线性二自由度汽车操纵稳定性Simulink仿真
基于MATLABSimulink的车辆转向稳定性的仿真研究
10.16638/ki.1671-7988.2021.03.010基于MATLAB/Simulink的车辆转向稳定性的仿真研究马园杰，周旭（湖北汽车工业学院机械工程学院，湖北十堰442000）摘要：汽车的操纵稳定性是衡量汽车安全性最基本的指标之一，影响汽车行驶稳定性的基本因素主要有横摆角速度与质心侧偏角，将汽车简化为二自由度模型，建立关于横摆角速度与质心侧偏角的转向微分方程。
基于MA TLAB/Simulink软件建立仿真模型，对前轮转向与四轮转向典型的二自由度汽车模型进行仿真分析。
对比两轮转向和四轮转向的稳定性。
且四轮转向采用线控转向，将线控转向系统与四轮转向系统的优点结合起来，观察采用线控对汽车稳定性的影响。
关键词：二轮转向；四轮转向；横摆角速度；质心侧偏角中图分类号：TP391.9；U463.41 文献标示码：A 文章编号：1671-7988(2021)03-34-03 Simulation Research on Vehicle steering stability based on MATLAB/SimulinkMa Yuanjie, Zhou Xu（Department of Mechanical Engineering, Hubei University of Automotive Technology, Hubei Shiyan 442000）Abstract:Vehicle handing stability is the index to measure automobile safety. Yaw velocity and side slip angle are the basic factors that affect the vehicle handing stability. Simplify the car to two degree of freedom model. This paper establi -shed the differential equations of Yaw velocity and side slip angle. Using the MA TLAB/Simulinl to create the simulation model and analyze the stability of Vehicle steering system. Combine the advantage of the wire steering system with four wheel steering , Observe its effect on stability.Keywords: Two wheel steering; Four wheel steering; Yaw velocity; Side slip angleCLC NO.: TP391.9; U463.41 Document Code: A Article ID: 1671-7988(2021)03-34-03前言随着人们对现代汽车安全性及操纵稳定性的关注，汽车行驶稳定性越来越成为人们备受关注的焦点。
线性二自由度汽车操纵稳定性Simulink仿真
线性二自由度汽车操纵稳定性Simulink 仿真汽车的操纵稳定性是指在驾驶者不感到过分紧张、疲劳的情况下，汽车能够遵循驾驶者通过转向系统及转向车轮给定的方向行驶，且遇到外界干扰时，汽车能够抵抗干扰而保持稳定行驶的能力，汽车的操纵稳定性是汽车主动安全性的重要评价指标之一。
操纵稳定性包括：汽车在转向盘输入或外界干扰输入下的侧向运动响应随时间而变化的特性称为时域响应特性；转向盘输入有角位移输入和力矩输入；外界干扰输入主要指侧向风和路面不平产生的侧向力。
1. 转向盘角阶跃输入下的响应稳态响应，评价参量为 横摆角度速度增益—转向灵敏度瞬态响应，评价参量为 反应时间；横摆角速度波动的无阻尼园频率。
2. 横摆角速度频率响应特性转向盘转角正弦输入下，频率由0至∞变化时，汽车横摆角速度与转向盘转角的振幅比及相位差的变化规律。
评价参量为：共振峰频率；共振时的振幅比；相位滞后角；稳态增益。
3. 转向盘中间位置操纵稳定性转向盘小转角、低频正弦输入下，汽车高速行驶时的操纵稳定性。
评价参量为：转向灵敏度、转向盘力特性、转向功灵敏度。
4. 回正性转向盘力输入下的时域响应。
评价参量为：回正后剩余横摆角速度与剩余横摆角；达到剩余横摆角速度的时间。
轮胎的侧偏特性为：αk F Y =，k 为侧偏刚度，Y F 一定时，侧偏角越小越好，因此k 越大越好；前轮侧偏角在4度内时，轮胎侧偏特性呈线性变化。
