x1≤7，
由题意可得 f(-x2) < f(-x1)，由偶函数的性质可得 f(x1) > f(x2)，
题型二 奇偶性的应用
例2 已知函数 f(x)=x5-ax3+bx+2，f(-5)=17，则f(5)的
-13
值是________
解析：∵g(x)=x5-ax3+bx是奇函数,
∴g(-x)=-g(x),
∵f(-5)=17=g(-5)+2,
∴g(5)=-15,
∴f(5)=g(5)+2=-15+2=-13
x(x-1)
当x>0时，f(x)=________
解析：当x>0时，-x<0，
所以f(-x)=-x(-x+1)=x(x-1)，
因为f(x)是偶函数，
所以当x>0时，f(x)=f(-x)=x(x-1)
题型一 利用函数奇偶性求解析式
例1(2) 已知f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数，
函数的奇偶性-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)
f (x)在[2,4]上的最大值为4,最小值为 8.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
x2 2x 3, x 0 f (x)的解析式为f (x) 0, x 0
x2 2x 3, x 0
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
[例5]若f (x)是定义在R上的函数,且x, y R, f (xy) f (x) f ( y).
(1)求f (1)和f (1)的值.
∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
一看定义域
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
二看关系式or图象
f(x)=f(﹣x)
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
偶函数 既奇又偶函数 奇函数
f (x) 0, x D(D关于原点对称)
3.由奇偶性求参数
[例2]若f (x) (x a)( x 4)为偶函数,则实数a __4__.
备注
定义
图象特点 等价条件
设f(x)的定义域为I
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数
关于y轴对称 f(x)－f(-x)=0
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数
关于原点对称
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
x2
(4) f (x) 0 解 : x R,x R,且f (x) 0 f (x), f (x) 0 f (x) f (x) 0, x [2,2] f (x)是既奇又偶函数.
高中数学人教A版 必修第一册 奇偶性 课件
练一练
2.设函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数，则实数 a ( ) x
√A.-1
B.1
C.0
D.-2
根据题意，函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数，则有 f (x) f (x) 0 ，即 x
x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 0 ，变形可得 (a 1)x 0 ，则有 a 1.故选 A.
练一练
1
4. f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x3 1 ，则 f (8) ( )
√A.-1
B.0
C.1
D.2
本题考查根据函数的奇偶性求值.因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，所以
f
(8)
f
(8)
1 83
1
1 .故选
A.
1.偶函数的定义 2.奇函数的定义
x
1 x
x
1 x
f
(x)
，
所以，函数 f (x) x 1 为奇函数.
x
(4)函数
f
(x)
1 x2
的定义域为 {x∣x
0} .因为 x {x∣x
0} ，
都有 x {x∣x
0} ，且
f (x)
1 (x)2
1 x2
f
(x) ，
所以，函数 f (x) 1 为偶函数.
x2
练一练
1.设函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (x 2) 为偶函数， f (2x 1) 为奇函数，则( )
x
3
g(2) 1 g(2), g(1) 1 g(1). 2
实际上， xR 且 x 0 ，都有 g(x) 1 g(x) .
新人教版高中数学必修第一册3.2.2函数的奇偶性(课件)
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性： 设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
偶
偶
偶
奇
偶
偶
偶
奇
偶
偶
【注】上表中不考虑
和
中需
，
.
奇
奇
奇
偶
奇
奇
偶
奇
奇
偶
的情况；
【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称； 把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为
，关于y轴对称，再判断：
判断函数奇 偶性，首先 要看定义域.
【解】(3)首先判断定义域为
所以此函数是奇函数； ，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是偶函数.
“ THANKS ”
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
图像关于y轴对称
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几何特征
定义中，
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法： 【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下 去的必要.
高中数学必修第一册人教A版《3.2函数的奇偶性---奇偶性的应用》名师课件
定义域关于原点对称
如果函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对
称图形；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
如果函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心
的中心对称图形；若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数.
