数学建模2003年a卷试题答案

1993年A 题交调频率设计的参考解答1. 问题分析根据题目给出的数据条件,首先要确定输入输出的函数关系.这是一个曲线拟合问题.由于交调是因为输入u(t)的乘方产生的.故此处用多项式拟合输入输出关系是恰当的.那么,拟合多项式的最高次数是多少?因为u k (t)可能产生≤k 阶类型的交调,而题目要求考虑二阶和三阶类型的交调,故最高次数必定≥3.到底最高次数为多少,待后面通过计算再确定.2. 模型假设(1)不考虑系统外部的干扰;(2)拟合出的输入输出关系,对自变量u(t)在其有效范围内均成立.3. 模型建立及求解(1)输入输出关系的建立由前面的分析,输入输出关系应该用≥3次的多项式拟合.那么,我们试用不同次数的多项式进行拟合来比较,结果发现用≥4次的多项式进行拟合时，拟合出的多项式中次数≥4的项的系数非常小(≤10-5),以致不会对结果产生影响.故用三次多项式进行拟合已达到精度了.设拟合多项式为:y(t)=α0+α1u(t)+ α2u 2(t)+ α3u 3(t)在所给的数据中有u=0时,y=0.故选取α0=0较好,于是拟合多项式化为:y(t)= α1u(t)+ α2u 2(t)+ α3u 3(t)用最小二乘法对y(t)进行三元回归确定系数.记x 1(t)=u(t),x 2(t)=u 2(t),x 3(t)=u 3(t).令:∑=---=ϕ91i 2i 33i 22i 11i321)x a x a x a y ()a ,a ,a (求a 1,a 2,a 3使Φ(a 1,a 2,a 3)为最小. 由3,2,1k 0k ==α∂ϕ∂得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑============913391232913219131912391322912219121911391312912119121)()()()2()()()2()()(i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i x y a x a x x a x x x y a x a x a x x x y a x a x x a x解此方程组得a 1=0.2441a 2=0.04538a 3=-0.0004133故拟合多项式为:y(t)=0.2441u(t)+0.04538u 2(t)-0.000413u 3(t) (11.13)可以用Mathematica 软件作函数拟合与上述结果进行比较.(2)频率约束条件下的初步配置由假设(2),输入输出关系(11.13)对u(t)在其有效范围内均成立.故可将输入u(t)=∑=π31k k k t f 2cos A(14)代入(11.14)式,经整理得到输出y(t)的频率成分有以下几种:①1阶:f i ,i=1,2,3;②2阶:|f i ±f j |,i,j=1,2,3;③3阶:| f i ±f j ±f k |, i,j=1,2,3.由约束条件36≤f 1≤40,41≤f 2≤50,46≤f 3≤55得f i +f j ≥77>f 3+6| f i -f j |≤19<f 1-6f i +f j +f k >f 3+6故二阶交调和三阶交调中的f i +f j +f k ,均不在f i (i=1,2,3)产生干扰的频带[30,61]中.因此,这些交调可以不必考虑.剩余的三阶交调为如下形式:d(i,j)=2f i -f j (i ≠j)g(i,j,k)=f i +f j -f k (i ≠j ≠k) (11.15)根据条件(2)与(4)应满足下述不等式)6.11(6|f f |6|f )k ,j ,i (g |6|f )j ,i (d |j i m k ⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≥-用计算机求解满足上述条件的频率组是比较容易的.具体作法是:采用穷举法,逐一选出满足(11.16)式的频率组(在计算过程中,不妨设f 1<f 2<f 3).最终求得满足频率约束(11.16),即满足条件(2),(4)的6组解为f i f 2 f 31 36 42 552 36 49 553 36 42 544 36 48 545 37 43 556 37 49 55(3)信噪比条件下的进一步配置信噪比SNR 的约束是:当交调出现在f i ±6时,要求SNR>10(dB).因此,需从上述6组解中,进一步求出满足SNR 要求的解.为此,需计算输出y(t)中频率为f i 的系数和交调2f i -f j ,f i +f j -f k (i ≠j ≠k)的系数.将(11.14)式代入(11.13)得:)17.11(y y y )cos A (a )cos A (a cos A a y 321331k k k 3231k k k 231k k k1++∆θ+θ+θ=∑∑∑===其中θk =2πf k t,a 1,a 2,a 3是拟合多项式的系数.其中y 2仅包含二阶交调,故无影响.y 3较复杂,可能出现频率成分θk ,2θk -θj , θi +θj -θk (i ≠j ≠k).要方便的求出各种频率的系数,比较好的办法是采用Fourier 级数展开，这样能够处理更一般的问题。

