多元函数在一点连续,可导,可微的关系
多元函数可导与可微的关系
多元函数可导与可微的关系多元函数的可导性与可微性是微分学的重要概念，它们之间存在紧密的关系。
在正式介绍多元函数的可导与可微性之前，我们先回顾一下一元函数的可导与可微性。
一元函数的可导与可微性：对于一元函数f(x)，在一些点x0处可导的条件是存在一个常数k，使得当x趋近于x0时，f(x)与k(x-x0)的差的绝对值趋近于零，即：lim┬(x→x_0)〖(f(x)-k(x-x_0))〗=0这个常数k就是f(x)在x0处的导数，通常表示为f'(x0)。
对于一元函数来说，可导性和可微性是等价的，即f(x)在一些点x0处可导当且仅当它在该点处可微。
多元函数的可导性：我们将一元函数的可导性推广到多元函数。
考虑一个两个变量的函数f(x,y)，如果存在实数a、b和函数h1(x,y)、h2(x,y)，使得当(x,y)趋近于(x0,y0)时，有：f(x,y)-[f(x0,y0)+a(x-x0)+b(y-y0)]-h1(x,y)(x-x0)-h2(x,y)(y-y0)趋近于零这里的a和b就是f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数。
如果存在这样的a、b和h1(x,y)、h2(x,y)，我们就说f(x,y)在点(x0,y0)处可导。
类似地，对于含有n个变量的多元函数，可导性的定义也可以推广。
多元函数的可微性：多元函数的可微性比可导性要严格一些。
对于一个两个变量的函数f(x,y)，如果它在一些点(x0,y0)处可导，则必然存在一个线性函数L(x,y)，使得当(x,y)趋近于(x0,y0)时，有：f(x,y)-f(x0,y0)-L(x,y-x0,y-y0)趋近于零这里的L(x,y)就是函数f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。
如果存在这样的线性函数L(x,y)，我们就说f(x,y)在点(x0,y0)处可微。
类似地，对于含有n个变量的多元函数，可微性的定义也可以推广。
可导与可微的关系：从定义上来看，可微性比可导性要严格一些。
高等数学可微可导连续有什么联系
高等数学可微可导连续有什么联系
在高等数学中，连续、可微和可导都是描述函数的性质的概念。
它们之间有如下联系：
1. 连续性与可微性的联系：若一个函数在某一点处可微，则它在该点处也是连续的。
这是因为可微性要求函数在某一点附近能够通过线性近似来描述，而线性近似的过程本质上是一个连续的过程。
2. 可导性与连续性的联系：若一个函数在某一点处可导，则它在该点处也是连续的。
这是因为可导性要求函数在某一点附近能够通过切线来描述，而切线在该点处存在且连续。
3. 可微性与可导性的联系：在一些情况下，可微和可导是等价的概念。
例如，如果一个函数在某一段区间内可微，则它在该段区间内也是可导的，并且导数等于函数的导函数。
这是因为可微性和可导性都关注函数在微小区间内的行为，而在这种情况下，它们的定义是相容的。
需要注意的是，虽然可微通常意味着可导，但可导不一定意味着可微。
例如，函数f(x) = |x|在x=0处是不可微的，但是在该
点是可导的。
另外，可微性和可导性也与函数的定义域和值域有关，需要根据具体情况判断它们之间的关系。
多元函数微分及其应用
1 f1 xyf 2 f1 yzf 2 z x 1 f1 xyf 2
三、
多元函数微分学的应用
空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线
(1) 几何应用
(2) 方向导数与梯度 (3) 求极值与最值
例1 设 f ( u ) 可微,证明曲面 上任一点处的切平面都通过原点.
P P0
则称 f ( P ) 在点 P0 处连续.
偏导数定义
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y 0 而 x 在 x 0 处有增量 x 时，相应地函数有偏增量 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) ， f ( x0 x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y ) 在点( x 0 , y 0 ) 处对 x 的 偏导数，记为
2 2
多元函数的全微分的计算方法
(1)微分的计算公式，如
dz z x dx z y dy .
