19.2.1 矩形的定义和性质

G
A
∴∠1=45 °, B ∴∠2=∠ACF-∠ACD=15 °
如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°,现将补成 矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点， 第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求 的矩形可以画出两个，矩形ACBD和矩形AEFB D A 1）矩形ACBD和矩形AEFB的 面积有何数量关系？ B 2）如果△ABC是钝角三角形， E 按短文中的要求把它补成矩形那么 C 符合要求的矩形可以画出几个？ F 试试看。 3)如果△ABC是锐角三角形呢?
（1）试判断MD与MB的大小关系。 （2）试判断MN与BD的位置关系。
D M N B C
A
2、如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同， 把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30°,分别 求∠1、∠2的度数。
F 1 E H D 2 C
解:依题意可知: ∠FAE=∠DCA=30 °,AF=AC ∴∠DAC=60 °, ∴∠FAC=90 °,
C 证明一：∵四边形ABCD是矩形 矩形的性质： ∴AB=CD,∠ABC=∠DCB ∴△ABC≌△DCB 1、矩形的四个角均为直角 ∴AC=BD 证明二：∵四边形ABCD是矩形 2、矩形的对角线相等 ∴ ∠ABC=∠DCB=90°， AB=CD AC 2 AB2 BC 2 , BD 2 CD2 BC 2 ∴ 注：矩形还含有平行四边形的所有性质 ∴AC=BD
练一练
1. 已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边 AC上的中线. 6 (1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝; 10 (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝, 5 BD＝_____㎝.
A D
┓
B
C
学海
无涯
2.在 RtABC 中，斜边AC上的中线 和高分别是6cm和5cm，则 RtABC 的 面积S=（ 30cm2 ）。
学有所得
A O B D
直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半.
C
即兴练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其 5 斜边上的中线长为________.
已知: 如图，矩形ABCD的 A 两条对角线交于点O, AB= 4cm ，∠AOB=60°。 求矩形对角线的长。 B
试一试
已知矩形ABCD,请找出所有的直角三角形和 等腰三角形. C Rt△ADC、 Rt△DCB、 D Rt△DAB、 Rt△ABC、
O
A
B
△ADO、 △DOC、 △COB、 △AOB、
矩形的问题可以 转化到直角三角形或 等腰三角形来解决．
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点Ｏ， AB=4cm,∠AOB=60°,求矩形对角线的长。 D 解：∵四边形ABCD是矩形， A
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
D O C
图中我们常见的特殊 ∴OA=OD， 又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） ∴矩形的对角线AC=BD=2OA=8 ( cm ) .
三角形有哪些？
1、如图，矩形ABCD的对角线的长为2， ∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为______. 3 2、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短 7.2 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____cm.
在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的 交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ A D
O
B
C
公平,因为OB=OD = OA=OC
A
在 RtABC 中，∠ABC=900 ， BO是斜边AC上的中线 O
D
B
1 1 1 OB=OD OB = AC AC= 2 BD = OA=OC= 2 2
C
推论：直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。
为直角三角形的有关 问题进行解答.
∴BC=7
∴矩形ABCD的周长为22cm
说说：
今天的收获……
你还有什么不明白的地方……
1、矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形 矩形的对边平行且相等 2、矩形 矩形的四个角均为直角 矩形的对角线互相平分且相等
3、直角三角形的一个重要性质：斜边上的中线 等于斜边的一半； 4、在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用 直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。
19
四边形
作
P95练习题 习题19.2 复习题19
业
1、2、3 4、9、
3、
学海
无涯
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（A ） A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.下面性质中，矩形不一定具有的是（ D ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
A
A
D E
B
C
3.在Rt⊿ABC中， ∠C=90°，
AB=2AC. 求∠ A 、 ∠B 的度数.
A
思路分析
作斜边AB边的中线
则 AD=CD=
1 2
AB
1 2
又∵AB=2AC ∴AC=AD=CD= AB
D
∴⊿ACD是等边三角形 ∴∠A=60°
C
B
∴∠B=30 °
4.矩形ABCD 中,AB=2BC,AE=AB,求∠EBC 的度数 E
四边形 矩形 平行四边形 四边形 平行四边形 矩形
A
四边形 平行四边形 矩形
B
四边形 矩形 平行四边形
C
D
在操作过程中,请你思考下列问题: 1、平行四边形变成矩形时，图形的内角 有何特征？ 2、平行四边形变成矩形时，两条对角线 的长度有什么关系？
A
D
求证:矩形的对角线相等
O
B 已知：矩形ABCD中， 对角线AC和BD相交于点O, 求证：AC=BD
Dห้องสมุดไป่ตู้
C
A
B
5.设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分 别为S1、S2，• 二者的大小关系是： 则 S1________S2．
6.已知如图，O是矩形ABCD对角 线的交点，AE平分∠BAD， ∠AOD=1200，求∠EAO的度数和 ∠OEA的度数 。
7.已知：如图，在四边形ABCD中，
∠ABC=∠ADC=900，M是AC的中点，N是 BD的中点。
∴AC与BD相等且互相平分。 ∴ OA = OB。 又 ∠AOB=60°， B ∴ ΔOAB是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） ∴ AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）
600 1200
O
C
变式：若BD=8cm,∠AOD=120°，求边AB的长。
问题: 体育节中有一投圈游戏,四个同学分别站
A B A O D
第1题
D
C
B
第2题
C
3、矩形ABCD中,AC、BD相交于点O， 16 AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____
A
O B C
D
1、如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E， ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。 A D 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠C＝∠B=∠BAD=90°,AB=DC ∵DE=5,EC=3 ∴DC2=DE2-EC2=52-32,即：DC=4 B C ∵AE平分∠BAD E ∴∠BAE=45° 注:解决矩形的有关问 题时,常根据性质转化 ∴AB=BE＝4
§19.2 .1矩形的定义、性质
矩形
平行四边形有哪些性质？
边 角 对角线 对称性 中心对 称图形
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 边形 且相等 邻角互补 相平分
细心观察平行四边形内角的变化
学习新知
定义：有一个角是直角的平行 四边形叫做矩形．
1、是平行四边形 2、有一个角为直角
选择题:下列哪个图形能够反映四边形、平行四边形、 矩形的关系
边
角
对角线 对角线互 相平分
对称性 中心对 称图形
平行四 边形
矩形
对边平行 对角相等 且相等 邻角互补 对边平行 四个角 且相等 为直角
对角线互相 中心对称图形 平分且相等 轴对称图形
O
这是矩形所 特有的性质
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是（ A ）. A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm， 则它的对角线长是 5 cm.