本科复旦数学和南开数学
珠峰计划
基础学科拔尖学生培养试验计划（珠峰计划）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师。
该计划由教育部联合中组部、财政部于2009年启动。
在《国家中长期教育改革和发展规划纲要》制定原则的过程当中，教育部门对基础学科的拔尖创新人才培养做了筹备，已经选择清华、北大、复旦、浙大、南大、中科大等20所中国顶尖大学的数、理、化、信、生5个学科率先进行试点，力求在创新人才培养方面有所突破。
拔尖创新人才的培养是一项系统工程，需社会、家庭、学校等社会各界的大力支持，从而营造拔尖创新人才脱颖而出的良好氛围和政策机制。
实施国家“基础学科拔尖学生培养试验计划”（亦称“珠峰计划”），是教育部为回应“钱学森之问”，培育21世纪科坛“三钱”即钱学森，钱伟长，钱三强而出台的一项顶尖人才培养计划。
截至2011年，山东大学、北京大学、清华大学、复旦大学、上海交通大学、浙江大学、南京大学、中国科学技术大学、北京航空航天大学、南开大学、武汉大学、西安交通大学、厦门大学、哈尔滨工业大学、吉林大学、四川大学、中山大学、北京师范大学、兰州大学19所大学入选。
其中，首批试点“珠峰计划”的高校共有11所，分别为：北京大学、清华大学、复旦大学、浙江大学、中国科技大学、南开大学、南京大学、上海交通大学、四川大学、吉林大学、西安交通大学。
该计划将首先从数学、物理、化学、生物、计算机等5个基础学科开始试验，每年动态选拔特别优秀的学生，配备一流师资，提供一流的学习条件，创新培养方式，构筑基础科学拔尖人才培养的专门通道，国家设立专项经费，主要用于聘请一流师资，包括聘用有关学科国外高水平教师、国内一流教师授课和担任导师；提供奖学金、国际交流、科研训练等经费；营造一流学术环境与氛围等，努力使受该计划支持的学生成长为相关基础科学领域的领军人物。
高校全国入选国家“珠峰计划”的20所高校包括：北京大学、清华大学、复旦大学、上海交通大学、浙江大学、南京大学、中国科学技术大学、北京航空航天大学、同济大学、南开大学、武汉大学、西安交通大学、厦门大学、哈尔滨工业大学、吉林大学、四川大学，山东大学、中山大学、北京师范大学、兰州大学。
复旦本科数学培养方案
复旦本科数学培养方案
复旦大学数学系本科培养方案
1. 培养目标
通过培养，学生应具备以下基本能力：
（1）具有坚实的数学基础知识和较强的数学思维能力；
（2）熟练掌握高等数学、数理统计、概率论、实变函数、复变函数等数学学科中的基本理论和基本方法；
（3）掌握一门外语，能阅读数学类英文文献；
（4）具有较强的计算机应用能力和数据处理能力。
2. 课程设置
数学系本科课程设置包括数学及相关基础科学课程、通识课程、艺术体育和实践课程。
其中核心课程如下：
（1）高等数学：微积分学、线性代数、常微分方程、多元统计数据分析等；
（2）数学专业类课程：实变函数、群论与线性代数、复变函数、广义函数与偏微分方程、常微分动力系统、微分几何等；
（3）选修课程：金融与数学、离散数学、数值分析、非线性优化、组合数学、拓扑学、非参数统计、时序分析、推荐系统等。
3. 实践教学
数学系注重实践教学，为学生提供实践课程和实践项目。
实践项目包括本科科研和创新性实践。
学生在实践中能够深入了解和应用所学知识，提高综合素质。
4. 考核评价
考核评价方式包括考试、作业、报告、实验和项目等多种形式。
评价方式旨在检验学生是否掌握了所学知识和能力，同时培养学生的思辨能力和实践能力。
5. 对口升学与就业
数学系本科学生毕业后可以选择深造或就业。
毕业生可以考研读研究
生，获得硕士或博士学位。
毕业生也可就业从事金融、信息技术、科研、教学等相关领域。
复旦大学78级数学系毕业生
复旦大学78级数学系毕业生10月底，哥伦比亚大学教授、统计系主任应志良又回国了，此次他特地来探亲。
这是他四个月内第二次回国了。
四个月前，他曾经回到复旦大学，参加母校78级数学系毕业三十周年聚会。
高考恢复后，最初两批复旦数学系学生相继在1982年1月和6月毕业。
他们中的大多数通过高考进入大学，而后选择出国、读研或创业。
现在他们中的有些人已成为国内外知名大学教授，也有部分或在商界立足，或在各级ZF机关任职。
复旦82届数学系毕业生也因此被网友称之为“史上最牛班级”。
1977年8月，学校里的老师通知应志良，国家恢复高考了，为了同学复习，许多课余活动都解散。
在应志良曾就读的上海市龙山中学，物理和生物分别被称为工业基础、农业基础，老师上课也多用上海话教学。
应志良至今记得的化学元素周期表仍是上海话版的。
当时在毕业班就读的应志良，正好有一年的时间可以复习参加高考，但在当年的第一届全国中学生数学竞赛中，他取得了参加全国比赛的资格并获奖。
“竞赛题目从来没看到过，当时也不知道可以通过竞赛进大学。
”应志良说。
最终，全国决赛有57人获奖，其中25人来自上海。
在当时复旦大学校长苏步青的动员下，这25人中的绝大部分进入了复旦大学。
“我当时想过去北大，后来苏先生说去复旦，就去了复旦数学，只要有大学上就很好了。
”就这样，他成了复旦大学78级数学系的一名新生。
比应志良早半年入学的77级学生吴宗敏，上大学前在上海无线电八厂当工人，在机修车间维修空调、冰箱等。
听闻高考恢复，吴宗敏产生了报考的念头。
当时大型国有工厂，特别是电子行业的工人，是社会上最好的工作，稳定且待遇不低于“文革前”的大学毕业生。
吴的同学家长劝他放弃高考，保住一份“铁饭碗”，避免毕业后被分配到外地。
可吴宗敏还是觉得，这是人生中一件应该做的事情。
中国内地数学专业10强大学排名
中国内地数学专业10强大学排名数学作为一门基础学科，在现代科学领域具有重要地位。
中国内地拥有众多优秀的大学，在数学专业方面也有很高的水平。
