四川省成都七中2018届高三二诊(3月)模拟考试数学(理)试题+Word版含答案

成都七中高2018届二诊模拟考试数学(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合(){}30S x x x =-≤，1112x T x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则ST =( ) A.[)0,+∞B.(]1,3C.[)3,+∞D.(](),01,-∞+∞2.已知复数z 为纯虚数，且11zi=-，则z =( ) A.2i ±B.2i ±C.2iD.i3.若向量13,22AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()3,1BC =，则ABC △的面积为( ) A.12B.32C.1D 砑34.为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( )A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别无关C.倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D.倾向选择生育二的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 5.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是( )A.9πB.92π C.36πD.18π6.按照如图所示的程序框图，若输入的a 为2018，k 为8，则输出的结果为( )A.2473B.3742C.4106D.60147.若实数a 满足142log 1log 3a a >>，则a 的取值范围是( ) A.2,13⎛⎫⎪⎝⎭B.23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭D.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 8.在ABC △中，角B 为34π，BC 边上的高恰为BC 边长的一半，则cos A =( )A.255B.55C.23D.539.4231112x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中1x -的系数是( )A.2B.1C.52D.1210.等差数列{}n a 各项都为正数，且其前9项之和为45，设1014n n nb a a -=+，其中19n ≤≤，若{}n b 中的最小项为3b ，则{}n a 的公差不能为( ) A.1B.56C.23D.1211.已知圆()()()2221:24C x a y a a R -+-=∈，考虑下列命题：①圆C 上的点到()4,0的距离的最小值为72；②圆C 上存在点P 到点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离与到直线32x =-的距离相等；③已知点3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆C 上存在一点P ，使得以AP 为直径的圆与直线12x =相切，其中真命题的个数为( ) A.0B.1C.2D.312.已知函数()()0tf x x t x=+>，过点()1,0P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，设()g t MN =，若对任意的正整数n ，在区间161,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内存在1m +个数1a ，2a ，…，1m a +使得不等式()()()()121n n g a g a g a g a ++++<…成立，则m 的最大值为( ) A.4 B.5C.6D.7二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若实数,x y 满足221y x x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y 的最大值为.14.若双曲线221169x y -=的渐近线与圆()224x y m +-=相切，则m =.15.设函数()sin 2cos f x x x =-，已知常数0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且满足5cos 5θ=，5,22t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则关于t 的不等式()52f t θ+<的解集为 .16.祖暅是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容易.”这里的“幂”指水平截面的面积.“势”指高，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等。

于是可把半径相等的半球(底面在下)和圆柱(圆柱高等于半径)放在同一水平面上，圆柱里再放一个半径和高都与圆柱相等的圆锥(锥尖朝下)，考察圆柱里被圆锥截剩的立体，这样在同一高度用平行平面截得的半球截面和圆柱中剩余立体截得的截面面积相等，因此半球的体积等于圆柱中剩余立体的体积.设由椭圆()222210x y a b a b +=>>所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(如图，称为“椭球体”)，请类比以上所介绍的应用祖暅原理求球体体积的做法求这个椭球体的体积.其体积等于.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等比数列{}n a 满足11n n a S λ+=+，其中1λ≠-，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈. (1)求1a ；(2)设4λ=，若*n N ∀∈，12111nm a a a +++≤…恒成立，求m 的最小值. 18.随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M 的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：(1) 由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月的市场占有率；(2) 为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？ 参考公式：回归直线方程为y bx a =+，其中()()()121n iii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-. 19.如图，四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 垂直于底面ABCD ，3AB AC AD ===，2AM MD =，N 为PB 的中点，AD 平行于BC ，MN 平行于面PCD ，2PA =.(1)求BC 的长；(2)求二面角N PM D --的余弦值.20.已知椭圆22:12x C y +=的左右顶点分别为A 、B ，P 为椭圆C 上不同于A ，B 的任意一点.(1)求APB ∠的正切的最大值并说明理由；(2)设F 为椭圆C 的右焦点，直线PF 与椭圆C 的另一交点为Q ，PQ 的中点为M ，若OM QM =，求直线PF 的斜率.21.已知函数()()2ln 1af x x x a=+++. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 存在两个极值点12,x x 且满足()()124f x f x +>，求a 的取值范围. 22.在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为24y x =.(1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l 的参数方程是2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，l 与C 交于,A B 两点，46AB =，求l 的倾斜角.23.已知函数()1f x m x =--，m R ∈. (1)当1m =-时，求不等式()3f x ≥-的解集；(2)若()()220f x f x ++-≥的解集为[]2,4-，求m 的值.