2013宜宾拔尖人才考试试题和答案

宜宾市2013年拔尖创新人才培养试点班招生文化测试数学试卷(考试时间：120分钟；全卷满分150分)注意事项:1.答题前,请务必将学校名称、姓名和考号填写在密封线内相应位置. 2．直接在试题卷上作答，不得将答案写到密封线内，不得另加附页.一、选择题：（本大题共8小题,每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在括号内．1. 在函数21-=x y 中，自变量x 的取值范围是（ A ）.A ．2>xB ．2≥xC ．2<xD ．2≤x 2. 下列计算正确的是（ B ）A ．2532a a a =+ B. 623)(a a =- C. 428a a a =÷ D. 623a a a =⨯3.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的三视 图如图所示，则这个几何体由（ B ）小正方体搭成. A ．9 B. 10 C ．11 D. 124．二果问价源于我国古代《四元玉鉴》：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”，则甜、苦果的个数分别是（ C ）. 设甜x 个，则999)1000(74911=-+x x ， A.648、352 B. 650、 350C. 657、343D. 666、3345. 如图，为了测得电视塔的高度EC ，在D 处用高2米的测角仪AD ，测得电视塔顶端E 的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B 处，又测得电视塔顶端E 的仰角为60°，则电视塔的高度EC 为（ A ）.正视图左视图 俯视图3题图4 11 2 2A. 米)152350(+B. 米)150352(+ C ．米)150350(+ D ．米)152352(+6. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB =2，AD =6， 将其折叠，使点D 与点B 重合，得折痕EF ，则 tan ∠BFE 的值是（ D ）.38=x ，BE =BF =310 A.21B. 1C. 2D. 3 7.已知关于x 的一元二次方程062=++m x x 的两个根恰好比方程02=++n mx x 的两个根都大1，则n m +的值为（ B ）A. 7B.23C.3D. －1或8.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 下列结论中：①0<+b a ； ②0>abc ； ③)1)((≠+>+n b an n b a ； ④1-=+c a ．其中正确的结论是（ D ）. ∵,0,0>><c b a A. ②③ B.①②④ 则②错.又由x =1C.③④ D. ①④ 排除法，应选D. 或者，由x =1和x =－1也可求证④对.二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请把答案直接填在题中横线上.9. 投掷一枚普通正六面体骰子，掷得点数大于4的概率是 .31 10．分解因式：=-+-+n n mn m m 222 . )1)((+--n m n m 11．981321211++++++ = . 2，分母有理化12. 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=-=+326a y x y x 的解是正数，则a 的取值范围 -9＜a ＜9 .13. 已知Rt △ABC 的两直角边边长分别是5、12，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于 .内切圆半径可求得为2，π430-5题图6题图C ′EC BAD45° 60°2100 F G 310 ACB DEF2 x 6-x2M14．如图，五边形ABCDE 中，∠B = ∠E = 90°， AB = CD = AE = BC ＋DE = 2，则这个五边形的面积 是 . 4 方法？15. 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称 点（x ，y ）为整点，给出下列命题：①直线21+=x y ，满足既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k 与b 都是无理数，则直线b kx y +=不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点； ④存在恰经过一个整点的直线.则其中真命题的是 ① ③ ④ (写出所有真命命题的编号)16.如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆的内壁逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周时，请将点M 、N2中.三、解答题：（本大题共6小题，共78分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A 、B 、C 、D 、E 五种不同类型的套餐，实行一段时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型（必选且只选一种）”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的统计图. EABCD14题图17题图M 16题图116题图2请你根据以上信息解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？并补全条形统计图；（2）如果全校有1200名学生，请你估计全校学生中喜欢B 与D 两种套餐的学生共有多少名？解：（1）60÷30%=200，故这次共调查200人，选C 类的学生共有：200-60-40-50-20=30（人）.如图补图. （2）若全校有1200名学生，则： 喜欢B 类套餐的学生共有：1200×=20040240（人）， 喜欢D 类套餐的学生共有：1200×=20050300（人）.