人教A版同步教材名师课件
函数的奇偶性
---函数奇偶性的应用
探究新知
; ()()
−
= − ||; ()() =
−
.
|+|−
思路
分析
本题考查利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性.解题的关键是确定函数的定
义域是否关于原点对称，然后化简函数解析式，验证()与 − 的关系.
解析
(1)∵函数()的定义域是{| ≠ 1}，关于原点不对称，
解析
(1)函数的定义域为{| ≠ 0} ，关于原点对称，对于定义域内的每一个都有(−) =
1
1
3
3
− − = − − = −()，从而函数()为奇函数.
−
(2) 函 数 的 定 义 域 为 R ， 关 于 原 点 对 称 ， 对 于 定 义 域 内 的 每 一 个 都 有 − =
的图象,有什么共同特征么？
两个函数图象都关于原点成中心对称图形.
探究新知
奇函数
一般地，设函数()的定义域为 ，如果∀ ∈ ，都有
− ∈ ，且 − = −()，那么函数()就叫做奇函数
(odd function).
典例讲解
例1.判断下列函数的奇偶性：
()() =
∴()既不是奇函数也不是偶函数.
(2) ∵函数()的定义域是R，关于坐标原点对称.
3.2.2函数的奇偶性课件(人教版)
中心对称图形
、
函数图象的美
思考：下列函数图象的美是否也具这样的特点？
() = 2
() = 2 − ||
图象关于y轴对称
你能用符号语言精确地描述这些特征吗？
新知探究
用几何画板探究下列函数的函数值特征
() = 2
() = 2 − ||
(3)几何特征: 函数图象关于y轴对称.
新知探究
用几何画板探究下列函数的函数值特征
() =
() =
1
图像关于原点对称
奇函数的概念和特征
奇函数的概念和特征
一般地，设函数()的定义域为
，如果∀ ∈ ，都有 − ∈ 且
(−) = (),
那么函数()就叫做偶函数
函数图象关于原点对称.
概念理解
函数f(x)=x2, x∈[-2,2]是偶函数吗？ 函数g(x)=x2, x∈[-1,2]是偶函数吗？
y
y
4
4
3
3
2
2
1
–3 –2 –1
o
–1
是
1
2
1
–1
3
o
x
整体性质
奇偶函数的定义域关于原点对称
–1
1
2
3
x
否
判断函数为奇偶函数的前提条件
图象法判断奇偶性
根据奇偶性，
偶函数的特征:
(1)定义域特征：定义域关于原点对称.
(2)代数特征： f(-x)=f(x)
(3)几何特征: 函数图象关于y轴对称.
一般地，设函数()的定义域为
，如果∀ ∈ ，都有 − ∈
且(−) = −(),
那么函数()就叫做奇函数
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3.2.3 奇偶性一、知识点归纳二、题型分析题型一 函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3x x 2＋3； (2)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|；(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 【解】(1)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝3(－x )(－x )2＋3＝－3x x 2＋3＝－f (x )， ∀f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是R ，又f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1|＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )，∀f (x )是偶函数．(3)∀函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∀(－1，＋∞)，不关于原点对称，∀f (x )是非奇非偶函数．【规律方法总结】判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：∀判断函数f (x )的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f (x )为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步．∀验证．f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )．∀下结论．若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数；若f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数；若f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，则f (x )为非奇非偶函数．(2)图象法：(3)性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．【提醒】分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【变式1】下列函数中，是偶函数的有________．(填序号)∀f (x )＝x 3；∀f (x )＝|x |＋1；∀f (x )＝1x 2； ∀f (x )＝x ＋1x；∀f (x )＝x 2，x ∀[－1,2]． 【答案】：∀∀【解析】：对于∀，f (－x )＝－x 3＝－f (x )，则为奇函数；对于∀，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1，则为偶函数；对于∀，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝1(－x )2＝1x 2＝f (x )，则为偶函数； 对于∀，定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，则为奇函数； 对于∀，定义域为[－1,2]，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数．题型二 奇、偶函数的图象【例2】已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y ＝f (x )的图象；(2)根据图象写出函数y ＝f (x )的增区间；(3)根据图象写出使f (x )＜0的x 的取值集合．【解】(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f (x )＜0的x 的取值集合为(－2,0)∀(0,2)．【规律方法总结】1．巧用奇偶性作函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性；(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象；(3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象．2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．【变式2】． 已知奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象；(2)写出使f (x )<0的x 的取值集合．【解】(1)因为函数f (x )是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使函数值y <0的x 的取值集合为(－2，0)∀(2,5)．