本文将介绍中国内地数学专业的前十所大学排名，展示这些高校在数学教学和研究方面的杰出表现。
1. 北京大学作为中国内地最古老的高等学府之一，北京大学秉承传统，扎根数学领域。
学校数学学科著名学者云集，以其深厚的学术底蕴和研究实力跻身国际一流学府行列。
2. 清华大学清华大学在数学研究和教学方面也表现出色。
学校数学学院设有多个研究机构和实验室，为学生提供良好的学术环境和研究平台。
3. 中国科学技术大学中国科学技术大学以其优秀的科学教育与研究声誉享誉国际。
数学学院在数学和应用数学领域具备雄厚的实力，培养了许多杰出的数学家和科学家。
4. 复旦大学复旦大学数学学科以其丰富的师资力量和优秀的科研成果闻名。
学校的数学学院拥有一流的研究设施和实验室，并致力于培养学生的创新能力和研究潜力。
5. 上海交通大学上海交通大学在数学专业领域积极推动创新与发展。
学校数学系设有多个研究所和实验室，为学生提供了广阔的学术平台和研究机会。
6. 南京大学南京大学数学学院一直以来都是中国内地数学教育的重要支柱之一。
该学院教师队伍强大，学术风气浓厚，为学生提供了广阔的学术资源和优质的教育环境。
7. 武汉大学武汉大学数学学科在国内外都具备较高的声誉。
学校数学与统计学院设有多个研究中心和实验室，为学生提供了丰富的学术资源和研究机会。
8. 厦门大学厦门大学数学学院在数学研究和教学方面取得了显著成果。
该学院拥有一流的教授和研究人员，并培养了许多在学术界和工业界有重要影响力的专业人才。
9. 中山大学中山大学数学学院以其广泛的学科覆盖范围和卓越的研究实力而声名远扬。
学院教师团队以其专业知识和研究能力为学生提供全方位的教学支持。
10. 吉林大学吉林大学数学学科在数学研究和教学方面都具备较高的水平。
学院拥有一支庞大的教师队伍，提供了丰富的数学学科课程和研究机会。
复旦大学数学系
复旦大学数学系
复旦大学数学系位于上海市宝山区，是一所享有声誉的
学术机构。
数学系成立于1923年，是中国最早建立的数学系
之一。
该系拥有一流的师资队伍和教学条件，为培养优秀的数学人才提供了良好的环境和机会。
自成立以来，数学系一直致力于数学教育和科学研究。
数学系拥有多个教学团队，涵盖了广泛的数学领域和研究方向。
教师们严谨的治学态度和深厚的学术造诣使得该系在国内外数学界享有较高的声望。
数学系的本科教育旨在培养学生的数学思维能力和创新
能力。
课程设置包括基础数学、高等数学、概率论与数理统计等核心课程，以及数学建模、数学实验等应用课程。
学生在学习过程中，积极参与数学建模和科研活动，锻炼实际问题解决能力。
此外，数学系还设有硕士和博士研究生项目。
研究生培
养方案注重培养学生的研究能力和创新能力。
学生在导师的指导下，深入研究选定的数学领域，并撰写学术论文。
数学系的研究生毕业生在国内外高校、科研机构和企业等各领域具有较高的就业竞争力。
除了教学工作，数学系的教师们积极参与数学科研项目
和学术交流活动。
他们发表了大量的科研论文，并获得了各种学术奖励。
数学系还定期举办学术研讨会、学术讲座等活动，为学生和教师提供了交流和学习的机会。
总的来说，复旦大学数学系以其优秀的教学质量和卓越
的科研成果闻名于世。
数学系将继续致力于培养数学人才和推动数学的发展，为社会和国家的进步做出贡献。
数学类专业介绍与就业方向解析
数学类专业介绍与就业方向解析专业信息数学类专业属于理学，学制四年，毕业后拿理学学位，下设三个二级学科：数学与应用数学、信息与计算科学、数理基础科学。
其中，数学与应用数学、信息与计算科学两个专业开设院校很多，而数理基础科学开设院校十分有限。
数学与应用数学实际上就是纯粹数学与应用数学，即数学的理论与应用。
这个专业的学生主要学习数学的基础理论与基本方法，受到数学模型、计算机和数学软件方面的基本训练，教育体系围绕数学的理论与应用两个方面。
主干课程以数学为主。
主干课程分析学、代数学、几何学、概率论、物理学、数学模型、数学实验、计算机基础、数值方法、数学史等，以及根据应用方向选择的基本课程等信息与计算科学不要被这个专业名字蛊惑，实际上它就是学数学的，计算机只是选修。
该专业原名”计算数学”，是以信息领域为背景，数学与信息，计算机管理相结合的计算机科学与技术类专业。
着重培养学生解决科学计算、软件开发和设计、信息处理与编码等实际问题的能力。
简单来说，就是培养有坚实数学基础的码农。
同样是码农，这个专业和计算机类专业、电子信息类专业有什么区别呢？数学类下信息与计算科学以数学专业课为主修，计算机课程为辅修；而计算机类、电子信息类专业以计算机课程为主修，数学专业课为辅修。
数学类里的信息与计算机科学学的主要还是数学，计算机方面的知识仅是有所涉及。
而且本科期间的数学仅仅是逻辑思维的蕴养，尚且谈不上数学的皮毛。
但数学毕竟是学科基础，学好数学，计算机里蕴藏的思维难题也能迎刃而解。
主干课程数学分析、高等代数、解析几何、概率统计、数学模型、离散数学、模糊数学、实变函数、复变函数、微分方程、物理学、信息处理、信息编码与信息安全、现代密码学教程、计算智能、计算机科学基础、数值计算方法、数据挖掘、最优化理论、运筹学、计算机组成原理、计算机网络、计算机图形学、c/c++语言、java语言、汇编语言、算法与数据结构、数据库应用技术、软件系统、操作系统等数理基础科学就是数学与物理这两个基础科学相结合，强调打好数学和物理学的基础的同时，培养学生对数学的高度抽象思维能力，同时具有现代物理学的形象思维和实验技能。
2024学年复旦大学附中高一数学上学期11月期中检测卷及答案解析
