多元凸函数的判定

多元凸函数的判定
1 引言
凸函数是一类基本函数，具有非常好的分析学性质，在极值研究、不等式证明、数学规划、逼近论、变分学、最优控制理论、对策论等领域有着广泛的应用. 人们对一元凸函数性质和判定方法已经有了丰富的研究，但随着凸函数应用范围的不断扩展，多元凸函数越来越多的被研究. 一元函数凸性的判定方法也被推广到多元函数，文献[4]将凸函数与导函数之间的关系推广，给出了用梯度判定多元函数凸性的方法，文献[5]将凸函数与二阶导数之间的关系推广，给出了用黑塞矩阵判定多元函数凸性的方法. 而多元函数的梯度与黑塞矩阵在计算中往往比较繁琐，本文将着力研究多元函数凸性判定方法的改进，使凸函数判定的计算更加简洁，应用更加方便. 2 定义及引理
本节主要介绍本文用到的定义及引理.
定义2.1[2] 设n R D ⊂，如果D 中的任意两点的连线也在D 内，则称D 为n R 中的凸集. 即对任意21,P P ，数)1,0(∈λ，总有
D P P ∈-+21)1(λλ.
定义 2.2[1] 设n R D ⊂为非空凸集,f 为定义在D 上的函数,若对任意
)1,0(,,21∈∈λD P P ，总有
)()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≤-+， (1)
则称f 为D 上的凸函数. 反之，如果总有
)()1()())1((2121P f P f P P f λλλλ-+≥-+， (2)
则f 为D 上的凹函数.
若上述(1)、(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.
定义]2[3.2 )(P f 是定义在n R D ⊂上的多元函数，若在点),,,(210n x x x P ⋅⋅⋅存在对所有自变量的偏导数，则称向量))(,),(),((00021P f P f P f n x x x ⋅⋅⋅为函数)(P f 在点0P 的梯度，记作
)).(,),(),(()()(0000021P f P f P f P gradf P f n x x x ⋅⋅⋅==∇
定义]2[4.2 )(P f 是定义在n R D ⊂上的多元函数，且在点),,,(210n x x x P ⋅⋅⋅具有二阶连续偏导数，记
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=)()()()()()
()()()()(000000000021
2221212111P f P f P f P f P f P f P f P f P f P H n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f 它称为)(P f 在0P 的黑赛矩阵.
引理2.1[1] (泰勒定理) 若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 上存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定得],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得
.
)()!
1()()(!)()(!
2)
())(()()(10)
1(00)(200000++-++-+⋅⋅⋅+-''+
-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ
3 已有结果
定理]1[1.3 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<，总有
.)
()()()(2
3231212x x x f x f x x x f x f --≤--
定理]1[2.3 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数的充要条件是
)0)((0)(≤''≥''x f x f ，I x ∈.
定理]4[3.3 设)(P f 为凸集n R D ⊂内可微函数，则)(P f 为D 内的凸函数的充要条件是:对任意D P ∈，D P P ∈∆+，则P P f P f P P f T ∆∇+≥∆+)()()(.
定理]5[4.3 设)(P f 是定义在非空开集n R D ⊂的二次可微函数，则)(P f 是凸函数的充要条件是在任意点D P ∈处)(P f 的黑赛矩阵半正定.
定理]5[5.3 设)(P f 是定义在非空开集n R D ⊂的二次可微函数，若)(P f 的黑赛矩阵在
任意点D P 处正定，则)(P f 是严格凸函数.。