【变式3】如图是函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．【解】因为f (x )＝1x 2＋1所以f (x )的定义域为R .又对任意x ∀R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．题型三 利用函数的奇偶性求解析式【例3】 (1)函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，求f (x )的解析式；(2)设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求函数f (x )，g (x )的解析式． 【思路点拨】(1)设x <0，则－x >0――→当x >0f (x )＝－x ＋1求f (－x )――→奇函数得x <0时f (x )的解析式――→奇函数的性质f (0)＝0――→分段函数f (x )的解析式 (2)f (x )＋g (x )＝1x －1――→用－x 代式中x 得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1――→奇偶性 得f (x )－g (x )＝－1x ＋1――→解方程组得f (x )，g (x )的解析式 【解】(1)设x <0，则－x >0，∀f (－x )＝－(－x )＋1＝x ＋1，又∀函数f (x )是定义域为R 的奇函数，∀f (－x )＝－f (x )＝x ＋1，∀当x <0时，f (x )＝－x －1.又x ＝0时，f (0)＝0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，x <0，0，x ＝0，－x ＋1，x >0.(2)∀f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，∀f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．由f (x )＋g (x )＝1x －1，∀ 用－x 代替x 得f (－x )＋g (－x )＝1－x －1， ∀f (x )－g (x )＝1－x －1，∀ (∀＋∀)÷2，得f (x )＝1x 2－1；(∀－∀)÷2，得g (x )＝x x 2－1. 【规律方法总结】利用函数奇偶性求函数解析式3个步骤(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x 就应在哪个区间上设；(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )．【变式3】若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，求f (x )的解析式．【解】当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3＝x 2＋2x ＋3，由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )，所以f (x )＝－x 2－2x －3.即当x <0时，f (x )＝－x 2－2x －3.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0.题型四 利用函数奇偶性求参数值【例4】(1)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________．(2)若函数f (x )＝ax 2＋(b －1)x ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＋b ＝________.【答案】(1)5 (2)43【解析】(1)因为f (x )是奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a (－3)＝－6，解得a ＝5.(2)因为定义域[a －1,2a ]关于原点对称，所以(a －1)＋2a ＝0.解得a ＝13.所以f (x )＝13x 2＋(b －1)x ＋1＋b . 又因为f (－x )＝f (x )，所以13x 2－(b －1)x ＋1＋b ＝13x 2＋(b －1)x ＋1＋b .由对应项系数相等得－(b －1)＝b －1.所以b ＝1.所以a ＋b ＝13＋1＝43. 【规律方法总结】利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f (x )的定义域为[a ，b ]，根据定义域关于原点对称，利用a ＋b ＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )列式，比较系数即可求解．【变式4】若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.【答案】4【解析】法一：f (x )＝(x ＋a )(x －4)＝x 2＋(a －4)x －4a ，f (－x )＝(－x ＋a )(－x －4)＝x 2－(a －4)x －4a ，两式恒相等，则a －4＝0，即a ＝4.法二：f (x )＝(x ＋a )(x －4)＝x 2＋(a －4)x －4a ，要使函数为偶函数，只需多项式的奇次项系数为0，即a －4＝0，则a＝4.法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4.三、课堂达标检测1．函数f(x)＝|x|＋1是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【答案】B【解析】∀f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∀f(x)为偶函数．2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则()A．f(1)>f(2)B．f(1)<f(2)C．f(1)＝f(2) D．以上都有可能【答案】A【解析】∀f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∀f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∀f(1)>f(2)，故选A. 3．定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)<f(b)，则一定可得()A．a<b B．a>bC．|a|<|b| D．0≤a<b或a>b≥0【答案】C【解析】∀f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，∀由f(a)<f(b)可得|a|<|b|.4.函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是() A．a>1B．a<－2C．a>1或a<－2 D．－1<a<2【答案】C【解析】因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以3<|2a＋1|，解之得a>1或a<－2.故选C.5．已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝______.【答案】0【解析】∀f(x)为奇函数，∀f(－x)＋f(x)＝0，∀2ax2＝0对任意x∀R恒成立，所以a＝0.6．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．