2024~2025学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中检测卷B 数学试卷（考试时间120分钟 满分150分）考生注意：1.带2B 铅笔、黑色签字笔、卡西欧计算器、考试中途不得传借文具.2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分.3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰，作答在试卷上一律不评分.一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分）1. (){}(){},|5,R ,,|1,R A x y y kx x B x y y kx x ==+∈==+∈，则A B = _______【答案】∅【解析】【分析】根据一次函数函数值的图象性质，确定集合的交集即可.【详解】对于函数5y kx =+与函数1y kx =+k 相同，则函数图象表示的直线平行且不重合，所以两个图象没有交集；故A B =∅ .故答案为：∅.2. 若实数x ，y 均在[-2，1]的区间内，则xy 的取值范围为_______.【答案】[]2,4-【解析】【分析】根据x y 、的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围.【详解】由题意得21x -≤≤，21y -≤≤；当01x <≤，01y <≤时，01xy <≤；当20x -≤<，20y -≤<时，02x <-≤，02y <-≤，此时04xy <≤；当01x <≤，20y -≤<时，02y <-≤，所以02xy <-≤，即20xy -≤<；当20x -≤<，01y <≤时，02x <-≤，所以02xy <-≤，即20xy -≤<；当0x =或0y =时，0xy =；综上所述：24xy -≤≤的故答案为：[]2,4-3. 甲、 乙两人同时解关于x 的方程：2log log 20x x b c ++=.甲写错了常数b ，得两根为14及18；乙写错了常数c ，得两根12及64，则这个方程的真正的根为___________【答案】4或8【解析】【分析】利用对数方程的解法进行分析即可求解.【详解】原方程可变形为：222log log 0,x b x c ++= 甲写错了b ，得到根为14及18，()()2211log log 23648c ∴=⨯=-⨯-=；又 乙写错了常数c ，得到根为12及64，221log log 6452b ⎛⎫∴=-+=- ⎪⎝⎭；∴原方程为222log 5log 60x x -+=，即()()22log 2log 30x x --=，2log 2x ∴=或2log 3x =，4x ∴=或8.故答案为：4或8.4. 已知实数m 为常数，对于幂函数()()21m f x m m x =--，甲说：f (x )是奇函数；乙说：f (x )在()0,∞+上单调递增；丙说：f (x )的定义域是R ，甲、乙、丙三人关于幂函数f (x )的论述只有一人是错误的，则m 的取值集合为________.【答案】{}2【解析】【分析】利用幂函数的定义可求得m 的值，根据m 的值分类讨论即可.【详解】由()()21m f x m m x =--是幂函数，得211m m --=，解得1m =-或2m =；当1m =-时，()11f x x x-==，此时函数()f x 是奇函数，在()0,∞+单调递减，定义域为()(),00,-∞+∞ ，此时乙和丙论述是错误的，甲的论述是正确的，故1m =-不符合题意；当2m =时，()2f x x =，此时函数()f x 是偶函数，在()0,∞+单调递增，定义域为R ，的此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故2m =符合题意；综上所述，m 的取值集合为{}2，故答案为：{}25. 若对任意正实数a ，b ；不等式2214a b ab k +≥恒成立，则实数k 的取值范围为______.【答案】()1,0,4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形得14a b k b a ≤+，利用基本不等式求4a b b a+的最小值，进而解决恒成立问题.【详解】因为0a >，0b >，所以由2214a b ab k +≥，得41a b b a k +≥，即14a b k b a ≤+恒成立；由基本不等式得44a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =，即2a b =时，等号成立；因此4a b b a +的最小值为4，则14k ≤，解得0k <或14k ≥；故答案为：()1,0,4⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭6. 已知正实数a ，b ；若141a b+=，则1114a b +--的最小值为________.【答案】1【解析】分析】由141a b+=得4b a ab +=，则41a a b -=，4b b a -=，代入1114a b +--后利用基本不等式求最小值即可.【详解】由141a b +=，得4b a ab +=，则()41a b a =-，即41a a b -=，同理可得4b b a -=；因此，由基本不等式可得111144b a a b a b +=+≥=--，当且仅当4b a a b=，即3,6a b ==时，等号成立；故答案为：17. 若函数21,0()1,0x mx x f x x m x x ⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩的最小值为(0)f ，则实数m 的取值范围为________.