圆柱和圆锥
等底等高的圆锥和圆柱的关系
等底等高的圆锥和圆柱的关系
圆柱的体积与它等底等高的圆锥的体积是3倍的关系，即比值一定，成正比例。
设：等低等高的圆柱体与圆锥体的地面积为S,高为h。
则圆柱体的体积为V1=Sh。
圆锥体的体积V2=Shx1/3。
即V2=V1x1/3。
则圆柱体与圆锥体的体积比为三比一。
圆锥组成
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高。
圆锥母线：圆锥的侧面展开形成的扇形的半径，底面圆周上任意一点到顶点的距离。
圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2；没展开时是一个曲面。
圆锥有一个底面，一个侧面，一个顶点，一条高，无数条母线，且底面展开图为一圆形，侧面展开图是扇形。
圆锥与圆柱体
圆锥与圆柱体圆锥和圆柱体是几何学中常见的二维和三维图形，它们具有一些共同的特点，同时也有着各自独特的性质和用途。
一、定义与性质1. 圆锥圆锥是由一个圆锥面和一个封闭的尖点组成的几何形体。
圆锥面是一个由直线和圆相交而形成的曲面，封闭的尖点又被称为顶点。
圆锥的底面是一个圆，底面的圆心与顶点的连线称为轴线。
圆锥常用的性质有：- 每一个右圆锥都可以看作是一个直角三角形绕其一条直角边旋转一周而成。
- 圆锥的侧面是由无数个生成直线连成的，这些生成直线都过圆锥的顶点，并与底面圆相交于不同的点。
- 圆锥的底面和侧面之间没有交点，形成了尖锐的锥尖部分。
2. 圆柱体圆柱体是由一个圆柱面和两个平行圆形底面组成的几何图形。
圆柱面是一个由圆和平行于底面的直线构成的曲面，底面之间的连线称为轴线。
圆柱体常用的性质有：- 圆柱体的两个底面是相等的圆，其圆心与轴线上的任意一点连成的线段称为直径。
- 圆柱体的两个底面平行，并且与轴线垂直。
- 圆柱体的侧面由无数个生成直线连成的，这些生成直线与底面圆相交于不同的点。
二、特殊的1. 正圆锥与正圆柱体正圆锥是底面圆和轴线垂直的圆锥，同时侧面各个生成直线与底面相交的线段长度相等。
正圆柱体是底面圆和轴线垂直的圆柱体，底面圆的半径和轴线的长度相等。
正圆锥和正圆柱体的共同性质有：- 所有生成直线的倾角都相等，并且垂直于底面圆和轴线。
- 侧面形成的是一个等腰三角形，其底边就是底面圆的周长。
2. 角锥与斜圆柱体角锥是底面圆和轴线之间有一个倾斜角度的圆锥，斜圆柱体是底面圆和轴线之间有一个倾斜角度的圆柱体。
角锥和斜圆柱体具有一些特殊性质：- 所有侧面的生成直线都与底面圆相交于不同的点，并且倾斜于底面圆和轴线。
- 侧面形成的图形不再是一个等腰三角形，而是一个斜三角形。
三、应用与实际意义圆锥和圆柱体在实际生活中有着广泛的应用，下面举几个例子：1. 灯罩灯罩常常采用圆锥形状，底面圆形可以更好地散发光线，而圆锥形状的侧面可以使灯光更加集中和聚焦。
圆柱圆锥的表面积公式和体积公式
圆柱圆锥的表面积公式和体积公式圆柱的表面积公式是：A = 2πrh + 2πr^2
其中，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高度。
圆柱的体积公式是：V = πr^2h
其中，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高度。
圆锥的表面积公式是：A = πr(r + l)
其中，r为圆锥的底面半径，l为圆锥的斜高。
圆锥的体积公式是：V = (1/3)πr^2h
其中，r为圆锥的底面半径，h为圆锥的高度。
除了上述公式，我们还可以拓展一些相关的公式：
圆柱的侧面积公式是：S = 2πrh
其中，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高度。
这个公式是指圆柱的侧面的表面积，不包括底面和顶面。
圆锥的侧面积公式是：S = πrl
其中，r为圆锥的底面半径，l为圆锥的斜高。
这个公式是指圆锥的侧面的表面积，不包括底面。
希望以上回答能对您有帮助。
圆柱圆锥的关系和分别的特点
圆柱圆锥的关系和分别的特点
圆柱的特点：
1、上下一样粗细；
2、两个底面；
3、有一个面是曲面；
4、有无数条高；
5、侧面展开是一个长方形或平行四边形。
圆锥体体的特点：
1、侧面展开是一个扇形；
2、只有下底,为圆.所以从正上面看是一个圆；
3、从侧面水平看是一个等腰三角形；
4、由等腰三角形绕底边的高旋转得到一个圆锥；也可以由直角三角形绕一个直角边旋转得到一个圆锥；
