平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题与程序
数值分析15-平方根法
误差分析
定 义 ：如 果 矩 阵 A 或 常 数 项 b 的 微 小 变 化 ， 引 起 方 程 组 A x b解 的 巨 大 变 化 ， 则 称 此 方 程 组 为 “ 病 态 ” 方 程 组 ， 矩 阵 A称 为 “ 病 态 ” 矩 阵 （相对于方程组而言）。 否 则 称 方 程 组 为 “ 良 态 ” 方 程 组 ， A称 为 “良态”矩阵。 矩阵的“病态”性质是矩阵本身的特性。 为了定量刻划方程组的“病态”程度，下面 对 方 程 组 A x b就 系 数 矩 阵 或 右 端 项 分 别 有 扰 动 的两种情形进行讨论。
LU 分解唯一
A = LLT
U = LT
用平方根法解线性代数方程组的算法
（1）对矩阵A进行三角分解，即A=LLT，由矩阵乘法：
对于 i = 1, 2,…, n 计算
2 lii aii lik k 1
i 1
1 2
1 i l a l l l ij ij ik jk jj 1 k
1 2 v
A v ( v 1, 2 或
A
A
2
m ax ( A T A ) . T m in ( A A ) 1 , n
当 A为 对 称 矩 阵 时 ， c o n d ( A ) 2
其 中 1， n 为 A的 绝 对 值 最 大 和 绝 对 值 最 小 的 特 征 值 。
x A 1 b A 1 b
x x
b
b
此 式 表 明 ,当 右 端 项 有 扰 动 时 ,解 的 相 对 误 差 不 超 过 右 端 项 的 相 对 误 差 的 A A 1 倍 。
误差分析
线性方程组的求解
目录摘要 (1)一．用列主元消去法解方程组 (2)1．问题的提出 (2)2．问题的分析 (2)3．问题的解决 (3)二．编写一个列主元消去法求逆矩阵的程序 (4)1．问题的提出 (4)2．问题的分析 (4)3．问题的解决 (5)Ax (5)三．用LU分解法解方程组b1．问题的提出 (5)2．问题的分析 (5)3．问题的解决 (6)四．用改进平方根法解方程组 (7)1．问题的提出 (7)2．问题的分析 (7)3．问题的解决 (8)五．用追赶法解方程组 (9)1．问题的提出 (9)2．问题的分析 (9)3．问题的解决 (10)六．分别用雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法解方程组 (11)1．问题的提出 (11)2．问题的分析 (11)3．问题的解决 (12)参考文献 (14)个人体会 (15)附录：程序代码 (16)摘要在科技研究和工程技术所提出的计算问题中，经常会遇到线性方程组的求解问题，这里主要是有关线性方程组的直接解法。
解线性方程组的直接法是用有限次运算求出线性方程组Ax=b 的解的方法。
线性方程组的直接法主要有Gauss消元法及其变形、LU(如Doolittle、Crout方法等)分解法和一些求解特殊线性方程组的方法（如追赶法、LDLT法等）。
这里主要有列主元消元法,LU分解法,改进的平方根法，追赶法和雅可比迭代，高斯—塞德尔迭代的构造过程及相应的程序。
线性方程的解法在数值计算中占有极重要的地位，因此，线性方程组的求解是数值分析课程中最基本的内容之一。
关键词：列主元消元法；LU分解；改进平方根法；追赶法；雅可比迭代；高斯—塞德尔迭代一．用列主元消去法解方程组：1．问题的提出：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++--=+--=+-+=++4323231243432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++--=++-=-+--=-+-434220332282432132143214321x x x x x x x x x x x x x x x2．问题的分析：列主元消去算法主要分为两个过程：消去过程和回代过程1． 消去过程对1,,2,1-=n k(1)选主元 找k i ∈}{,,n k ，⋯使)()(max k ik ni k ki k a ak ≤≤= (2)若0)(=k a k ik 则停止计算（detA=0）(3)若k i k ≠ 则换行()()k i k E E ↔ （4）消元对i =1,,1++n k)()(k kkk ik a a ik l =对1,,1++=n k j )()()1(k kjik k ij k ija l a a -=+ 2.