【2014揭阳一模】广东省揭阳市2014届高三第一次高考模拟考试数学文试卷纯Word版含答案

绝密★启用前揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(文科) 2014.3.22本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足：34iz i =+，则z =A ．34i --B ．43i +C ．43i -D ．43i -+ 2．设函数()f x =M ，则R C M = A. (,1)-∞ B.(1,)+∞ C. (,1]-∞ D. [1,)+∞3．设平面α、β，直线a 、b ，,a b αα⊂⊂，则“//,//a b ββ” 是“//αβ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．下列函数是偶函数，且在[0,1]上单调递增的是 A.sin()2y x π=+B. 212cos 2y x =-C.2y x =- D. |sin()|y x π=+5．如图(1)所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值 相等的所有x 值分别为A.1、2、3B.0、1C.0、1、3D.0、1、2、3、4. 图（1）6．一简单组合体的三视图如图（2）所示，则该组合体的 体积为A.16π-B.124π-C.122π-D.12π- 7．已知向量a 、b 满足||1,||3a b ==，且(32)a b a -⊥，则a 与b 的夹角为 图（2）图（3）（km/h ）A.6πB.4πC.3πD.2π8．若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是A.[0，4]B.[4，6]C.[2，4]D. [2，6]9．已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为120，则双曲线C 的离心率为 A.32B.D.10．从[0,10]中任取一个数x ，从[0,6]中任取一个数y ，则使|5||3|4x y -+-≤的概率为 A ．12B ．59C ．23 D ．512二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11－13题）11．若点(,27)a 在函数3xy =的图象上，则tanaπ的值为 ．12．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 度为60 km/h~120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ．13．对于每一个正整数n ，设曲线1n y x +=在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a +++= ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题） 14.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l :132x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数且t R ∈）与曲线C :22x cos y cos αα=⎧⎨=+⎩(α是参数且[)02,απ∈)，则直线l 与曲线C 的交点坐标为 .15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，CD =2，DE ⊥AB ，垂足为E ，且E 是OB 的中点，则BC 的长为 ．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数sin 2()2sin .sin xf x x x=+ （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期； （2）若()2,[0,],f ααπ=∈求()12f πα+的值．17. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率;（2）求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率． 18．（本小题满分14分）如图(6)，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，侧棱SA ⊥底面ABCD ， 过A 作AE 垂直SB 交SB 于E 点，作AH 垂直SD 交SD 于H 点，平面 AEH 交SC 于K 点，P 是SA 上的动点，且AB=1，SA=2． （1）试证明不论点P 在何位置，都有DB PC ⊥； （2）求PB PH +的最小值；（3）设平面AEKH 与平面ABCD 的交线为l ，求证：//BD l ． 19．（本小题满分14分）.已知曲线C 的方程为：222240(0,ax ay a x y a a +--=≠为常数）．（1）判断曲线C 的形状；（2）设曲线C 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （A 、B 不同于原点O ），试判断△AOB 的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线:24l y x =-+与曲线C 交于不同的两点M 、N ，且||||OM ON =，求曲线C 的方程． 20．（本小题满分14分）已知正项数列{}n a 满足:222(1)()0()n n a n n a n n n N +-+--+=∈，数列{}n b 的前n项和为n S ，且满足11b =，21n n S b =+()n N +∈．(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设(21)nn nn b c a +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：21n T <． 21．（本小题满分14分）已知函数2()ln 1,()1bf x a xg x x x=+=+-，(,a b R ∈)． （1）若曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴，求b 的值； （2）当0a >时，若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()p x f x g x =+，在（1）的条件下，证明当0a ≤时，对任意两个不相等的正数12,x x ，有()()121222p x p x x x p ++⎛⎫>⎪⎝⎭．揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：CDBDC DADBA 解析：6.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为23411112ππ⨯⨯-⨯⨯=-7.由(32)a b a -⊥得2(32)3||20a b a a a b -⋅=-⋅=233||||||cos ,22a b a a b a b ⇒⋅===⋅<>，33cos ,,6a b a b π<>==⇒<>=． 8. 如右图知，满足条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩的点为图中阴影部分，当2z x y =+过点（2,0）时，z 取得最小值2，当2z x y =+过点（2,2）时，z 取得最 大值6，故选D.9.不妨设双曲线的焦点在x 轴，因c b >，故30OFB ∠=,tan 30b c ==22222211()3bc a a c c c -⇒==-=23()2c e a ⇒=⇒=选B. 10.