【解】f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.7．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．【解】(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∀(0,2)．8.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式．【解】：因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.∀用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，∀(∀＋∀)÷2，得f(x)＝x2.(∀－∀)÷2，得g(x)＝2x.四、课后提升作业一、选择题1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是()【答案】B【解析】：B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．2．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( ) A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称【答案】A【解析】：由于f (－x )＝(－x )3＋1－x ＝－⎝⎛⎭⎫x 3＋1x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，故其图象关于原点对称． 3．下列函数中，是偶函数的是( )A ．y ＝x 2(x ＞0)B ．y ＝|x ＋1|C ．y ＝2x 2＋2D ．y ＝3x －1 【答案】C【解析】：先判断定义域是否关于原点对称，排除A ，再验证f (－x )＝f (x )是否成立，故选C.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 是有理数，0，x 是无理数是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数【答案】B 【解析】： 若x 是有理数，则－x 也是有理数，∀f (－x )＝f (x )＝1；若x 是无理数，则－x 也是无理数， ∀f (－x )＝f (x )＝0.∀函数f (x )是偶函数．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且有f (3)＞f (1)，则下列各式中一定成立的是( )A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＜f (5)C ．f (3)＞f (2)D ．f (2)＞f (0)【答案】A【解析】： f (x )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，又f (3)＞f (1)，所以f (3)＞f (－1)成立．6．如果奇函数f (x )的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f (x )在区间[3,7]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5 【答案】C【解析】：∀f (x )为奇函数，∀f (x )在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上的单调性一致，且f (7)为最小值．∀f (－7)＝5，∀f (7)＝－f (－7)＝－5，选C.7．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x 2＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．4B ．1C ．－1D ．－4 【答案】D【解析】：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝2×02＋2×0＋b＝0，解得b＝0，所以当x≥0时，f(x)＝2x2＋2x，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2×12＋2×1)＝－4.8.已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是()A．f(x)＝－x2＋2x－3B．f(x)＝－x2－2x－3C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3【答案】B【解析】若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B. 9．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是()A．这个函数仅有一个单调增区间B．这个函数有两个单调减区间C．这个函数在其定义域内有最大值是7D．这个函数在其定义域内有最小值是－7【答案】C【解析】根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.10.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】∀f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∀|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数，故选C. 11.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝()A ．21B ．－21C ．26D ．－26【答案】B 【解析】设g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数，由题设可得f (－3)＝g (－3)－8＝5，求得g (－3)＝13.又g (x )为奇函数，所以g (3)＝－g (－3)＝－13，于是f (3)＝g (3)－8＝－13－8＝－21.12.若奇函数f (x )在(－∞，0)上的解析式为f (x )＝x (1＋x )，则f (x )在(0，＋∞)上有( )A ．最大值－14B ．最大值14C ．最小值－14D ．最小值14【答案】B【解析】法一(奇函数的图象特征)：当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－14， 所以f (x )有最小值－14，因为f (x )是奇函数， 所以当x >0时，f (x )有最大值14. 法二(直接法)：当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x (1－x )．又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x (1－x )＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 所以f (x )有最大值14.故选B. 二、填空题13．函数f (x )＝x 2＋ax 是偶函数，则a ＝________.【答案】：0【解析】：因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即x 2－ax ＝x 2＋ax .由对应项系数相等，得a ＝0.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x ＞0为奇函数，则a －b ＝________. 