回代过程（1）若0)(=n nn a 则停止计算（detA=0） (2) )()(1,n nnn n n a a n x +=（3）对1,,1 -=n i)(1)()(1,n iini j jn ij n n i a x a a i x ∑=+=+-3．问题的解决：（1）解：对于()b A |)1(=()b A |=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------43141321************ 第1步选列主元为,3)1(31=a 31=i ，作变换()()31E E ↔，然后计算667.03221==l ， 333.03131==l ，333.03141-==-l再作变换()()(),414143131321212,,E E l E E E l E E E l E →-→-→-得到())2()2(|b A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------3533333.0667.2667.10333.2333.0333.10333.0333.0667.102113 第2步，对)2(A 选列主元为667.135)2(22==a ，22=i ，计算8.05432==l ， 142=l ， 再做变换32323)(E E l E →-，42424)(E E l E →-，得到()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=05/1333030015/3915/9003/13/13/502113)3()3(b A消去过程结束，回代计算得到解10214321===-=x x x x所以原方程组的解为TX )1,0,2,1(-=。
平方根法
实验名称 平方根法 小组成员 一、实验目的与内容 计算结果的分析 一、实验目的与内容 1.了解平方根法的原理和意义； 2.编程实现用平方根法求解线性方程组。 二、相关背景知识介绍 平方根法又叫 Cholesky 分解法，是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一。 我们知道，对于一般方阵，为了消除 LU 分解的局限性和误差的过分积累，而采用了选主元的 方法。但对于对称正定矩阵而言，选主元却是完全不必要的。 若线性方程组 Ax=b 的系数矩阵是对称正定的，我们可按如下的步骤求其解： 1.求 A 的 Cholesky 分解： A LLT ；[1] 2.求解 Ly=b 得到 y， 3.将 y 回代求解 LT x y 得到 x。 三、代码 用平方根法求解下列方程组. n=5,10,100,…( 到你们小组计算能力的极限)求解，对计算解 和准确解比较,观察准确程度
10
15
20
五、计算结果分析 从数据结果可以看出，利用平方根法较为准确，且计算高阶矩阵时较快。在编程过程中 有的组员对计算出 L 阵后的计算不太清楚，造成了计算结果的错误，经过讨论对平方根法的 理解更加深刻了一层。
4教 师 评 语指导教 Nhomakorabea： 年 月 日
5
2.0000,-2.3094,-1.6330,-1.2649,-1.0328 -0.8729,-0.7559,-0.6667,-0.5963,-0.5394 -0.4924,-0.4529,-0.4193,-0.3904,3.7428 2.0000,-2.3094,-1.6330,-1.2649,-1.0328 -0.8729,-0.7559,-0.6667,-0.5963,-0.5394 -0.4924,-0.4529,-0.4193,-0.3904,-0.3651 -0.3430,-0.3234,-0.3059,-0.2902,3.8644
平方根法计求解线性方程组