图1线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应建模假设：忽略转向系统的影响，直接以前轮转角为输入；忽略悬架的作用，车身仅作平行于地面的平面运动，绕z 轴的位移、绕y 轴的俯仰角和绕x 轴的侧倾角均为零；汽车前进速度不变。
汽车被简化为只有侧向和横摆两个自由度的两轮汽车模型。
图2假定汽车g y 4.0≤α（质心加速度在y 轴的投影），轮胎侧偏特性处于线性范围内，不计地面切向力Fx 、外倾侧向力Fy γ、回正力矩Tz 、垂直载荷的变化对轮胎侧偏刚度的影响；简化后的两轮汽车模型及车辆坐标系如下：图3确定汽车质心加速度（绝对加速度）在车辆坐标系的分量x α和y α，图4沿OX 轴速度分量的变化为：()()θθθθθθ∆∆-∆--∆∆+∆=∆∆+--∆∆+sin sin cos cos sin cos v v u u u v v u u u考虑θ∆很小，忽略二阶微量，则有： θθθθθ∆-∆=∆∆-∆--∆∆+∆v u v v u u u sin sin cos cos 上式除t ∆，取极限得r x v u dtd v dt du a ωθ-=-=同理可得r y u va ω+=二自由度汽车运动力学分析2121cos cos Y Y Z Y Y Y bF aF M FF F -=+=∑∑δδ 考虑δ较小，1cos =δ111αk F Y =，222αk F Y =则有：22112211ααααbk ak M k k F Z Y -=+=∑∑ 质心侧偏角u v =β ua u a v r r ωβωξ+=+= ()δωβξδα-+=--=ua r 1 ub u b v r r ωβωα-=-=2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑u b k u a k F rr Y ωβδωβ21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑u b bk u a ak M r r Z ωβδωβ21 由于y Y ma F =∑，r Z Z I M ω=∑ ()r rr u v m u b k u a k ωωβδωβ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 21 r Z r r I u b bk u a ak ωωβδωβ =⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21 即()()()r r u v m k bk ak uk k ωδωβ+=--++ 121211 ()()r Z r I ak k b k a ubk ak ωδωβ =-++-12212211 动力学方程可变形为δβωωZZ r Z r I ak I bk ak u I k b k a 1212212--++=δβωβmu k mu k k mu bk ak r 1212211-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 即状态空间为δβωβω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡211122211211b b a a a a r r δβωβω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡001001r r 其中uI k b k a a Z 221211+=，Z I bk ak a 2112-=，Z I ak b 111-= 122121--=mu bk ak a ，mu k k a 2122+=，muk b 121-=仿真参数设置：仿真时间1.5s 汽车总质量 m= 绕z 轴转动惯量I Z =3885Kgm 2轴距L= 质心至前轴距离a= 质心至后轴距离b=前轮总侧偏刚度k 1=-62618N/rad 后轮总侧偏刚度k 2=-110185N/rad仿真模型为：仿真工况1：前轮转角1度，车速80Km/h 下，仿真结果为：仿真工况2：车速80Km/h 下，前轮转角分别为1度、2度和3度，仿真模型为：由上图可见，在车速为80km/h下，随前轮转角的增大，汽车质心侧偏角明显增大且开始出现振荡，固有圆频率及阻尼比减小，超调量及稳定时间增加，因此应避免在高速行驶时急转方向盘产生大的前轮转角。
05-3 线性二自由度汽车模型
业 ¾ 输出、输入的幅值比是频率 f 的函数，称幅频特性。 工 ¾ 相位差也是 f 的函数，称为相频特性。
¾ 两者统称为频率特性。
车
汽
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = B1δ + B0δ
B0δ 0 ω02
= uL 1+ Ku2
δ0
=
ωr δ
⎞ ⎟
δ0
⎠s
工业 即稳态横摆角速度
ωr0
=
ωr δ
⎟⎞ ⎠s
δ
0