【答案】：－2【解析】：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a －b ＝－2.15．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.【答案】：4【解析】：因为f (x )＝(x ＋a )(x －4)＝x 2＋(a －4)x －4a 为偶函数，所以a －4＝0，a ＝4.16．若f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝________；g (x )＝________.【答案】：x 2－2 x【解析】：f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，得f (x )－g (x )＝x 2－x －2，又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .17．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：当x ∀[0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥2，x 2＋1，0≤x ＜2，则f (f (－2))＝________. 【答案】：1【解析】：因为f (－2)＝f (2)＝0，所以f (f (－2))＝f (0)＝1.18．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，则f (－5)________f (3)．(填“＞”或“＜”)【答案】：＜【解析】：∀f (x )为偶函数，∀f (－5)＝f (5)，而函数f (x )在[2,6]为减函数，∀f (5)＜f (3)．∀f (－5)＜f (3)．19．已知定义域为[a －4,2a －2]的奇函数f (x )＝2 019x 3－5x ＋b ＋2，则f (a )＋f (b )的值为________．【答案】：0【解析】：奇函数的图象关于原点对称，所以a －4＋2a －2＝0，所以a ＝2，因为函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b ＋2＝0，故b ＝－2，所以f (a )＋f (b )＝f (2)＋f (－2)＝f (2)－f (2)＝0.20．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数：∀y ＝f (|x |)；∀y ＝f (－x )；∀y ＝xf (x )；∀y ＝f (x )＋x 中奇函数为________(填序号)．【答案】：∀∀【解析】：因为f (|－x |)＝f (|x |)，所以∀为偶函数；因为f (－x )＝－f (x )，令g (x )＝－f (x )，则g (－x )＝－f (－x )＝f (x )＝－g (x )，所以∀为奇函数；令F (x )＝xf (x )，则F (－x )＝(－x )f (－x )＝xf (x )＝F (x )，故∀是偶函数；令h (x )＝f (x )＋x ，则h (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x ＝－h (x )，故∀是奇函数．三、解答题21．设函数f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x .(1)求f (x )的表达式；(2)证明f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．【解】：(1)当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋4(－x )＝x 2－4x .因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2－4x )＝－x 2＋4x (x <0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，－x 2＋4x ，x <0. (2)证明：设任意的x 1，x 2∀(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋4x 2)－(x 21＋4x 1)＝(x 2－x 1)·(x 2＋x 1＋4)．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋4>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )是(0，＋∞)上的增函数．22．如图是函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．【解】：因为f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R. 又对任意x ∀R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．23．已知函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0,2]上的最小值为g (m )．(1)求函数g (m )的解析式；(2)定义在(－∞，0)∀(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且当x >0时，h (x )＝g (x )．若h (t )>h (4)，求实数t 的取值范围．【解】：(1)因为f (x )＝x 2－mx ＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m 24(m >0)， 所以当0<m ≤4时，0<m 2≤2， 此时g (m )＝f ⎝⎛⎭⎫m 2＝－m 24. 当m >4时，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m 24在区间[0,2]上单调递减， 所以g (m )＝f (2)＝4－2m .综上可知，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 24，0<m ≤4，4－2m ，m >4.(2)因为当x >0时，h (x )＝g (x )，所以当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为定义在(－∞，0)∀(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且h (t )>h (4)， 所以0<|t |<4，解得－4<t <0或0<t <4.综上所述，实数t 的取值范围为(－4,0)∀(0,4)．24．已知函数f (x )对一切实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，(1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，试用a 表示f (12)．【解】：(1)证明：由已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x 得f (0)＝f (x )＋f (－x )，令x ＝y ＝0得f (0)＝2f (0)，所以f (0)＝0.所以f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )为奇函数．所以f (－3)＝－f (3)＝a ，所以f (3)＝－a .又f (12)＝f (6)＋f (6)＝2f (3)＋2f (3)＝4f (3)，所以f (12)＝－4a .。