解线性n 阶方程组直接法—Cholesky 方法解n 阶线性方程组Ax=b 的choleskly 方法也叫做平方根法，这里对系数矩阵A 是有要求的，需要A 是对称正定矩阵，根据数值分析的相关理论，如果A 对称正定，那么系数矩阵就可以被分解为的T A=L L ∙形式，其中L 是下三角矩阵，将其代入Ax=b 中，可得：T LL x=b进行如下分解：T L x L b y y ⎧=⎨=⎩那么就可先计算y,再计算x ，由于L 是下三角矩阵，是T L 上三角矩阵，这样的计算比直接使用A 计算简便，同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分解上面，那么对于对称正定矩阵A 进行Cholesky 分解，我再描述一下过程吧： 如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。
设T A=L L ∙，即1112111112112122221222221212....................................n n n n n n nn n n nn nn a a a l l l l a a a l l l l a a a l l l l ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==第1步，由矩阵乘法，211111111,i i a l a l l == 故求得111111,2,3,...i i a l l i n a === 一般的，设矩阵L 的前k-1列元素已经求出第k 步，由矩阵乘法得112211k k kk km kkik im km ik kk m m a l l a l l l l --===+=+∑∑, 于是11(2,3,...,n)1(),1,2,...kk k ik ik im km m kk l k l a l l i k k n l -=⎧=⎪⎪=⎨⎪=-=++⎪⎩∑ 注意到21kkk km m a l ==∑，于是有21max km kk ii i nl a a ≤≤≤≤ 这充分说明分解过程中元素2km l 的平方不会超过系数矩阵A 的最大对角元，因而分解过程中舍入误差的放大收到了控制，用平方根法解对称正定方程组时可以不考虑选主元问题。
平方根法
j 2, l21
i2
a a21 1 2 1, j 3, l31 31 2 l11 1 l11 1
2 l22 a22 l21 2 1 1
j 3, l32 (a32 l31l21 )
i3
1 (0 1 2) 2 l22 1
2 2 l33 a33 l31 l32 11 22
i2
1 3 1 5 , j 3, l31 a31 l11 l11 3 3
2
2 l22 a22 l21 53
j 3, l32 (a32 l31l21 )
i3
1 5 1 (9 3) 2 2 l22 3 2
a11 l11 l11 a21 l21 l11
ai 1 li 1 l11
i 1, 2 , , n
L的第一列元素 li 1可以求出 假设L的第1 ~ r 1列已求出 , 考察A的第r列元素air
2 2 arr lrk lrk lrk lrr k 1 r k 1 r r 1
3．3 平方根法 系数矩阵为对称正定矩阵的方程组称为对称正定方程组。 对 称正定方程组可用高斯消去法、LU 分解法求解，但可导出计算 量更小的平方根法。 利用对称正定矩阵的三角分解（乔累斯基分解）求解对称正 定方程组的方法称为平方根法。 3.3.1 对称正定矩阵 对称矩阵 A AT 对称正定矩阵 A AT ，且对任意非零向量 x R n 有 ( Ax, x ) x T Ax 0
air lik lrk lik lrk lir lrr
k 1 k 1
r 1
i r , r 1, , n
可得L的元素的计算公式
平方根法解线性方程组
a (k 1) ij
a / a (k1) ik
(k 1) kk
*
a(k kj
1)
,
i,
j
k
1,
,n
bi(k)
b(k 1) i
a / a (k1) ik
(k 1) kk
*bk(k1) , i k 1,
, n.
(3.9)
由（3.8）逐个回代，可得（3.1）的解
b(2) i
b (1) i
b2(1)mi2 ,
i,
j
3, 4,
, n.
重复上述过程，可以得到与（3.1）等价的上三角方程组：
a11x1
a12 x2 a12 x3
a (1) 22
x2
a (1) 22
x3
a (2) 33
x3
a1n xn b1
k 2
k 1
3
(n 1) (n 2)
2
1
1 2
n(n
1); (for
right
item)
除：(n 1) (n 2)
• 回代过程：
2 1
1 2
n(n
1)
1 2
(n
1)(multiply)
n(divide)
1 2
n(n
1).