(2)利用微分的形式不变性
不论 u , v 是自变量还是因变量,
dz
du
dv
问题3.如何求复合函数的偏导数？
例 3 设 z arctan( xy ), y e , 求
x
dz dx
设 xy u, 则链式结构如图
xy k kx 2 lim 2 2 lim 2 2 2 x0 x y x0 x k x 1 k2 y 0 y kx
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
(2)可偏导性
d f x (0,0) f ( x,0) x0 dx d f y (0,0) f (0, y ) y0 dy
知识点五(多元函数微分学及其应用)
（3）连续、偏导数存在和可微之间的关系在点处连续、偏导数存在、可微、存在连续的偏导数之间的关系是：在点处存在连续的偏导数在点处可微在点处连续在点处偏导数存在.3、多元复合函数求导法（1）一元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点可导，且有．（2）多元函数与多元函数复合的情形如果函数及都在点具有对及对的偏导数．函数在对应点具有连续的偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有，．这里有两个自变量和两个中间变量，随着自变量个数与中间变量个数的变化，链导法公式也因之而异，但如果能搞清楚复合函数结构中哪些是自变量，哪些是中间变量以及它们的个数，则就抓住了复合函数求导的关键.如果自变量只有一个，不论中间变量的个数是多少，所求得的导数就是全导数.值得注意的是，对自变量兼作中间变量的情形，求导时往往容易弄混.例如下面的情形：，则复合函数对，的偏导数为，．这里与是不同的，是将复合函数中的看成不变而对的偏导数，是把中的及都看成不变而对的偏导数．与也有类似的区别．读者如能领会此点，就不难正确理解公式中的偏导符号的意义了.4、隐函数的求导公式（1）若是由方程所确定的一元隐函数.则且．（2）若是由方程所确定的二元隐函数.则.求隐函数的一阶导数或偏导数时，首先要认清公式中或中哪个为自变量，哪个为因变量，然后套用公式，值得注意的是，求二阶偏导数不能用上面的公式.5、偏导数的应用（1）偏导数的几何应用①设空间曲线方程为 .则曲线上点处的切线方程为法平面方程为.②空间曲线的方程为.则曲线在点处的切线方程为，法平面方程为．③空间曲线为则曲线在点处切线方程为.法平面方程为．④若曲面方程为.则在点的切平面方程为法线方程为.⑤曲面方程为．则曲面在点处的切平面方程．在点处的的法线方程为．（2）偏导数在经济上的应用主要表现为求边际成本、边际利润和交叉弹性，读者应注意其内在的经济意义.6、方向导数与梯度一般地，方向导数是单侧的，偏导数是双侧的，如函数沿着方向的方向导数存在，但不存在.若在点可微，则在该点它沿任何方向的方向导数均存在，且=（其中，分别为与轴和轴正向的交角，为的方向余弦）且，.梯度是一个向量，梯度的方向是方向导数变化最快的方向，梯度的模为方向导数的最大值.7、多元函数的极值（1）多元函数极值的概念与一元函数完全一样，函数在一点取得极值的含义就是必须大于（或小于）它在的某个邻域上的所有值，只是一元函数中的邻域是一维的区间，而二元函数是二维平面区域.可导函数在取得极值的必要条件是，．由于它们仅仅是必要条件，所以满足，的点不一定是极值点，但是可以肯定，凡不满足这两个条件的点就一定不会是极值点.换句话说，即这两个条件虽然不能用来肯定极值点，但却可起到筛选极值点的作用.因此，我们又引出驻点概念，并给出判定极值点的充分条件.（2）多元函数最值与拉格朗日乘数法在实际问题中，需要我们解决的往往是求函数在特定的有界闭区域上的最大值与最小值.我们知道，在有界闭区域上连续函数必有最大值与最小值，它们既可以在闭域内部取得，也可在边界上取得.与一元函数一样，如果在闭域内取得，则它一定也是极大值或极小值.值得注意的是，函数的最大值或最小值也可在函数不可导的点处取得.例如函数在原点处不可导，但它在原点得最大值1. 因此，求连续函数在有界闭域上的最大值、最小值的方法是：①计算出函数在区域内所有驻点、不可导的点（即所有的临界点）处的值；②将①中的这些值与区域边界上函数的最值一起加以比较，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值.③在求最大、最小值的实际问题中，目标函数的各自变量之间往往还有附加的约束条件，这就形成了条件极值的概念.一般说来，条件极值问题可以化为无条件极值问题来处理，方法是利用约束条件将目标函数中多余的自变量消去，使之成为求另一个新的目标函数的无条件极值问题.但这种转化往往有一定的困难，这时我们可引入所谓拉格朗日乘数，它与目标函数及约束条件中的函数构成拉格朗日函数，把其中的乘数也看成是一个变量，然后按无条件极值写出求极值的必要条件，由此即可得到一组求解驻点的联立方程组：拉格朗日乘数法的优点在于引进了拉格朗日乘数后，可以把中的变量都当作自变量，然后按无条件极值写出形式完全对称的必要条件.因此，这个方法还便于推广到有多个约束条件的情形.。
可微连续可导之间的关系
可微连续可导之间的关系
哎呀，我的天呐！一听到“可微连续可导之间的关系”，是不是觉得脑袋都要大啦？嘿嘿，一开始我也是这样的呢！