【【答案】[]1,0-【解析】【分析】根据分段函数解析式由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果.【详解】当0x ≤时，()21f x x mx =++关于2m x =-对称，若最小值为(0)f ，可知02m -≥，即可得0m ≤；又当0x >时，()12f x x m m m x =++≥+=+，当且仅当1x =时等号成立；若最小值为(0)f 可得(0)2f m ≤+，即12m ≤+，解得1m ≥-；综上可知，实数m 的取值范围为[]1,0-.故答案为：[]1,0-8. 已知函数b y x=-在()0,∞+上都是严格减函数，则对于()1b f x x b =+-，f (1)___0.（选填“＞”或“＜”或“＝”或“≥”或“≤”）【答案】<【解析】【分析】由函数b y x=-的单调性得实数b 的取值范围，进而判断()1f 的符号.【详解】由函数b y x =-在()0,∞+上都是严格减函数，得0b ->，即0b <；对于函数()1b f x x b =+-，有()1110bf b b =+-=<，故答案为：<9. 设a 为实数，函数()(),02,01g x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪+⎩是奇函数，则()g x =__．【答案】221x ---【解析】【分析】根据()00f =可求a ，再由0x >时()()g x f x =--可求解.【详解】因为()f x 是奇函数，所以()020f a =+=，所以2a =-.当0x >时，220,()()2211x g x f x x x -⎛⎫-<=--=-+=--⎪-+-⎝⎭．故答案为:221x ---.10. 下列关于不等式的命题是假命题的序号为______.（1）若110a b<<，则0a b +<，2ab b <；（2）用反证法证明a =0或b =0时可假设ab ≠0；（3）若a ，b 为正数，则3322a b a b ab +>+；（4）设,R x y ∈，若426x x y y +-++-≤，则xy 的取值范围为[]0,6.【答案】（3）（4）【解析】【分析】利用不等式的性质和作差法可判断（1）和（3）；通过逻辑推理可判断（2）；利用特殊值法可判断（4）.【详解】对于（1），由110a b<<得0b a <<，则0a b +<成立且0ab >，故()20b ab b b a -=->，即2ab b <成立，因此（1）为真命题；对于（2），当0ab ≠不成立时，有0ab =成立，即0a =或0b =，故（2）为真命题；对于（3），()()()332222a b a b ab a a b b b a +-+=-+-()()()()222a b a b a b a b =--=-+，显然，当a b =时，3322a b a b ab +>+不成立，故（3）为假命题；对于（4），假设4x =，2y =，此时426x x y y +-++-=，满足426x x y y +-++-≤，8xy =不满足[]0,6xy ∈，故（4）为假命题；故答案为：（3）（4）11. 若方程20ax bx c ++=有唯一的实数根2，则不等式20ax bx c ++≥的解集为______.【答案】{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞【解析】【分析】首先根据方程的类型分类讨论，再根据一次函数和二次函数的图象求解即可.【详解】①0a =时，由题意知方程0bx c +=有唯一的实数根2，此时0b ≠，且20b c +=，得不等式20bx b -≥，即()20b x -≥，则当0b >时，2x ≥；当0b <时，2x ≤.②当0a ≠时，由题意知方程20ax bx c ++=有唯一的实数根2，即二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴只有一个交点(2,0)，当0a >时，不等式20ax bx c ++≥的解集为R ，当0a <时，不等式20ax bx c ++≥的解集为{}2，综上所述，不等式20ax bx c ++≥的解集为{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞；故答案为：{}2或R 或(],2-∞或[)2,+∞12. 若两个函数()y f x =和()y g x =对任意[,]x a b ∈都有|()()|1f x g x -≤，则称函数()y f x =和()y g x =在[],a b 上是“密切”的，已知常数1m >，若函数()1()3x x F x m m -=-与2()3x G x m =在[]1,2上是“密切”的；则m 的取值范围为_____.【答案】【解析】【分析】由函数“密切”的定义结合对勾函数的单调性求解即可.【详解】因为()1()3x x F x m m -=-与2()3x G x m =在[1,2]上是“密切”的，所以()12133x x x m m m ---≤在[1,2]上恒成立，即13x x m m+≤在[1,2]上恒成立；因为1m >，[1,2]x ∈，所以由指数函数的单调性得2,x m m m ⎡⎤∈⎣⎦，2111,x m m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以13x x m m+≤在[1,2]上恒成立；根据对勾函数的性质可得，函数1x x y m m=+在[)1,x m ∈+∞上单调递增，又因为2,x m m m ⎡⎤∈⎣⎦，且1m >，所以函数1x x y m m=+在2,m m ⎡⎤⎣⎦上单调递增；所以当2x m m =时，函数1x x y m m =+取最大值，最大值为221m m +，所以2213m m+≤，即42310m m -+≤，所以223524m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，解得232m ≤-≤2m ≤≤，所以222m ≤≤m ≤≤；故答案为：二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分）13. 