• 运算量：1 n(n2 1) 1 n(n 1) 1 n(n 1) n3 3 n2 5 n
2. 即使高斯消元法可行，如果 ak(kk很1)小，运算中用它作分 母会导致其它元素数量计的严重增长和舍入误差的扩散。
线性方程组的四种数值解法
线性方程组的四种数值解法(电子科技大学物理电子学院，四川 成都 610054)摘要：本文介绍了四种求解线性方程组的数值解法: 雅克比迭代法、高斯赛德尔迭代法、高斯消去法和改进的平方根法的基本原理和算法流程，通过求解具体方程，对四种求解方法进行了对比。
对于雅克比迭代法和高斯赛德尔迭代法，研究了两种算法对求解同一方程组的迭代效率差异，结果表明高斯赛德尔迭代法达到同样精度所需迭代次数较少。
对于高斯消去法，通过选择列主元的方法提高算法的准确度，计算结果表明高斯消去法计算精确，且运算复杂度也不是很高。
对于改进的平方根法，其运算复杂度低，但对于给定的方程组有着严苛的要求。
关键词：雅克比迭代法；高斯赛德尔迭代法；高斯消去法；改进的平方根法；线性方程组引言线性方程组的求解在日常生活和科研中有着极其重要的应用，但在实际运算中，当矩阵的维数较高时，用初等方法求解的计算复杂度随维数的增长非常快，因此，用数值方法求解线性方程组的重要性便显现出来。
经典的求解线性方程组的方法一般分为两类：直接法和迭代法。
前者例如高斯消去法,改进的平方根法等，后者的例子包括雅克比迭代法，高斯赛德尔迭代法等。
这些方法的计算复杂度在可以接受的范围内，因此被广泛采用。
一般来说，直接法对于阶数比较低的方程组比较有效；而后者对于比较大的方程组更有效。
在实际计算中，几十万甚至几百万个未知数的方程组并不少见。
在这些情况下，迭代法有无可比拟的优势。
另外，使用迭代法可以根据不同的精度要求选择终止时间，因此比较灵活。
在问题特别大的时候，计算机内存可能无法容纳被操作的矩阵，这给直接法带来很大的挑战。
而对于迭代法，则可以将矩阵的某一部分读入内存进行操作，然后再操作另外部分。
本文使用上述四种算法求解对应的方程组，验证各种算法的精确度和计算速度。
1 算法介绍1.1 雅克比迭代法 1.1.1 算法理论设线性方程组(1)b Ax的系数矩阵A 可逆且主对角元素 均不为零,令并将A 分解成 (2)从而(1)可写成令其中. (3)以B 1为迭代矩阵的迭代法(公式)(4)称为雅克比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为(5)其中为初始向量.1.1.2 算法描述 1给定迭代初始向量X 0以及误差要求delta 2根据雅克比迭代公式计算出下一组向量 3判断X 是否满足误差要求，即||X k+1 – X k || < delta4若误差满足要求，则停止迭代返回结果；若否，则返回第二步进行下一轮迭代1.2 高斯赛德尔迭代法nna ,...,a ,a 2211()nna ,...,a ,a diag D 2211=()D D A A +-=()b x A D Dx +-=11f x B x +=b D f ,A D I B 1111--=-=()()111f x B x k k +=+⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,...,i x a ba xnij j )k (j j i iii)k (i21021111==∑-=≠=+()()()()()Tn x ,...x ,x x 002010=1.2.1 算法理论由雅克比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i 个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯—塞德尔（Gauss-Seidel ）迭代法.把矩阵A 分解成(6)其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成即其中(7)以为迭代矩阵构成的迭代法(公式)(8)称为高斯—塞德尔迭代法(公式),用变量表示的形式为(9)1.2.2 算法描述 1给定迭代初始向量X 0以及误差要求delta2根据高斯赛德尔迭代公式计算出下一组向量()k x ()1+k x ()1+k ix ()()1111+-+k i k x ,...,x 1+k()1+k x()1+k jx U L D A --=()nna ,...,a ,a diag D 2211=U ,L --A ()b Ux x L D +=-22f x B x +=()()b L D f ,U L D B 1212---=-=2B ()()221f x B x k k +=+⎩⎨⎧[],...,,k ,n ,,i x a x a b a xi j n i j )k (j ij )k (j ij i ii)k (i21021111111==∑∑--=-=+=++3判断X 是否满足误差要求，即||X k+1 – X k || < delta4若误差满足要求，则停止迭代返回结果；若否，则返回第二步进行下一轮迭代1.3 高斯消去法 1.3.1 算法理论下面三种变换称为初等行变换：1.对调两行；2.以数k ≠0乘某一行中的所有元素；3.把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去。