车对应的齐次方程为 汽ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = 0
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
其通解可由如下特征方程求得
业 式中
工 ζ = h 2ω0m′
汽车 B1
=
b1 m′
ω02
=
c m′
ζ—阻尼比。
B0
=
b0 m′
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
前轮角阶跃输入的数学表达式为
版
t < 0,δ = 0 ⎫
转 向
院 t
≥
0,δ
=
δ
0
⎪ ⎬
盘 转 角
学 t > 0,δ = 0 ⎪⎭
ω r = C e−ζω0tsin ω 0 1 − ζ 2 t + Φ
车辆两自由度操纵稳定性simulink模型及分析
X AX BU Y CX DU 其中
X
v r
;U
f
(C1 C2 )
A
muc (aC1 bC2
Iuc
)
uc
(aC1 bC2 ) muc
(a 2C1 b2C2 ) Iuc
C1
B
m aC1
C
0
I
1D 0
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利用simulink进行仿真
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以状态方程建立的的仿真图
7、定汽车 ay≤0.4g，轮胎侧偏特性处于线性范围。
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两轮汽车模型及车辆坐标系
在上述假设下，汽车被简化为只有侧向和横摆两个自由度的“自行车模型”。
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微分方程推导
分析时，令车辆坐标系原点与汽车质心重合。 首先确定汽车质心的（绝对）加速度在车辆坐标系中 的分量。
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ox与oy为车辆坐标系的横轴和纵轴。质心速度v1于时刻t 在x轴上的分量为u，在y轴上的分量为v。由于汽车转向行 驶时伴有平移和转动，在t+△t时刻，车辆坐标系中质心 速度的大小与方向均发生变化，而车辆坐标系中的纵轴和 横轴亦发生变化，所以沿x轴速度分量变化为：
横摆角速度根轨迹变化
虚轴
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-10
-8
-6
-4
-2
0
实轴
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m(v ucr) Fyf Fyr Ir aFyf bFyr
（公式 1）
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由于假设侧片刚度在线性区域，所以Fy= -Cαα（公式2） 在单轨模型中，前轮的侧向速度为
基于Simulink的车辆两自由度操纵稳定性模型
基于Simulink的车辆两自由度操纵稳定性模型汽车操纵稳定性是汽车高速安全行驶的生命线，是汽车主动安全性的重要因素之一；汽车操纵稳定性一直汽车整车性能研究领域的重要课题。
本文采用MATLAB仿真建立了汽车二自由度动力学模型，通过仿真分析了不同车速、不同质量和不同侧偏刚度对汽车操纵稳定性的影响。
研究表明，降低汽车行驶速度，增加前后轮侧偏刚度和减小汽车质量可以减小质心侧偏角，使固有圆频率增加降低行驶车速还可以使阻尼比增加，超调量及稳定时间减少。
车辆操纵稳定性评价主要有客观评价和主观评价俩种方法。
客观评价是通过标准实验得到汽车状态量，再计算汽车操纵稳定性的评价指标，这可通过实车实验和模拟仿真完成，在车辆开发初期可通过车辆动力仿真进行车辆操纵稳定性研究。
1．二自由度汽车模型为了便于掌握操纵稳定性的基本特性，对汽车简化为线性二自由度的汽车模型，忽略转向系统的影响，直接一前轮转角作为输入；忽略悬架的作用，认为汽车车厢只作用于地面的平面运动。
2．运动学分析分析时，令车辆坐标系原点与汽车质心重合。
首先确定汽车质心的（绝对）加速度在车辆坐标系中的分量。
确定汽车质心的（绝对）加速度在车辆坐标系的分量 和 。
Ox 与Oy 为车辆坐标系的纵轴与横轴。
质心速度 1与t 时刻在Ox 轴上的分量为u ，在Oy 轴上的分量为v 。