命题m ：两个幂函数有三个公共点，命题n ：两个幂函数相同，则命题m 是命题n 的（ ）A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也非必要【答案】B【解析】【分析】利用常见的幂函数3y x =和y x =可说明不充分，再说明必要性即可.【详解】若两个幂函数相同，则它们的图像完全重合，有无数个公共点，自然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以n m ⇒；反之，若两个幂函数有三个公共点，例如3y x =和y x =，它们有三个公共点(0,0)，(1,1)，(1,1)--，但这两个幂函数并不相同，所以m n ¿.综上所述，命题m 是命题n 的必要不充分条件.故选：B14. 函数2y ax bx =+与函数()0ay x b a =+≠在同一平面直角坐标系中的图像可能为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同.【详解】A 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <<，由指数型函数图像可知：0,0a b ，A 选项错误；B 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <=，B 选项错误；C 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b ，C 选项正确；D 选项，由二次函数图像可知：0,0a b <>，由指数型函数图像可知：0,0a b <<，D 选项错误；故选：C.15. 函数222()1x xf x x --=-的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊点的函数值对选项惊喜排除，由此确定正确选项.【详解】由210x -≠得()f x 的定义域为{}|1x x ≠±，因为222222()()()11x x x xf x f x x x -----==-=----，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，D ；由题易知，图中两条虚线的方程为1x =±，则当2x =时，5(2)04f =>，排除C ，所以B 选项符合.故选：B 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.16. 德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在R 上的解析式可表示为：()1,Q 0,Qx f x x ∈⎧=⎨∉⎩，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（ ）①狄利克雷为偶函数；②狄利克雷为奇函数；③狄利克雷函数值域为[]0,1；④对于任意R x ∈，均有()()1f f x -=.⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出.⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点.A. ①③④⑥B. ②③⑤C. ①④D. ①④⑥【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断①②；求得值域判断③；分类计算可判断④；根据狄利克雷函数特点可判断⑤；取特殊点可判断⑥.【详解】由于()1,Q 0,Q x f x x ∈⎧=⎨∉⎩，设任意Q x ∈，则x -∈Q ，()1()f x f x -==；设任意x ∉Q ，则x -∉Q ，()0()f x f x -==；总之，对于任意实数，()()f x f x -=恒成立，所以狄利克雷函数为偶函数；故①正确，②错误；函数()1,Q 0,Qx f x x ∈⎧=⎨∉⎩的值域为{0,1}，故③错误；当Q x ∈时，x -∈Q ，可得(())(1)1f f x f -==，当x ∉Q 时，x -∉Q ，(())(0)1f f x f -==，所以对于任意R x ∈，均有(())1f f x -=，故④正确；因为在两个有理数之间有无数个无理数，在两个无理数之间有无数个有理数，故狄利克雷函数的图像不可以通过列表描点法画出，故⑤错误；取()0,1,,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，此时ABC V 为等边三角形，故⑥错误.故选：C三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分）17. 对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命.（1）设log a c 、log b c 是关于x 的方程2310x x -+=的两个实数根，求：log ab c 的值；（2）已知221x y +=，且,0x y >，若()log 1a x m +=，1log 1a n x=-，求：log a y 的值.