改进平方根法的C++实现
实验名称：改进平方根法学院：___数学学院______________________班级姓名：学号：实验日期 2015 年 05 月 26 日自评成绩：97一、实验目的(1)熟练掌握改进平方根法和共轭梯度法的迭代过程(2)尝试使用自己熟悉的计算机语言解决数学中的问题(3)通过上机实验来巩固课本中所学的知识二、实验内容与结果题目1：改进平方根法源程序1#include<iostream>using namespace std;int main(){double a[100][100],l[100][100],u[100][100],b[10],y[10],x[10];int i,j,k,n;cout<<"请输入矩阵的行数: ";cin>>n;cout<<"请输入右端项： "<<endl;for(j=0;j<n;j++){cin>>b[j];}cout<<"请输入矩阵： "<<endl;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){cin>>a[i][j];}}for(j=0;j<n;j++){u[0][j]=a[0][j];}for(j=1;j<n;j++){l[j][0]=u[0][j]/u[0][0];}for(i=1;i<n-1;i++){double s=0;for(k=0;k<i-1;k++){s=s+l[i][k]*u[k][i];}u[i][i]=a[i][i]-s;for(j=i+1;j<n;j++){double s=0;for(k=0;k<i-1;k++){s=s+l[i][k]*u[k][j];}u[i][j]=a[i][j]-s;l[j][i]=u[i][j]/u[i][i];}}double s=0;for(k=0;k<n-1;k++){s=s+l[n-1][k]*u[k][n-1];}u[n-1][n-1]=a[n-1][n-1]-s;y[0]=b[0];for(i=1;i<n;i++){double s=0;for(k=0;k<i-1;k++){s=s+l[i][k]*y[k];}y[i]=b[i]-s;}x[n-1]=y[n-1]/u[n-1][n-1];for(i=n-2;i>=0;i--){double s=0;for(k=i+1;k<n;k++){s=s+u[i][k]*x[k];}x[i]=(y[i]-s)/u[i][i];}cout<<"输出结果："<<endl;for(i=0;i<n;i++){cout<<"x("<<i<<")"<<"="<<x[i]<<endl;}return 0;}运行结果1。
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平方根法和改进平方根法求解线性方程组例题
与程序
2、数学原理
1、平方根法解n阶线性方程组Ax=b的choleskly方法也叫做平方根法，这里对系数矩阵A是有要求的，需要A是对称正定矩阵，根据数值分析的相关理论，如果A对称正定，那么系数矩阵就可以被分解为的形式，其中L是下三角矩阵，将其代入Ax二b 中，可得：进行如下分解：那么就可先计算y,再计算x,由于L 是下三角矩阵，是上三角矩阵，这样的计算比直接使用A计算简便，同时你应该也发现了工作量就转移到了矩阵的分解上面，那么对于对称正定矩阵A进行Cholesky分解，我再描述一下过程吧：如果你对原理很清楚那么这一段可以直接跳过的。
设，即其中第1步，由矩阵乘法，故求得一般的，设矩阵L的前k-l列元素已经求出第k步，由矩阵乘法得于是
2、改进平方根法在平方根的基础上，为了避免开方运算，所以用计算；其中，；得按行计算的元素及对元素公式对于、、计算出的第行元素后，存放在的第行相置，然后再计算的第行元素，存放在的第行、的对角元素存放在的相应位置、对称正定矩阵按分解和按分解计算量差不多，但分解不需要开放计算。
求解, 的计算公式分别如下公式。
3、程序设计
1、平方根法function
[x]二pfpf(A,b)%楚列斯基分解求解正定矩阵的线性代数方程
A二LL'先求LY二b再用L' X二Y即可以求出解
X[n,n]=size(A) ;L(1, l)=sqrt(A(l, 1)) ；for k=2：n