2.1 沿Ox 轴速度分量的变化为：由于汽车转向行驶时伴有平移和转动，在t+△t 时刻，车辆坐标系中质心速度的大小与方向均发生变化，而车辆坐标系中的纵轴和横轴亦发生变化，所以沿x 轴速度分量变化为：()cos ()sin cos cos sin sin u u u v v u u u v v θθθθθθ+∆∆--+∆∆=∆+∆∆---∆∆考虑到Δθ很小并忽略二阶微量，上式变成:Δu-v Δθ，除以Δt 并取极限，便是汽车质心绝对加速度在车辆坐标系Ox 和Oy 上的分量为:2.2 二自由度动力学方程因此我们可以得出两自由度的基本操纵模型的运动方程:由于假设侧片刚度在线性区域，所以F y = -K αα（公式2） 在单轨模型中，前轮的侧向速度为v f =v+ar后轮的侧向速度为v r =v-br当α很小的时候，可以认为tan α≈α 所以：() 1 r yf yrz r yf yrm v uw F F I w aF bF +=+⎧⎪⎨=-⎪⎩（公式） 3r r r f u bw u u aw u ααδ-⎧≈⎪⎪⎨+⎪≈-⎪⎩（公式）12121221212112()()()()()r rZ r r k k ak bk m v uw k v w u u ak bk a k b k I w ak v w u u k δδ+-⎧+=--⎪⎪⎨-+⎪=--⎪⎩其中k 为前轮侧偏刚度为后轮侧偏刚度将转向输入δ作为系统的输入放在方程右边，并以状态空间方程的形式来表示，则可得到系统的运动方程为:2.3 转化成标准的状态空间方程转化为标准的状态空间方程为：()121212211212()()00()()z r r k k ak bk mu u um v v k I w w ak ak bk a k b k u u δ+-⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭11;;;r X AX BUv A P Q B P R X U w δ--=+⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭其中输入矢量为()121222121211;()()()()010r z z z X AX BUY CX DU v X U w k k ak bk u mu muA ak bk a k b k I u I u k mBCD ak I δ=+=+⎛⎫== ⎪⎝⎭+-⎛⎫-+ ⎪⎪= ⎪-+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎪=== ⎪- ⎪⎝⎭其中M文件定义的参数值Simulink模型二自由度汽车Simulink模型横摆角速度阶跃响应2.4以状态方程建立的仿真图A=-inv(p)*QB=inv(p)*RC=[0 1];D=[0];得到的仿真结果如上图的阶跃响应结果一样，不再给出。
基于Simulink的汽车稳定控制系统仿真研究
（ Ｄ Ｓ Ｃ ） 等．
为 了清 晰 的显 示 汽车稳 定 控制 系统 的工 作过
程， 把控制过程分 成信息采集模块 、 数 值 估 算 模 块、 ２自由度 汽 车模 型 模 块 、 稳定性 判断模块 、 控 制 器模 块和 执行 机构 模块 这 ６ 个模块 ， 见图 １ ． 信
息 采集 模块 采集 轮速 、 实 际横摆 角 期
２ ０ １ ４年 Ｏ ２月
武汉 理工 大学 学报 （ 交通 科学 与工 程版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｗｕ ｈ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
（ Ｔｒ ａ ｎ ｓ ｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ）
０ 引
言
效果； （ ４ ）执行手 段 的 问题 ， 当获 知 汽 车失 稳 时通 过 什 么样 的操作 来使 汽车恢 复 稳定 状态 ． 为 解决 上述 关 键 问题 ， 研究一种以模糊 Ｐ Ｉ Ｄ 和神经 网络 控制 器 为 控 制 算 法 ， 以横 摆 角 速 度 和 质 心侧 偏角 为 控制 变 量 ， 以 汽车 车 轮 的差 动 制 动 为控 制 手 段 的 汽 车 稳 定 控 制 系 统 ， 并 用 ＭＡＴ— Ｌ ＡＢ ／ Ｓ ｉ ｍｕ ｌ ｉ ｎ ｋ软件进 行 了仿 真研究 ．
车辆电子稳定性控制的Adams-Simulink联合仿真
［ ｓ ａｔ Ｔ ｅｄｎ ｍ ｃ ｄ ｌ ｎ ｏ ｔ ｌｏｉ ｆｒｈ ｌｃ ｏ ｉ ｓ ｂｌｙｃｎｒｌ Ｅ Ｃ ｆ ｅｉｌ ａｅｅ— Ａｂｔ ｃ］ ｈ ｙ ａ ｉｓ ｅ ａｄｃｎ ｏ ｌｇ ｅｅ ｔ ｎｃ ｔ ｉｔ ｏｔ （ Ｓ ）ｏ ｈｃｅ ｒ ｓ ｒ ｍｏ ｒ ｃｏ ｔ ｅ ｒ ａ ｉ ｏ ｖ
・８５・ ７
此 可在 建立 的仿 真模 型基础 上进 行 汽车 姿态 的转 向
响应分 析 。
式 中 ： 为标 量 ， 每 个 控制 函数 都 有一 个 值 与 之对 ． ， 对 应 ； 标量 函数 ， 是 矢 量 Ｘ（） Ｕ（） 函数 ； Ｌ为 它 ｔ和 ｔ的 西 为标 量 函数 ， 它是矢 量 Ｘ ） 函数 ； ｔ 为 ｎ维状 （，的 Ｘ（）