如右图，使|5||3|4x y -+-≤是图中阴影部分，故所求的概率141+412==60602S P ⨯⨯⨯=阴影（）3.二、填空题：1112．15、0.0175； 13．-2； 14．（1，3）; 15. . 解析：12.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有0.0025+0.00520100=15⨯⨯（）（辆），x 的值=[1(0.00250.00500.01000.0150)20]200.0175-+++⨯÷=. 13．由1n y x +=得'(1)ny n x =+，则曲线在点（1,1）处的切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令y =得1n n x n =+，lg lg1n n n a x n ==+，12991299lg()23100a a a +++=⨯⨯⨯1lg 2100==- 14．把直线l 的参数方程化为普通方程得25x y +=，把曲线C 的参数方程化为普通方程得212(11)y x x =+-≤≤，由方程组212(11)25y x x x y ⎧=+-≤≤⎨+=⎩解得交点坐标为（1，3） 15．DE 为OB 的中垂线且OD=OB ，∴OBD ∆为等边三角形，060COD ∠=，OD BC OC OB ==-== 16．解：（1）由0sin x ,≠解得x k (k Z )π≠∈，所以函数f (x )的定义域为{x |x k (k Z )}π≠∈------------------------2分sin 2()2sin 2cos 2sin cos cos sin )).sin 444x f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+---4分f (x )∴的最小正周期221T ππ==-----------------------------------6分 （2）解法1：由()2cos sin 12cos sin 0,f ααααα=⇒+=⇒=---------------------8分[0,]απ∈且sin 0α≠，.2πα∴=------------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分 【解法2：由()2,[0,],f ααπ=∈得sin cos 1αα+=cos 1sin αα⇒=-， 代入22sin cos 1αα+=得22sin(1sin )1αα+-=2sin (sin 1)0αα⇒-=，-----8分P DABSHsin 0α≠ ∴sin 1α=，又[0,]απ∈，.2πα∴=---------------------------------10分∴5()sin()124126f ππππαα+=++==------------------------------------12分】 17.解：（1）在2月1日至2月12日这12天中，只有5日、8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率21126P ==.-----------------------5分 （2）根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”.--------------------6分 “此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”.其概率为31124=，----------------------------------------------8分 “此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”.其概率为512，-----------------------------------10分 所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为.P=1524123+=.-----------12分18．（1）证明：∵底面ABCD 是正方形∴DB AC ⊥,------------------------------1分 ∵SA ⊥底面ABCD,BD ⊂面ABCD ，∴DB SA ⊥,---------------------2分 又SAAC A =∴BD ⊥平面SAC ,∵不论点P 在何位置都有PC ⊂平面SAC ,∴DB PC ⊥．----------------------------------------------3分（2）解：将侧面SAB 绕侧棱SA 旋转到与侧面SAD 在同一平面内，如右图示， 则当B 、P 、H 三点共线时，PB PH +取最小值，这时，PB PH +的 最小值即线段BH 的长，--------------------------------------------4分 设HAD α∠=,则BAH πα∠=-， 在Rt AHD ∆中，∵SA AD AH SD ⋅==∴cos AH AD α==,--------------------6分 在三角形BAH 中，有余弦定理得：2222cos()BH AB AH AB AH πα=+-⋅-41712(55=+-=∴min ()PB PH BH +==------------------------------------------------------------8分 (3) 连结EH ，∵AB AD =,SA SA =,∴Rt SAB Rt SAD ∆≅∆， ∴SB SD =，---------------------------------------------------------------9分又∵,AE SB AH SD ⊥⊥,∴AE AH =，∴Rt SEA Rt SHA ∆≅∆， ∴SE SH =，-----------------------------------------------------------10分 ∴SE SHSB SD=, ∴//EH BD ,---------------------------------------12分 又∵EH ⊂面AEKH ，BD ⊄面AEKH , ∴//BD 面AEKH. ----------------------------13分 ∵平面AEKH ⋂平面ABCD=l ， ∴//BD l -----------------------------------------------------14分 19.解：（1）将曲线C 的方程化为22420x y ax y a +--=⇒222224()()x a y a a a-+-=+--2分可知曲线C 是以点2(,)a a-----------------------------4分 （2）△AOB 的面积S 为定值．-------------------------------------------------------------------5分 证明如下：在曲线C 的方程中令y=0得(2)0ax x a -=，得点(2,0)A a ，---------------------------6分 在曲线C 的方程中令x=0得(4)0y ay -=，得点4(0,)B a，--------------------------7分∴114|||||2|||422S OA OB a a=⋅=⋅=（为定值）．----------------------------------------9分 （3）∵圆C 过坐标原点，且||||OM ON = ∴圆心2(,)a a 在MN 的垂直平分线上，∴2212a =，2a =±，--------------------11分 当2a =-时，圆心坐标为(2,1)--， 圆心到直线:24l y x =-+的距离d ==>， 直线l 与圆C 相离，不合题意舍去，------------------------------------------------------------13分 ∴2a =，这时曲线C 的方程为22420x y x y +--=．