L(k, l)=A(k, 1)/L(1,1) ； endfor k=2： n-1 L(k, k) =sqrt (A(k, k)_
sum(L(k, 1：k-1) > 2)) ； for i=k+l:n L(i,k) = (A(i,k)-
stun(L(i, l：kT)、*L(k, l：kT)))/L(k,k)； endendL (n, n)=sqrt (A(n, n) -sum(L(n, 1: n-1)、2)) ； %解下三角方程组Ly二b相应的递推公式如下，求出y矩阵y二zeros (n, 1) ；%先生成方程组的因变量的位置，给定y的初始值for k=l： n j=l： k-1； y (k) = (b(k)-L(k, j) *y (j))/L(k, k) ； end%解上三角方程组L' X=Y 递推公式如下，可求出X 矩阵x二zeros (n, 1) ；U=L；%求上对角矩阵for k=n： -1:1 j=k+l：n； x(k) = (y (k)-
U(k,j)*x(j))/U(k,k)；end » A二[4,2,-4,0,2,4,0,02,2,-1,- 2,1,3,2,01,14,1,-8,-3,5,6 0,-2,1,6,-1,-4,-3,32,1,-8,- 1,22,4,-10,-34,3,-3,-4,4,11,1,-4 0,2,5,-3,-10,1,14,2 0,0,6,3,-3,-4,2,19]；>〉b=[0；-6；20；23；9；-22；-15；45]；» x=pfpf(A,b)x =1
21、1481
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10、91202、018
52、改进平方根法function
[x]=improvecholesky(A,b,n)
%用改进平方根法求解Ax=bL=zeros(n,n)； %L为n*n矩阵
D=diag(n, 0) ； %D 为n*n 的主对角矩阵S=L*D； for i=l: n %L 的主对角元素均为 1 L(i, i) = l； endfor i=l: n for j=l：n %验证 A 是否为对称正定矩阵if (eig(A)<=0) (A(i, j)~=A(j,i))
%A的特征值小于0或A非对称时，输出wrong
disp(wrong) ； break； endendendD(1,1)=A(1, 1) ；%将A 分解使得A=LDLTfor i二2：n for j=l：i~l S(i,j)=A(i,j)-sum(S(i,l：j~ l)*L(j,l： j-1))； L(i,l：i-l)=S(i,l：i-l)/D(l：i-l,l：i-l); end D(i, i)=A(i, i)-sum(S(i, 1： i-l)*L(i, 1： i-
1)) ； endy=zeros (n, 1) ； % x, y 为阶矩阵x=zeros (n, 1); for i=l: n y
(i) = (b(i)-sum(L(i, 1： i-l)*D(l： i-1,1： i-l)*y (1： i-
1)))/D(i, i) ；%通过LDy=b 解得y 的值endfor i=n：-1:1 x(i)=y(i)-sum(L(i+l：n, i)*x(i+l：n)) ；%通过LTx=y 解得x 的值end» A二[4,2,-4,0,2,4,0,02,2,-1,-2,1,3,2,01,14,1,-8,- 3,5,6 0,-2,1,6,-1,-4,-3,32,1,-8,-1,22,4,-10,-34,3,-3,- 4,4,11,1,-4 0,2,5,-3,-10,1,14,2 0,0,6,3,-3,-
4,2,19]；>> b=[0；-6；20；23；9；-22；-15；45]；» n=8；»
x=improvecholesky(A,b,n)x =1
21、1481
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10、91202、018
54、结果分析和讨论平方根法和改进平方根法求解线性方程组的解为x二(1
21、1481, -1
40、1127,
29、7515,-
60、1528,
10、9120,-
26、7963,
5、4259, -
2、0185) To与精确解相比较也存在很大的误差，虽然系数矩阵的对角元素都大于零，原则上可以不必选择主元，但由于矩阵的数值问题较大，不选主元的结果就是产生很大的误差，所以在求解的过程中还是应该选择主元以此消除误差，提高精度。
5、完成题目的体会与收获对称正定矩阵的平方根法及改进平方根法是目前解决这类问题的最有效的方法之一，合理利用的话，能够产生很好的求解效果。
改进平方根法较平方根法，因为不用进行开方运算，所以具有一定的求解优势。
通过求解此题，学会了平方根法和改进平方根法mat lab编程，使我受益匪浅。