将y 3表为复数形式)cos A )(cos A )(cos A (a y 31k k k31j j j 31i i i 33∑∑∑===θθθ= =)2e e A )(2e e A )(2e e A (3a 31k i i k 31j i i j 31i i i i k k j j i i ∑∑∑=θ-θ=θ-θ=θ-θ+++ =∑∑=θυ+θυ+θυ±=υυυ31k ,j ,i )(i k j i 1,,33k 3j 2i 1321e A A A 2a （11.18）显然,y 3(θ1, θ2, θ3)关于θ1, θ2, θ3均是以2π为周期的函数,故可将其展为Fourier 级数)n n n (i n ,n ,n n n n 3332211321321e C y θ+θ+θ-+∞-∞=+∞-∞=+∞-∞=∑∑∑=, (11.19)321n ,n ,n C =123)(i 32133d d d e )(y )2(1k 3j 2i 1θθθθθθπθυ+θυ+θυππ-ππ-ππ-⎰⎰⎰，， (11.20)于是y 3中对应于单频率成份θi 的系数是C 1,0,0和C -1,0,0(对应f 1)C 0,1,0和C 0,-1,0(对应f 2)C 0,0,1和C 0,0,-1(对应f 3)归纳为一般形式,得① y 3中对应于单频率成份θi 的系数是满足n 1+n 2+n 3=±1,且|n 1|+|n 2|+|n 3|=1的系数321n ,n ,n C ,类似地得② y 3中对应于频率成份2θi -θj , θi +θj -θk 的系数是满足n 1+n 2+n 3=±1且|n 1|+|n 2|+|n 3|=3的系数321n ,n ,n C .下面计算信噪比中所需频率的振幅.单频率中以θi 为例:123i 31k ,j ,i )(i k j i 1,,3330,0,1d d d e ]e A A A 2a [)2(1C 1332211321θθθπ=θ-=θυ+θυ+θυ±=υυυππ-ππ-ππ-∑∑⎰⎰⎰ =)A A 6A A 6A 3(2C231221313++ (11.21)C -1,0,0=C 1,0,0 故y 3中对应于θ1的系数中D 1,0,0=2C 1,0,0=)A A 6A A 6A 3(4323122123++ (11.22) 与（11.17）式中y 1的频率成份θ1的系数合并得对应于频率f 1的振幅为:)A A 6A A 6A 3(4a A a 1B 23122131311++++= (11.23)用同样的方法可求出对应于2θ1-θ2的系数（即振幅）为：22130,1,2A A a 43D =- （11.24） 对应于θ1+θ2-θ3的系数为： 32131,1,1A A A a 43D =- （11.25） 归纳起来,y(t)中有关频率的振幅为:①对应于频率f i 的振幅B i (i=1,2,3)为)A A 6A A 6A 3(43a A a B 2k i 2j i 3i i i i +++= , (j ≠k ≠i) (11.26) ② 对应于频率2f i -f i 的振幅(i=1,2,3.j ≠i)为j 2i 3A A a 43 (11.27) ③对应于频率f i +f j -f k (i,j,k=1,2,3.i ≠j ≠k)的振幅为 j 2i 3A A a 23 (1 1.28) 将此处所求的各种频率的振幅用于(2)中求出的满足频率约束条件的6组配置,分别计算出有关的信噪比SNR=10lg(2n 3i C /B ),检验是否SNR>10(dB).最终求出满足条件的解有二组:(36,42,55) (36,49,55)4. 稳定性分析(1)解关于拟合多项式系数的稳定性这里讨论的是当拟合多项式的系数在什么范围变化时,解仍是解,非解仍是非解.由前面的讨论中可看到,当拟合多项式系数发生变化时,输出信号中,各种频率的振幅将发生变化,但输出的频率不会发生变化.故只需讨论拟合多项式的系数变化时有关信噪比的影响,即当拟合多项式的系数在什么范围变化时,前面得到的6组频率中1,2组仍是解,3～6组仍是非解.设另有拟合多项式33221)t (u a )t (u a )t (u a )t (y ++= (11.29)同(3)中的方法一样可得)t (y 中有关频率的振幅为对应于f i 的振幅)k j i ()A A 6A A 6A 3(4a A a B 2k i 2j i 3i 3i 1i ≠≠+++= (11.30)对应于2f i -f j 的振幅j 2i 3A A a 43 （i ≠j ） (11.31) 对应f i +f j -f k 的振幅3213A A A a 23 (i ≠j ≠k) (11.32) 计算有关的信噪比,并使1,2组频率仍为解,3～组频率仍为非解,得下述不等式2221321)A A a 43(10> 2222322)A A a 43(10B >2321323)A A A a 23(10B > 2321321)A A A a 23(10B > 2322322)A A a 43(10B > (11.33) 2223323)A A a 43(10B > 有一成立⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫≤≤≤232232121223222321323)A A a 43(10B )A A a 43(10B )A A A a 23(10B 解此不等式组,即可得321a ,a .a 的变化范围,在此范围内解是稳定的.(2)高阶拟合多项式(≥阶)对解的影响前面在拟合输出函数时,采用的是三阶多项式.实际上大于等于4次的函数亦能够产生一阶、二阶、三阶的交调.但由于4次及4次以上的项其系数非常小(≤10-5).故其生产的交调的振幅相对3次项产生的该交调的振幅的变化在解的稳定范围之内.故用三次多项式作拟合函数是足够精确的.5. 推广与改进二项有意义的推广是(1)将输入信号由3项改为n 项∑=π=n1k kk t f 2cos A )t (u 研究其信噪比的计算和研究高阶交调(如5,7阶)的分析.Fourier 分析方法是研究此问题的重要工具.(2)讨论输入输出曲线的拟合在负部进行或其它假定下解的情况.。