悬架和 后悬架 ６个子 系统 。利用建 立 的车辆 转 弯时
动力学 仿真模 型 ， 以优 尼柯 （ Ｊ００ 车型 为 研究 对 Ｎ １２ ）
图 １ 优尼柯整车动力学仿真模型
原稿收到 日期为 ２ ０ ０９年 ７月 ２ ９日， 修改稿收到 日期为 ２ ０ ０ ９年 １ １ ２月 ８日。
高涵文 ， ： 等 车辆电子稳定性控制的 Ａ ａ —ｉｕｉｋ联合仿真 ｄｍｓ ｍ ｌ Ｓ ｎ
ｔｂｉ ｅ ｉ ｏ ｗ ｒ Ａ ａ ｓａｄ Ｍａ ａ／ ｉ ｌ ｋ ｎ ｙａ ｉ ｏｔ ｌ ｄ ｌ ｒ ｏｎ ｓ ｕａ ｏ ｆＥ Ｃ ｉ ａ ｌｈ ｄｗｔ ｓｆ ａｅ ｄ ｍ ｎ ｔ ｂ Ｓ ｉ ，ａｄ ａｄ ｎ ｍ ｃ ｃｎｒ ｅ ｆ ｉｔ ｉ ｌ ｉ ｏ Ｓ ｓ ｓ ｈ ｔ ｌ ｍｕ ｎ ｓ ｏ ｍｏ ｊ ｍ ｔ ｎ ｏ
基于simulink的线性二自由度汽车模型稳态响应
awr bw r FY k 1 k2 u u
z
M
aw r a k1 bk2 u
bw r u
得到二自由度汽车的运动微分方程为
( k1 k 2 ) (1 / u )( ak1 bk 2 )w r k1 m( dv / dt uw r )
(ak1 bk 2 ) (1 / u )(a 2 k1 b 2 k 2 ) wr ak1 I z dw r / dt
式中，m 为整车质量; k1、k2 分别为前、后车轮的侧偏刚度;a、b 分别为前、 后轴到质心的距离; v 为侧向速度; u 为横向速度;质心侧偏角为β; δ为前轮转 角; ωr 为横摆角速度。
2.二自由度车辆模型
如果要准确的对车辆的动力学状态进行描述， 则需要知道车辆的上百个参数， 譬如轮胎半径、前后轮的侧偏刚度等，但这当中有许多的参数是不变的，而有些 却在车辆的行驶过程中会不断地发生变化，我们难以知道所有的参数的精确值， 有些参数甚至于是不可以被测得的。而且，车辆的动力学状态也受到外部的行驶 环境的影响， 譬如汽车和空气的相对运动所产生的空气阻力、地面坡度所产生的 道路的阻力等都会对汽车的状态有明显的影响， 然而这些力的大小方向都会实时 发生变化， 就算根据相关的经验公式也只能得到它们的估计值，不容易被直接地 测出。除此之外，汽车的许多参数相互之间都存在耦合关系，某一个参数的改变 也可能会导致其它的参数改变，譬如汽车横向速度以及纵向速度间的耦合关系、 非线性的轮胎横向力和纵向力间的耦合关系。 有的参数之间的耦合关系并不能够 用准确的数学公式来表达，这会使得所创建的数学模型的精度受到严重的影响。 显而易见， 如果要建立一个能精确地描述汽车的运动状态的车辆数学模型很明显 是不太可能的。 本实验根据实际情况的需要进行适当地简化后把多自由度的整车模型简化 成为二自由度车辆动力学模型。 在分析中，直接以前轮转角作为输入而忽略了转 向系统的影响； 也忽略了悬架的作用，认为汽车的车厢只作平行于地面的平面运 动， 汽车只有沿着 y 轴的侧向运动以及绕着 z 轴的横摆运动。在建立运动微分方 程的时候还假设： 不考虑地面切向力对轮胎侧偏特性的影响，也忽略左右车轮的 轮胎由于载荷变化而引起的轮胎特性的变化以及轮胎回正力矩的作用。如下图 1, 它是一个有前后两个有侧向弹性的轮胎支承于地面、 具有侧向及横摆运动的二自
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线性二自由度汽车操纵稳定性Simulink 仿真
汽车的操纵稳定性是指在驾驶者不感到过分紧张、疲劳的情况下，汽车能够遵循驾驶者通过转向系统及转向车轮给定的方向行驶，且遇到外界干扰时，汽车能够抵抗干扰而保持稳定行驶的能力，汽车的操纵稳定性是汽车主动安全性的重要评价指标之一。
操纵稳定性包括：汽车在转向盘输入或外界干扰输入下的侧向运动响应随时间而变化的特性称为时域响应特性；转向盘输入有角位移输入和力矩输入；外界干扰输入主要指侧向风和路面不平产生的侧向力。
1. 转向盘角阶跃输入下的响应
稳态响应，评价参量为 横摆角度速度增益—转向灵敏度
瞬态响应，评价参量为 反应时间；横摆角速度波动的无阻尼园频率。
2. 横摆角速度频率响应特性
转向盘转角正弦输入下，频率由0至∞变化时，汽车横摆角速度与转向盘转角的振幅比及相位差的变化规律。
评价参量为：共振峰频率；共振时的振幅比；相位滞后角；稳态增益。
3. 转向盘中间位置操纵稳定性
转向盘小转角、低频正弦输入下，汽车高速行驶时的操纵稳定性。
评价参量为：转向灵敏度、转向盘力特性、转向功灵敏度。
4. 回正性
转向盘力输入下的时域响应。
评价参量为：回正后剩余横摆角速度与剩余横摆角；达到剩余横摆角速度的时间。
轮胎的侧偏特性为：αk F Y =，k 为侧偏刚度，Y F 一定时，侧偏角越小越好，因此k 越大越好；前轮侧偏角在4度内时，轮胎侧偏特性呈线性变化。
图1
