概率-matlab上机实验

数学实验－概率

学院：理学院

班级：xxxx

姓名：xxxx

学号：xxxx

指导教师：xxxxx

实验名称：概率

试验目的：

1)通过对mathematica软件的练习与运用，进一步熟悉和掌握mathematica软件的用法与功能。

2)通过试验过程与结果将随机实验可视化，直观理解概率论中的一些基本概念，并初步体验随机模拟方法。

实验步骤：

1)打开数学应用软件——Mathematica ，单击new打开Mathematica 编辑窗口；

2)根据各种问题编写程序文件；

3)运行程序文件并调试；

4)观察运行结果(数值或图形)；

5)根据观察到的结果写出实验报告，并析谈学习心和体会。

实验内容：1)概率的统计定义

2)古典概型

3)几种重要分布

1)二项分布

2)泊松分布

4)概率问题的应用

(一)概率的统计定义

我们以抛掷骰子为例，按古典概率的定义，我们要假设各面出现的机会是等可能的，这就要假设：

(1)骰子的质料绝对均匀；

(2)骰子是绝对的正方体：

(3）掷骰子时离地面有充分的高度。

但在实际问题中是不可能达到这些要求的，假设我们要计算在一次抛掷中出现一点这样一个事件 的概率为多少，这时，已无法仅通过一种理论的考虑来确定，但我们可以通过试验的方法来得到事件 概率：设反复地将骰子抛掷大量的次数，例如n 次，若在n 次抛

掷中一点共发生了 次，则称

是 这个事件在这n 次试验中的频率，概率的统计定义就是将 作为事件 的概率P( )

的估计。

这个概念的直观背景是：当一个事件发生的可能性大（小）时，如果在同样条件下反复重复这个实验时，则该事件发生的频繁程度就大（小）。同时，我们在数学上可以证明：对几何任何一组试验，当n 趋向无穷时，频率 趋向同一个数。

<练习一>

模拟掷一颗均匀的骰子,可用产生1-6的随机整数来模拟实验结果

1) 作n=200组实验，统计出现各点的次数，计算相应频率并与概率值1/6比较；

2) 模拟n=1000，2000，3000组掷骰子试验，观察出现3点的频率随试验次数n 变化的情形，从中体会频率和概率的关系。

1/m n 1A 1A 1/m n 1/m n 1A 1A 1A 1m

1)实验程序：

a=b=c=d=e=f=0;m=0;n=200;

Do[m=Random[Integer,{1, 6}];

If[m<2,a=a+1,

If[m<3,b=b+1,

If[m<4,c=c+1,

If[m<5,d=d+1,

If[m<6,e=e+1,

If[m<7,f=f+1]]]]]],{i,1,n}]

Print[a]Print[b]Print[c]Print[d]Print[e]Print[f]

Print[a/n]Print[b/n]Print[c/n]Print[d/n]Print[e/n]Print[f/n]实验结果

33 25 29 43 36 34

0.165 0.125 0.145 0.215 0.18 0.17与理论值0.167比较，仍有差距.

2)实验程序

a=b=c=d=e=f=0;m=0;n=1000;

Do[m=Random[Integer,{1, 6}];

If[m<2,a=a+1,

If[m<3,b=b+1,

If[m<4,c=c+1,

If[m<5,d=d+1,

If[m<6,e=e+1,

If[m<7,f=f+1]]]]]],{i,1,n}] Print[c]

Print[c/n]

a=b=c=d=e=f=0;m=0;n=2000; Do[m=Random[Integer,{1, 6}]; If[m<2,a=a+1,

If[m<3,b=b+1,

If[m<4,c=c+1,

If[m<5,d=d+1,

If[m<6,e=e+1,

If[m<7,f=f+1]]]]]],{i,1,n}] Print[c]

Print[c/n]

a=b=c=d=e=f=0;m=0;n=3000; Do[m=Random[Integer,{1, 6}]; If[m<2,a=a+1,

If[m<3,b=b+1,

If[m<4,c=c+1,

If[m<5,d=d+1,

If[m<6,e=e+1,

If[m<7,f=f+1]]]]]],{i,1,n}]

Print[c]

Print[c/n]

实验结果

179 0.179

335 0.1675

503 0.1676

从以上看出，随着n的增大，概率逐渐接近理论值1/6.

<练习二>

计算在同时抛掷三个骰子的实验中，哪一种点数和出现的概率最大？哪种点数和出现的概率和最小?