5、圆锥体是轴对称的；
6、圆锥侧面展开扇形的弧长等于底边圆的周长；横截面是一个圆形；纵截面是一个等腰三角形；
7、所有母线的长度都相等；母线的长度大于锥体的高。
圆柱和圆锥的各种计算公式
圆柱和圆锥的各种计算公式
一、圆柱的计算公式：
1.周长(即底面周长)：
周长=2πr（其中，r为底面半径）
2.底面积：
底面积=πr²
3.侧面积：
侧面积=周长×高
4.全面积：
全面积=底面积+侧面积
5.体积：
体积=底面积×高
二、圆锥的计算公式：
1. 斜高（slant height）：
斜高=√(高²+底面半径²)
2.侧面积：
侧面积=πr×斜高
3.底面积：
底面积=πr²
4.全面积：
全面积=底面积+侧面积
5.体积：
体积=(1/3)×底面积×高
请注意，上述公式中的符号说明如下：
-r代表圆柱（或圆锥）底面的半径。
-高表示圆柱（或圆锥）的高度。
下面，我们将详细探讨这些公式的应用。
一、圆柱的应用：
圆柱常见的应用场景包括圆柱体的容积计算，如油桶的容量、筒形容器的装载容量等；圆柱体的表面积计算，如圆筒包装纸的表面积等。
二、圆锥的应用：
圆锥常见的应用场景包括圆锥形礼帽、圆锥形座椅等。
除了以上介绍的常见计算公式，圆柱和圆锥还有许多其他的性质和公式，如圆锥的母线长度、圆柱的截面积等。
这些公式可以在需要时进行查阅。
在几何学中，运用这些公式计算圆柱和圆锥的参数可以帮助我们解决很多实际问题。
无论是在建筑设计、机械制造还是科学研究领域，这些公式都有着广泛的应用。
希望通过上述介绍，能够帮助读者更好地理解和应用圆柱和圆锥的计算公式。
圆柱体和圆锥体的不同点和相同点
圆柱体和圆锥体的不同点和相同点
圆柱体和圆锥体是几何体中常见的形状，它们都有一些相似之处，同时也存在一些显著的不同点。
让我们来探讨一下它们的相同
点和不同点。
相同点：
1. 都是由圆形的底面和侧面构成的。
圆柱体的底面和侧面都是
圆形，而圆锥体的底面是圆形，侧面是由一条直线和底面上的点连
接而成的锥形。
2. 都具有体积和表面积。
它们的体积都可以通过相似的公式计算，即V = 底面积× 高，而表面积也可以通过类似的公式计算，
包括底面积和侧面积。
不同点：
1. 形状不同。
圆柱体是由两个平行的圆形底面和连接两个底面
的侧面构成的，而圆锥体则是由一个圆形底面和侧面构成的锥形体。
2. 体积和表面积的计算公式不同。
由于形状的差异，圆柱体和圆锥体的体积和表面积计算公式也不同，圆柱体的体积为V =
πr²h，表面积为S = 2πr² + 2πrh，而圆锥体的体积为V = (1/3)πr²h，表面积为S = πr² + πrl。
3. 应用场景不同。
由于形状的特性，圆柱体和圆锥体在实际生活中的应用也不同。
圆柱体常常用于容器、管道等的设计，而圆锥体则常见于锥形容器、锥形灯罩等的设计中。
综上所述，圆柱体和圆锥体在形状、体积和表面积的计算公式以及应用场景上存在着一些明显的不同点，但它们都具有圆形底面和侧面构成的共同特点。
这些几何体的特性不仅在数学中有着重要的意义，也在工程设计和日常生活中有着广泛的应用。
圆柱体与圆锥体的计算方法
圆柱体与圆锥体的计算方法圆柱体和圆锥体是几何学中常见的立体图形。
在进行计算时，我们需要掌握一些基本的计算方法，以便求解其体积、表面积和侧面积等相关参数。
下面将详细介绍圆柱体和圆锥体的计算方法。
一、圆柱体的计算方法圆柱体是由一个底面为圆形的圆筒和两个平行于底面的圆盖组成的立体。
求解圆柱体的体积、表面积和侧面积等参数时，我们需要以下一些计算方法：1. 圆柱体的体积计算方法圆柱体的体积是指圆柱体内部可以容纳的空间大小。
计算圆柱体的体积时，我们需要知道圆柱体的底面半径r和高h。
圆柱体的体积公式如下：V = π * r² * h其中，V表示圆柱体的体积，π为圆周率，r为底面圆的半径，h为圆柱体的高度。
2. 圆柱体的表面积计算方法圆柱体的表面积是指圆柱体所有表面的总面积。
计算圆柱体的表面积时，我们需要知道圆柱体的底面半径r和高h。
圆柱体的表面积公式如下：S = 2 * π * r² + 2 * π * r * h其中，S表示圆柱体的表面积，π为圆周率，r为底面圆的半径，h 为圆柱体的高度。
3. 圆柱体的侧面积计算方法圆柱体的侧面积是指圆柱体侧边的面积。
计算圆柱体的侧面积时，我们需要知道圆柱体的底面半径r和高h。
圆柱体的侧面积公式如下：A = 2 * π * r * h其中，A表示圆柱体的侧面积，π为圆周率，r为底面圆的半径，h 为圆柱体的高度。