【答案】（1）13 （2）2m n-【解析】【分析】（1）根据韦达定理列出关于log a c 和log b c 的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可；（2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可.【小问1详解】因为log a c 、log b c 是关于x 的方程2310x x -+=的两个实数根，所以由韦达定理得log log 3log log 1a b ab c c c c +=⎧⎨⋅=⎩，由log log 1a b c c ⋅=得11log log c c a b=⋅，则log log 1c c a b ⋅=；由log log 3a b c c +=得113log log c c a b +=，所以log log log log 3log log c c c c c c a b a b a b⋅⋅+=，即log log 3c c a b +=，则111log log log log 3ab c c c c ab a b ===+.【小问2详解】由()log 1a x m +=，得1m a x =+，由1log 1an x =-，得11n a x =-，则1n a x -=-；所以()()22111m n a a x x x y -⋅=+-=-=，即2m n y a -=，故211log log log 222m n a a a m n y y a --===.18. 对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径：（1）已知函数()2lg 4y ax ax =-+的值域为R ，求：实数a 的取值范围；（2）求证：对于对数函数()log a f x x =，()log b g x x =，若b a >且a ，b 同时是(0,1)或(1,)+∞中的元素，则必有函数()f x 在(1,0)左侧低于()g x ，在(1,0)右侧高于()g x .【答案】（1）[)16,+∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意知()0,∞+函数()24g x ax ax =-+的值域的子集，利用二次函数的性质列不等式，求解即可；（2）利用作差法比较()(),f x g x 的大小，即可证明两个函数图像的位置关系，过程中利用了对数运算的性质和换底公式.【小问1详解】令()24g x ax ax =-+，由函数()2lg 4y ax ax =-+的值域为R ，得()(){}0,y y g x ∞+⊆=；当0a =时，()4g x =，不符合题意；当0a ≠时，由二次函数的性质得20Δ160a a a >⎧⎨=-≥⎩，解得16a ≥，则实数a 的取值范围是[)16,+∞.【小问2详解】由题意，()()log log a b f x g x x x -=-()lg lg 11lg lg lg lg lg x x x a b a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()lg lg b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为0b a >>，所以1b a >，则lg 0b a>；①当01a b <<<时，在区间()0,1x ∈上lg 0x <，则()lg lg 0b x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()f x g x <，区间()1,x ∈+∞上lg 0x >，则()lg lg 0b x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f x g x >，故函数()f x 在点(1,0)左侧低于()g x ，在点(1,0)右侧高于()g x 成立；②当1a b <<时，在区间()0,1x ∈上lg 0x <，则()lg lg 0b x a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()()f x g x <，()1,x ∈+∞上lg 0x >，则()lg lg 0b x a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f x g x >，故函数()f x 在点(1,0)左侧低于()g x ，在点(1,0)右侧高于()g x 成立；综上所述，对于对数函数()log a f x x =，()log b g x x =，若b a >且a ，b 同时是(0,1)或(1,)+∞中的元素，在则必有函数()f x 在(1,0)左侧低于()g x ，在(1,0)右侧高于()g x .19. 已知关于x 的不等式(kx －k 2－4)(x －4)＞0，其中k ∈R.（1）当k 变化时，试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，若满足A ∩Z ＝B (其中Z 为整数集)．试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）能；2k =-，B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法求得不等式的解集A .（2）结合（1）的结论进行分类讨论，结合基本不等式求得和正确答案.【小问1详解】当k ＝0时，A ＝{x |x <4}；当k >0且k ≠2时，A ＝{x |x <4或4x k k >+}；当k ＝2时，A ＝{x |x ≠4}；当k <0时，A ＝{x |4k k+<x <4}．