-----------------------------------14分20．解：（1）由222(1)()0n n a n n a n n -+--+=,得2()(1)0n n a n n a ⎡⎤-++=⎣⎦. ---------2分由于{}n a 是正项数列,所以2n a n n =+.---------------------------------3分由21n n S b =+可得当2n ≥时，1121n n S b --=+，两式相减得1n n b b -=-，------------5分∴数列{}n b 是首项为1，公比1-的等比数列，1(1).n n b -∴=-----------------------------------7分 （2）方法一：∵1(21)21(1)(1)n n n n n b n c a n n -++==-⋅+---------------------------------8分∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+ 211(21)(21)2121n n n n ==--+-+--------------------------------------------------------------11分 21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+11 1.21n =-<+---------------------------------------------------------------------------------------14分 【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------------11分2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++----------------------------------------------14分】21. 解：（1）∵2'()2bg x x x =-，由曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得 '(1)20g b =-=，∴2b =------------------------------------------------2分 （2）解法一：令()ln 1h x a x x =+-，则'()1a a xh x x x-=-=，-------------------------3分 当a e >时，'()0h x >，函数()h x 在(1,)e 上是增函数，有()(1)0h x h >=，-----------4分 当1a e <≤时，∵函数()h x 在(1,)a 上递增，在(,)a e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥，即1a e ≥-．----------------------------5分 当1a ≤时，函数()h x 在(1,)e 上递减，对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，只需()0h e ≥， 而()10h e a e =+-<，不合题意，----------------------------------------------------------------6分 综上得对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，1a e ≥-．------------------------------------------7分 【解法二：由()f x x >且(1,)x e ∈可得1ln ,1xa x <----------------3分 由于ln 1xx -表示两点(,ln ),(1,0)A x x B 的连线斜率， 由图象可知ln 1xy x =-在(1,)e 单调递减，-----------------5分故当(1,)x e ∈时，ln ln 1,111x e x e e >=-----------------------------------6分1101a e ∴<≤-即1a e ≥--------------------------------------------------7分】 （3）证法一：由()22ln p x x a x x=++得()()()()1222121212111ln ln 222p x p x ax x x x x x +⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭()2212121212x x x x a x x +=+++--------------------------------------8分 2121212124ln 222x x x x x x p a x x +++⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭----------------------------------------------9分由2212122x x x x +>得22212122+x x x x +>（）（）2221212+122x x x x ⇒+>（）（）-------①---10分 又()()2221212121224x x x x x xx x +=++>∴1212124x x x x x x +>+ ---------------------------------------------------②---------------11分122x x +<∴12ln ln 2x x +< ∵0a ≤∴12ln 2x x a a +≥ ------------------------------③---------------12分由①、②、③得()22212121212121422x x x x x x a a x x x x ++⎛⎫+++>++ ⎪+⎝⎭ 即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫>⎪⎝⎭．--------------------------------------------------------------14分 【证法二：由()22ln p x x a x x=++ ()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2221212121212121114ln ln ln 2222x x x x a x x x x a x x x x ⎛⎫++⎛⎫=+++++--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭-----9分221212121212()()(ln ln )4()2x x x x x x a x x x x --+=++-+---------------------------------------10分∵12,x x 是两个不相等的正数，122x x +<∴12ln ln 2x x +<-------------------------------------------------11分∴12(ln ln )02x x a +-≥，又 2212121212()()0,04()x x x x x x x x -->>+ ∴()()121222p x p x x x p ++⎛⎫- ⎪⎝⎭0>，即()()121222p x p x x x p ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．----------------14分】。