二、圆锥体的计算方法圆锥体是由一个底面为圆形的圆锥和一个连接底面中心与顶点的侧面组成的立体。
求解圆锥体的体积、表面积和侧面积等参数时，我们需要以下一些计算方法：1. 圆锥体的体积计算方法圆锥体的体积是指圆锥体内部可以容纳的空间大小。
计算圆锥体的体积时，我们需要知道底面圆的半径r和圆锥体的高h。
圆锥体的体积公式如下：V = (1/3) * π * r² * h其中，V表示圆锥体的体积，π为圆周率，r为底面圆的半径，h为圆锥体的高度。
2. 圆锥体的表面积计算方法圆锥体的表面积是指圆锥体所有表面的总面积。
圆柱和圆锥各有什么特征
圆柱和圆锥各有什么特征在我们的日常生活和学习中，圆柱和圆锥是常见的几何图形。
它们具有独特的特征，这些特征不仅在数学中有着重要的地位，也在实际生活中有着广泛的应用。
先来说说圆柱。
圆柱有两个底面，这两个底面是完全相同的圆。
想象一下，我们常见的易拉罐、水杯，它们的底部和顶部就是圆柱的两个底面。
而且这两个底面是平行的，彼此之间的距离始终保持不变，这个距离就是圆柱的高。
圆柱的侧面是一个曲面，如果我们把圆柱的侧面沿着一条高剪开，展开后会得到一个长方形。
这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽就等于圆柱的高。
圆柱的表面积由两个底面的面积和侧面的面积组成。
底面的面积很好计算，因为底面是圆，根据圆的面积公式πr²（其中π通常取 314，r 是底面圆的半径），就可以算出一个底面的面积，乘以 2 就是两个底面的面积。
侧面的面积则是底面周长乘以高，底面周长是2πr，所以侧面面积就是2πrh。
把两个底面面积和侧面面积相加，就得到了圆柱的表面积。
圆柱的体积计算也有专门的公式。
我们把圆柱想象成是由无数个同样大小的圆片堆叠而成的，那么它的体积就等于底面积乘以高，即 V ＝πr²h。
再看看圆锥。
圆锥只有一个底面，这个底面也是一个圆。
从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。
圆锥的侧面同样是一个曲面，把圆锥的侧面展开，会得到一个扇形。
圆锥的表面积包括底面圆的面积和侧面扇形的面积。
底面圆的面积还是πr²。
而侧面扇形的面积计算相对复杂一些，需要用到圆锥母线的长度（圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段）。
圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。
即 V ＝1/3πr²h。
在实际生活中，圆柱和圆锥的应用非常广泛。
比如建筑物中的圆柱形状的柱子，它们能够提供稳定的支撑；还有一些圆锥形的屋顶或者漏斗，能够有效地引导水流或者物料的流动。
从数学角度来看，圆柱和圆锥的特征不仅有助于我们理解空间几何的概念，还为解决很多数学问题提供了基础。
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（高特）三阶备课教员姓名:***第五章立体几何第二讲圆柱与圆锥一、教学目标：1、通过对圆柱和圆锥知识的复习，进一步熟练解答基本的数学问题。
2、通过猜想、估算、验证等数学活动，应用圆柱圆锥之间的内在联系解决生活中的问题，同时培养学生的估算能力。
二、教学重点：灵活计算圆柱体的表面积，圆柱体和圆锥的体积，解决实际问题。
三、教学难点：灵活计算圆柱体的表面积，圆柱体和圆锥的体积，解决实际问题。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、外星游记（7分钟）师：还记得哪些与圆柱圆锥有联系的计算公式？生：回答相联系的数学公式。
师：到底同学们的掌握情况怎样呢？我们一起来做个抢答练习好吗？生：回忆基本知识。
师：到底同学们掌握得怎样呢？老师想通过一个练习来检查同学们公式灵活运用的情况，愿意接受这次挑战吗？1、抢答练习，请说出你的思考过程。
（1）一个圆柱体底面周长12.56米，求它的底面积是多少平方米？（2）一个圆柱体木块的体积是90立方米，用他削成一个等底等高的圆锥模型，被削掉的部分是多少立方米？（3）一根圆柱形状的木料底面直径16厘米、高20厘米，沿着它的底面直径和高切成相等的两块，表面积增加多少平方厘米？学生抢答，并说出自己的思考过程，教师板书。
师：这节课我们将继续学习一下圆柱与圆锥表面积和体积等有关计算。
板书：圆柱与圆锥二、星海遨游（40分钟）（一）01星海遨游（10分钟）有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)。