【小问2详解】由（1）知：当k ≥0时，集合B 中的元素的个数有无限个；当k <0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集．因为4k k+＝－[(－k )＋()4k -]≤－4，当且仅当k ＝－2时取等号，所以当k ＝－2时，集合B 中的元素个数最少，此时A ＝{x |－4<x <4}，故集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}．20. 某服装设计公司打算在2023年度建设某童装生产线，建设该生产线投入成本为300万元，若该生产线每年均可产出x 万套童装，还需要投入物料，人工成本等合计y （万元），通过市场统计调查得出：当0＜x ≤20时，y =x 2+40x -100；当x ＞20时，y =81x +1600x-600，生产的每件童装都可以以80元的价格售出.（1）设2024年该童装生产线的利润为W （2024年利润=总收入-生产线的成本-物料及人工等成本合计），求：W 的函数解析式及其定义域；（2）请问2025年生产多少万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为多少？【答案】（1）W =―x 2+40x ―200,0<x ≤20―x ―1600x+300,x >20，定义域为(0,+∞)（2）40万套， 520万元【解析】【分析】（1）根据80300W x y =--分段代入计算即可；（2）利用二次函数的性质和基本不等式分段求最值，再进一步比较即可.【小问1详解】当020x <≤时，()28040100300W x x x =-+--240200x x =-+-；当20x >时，16008081600300W x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭1600300x x =--+；所以W =―x 2+40x ―200,0<x ≤20―x ―1600x+300,x >20，且定义域为(0,+∞).【小问2详解】当020x <≤时，生产线利润240100P x x =-++，易知二次函数开口向下，对称轴20x =，所以当20x =时，W 有最大，最大值为500；当20x >时，16001600600600P x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭600520≤-+=，当且仅当1600x x=，即40x =时，等号成立，此时W 的最大值为520；综上所述，2025年生产40万套童装时，使得生产线利润最大，最大利润为520万元21. 设()()()()()00g x x f x h x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩＜，则称()()()()()00h x x F x g x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩＜为()f x 的“域反函数”.（1）若()()()()121020m x x f x m x x ⎧⎪+≥=⎨+⎪⎩（）＜，若()()2m h x m x =+是幂函数，求：()f x 的“域反函数”的定义域与值域；（2）若()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，试判断()f x 的“域反函数”()F x 的奇偶性，并据此猜想出一条普适结论（无需证明）；（3）是否存在整数a 使得()bf x ax c =+ (其中a ，c 为常数，b 为素数)的“域反函数”在R 上为偶函数，且满足()()21104f x f ax f ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭恒成立，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）定义域为[)()1,00,-+∞ ，值域为[)0,+∞（2）函数()F x 为奇函数，猜想：()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”()F x 为奇函数，()f x 为偶函数的充要条件是其“域反函数”()F x 为偶函数.（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据函数()x 是幂函数可得实数m 的值，根据域反函数的定义以及常见幂函数的定义域和值域可求函数()F x 的定义域和值域；（2）根据函数奇偶性的定义判断，再据此给出猜想即可；（3）根据（2）可得函数()f x 为偶函数，则()2f x ax c =+，利用二次函数的图象与性质列不等式，解得10a -<<，进而判断.【小问1详解】由函数()()2mh x m x =+是幂函数，得21+=m ，解得1m =-，则()11h x x x-==，因此函数()()1211,0,0x x f x x x -⎧⎪+≥=⎨<⎪⎩，由域反函数的定义得：当0x ≥时，()1F x x -=，此时自变量x 应满足0x >；当0x <时，()()121F x x =+，此时自变量x 应满足10x +≥，解得1x ≥-；综上，()f x 的域反函数()F x 的定义域为[)()1,00,∞-⋃+，且()()112,01,10x x F x x x -⎧>⎪=⎨+-≤<⎪⎩，当0x ≥时，由幂函数1y x -=的性质可知0y >；当10x -≤<时，幂函数()121y x =+单调递增，则01y ≤<；因此函数F (x )的值域为[)0,∞+，即函数()f x 的域反函数的值域为[)0,∞+.