实验程序:

t={};For[i=1,i<=18,i++,AppendTo[t,{i,0}]];For[i=1,i<=6,i++, For[j=1,j<=6,j++,For[k=1,k<=6,k++,t[[i+j+k,2]]++]]];Drop[t, 2]

输出结果:

{{3,1},{4,3},{5,6},{6,10},{7,15},{8,21},{9,25},{10,27},{11, 27},{12,25},{13,21},{14,15},{15,10},{16,6},{17,3},{18,1}} 可见3和18出现的概率最大,10和11出现的概率最小

(二)古典概型

在“等可能性”概念的基础上，引进古典概率的定义。

定义：假设某一试验满足下面的条件：（1）它的全部可能结果只有有限个，设此数为N （2）每个结果等可能出现，则一个恰好包含M 个结果的事件A （如在掷骰子的试验中，A 为出现偶数点的事件，则M

＝3）的概率定义为 <练习三〉

在单位圆内随意的取一条弦，问“弦长超过该圆内接等边三角形的边长”这一事件的概率是多少？

实验程序：

ang1=0;ang2=0;m=0;For[i=1,i<=1000,i++,ang1=Random[Real,{0,2Pi}];ang2=Random[Real,{0,2Pi}];

If[Abs[Sin[ang1-ang2]]>Sin[Pi/3],m++]];Print[N[m/1000]] 输出结果：

0.347

<练习四〉

抛一枚硬币，随机变量x=1时表示正面朝上，x=0表示背面朝上，连续实验100000次，统计x=1的概率

实验程序:

g=0;m=0;n=100000

Do[m=Random[Integer,{0,1}];If[m<1,g=g+1,g=g],{i,1,n}] Print[g] P=g/n

()M P A N

Print[p]

输出结果:

50090

0.5009接近于理论值0.5.

(三)几种重要分布

1)二项分布

设某事件A 在一次试验中发生的概率为 ，

现把这个试验独立的重复n 次,以X 记A 在这n 次试验中发生的次数,求X 恰好为k 的概率。 设我们对n 次试验结果都做记录，某次试验中如事件A 发生，则记为A ，如果事件A 不发生，则记为 ，要想X 正好等于k ，必须在这n 次实验的原始记录中，有k 个A ，n-k 个 ，每个A 有概率p,每个 有概率1-p,这n 次实验独立，所以原始记录出现的概率就为

，所以X 恰好为k 的概率 如果随机变量X 的概率分布具有以上形式，则称X 服从参数为 的

二项分布。

练习<五>

练习抛硬币，五次为一组，共做10000次这样的实验

看5个0-1随机数中出现两个0的次数与频率是多少，

与理论值是否接近？

实验程序

For[i=1;a=0,i<=10000,i=i+1, p A A A (1)k n k p p --(1)k n k k n p p p k -??=- ???(,)n p

For[j=1;r=0;res=0,j<=5,j=j+1,

If[Random[Integer,{0,1}]==0,r=r+1,res=res+1]];

If[r==2,a=a+1]]

Print[a]

Print[a/10000]

实验结果

3105

0.3105与理论值0.3125很接近.

我们可以从二项分布得到另一个重要分布

2)泊松分布

设随机变量Ｘ所有可能取的值为0,1,2…,而取各个值的概率为 ，其中 是常数．则称Ｘ服从参数为 的泊松分布.泊松分布是二项分布的一个特例，只当n 趋于无穷，p 相对n 来说非常小时才成立.

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。 练习<六〉

以从0-1000整数中随机取出一个数为一次实验，共做10000次实验，求取出5的次数和概率，

实验程序 For[i=1;a=0,i<=10000,i=i+1,

{}!

k e P X k k λ

λ-==0λ>~()X πλ

For[j=1;r=0;res=0,j<=2,j=j+1,If[Random[Integer,{0,1000}]==5 ,r=r+1,res=res+1]];

If[r==1,a=a+1]]

Print[a]

Print[a/10000]

实验结果

19

0.0019

与理论值很接近.

(四）概率问题的应用

练习<七>

试计算下列两个事件的概率，并比较它们的大小.

1)抛4次骰子，至少有一次出现一点

2)抛一对骰子24次，至少有一次出现两个一点

实验程序

A=0;B=0;

For[i=1,i<=1000,i++,j1=0;j2=0;k1=0;k2=0;While[j1<4&&k1!=1,k 1=Random[Integer,{1,6}];j1++];While[j2<24&&k2!=1,k2=If[Rand om[Integer,{1,6}]\[Equal]1&&Random[Integer,{1,6}]\[Equal]1, 1,0];j2++];If[k1\[Equal]1,A++];If[k2\[Equal]1,B++]];Print[A ];Print[B]

实验结果

532

504

所以第一种情况发生的概率大一些.

实验心得：

通过做小组实验PPT和这个实验报告，我真的学到很多东西，一是与人交流方面，要做到真诚对人，要有团队精神，更要懂得吃苦耐劳，先人后己，当遇到矛盾时，不要一味的坚持自己的观点，而是结合别人的建议，向好的方面修改。二是要有创新精神，自己编程序(作业中部分自己编程,部分引用)，编程是个难题，首先要非常熟悉mathematica这个软件的操作，所以这段时间每天都练习，自己编的程序经常出问题，要不停的修改，运行，直道正确为止，每次做下来都头昏眼花，但是还要坚持。从这个过程中，我熟悉了mathematica 这个软件的操作及运行环境，懂得了编程调试步骤，以及mathematica 一些函数的应用，更重要的是对概率这一数学问题如古典概型，几何概型，独立性，几种重要的分布及一些有趣的概率问题思考使我对概率知识有了更加深入的理解。

【注意事项】

读者在使用(复制)本实验报告中的实验程序到mathematica软件时,个别符号粘贴后会出现错误，请读者自行输入出现错误的符号. 【参考文献】：

《数学实验》第二版《概率论与数理统计》第二版

【日期】

2008年10月25日