如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？师：题目中要求涂上油漆的面积，相当于求什么？生：图形的表面积。
师：仔细观察这图，这跟我们上节课学过的挖空问题是不是一样的？生：是的。
师：这样的洞孔会增加什么面？ 生：洞的侧面。
师：太棒了！则如何去求涂上油漆的面积呢？ 生：等于零件的表面积+圆孔的侧面积。
师：圆柱的表面积的计算公式是什么？ 生：2×底面积+侧面积=2πR ²+2πRh 。
师：你们太棒了！接下来会求了吗？ 生：会。
板书：3.14×（26）²×2+3.14×6×10+3.14×4×5=307.72（平方厘米）答：一共要涂307.72平方厘米。
02星海历练（5分钟）如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体。
问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5分析：观察图形可知，这个立体图形的表面积是底面半径1.5米的圆柱的表面积与底面半径1米和底面半径0.5米的两个圆柱的侧面积之和，据此利用圆柱的表面积和侧面积公式计算即可解答。
板书：解：2×π×1.5²+2×π×1.5×1+2×π×1×1+2×π×0.5×1 =10.5π=32.97（平方米）答：这个物体的表面积是32.97平方米。
（二）03星海遨游（15分钟）如图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积。
(π 3.14 )16.56m师：图中阴影部分是2个圆和一个长方形，用阴影部分做成一个油桶，那么2个圆就是油桶的什么部分？ 生：油桶的底面。
师：图中的长方形在做成油桶后，刚好是油桶的什么部分？ 生：油桶的侧面。
师：用这个长方形做成侧面，有几种情况？生：2种。
师：有哪2种？生：一种是以长方形的宽为油桶的底面周长，另一种是以长方形的长为油桶的底面周长。
师：很好，我们先看第一种，以长方形的宽为底面周长，从图中我们可以看出长方形的宽等于什么？生：圆的直径的2倍，也就是4R。
师：如果可以做成油桶的话，那么长方形的宽还可以等于什么？生：2πR。
师：而4π和2πR会相等吗？生：不会。
师：所以长方形的宽能做底面周长吗？生：不能。
师：所以只能用什么做油桶的底面周长？生：长方形的长。
师：同学们太棒了，从图中可以看出，圆的直径加上长方形的长等于多少？生：15.56m。
师：而长方形的长作为油桶的底面周长等于什么？生：2πR。
师：所以15.56等于什么？生：2R+2πR。
师：对，很好，这样能求出R等于多少？生：16.56÷[2×（1+3.14）]=2（米）。
师：油桶的高，也就是长方形的什么？生：宽。
师：从图中可以看出长方形的宽等于什么？生：4R。
师：那油桶的高等于多少？生：4×2=8（米）。
师：很好，现在油桶的底面半径和油桶的高都求出来了，油桶的容积怎么求？生：油桶的容积=πR²×高。
师：太棒了！板书：解：16.56÷[2×（1+3.14）]=2（米）。
3.14×2²×（4×2）=100.48（立方米）答：这个油桶的容积是100.48立方米。
04星海历练（10分钟）拓展一：如图是一块长方形铁皮，利用图中的阴影部分正好能做成一只铁皮油桶，这只油桶的容积是多少立方分米？（接头忽略不计，单位：分米）分析：由图意可知：油桶的高就是8分米，底面圆的半径就是8÷2÷2=2分米，根据圆柱的体积公式可以求出油桶的容积。
板书：解：圆柱的底面半径：8÷2÷2=2（分米）油桶的体积：3.14×2²×8=100.48（立方分米）答：这只油桶的容积是100.48立方分米。
拓展二：如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π取3.14)10cm分析：从图中很容易看出长方形铁皮的宽就等于圆柱体底面直径，长等于圆柱体的底面周长+2个圆柱体底面直径。
板书：解：2×3.14×10+2×10×2=62.8+40=102.8（平方厘米）20×102.8=2056（平方厘米）答：原来长方形铁皮的面积是2056平方厘米。
三、火星漫步（3分钟）1、圆柱的侧面展开是一个长方形，长方形的一边就是圆柱的底面周长，另一边就是圆柱的高。