【小问2详解】由()22,0,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，得()()1f x x x x x x =+=+，根据定义得()22,0,0x x x F x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，化简得()()1f x x x =-，故函数()F x 的定义域为R ，又()()()1F x x x F x -=--=-，则函数F (x )为奇函数；又函数()f x 的定义域为R ，且()()()1f x x x f x -=-+=-，则函数()f x 为奇函数；猜想：()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为奇函数，()f x 为偶函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为偶函数.证明如下：若()f x 是奇函数，所以当0x <时，有f (―x )=―f (x )，即()()h x g x =--.同理，当0x ≥时，有f (―x )=―f (x )，即()()g x h x -=-.当0x >时，0x -<，所以()()()()F x g x h x F x -=-=-=-；当0x <时，0x ->，所以()()()()F x h x g x F x -=-=-=-；当0x =时，由于()f x 是奇函数，所以()00f =，那么()()()0000F g h ===，也满足()()F x F x -=-，所以对于所有在其定义域内的x ，都有()()F x F x -=-，所以F (x )是奇函数.类似地，可证明当F (x )是奇函数时，()f x 是奇函数，所以()f x 为奇函数的充要条件是其“域反函数”F (x )为奇函数，同理可证：()f x 为偶函数充要条件是其“域反函数”F (x )为偶函数.【小问3详解】不存在整数a 满足题意，理由如下：由（2）可知()f x 是偶函数，又b 为素数，则2b =，故()2f x ax c =+，又由()()21104f x f ax f ⎛⎫+<< ⎪⎝⎭恒成立，得20114a ax x <⎧⎪⎨<+⎪⎩，解得10a -<<，故不存在整数a 满足条件.的。
数学学科介绍及高校排名
数学学科介绍及高校排名一、二级学科列表1)基础数学2)计算数学3)概率论与数理统计4)应用数学5)运筹学与控制论二、本科招生专业数学与应用数学信息与计算科学三、教育部数学一级学科高校排名三、学科解析(一)学科概述“数学是一门无穷的科学”，这是在高三的时候做的复习卷子上写的一句话，现在我可以用我的经历证明，这是一句非常正确的话，所以在开始的时候，我想告诉各位喜欢数学的同学，如果你选择了数学，就要坚持下去，用自己对数学的兴趣与执着去迎接那无穷的科学知识。
数学，作为整个理学乃至自然科学的基础，其重要性与复杂性不言而喻，在此，仅对将要面临大学本科的高中毕业生做一个简单的概述，希望能让你知道，你在本科选择了数学的专业，以后将会面对什么。
数学可分为基础数学与应用数学基础数学也叫纯粹数学，即纯数学，专门研究数学本身的内部规律。
中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。
纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。
它按照数学内部的需要，或未来可能的应用，对数学结构本身的内在规律进行研究，而并不要求同解决其他学科的实际问题有直接的联系。
它单纯研究数与空间关系。
例如哥德巴赫猜想、费马大定理等世界名题，成为世人关注的焦点，二百多年来全世界多少顶尖数学家都尽毕生精力研究它，至今还没有完全解决。
这是一个完全“没用”的课题，没人知道就算解决了又有什么用，可是一旦有所突破，可被视为人类思想史上的大事。
当然也有许多纯数学命题当时不知道有什么用，可后来却被应用数学家用到别的学科了，但这并不是纯数学家的初衷。
至于非欧几何、拓扑学、抽象群论等等，虽说开始时看不到和实际的直接关系，但是只要是好的数学知识，往往在若干年后会发现有实际应用。
例如当时爱因斯坦在研究广义相对论的时候，爱因斯坦的数学捉襟见肘。
他不得不求助于他的同学格罗斯曼。
而从黎曼开始发展的黎曼几何和张量分析仿佛是为广义相对论定做的工具，格罗斯曼正好是这方面的专家。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本科复旦数学和南开数学
复旦大学和南开大学的数学专业都是中国最顶尖的数学专业之一，两所学校各有其独特的优势和特点。
复旦大学数学专业是国内最早成立的数学系之一，拥有一批高水平的教授和科研人员，具有非常强的学科实力和科研能力。
复旦数学专业注重基础数学的教学和研究，涵盖了数学分析、代数、几何、拓扑等多个方向，是国内培养高水平数学人才的重要基地之一。
南开大学数学专业也是国内非常知名的数学系之一，其学科实力和科研能力也非常强。
南开数学专业注重应用数学的教学和研究，涵盖了概率论与数理统计、运筹学、计算数学等多个方向，是国内培养应用数学人才的重要基地之一。
总的来说，复旦大学和南开大学的数学专业都是中国最顶尖的数学专业之一，两所学校各有其独特的优势和特点。
如果你想深入学习基础数学，可以选择复旦大学；如果你想学习应用数学，可以选择南开大学。
当然，最终选择还需根据个人的兴趣和目标来决定。