成都七中高2018届二诊模拟考试数学(理)参考答案一、选择题1-5:DBACB 6-10:BCAAD 11、12：CB 二、填空题 13.12 14.52± 15.513,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭16.243b a π⨯三、解答题17.解：(1)11n n a S λ+=+，11n n a S λ-=+两式相减得()11n n a a λ+=+. 于是公比1q λ=+. 所以()21111a a a λλ=+=+. 11a =.(2)5q =，15n n a a +=，15n n a -=， 11211111111515111554515nn nn a a a -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++=+++==-⎪⎝⎭-……， 所以m 的最小值为54. 18.解：(1)由题意： 3.5x =，16y =，()()6135i i i x x y y =--=∑，()62117.5i i x x=-=∑，35217.5b ==，162 3.59a y b x =-⋅=-⨯=，∴29y x =+， 7x =时，27923y =⨯+=.即预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%.(2)由频率估计概率，每辆A 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.2、0.35、0.35、0.1，∴每辆A 款车的利润数学期望为()()()()50010000.2100010000.35150010000.35200010000.1175-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)每辆B 款车可使用1年，2年，3年，4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴每辆B 款车的利润数学利润为()()()()50012000.1100012000.3150012000.4200012000.2150-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=(元)∵175150>， ∴应该采购A 款车.19.解：(1)取PC 的中点E ，连接EN 、ED ，因为EN 平行于BC ，AD 平行于BC ，所以EN 平行于MD ， 所以,,,M N E D 四点共面，因为MN 平行于面PCD ，面PCD 与面MNED 交与ED ，所以MN 平行于ED ， 所以MNED 为平行四边形. 所以2EN MD ==，24BC EN ==.(2取BC 中点F ，则AF 垂直于BC ，因为AD 平行于BC ，所以AF 垂直于AD ，于是以A 点为原点，AF 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立坐标系， 由AF 垂直于AD ，AF 垂直于AP 知面PMD 法向量为()1,0,0， 通过计算得面PMN 的法向量为6,2,15⎛⎫⎪⎝⎭. 经判断知二面角为钝角，于是其余弦为661-.20.解：(1)设椭圆上的点()()000,2P x y x ≠±，则220012x y +=， ∴0001222AP BP y y k k x x ⋅=⋅=-+-，设直线AP ，BP 的倾斜角分别为α，β，则tan AP k α=，tan BP k β=， ()()()tan tan tan tan tan 1tan tan APB βαπαπββααβ-=---=-=+⋅∠()()()2tan tan 2tan tan 22βααβ=-=-+-≤-，∴当且仅当αβπ+=时，最大值为22-.(2)由题可知，斜率一定存在且0k ≠，设过焦点F 的直线方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，则()222210x y my ++-=，∴()1221222221281y y m y y m m -⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=+⎪⎩，∴0202222x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴2242m OM m +=+，而()()2122111112222222222m QM PQ a e x x x m +⎛⎫==-+=-⋅= ⎪+⎝⎭，∵OM QM =，∴222241222m m m m ++=++，∴212m =，∴22k =，∴2k =±. 21.解：(1)定义域为{}1x x x a >-≠-且，()()()()()222211'211x a a f x a x x a x x a ⎡⎤+-=+⨯-=⎢⎥++++⎢⎥⎣⎦， 当2a ≥或0a ≤时，()'0f x ≥恒成立，当02a <<时，由()'0f x >得()2x a a <--或()2x a a >-， 于是结合函数定义域的分析可得：当2a ≥时，函数()f x 在定义域()1,-+∞上是增函数；当12a <<时，函数()f x 定义域为()1,-+∞，此时有()12a a -<--，于是()f x 在()()1,2a a ---上是增函数，在()()()2,2a a a a ----上是减函数，在()()2,a a -+∞上是增函数，当1a =时，函数()f x 定义域为()1,-+∞，于是()f x 在()1,1-上为减函数，在()1,+∞上为增函数，当01a <<时，函数()f x 定义域为()()1,,a a ---+∞，此时有()12a a a -<--<-，于是()f x 在()()1,2a a ---上是增函数，在()()2,a a a ---上是减函数，在()(),2a a a --上是减函数，在()()2,a a -+∞上是增函数，当0a ≤时，函数()f x 定义域为()()1,,a a ---+∞，于是()f x 在()1,a --上是增函数，在(),a -+∞上是增函数. (2)由(1)知()f x 存在两个极值点时，a 的取值范围是()()0,11,2，由(1)可知，()12122x x x x a a +=⎧⎪⎨⋅=-⎪⎩，()()()()()()()121212121221212122222ln 1ln 1ln 1a x x a a af x f x x x x x x x x a x a x x a x x a +++=+++++=+++⋅++++++()()()222242ln 1ln 1221a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤=-+=-++⎣⎦⎣⎦-+-； 不等式()()124f x f x +>化为()22ln 1201a a ⎡⎤-+->⎣⎦-，令()()()10,11,2a t a -=∈，所以()()1,00,1t ∈-，令()()22ln 2g t t t=+-，()()1,00,1t ∈-，当()1,0t ∈-时，()()22ln 2g t t t =-+-，()ln 0t -<，20t<，所以()0g t <，不合题意； 当()0,1t ∈时，()22ln 2g t t t =+-，()()222111'220t g t t t t -⎛⎫=⨯+⨯-=< ⎪⎝⎭， 所以()g t 在()0,1上是减函数，所以()()212ln1201g t g >=+-=，适量题意，即()1,2a ∈. 综上，若()()124f x f x +>，此时正数a 的取值范围是()1,2. 22.解：(1)∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入24y x =，∴2sin 4cos 0ρθθ-=(2)不妨设点A ，B 对应的参数分别是1t ，2t ，把直线l 的参数方程代入抛物线方程得：22sin 4cos 80t t αα-⋅-=，∴12212224cossin8sin1616sin0t tt tαααα⎧+=⎪⎪-⎪=⎨⎪⎪∆=+>⎪⎩，则21221616sin46sinAB t tαα+=-==，∴2sin2α=，∴4πα=或34πα=.23.解：(1)∵()113f x x=---≥-，∴12x-≤，∴[]1,3x∈-.(2)∵130m x m x-++--≥的解集为[]2,4-，∴132x x m++-≤，而22,3 134,1322,1x xx x xx x-≥⎧⎪++-=-<<⎨⎪-≤-⎩，∴当3m=时，解集为[]2,4.- 11 - / 11。