2、圆柱表面积的计算公式：2侧面积个底面积=+=+22π2πS rh r圆柱第二课时（50分钟）一、外星游记（5分钟）师：同学们好！生：老师好！师：同学们，上节课我们学习的内容大家还记得吗？生：记得，圆柱的表面积。
师：大家大致回忆一下，关于圆柱的表面积，有哪些知识点。
让学生自由回答，回答的不完整再进行补充……师：上节课主要学习的这些知识点运用起来还是比较简单的对不对？生：对。
师：大家是不是觉得没什么挑战性？生：是的。
师：好，那这节课我们就来点难度高的，大家有信心战胜他们吗？生：有。
师：好样的，有勇气，不愧是我的学生。
那我们就一起来迎接挑战吧！二、星海遨游（40分钟）（一）05星海遨游（10分钟）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米。
在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？师：如果说水面淹没铁块，那么水面的高度会求吗？生：会，就用水的体积加上正方体的体积再去除以玻璃杯的底面积就可以了。
师：是的，可是这里说水面没有淹没铁块，那怎么求呢？生：不知道。
师：那我们考虑一下，在没放入正方体和放入正方体后，什么是没有改变的？生：水的体积。
师：对的，在放入正方体后，这个玻璃杯中哪一部分是没有水的？生：正方体这部分。
师：对的，我们把题目的意思改动一下，如图，中间是一个正方体，外面是一个圆柱的环形玻璃杯，再往这里面到水。
同学们能听懂吗？生：能。
师：那么它的底面积是多少呢？生：72-6×6=36（平方厘米）。
师：那现在会求水面的高度吗？生：会了。
板书：解：水的体积=72×2.5=180（立方厘米）后来水面的高=180÷（72-6×6）=5（厘米）答：这时水面高5厘米。
06星海历练（5分钟）一个圆柱形容器中放着一个长方体铁块。
现在以不变的速度往容器中注水3分钟后，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，整个容器灌满了水。
已知容器的高度从里面量是40厘米，长方体铁块的高度是25厘米，那么长方体的底面积与圆柱形容器的底面积比是多少？分析：底面积相等，体积比等于高之比。
板书：解：上面部分的体积是下面部分的18÷3＝6倍下面部分相当于上面部分（50－20）÷6＝5厘米深的水1所以下面部分的底面积相当于上面部分的5÷20＝4则可知道长方体占用的面积和容器底面积的比是（1－41）：1＝3：4 答：长方体的底面积与圆柱形容器的底面积比是3:4。
（二）07星海遨游（10分钟）一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是多少？(π取3.14)8(单位：厘米)4106师：这是一道求组合图形的体积的题目，遇到这种题目，我们该怎么思考呢？ 生：不知道，瓶子的上面是一个不规则的图形，没法计算。
师：仔细观察题目，瓶子的容积是不是等于里面水的体积+空出部分的体积？ 生：是。
师：不管瓶子是正放还是倒着放，里面的水会不会减少？ 生：不会。
师：同样的，空出部分的体积是不是也不会改变？ 生：是。
师：仔细观察第一个图，里面的水刚好是一个什么图形？ 生：圆柱体。
师：根据图中的数据，能把它的体积能求出来吗？ 生：能，等于π×（4÷2）²×6。
师：对，我们接着观察第2个图，空出的部分是一个什么图形？ 生：圆柱体。
师：圆柱体的高是多少？ 生：10-8=2（厘米）。
师：能求出空出部分的体积吗？ 生：能。
师：接下来瓶子的容积会求吗？ 生：会了。
板书：解：π×（4÷2）²×（10-8+6）=100.48（立方厘米）三、08星海历练（15分钟） 难题分析一： 一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图：已知它的容积为26.4π立方厘米。
当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米。
问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？26分析：根据题意知道液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的（6÷2）倍，那么液体体积是酒精瓶容积的133+，由此即可求出瓶内酒精的体积。
板书：解：酒精的体积：空出部分的体积=3:1 3+1=426.4π×43=19.8π=62.172（立方厘米）62.172立方厘米=0.062172升答：瓶内酒精的体积是62.172立方厘米。