咱们先来说说可导吧。
这就好像你在一条平平整整的路上骑自行车，顺顺溜溜，一点阻碍都没有，这就是可导啦。
那连续呢，就好比是这条路没有突然断开的地方，你能一直骑着往前走，不会一下子掉坑里。
那可微又是啥呢？可微就像是你骑车的时候，不仅能顺利前进，而且每一小段路的变化都能被很清楚地感觉到。
比如说，老师在课堂上讲这个的时候，我就问旁边的同桌：“这可微连续可导的关系到底是啥呀？你懂了没？”同桌摇摇头说：“我也迷糊着呢！”然后我俩就一起瞪大眼睛，竖起耳朵，等着老师进一步解释。
老师说：“如果一个函数在某一点可导，那它在这一点一定连续。
”我心里就想：“这咋就一定了呢？”老师好像看出了我们的疑惑，接着解释：“就像你们骑车，能顺畅地控制方向，那这条路肯定不会突然断开让你摔跟头，对不对？”
再比如说，如果一个函数在某一点可微，那它在这一点也一定可导。
这就好像是，如果能清楚地感觉到每一小段路的变化，那肯定能顺利地控制方向骑车呀！
但是呢，连续可不一定能推出可导哦！这就好比有一条路虽然没有断开，但是可能弯弯曲曲，坑坑洼洼，你想骑车顺畅地控制方向就难啦！
哎呀，说了这么多，我算是有点明白了，可微连续可导之间的关系，就像是一场有趣的冒险，得一步步去探索，去发现其中的奥秘！你们是不是也觉得有点意思啦？
我觉得呀，数学里这些概念虽然一开始让人头疼，但只要我们认真琢磨，多想想例子，多和老师同学讨论，总能搞清楚的！反正我是不会被它们难倒的，我一定要把它们都拿下！。
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关系
多元函数的连续性,偏导数,方向导数及可微性之间的关
系
多元函数这些性质之间的关系是：可微分是最强的性质，即可微必然
可以推出偏导数存在，必然可以推出连续。
反之偏导数存在与连续之间是
不能相互推出的（没有直接关系），即连续多元函数偏导数可以不存在；
偏导数都存在多元函数也可以不连续。
偏导数连续强于函数可微分，是可
微分的充分不必要条件，相关例子可以在数学分析书籍中找到。
其中可微分的定义是：
以二元函数为例（n元类似）
扩展：可微分可以直观地理解为用线性函数逼近函数时的情况（一元
函数用一次函数即切线替代函数增量，二元函数可以看做是用平面来代替，更多元可以看做是超平面来的代替函数增量，当点P距离定点P0的距离
p趋于零时，函数增量与线性函数增量的差是自变量与定点差的高阶无穷
小（函数增量差距缩小的速度快与自变量P靠近P0的速度））。
可导和可微的关系
可导和可微的关系
可导和可微的关系：可微=>可导=>连续=>可积，在一元函数中，可导与可微等价。
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导；
可微与连续的关系：可微与可导是一样的；
可积与连续的关系：可积不一定连续，连续必定可积；
可导与可积的关系：可导一般可积，可积推不出一定可导；
若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；
若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。
定理：若函数f（x）在x0处可导，则必在点x0处连续。
上述定理说明：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。
多元函数可微与可导的关系
多元函数可微与可导的关系
对于一个多元函数，它在一个点处如果存在一个线性变换使得它的导
数存在，那么我们称这个函数在这个点处是可导的。
如果这个线性变换可
以表示为一个 Jacobian 矩阵，那么我们称这个函数在这个点处是可微的。
因此，多元函数可微和可导是密切相关的。
如果一个函数在某个点可微，则在该点可导，反之也成立。
但确切的说，可微和可导是对不同方面
性质的不同理解，但它们在很多情况下是可互换的。
在一些特殊情况下，
可微意味着可导，而可导意味着可微，但它们并不总是等价的。
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多元函数在一点连续,可导,可微的关系
一、多元函数的定义
多元函数是指利用某一种关系，将多个变量（即多元）的值连接起来组成一个映射关系，映射关系中的每个变量均称为函数的自变量，而映射关系中的值称为函数的因变量。
二、多元函数在一点的连续性
多元函数在某点连续性的定义：在多元函数f（x1，x2，…，xn）中，若存在一点（a1，a2，…，an），使得f（a1，a2，…，an）存在，并且当（x1，x2，…，xn）连续地接近（a1，a2，…，an）时，f（x1，x2，…，xn）也连续地接近f（a1，a2，…，an）。
三、多元函数的可导性
多元函数的可导性定义：在多元函数f（x1，x2，…，xn）中，若f的每一个自变量上都存在一阶导数，并且其全部都连续，则称f 为可导函数。
可导性是指函数的图形有'弯曲'。
四、多元函数的可微性
多元函数的可微性定义：在多元函数f（x1，x2，…，xn）中，若存在n阶偏导数，使得n阶偏导数可以通过其它低阶偏导数求出，则称f为可微函数。
可微性是指函数的图形有'山脊'。
- 1 -。