共有540人. 18．（本小题满分12分）如图，一次函数b x k y +=1与反比例函数)0(2<=x xk y 的图象交于点P （－2，1）、 Q （－1，m ）.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）在x 轴上取一点E ，使线段EP ＋EQ 最小时，求四边形OEPQ 的面积. 解：（1）由P （－2，1），得22-=k , 故反比例函数为)0(2<-=x xy ， 将Q （－1，m ）代入，得：m =2， 即Q （－1，由Q （－1，2）和P （－2，1）可求得 直线QP 的解析式：3+=x y ；则M （0，3），N （－3，0）.（2）设由P （－2，1）关于x 轴的对称点为P ′，连Q 交x 轴于点E ，则EP ＋EQ 最小M. 此时，P ′ （－2，－1），Q （－1，2）， 可求得直线Q P ′ 的解析式为：53+=x y令y =0，则35-=x ，即E （35-，0）. S △PNE = 21NE ·y p = 21×34×1=32，S △QNO = 21NO ·Q y = 21×3×2=3,S 四边形OEPQ = S △QNO －S △PNE =3－32=37.19．（本小题满分13分）已知：E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，如图所示。

（1）探究四边形EFGH 的形状，并证明；（2）当四边形EFGH 是正方形时，请指出四边形ABCD 的对角线的关系，并说明理由. （3）猜想四边形EFGH 的面积与四边形ABCD 的面积的关系，并说明理由.（1）连AC 、BD ，易证四边形EFGH 为平行四边形； （2）当四边形EFGH 为正方形时， 说明EH =EF ,，故AC =BD ,又EH ⊥EF ，故AC ⊥BD即对角线AC 和BD 互相垂直且相等；（3）S 四边形EFGH =21S 四边形ABCD易证：S △AEH = 41S △ABDS △CGF = 41S △CDB ，∴S △AEH ＋ S △CGF = 41S 四边形ABCD同理可证S △BEF ＋ S △DHG = 41S 四边形ABCD∴S △AEH ＋ S △CGF ＋S △BEF ＋ S △DHG = 21S 四边形ABCD∴四边形EFGH =21S 四边形ABCDA CDE19题图B F GH20.（本小题满分13分）某市为了解城市的交通状况，交通部门对某段道路车辆通行能力进行调查. 一般情况下，在这段道路上通行的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数. 当车流密度达到300辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度均为54千米/时. 调查表明：当30≤x ≤300时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.（1） 当0≤x ≤300时，求车流速度v 与车流密度x 的函数关系式；（2） 当车流密度x 为多大时，车流量y (车流量= 车流密度×车流速度，单位：辆/小时)可以达到最大，并求出最大值.（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)30030(6051)300(54x x x v 过点（30,54）、（300,0）（2）由（1）可知，x y 541=，y 随x 的增大而增大，有最大值1620.2222215051)150300(516051)6051(⨯++--=+-=+-==x x x x x x xv y=4500)150(5122+--x当150=x 时，y 有最大值4500.即当车流密度为150辆/千米，车流量有最大值4500辆/时.21．（本小题满分14分）如图，⊙N 的圆心N 在以AF 为直径的⊙M 上，⊙M 的弦AE 所在的直线与⊙N 相切于D 点，⊙M 与⊙N其中的一个交点为C ，AC 交⊙N 于B 点，连结NE 、AN ，设⊙N 、⊙M 的半径分别为2和3.（1）求证：AN ·NE = 12； （2）若AD =21， 求BC 的长．（1）连DN 、EF 、FN ，则可证EF ∥DN ，∠DNE =∠NEF ，而∠NEF =∠NAF ，故∠DNE =∠NAF ， 证△Rt AFN ∽Rt △NED . ∴DNANEN AF ，∴AN ·NE = 12； （2）连NB 、NC ，过N 作NG ⊥BC ， 易得AN =5，从而NF =11，而cos C =cos F =611, 在Rt △NGC 中，CG =NC ·cos C =311 ∴BC =2CG =3112.21题图22．（本小题满分14分）如图所示，抛物线2ax y =过点A （1，1），点B （m ，n ）在抛物线上运动，在线段AB 上取一点Q ，使得BQ = 2QA .（1）当点B 的横坐标m =－2时，求点Q 的坐标；（2）过Q 点作x 轴的垂线交抛物线于点M ，在线段QM =2MP ，求点P （x , y ）的纵坐标y 与横坐标x 解：（1）过B 作BH ⊥x 轴，交点H ， 过A 作AG ⊥BE ，交点G ，易求得抛物线为2x y = 点B （m ，n ）在抛物线上，当m =－2时，易得4=n ， 而A （1，1）， 故BG =3，AG =3∵QA ：BA =1：3，故AR ：AG =1：3，AR =1，故此时 可求得AB 直线的解析式为：2+-=x y 当x =0时，y =2，故Q (0，2). （2）过Q 作x 轴的平行线，交点如图所示.设P （x ，y ），则M （x ，2x ），Q （x ，1y ），由QM =2MP ，得：)(2221y x x y -=-，∴y x y 2321-=， 由（1）知，EG =2QF ，EB =2AF ，而EQ =m x -，QF =x -1，故：)1(2x m x -=-，得：23-=x m ， EB =1y n -，AF =11-y ，故：)1(211-=-y y n ， 即：269)23(323221--=-=-=y x y x y n ，又点B 在抛物线上，∴2m n =，∴2692--y x 2)23(-=x ， 解得：12-=x y .22题图。