线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
建模假设：忽略转向系统的影响，直接以前轮转角为输入；忽略悬架的作用，车身仅作平行于地面的平面运动，绕z 轴的位移、绕y 轴的俯仰角和绕x 轴的侧倾角均为零；汽车前进速度不变。
汽车被简化为只有侧向和横摆两个自由度的两轮汽车模型。
图2
假定汽车g y 4.0≤α（质心加速度在y 轴的投影），轮胎侧偏特性处于线性范围内，不计地面切向力Fx 、外倾侧向力Fy γ、回正力矩Tz 、垂直载荷的变化对轮胎侧偏刚度的影响；简化后的两轮汽车模型及车辆坐标系如下：
图3
确定汽车质心加速度（绝对加速度）在车辆坐标系的分量x α和y α，
图4
沿OX 轴速度分量的变化为：
()()θ
θθθθ
θ∆∆-∆--∆∆+∆=∆∆+--∆∆+sin sin cos cos sin cos v v u u u v v u u u
考虑θ∆很小，忽略二阶微量，则有： θ
θθθθ∆-∆=∆∆-∆--∆∆+∆v u v v u u u sin sin cos cos 上式除t ∆，取极限得r x v u dt
d v dt du a ωθ-=-= 同理可得r y u v
a ω+=
二自由度汽车运动力学分析
2
121cos cos Y Y Z Y Y Y bF aF M F
F F -=+=∑∑δδ 考虑δ较小，1cos =δ
111αk F Y =，222αk F Y =
则有：
2
2112
211ααα
αbk ak M k k F Z Y -=+=∑∑ 质心侧偏角u
v =β u a u a v r r ωβωξ+=+= ()δωβξδα-+=--=u
a r 1 u
b u b v r r ωβωα-=-=2
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑u b k u a k F r r Y ωβδωβ21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∑u b bk u a ak M r r Z ωβδωβ21 由于y Y ma F =∑，r Z Z I M ω
=∑ ()r r r u v m u b k u a k ωωβδωβ+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 21 r Z r r I u b bk u a ak ωωβδωβ =⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21
即
()()()r r u v m k bk ak u k k ωδωβ+=--++ 121211 ()()r Z r I ak k b k a u
bk ak ωδωβ =-++-12212211 动力学方程可变形为
δβωωZ
Z r Z r I ak I bk ak u I k b k a 1212212--++= δβωβmu k mu k k mu bk ak r 1212211-++⎪⎭
⎫ ⎝⎛--= 即状态空间为
δβωβω⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡211122211211b b a a a a r r δβωβω⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡001001r r 其中
u
I k b k a a Z 221211+=，Z I bk ak a 2112-=，Z I ak b 111-= 122121--=mu bk ak a ，mu k k a 2122+=，mu
k b 121-=
仿真参数设置：
仿真时间1.5s 汽车总质量 m=1818.2Kg 绕z 轴转动惯量I Z =3885Kgm 2
轴距L=3.084m 质心至前轴距离a=1.463m 质心至后轴距离b=1.585m
前轮总侧偏刚度k 1=-62618N/rad 后轮总侧偏刚度k 2=-110185N/rad
仿真模型为：
仿真工况1：前轮转角1度，车速80Km/h 下，仿真结果为：
仿真工况2：车速80Km/h下，前轮转角分别为1度、2度和3度，仿真模型为：
由上图可见，在车速为80km/h下，随前轮转角的增大，汽车质心侧偏角明显增大且开始出现振荡，固有圆频率及阻尼比减小，超调量及稳定时间增加，因此应避免在高速行驶时急转方向盘产生大的前轮转角。
仿真工况3：前轮转角为2度，不同车速60km/h、80km/h、100km/h下横摆角速度和质心侧偏角响应曲线。
仿真模型为：
由图可知，降低汽车行驶速度，可以减小质心侧偏角，使固有圆频率及阻尼比增加，超调量及稳定时间减小，而增加行驶速度，可使反应时间缩短。
因此较低的行驶速度使汽车具有更好的瞬态响应特性。