05-3 线性二自由度汽车模型
线性二自由度汽车模型稳态响应分析
：横 角 速 度 和 质 心 侧 偏 角 足 影 响 ‘ 乍稳 定 性 的 冈 个 至火 重 要 的 指 标 ．夺 史建 立 汽 ４：两 ｆ｛由 度 转 向 模 型 ， 采 用 Ｍａｌｌａｂ／ｓｉｎｕ． １ｉｎｋ软 件 仿 真 横 摆 角 速 度 干¨质 心 侧 偏 角 响 特 性 ，并 以此 分 析 汽 ４‘的操 纵 稳 定
而外力外 力矩和 汽车运动参 数 的关 系式 如 下 ：
∑Ｆ、＝ｋｌ（０＋ ＿６） （０－ ）
ｆｌ一１３）
∑ＦＹ ｌ（ｐ＋ ·６１ ２（Ｂ－ ）
ｆｌ一１４） 得到二 自由度 汽车的运 动微分方程为：
（ｋｔ＋ｋ２） ＋（ １（ａｋ１－ｂｋ２＿ ）ｔｉ）ｒ—ｋｌ６
＝ｍ（也／ｄｔ＋ １１（．０ ）
本 文 假 设 汽 的 质 心 同 年辆 坐 抓 系 的 点 卡ＨⅢ ｊ 璀 于 ｊ 述 似 没 ， 町将 汽 车 的 转 动 惯 ｛ｉ＿｛＝、质量 分布系数 等参数 视 为常 数 ，这使 得 缱 运 动 微 分 方 稃 很 方 便 只要 把 乍辆 的 外
和 外 力 以 及 々：辆 的绝 对 速 度 和Ｉ绝 埘 角 ＪＪｌ１ 速 度 ｆｆ｝着 标 系 的 轴 线 进 行 分 解 ， Ｉ，Ｊ‘以 得 到运 动 微 分 方程 ．如 下 页 ２
发生变化 。可 以得 到沿 ０ｘ轴的速度分量的变
化 如式 卜 １：
，ｕ ４－／１ｉｌ）Ｃ０５８－ｕ一（ｖ４－／１ｖ）ｓｉｎ ＝
ｕ ｃｏｓｚａＯ 呦 “
Ｖｓｉｎ ｖｓｉｎ ０
一
４臼－４ ４
（１ － １）
因为 △０很小 ，所有上式 可简化 为：
线性二自由度汽车模型
α1 −α2 = KayL
m: vehicle mass
16/81
α1－α 2
K > 0不足转向
α1 −α2 = KayL
K = 0中性转向
ay
K < 0过度转向
a y > 0.3 ~ 0.4 g，α1 − α 2与a y不再为线性关系 α和ωr急剧变化，出现半径迅 速增加或减小的现象。 a y对α1 − α 2关系用斜率表示，斜率 > 0 ⇒ 不足转向
β
+
L1ω r
u
−δ
α2
= υ − L2ω r
u
= β − L2ω r
u
FY1 = k1α1 FY 2 = k2α2
6/81
⎩⎨⎧kL11αk11α+1
k2α2 = m(uωr + υ − L2k2α2 = I zωr
)
FY1 + FY 2 ≈ m(uωr＋υ)
L1FY1 − L2FY 2 ≈ I zωr
13/81
ωr δ
⎟⎞ ⎠
K <0
K =0
K >0
ucr uch ua
14/81
W过度转向汽车车速达到临界车速时将失 去稳定性。因为只要一个很小的转角δ， 横摆角速度增益ωr/δ就趋于无穷大。
W因为假设纵向速度为优先值，根据纵向 速度与角速度的关系可知，汽车转向半 径极小。这样，汽车必定发生激转，导 致侧滑或侧翻的发生。
5.3 线性二自由度汽车模型 对前轮角输入的响应
1 线性二自由度汽车模型的运动微分方程
☆忽略转向系的影响，以前轮转角作为输入； ☆只在地面上做平面运动，忽略悬架作用； ☆前进(纵轴)速度不变，只有沿y轴的侧向速度 和绕z轴的横摆运动(ay<0.4g) ； ☆驱动力不大，对侧偏特性无影响； ☆忽略空气阻力； ☆忽略因载荷变化引起左、右轮胎特性的变化； ☆忽略回正力矩的变化。
汽车理论5.3
1 2 。
21
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2）转向半径的比R/R0
已知 R R0 1 Ku 2
R 1 Ku 2 R0
K=0， R/R0=1，汽车具有中性转向特点； K>0， R/R0>1，汽车具有不足转向特点；
K<0， R/R0<1，汽车具有过多转向特点。
8
1 u
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
二、前轮角阶跃输入下汽车的稳态响应
—等速圆周行驶 1.稳态响应
稳态时ωr为定值
0 v
r 0
代入运动微分方程式得
v 1 k1 k2 ak1 bk2 r k1 mur u u v 1 2 ak1 bk2 a k1 b 2 k2 r ak1 0 u u
2
度的影响。
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
2.两轮汽车模型及车辆坐标系 y
x
3
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
3.运动学分析
确定汽车质心（绝
对）加速度在车辆坐标
系的分量ax和ay。
沿Ox轴速度分 量的变化为
u u cos u v vsin
（1）
（2）
由式（2）得
r I Z
1 2 a k1 b 2k2 r ak1 u ak1 bk2
28
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
求导后得
1 2 r a k1 b 2 k 2 r ak1 I Z u ak1 bk 2
汽车二自由度动力学模型
汽车二自由度动力学模型
汽车二自由度动力学模型是一种用于描述汽车运动的简化模型。
它考虑了两个自由度，通常是车辆的纵向（前进方向）和侧向（横向）运动。
在这个模型中，车辆被视为一个质量集中的刚体，通过两个自由度来描述其运动状态。
这两个自由度通常是车辆的速度（纵向）和横摆角速度（侧向）。
汽车二自由度动力学模型的建立基于一些基本的物理原理，如牛顿第二定律、动量守恒定律和刚体动力学。
通过对这些原理的应用，可以得到描述车辆运动的微分方程。
这些方程通常包括车辆的加速度、驱动力或制动力、转向力矩以及车辆的惯性参数等。
通过求解这些微分方程，可以预测车辆在不同工况下的运动响应，例如加速、制动、转弯等。
汽车二自由度动力学模型在车辆动力学研究、驾驶模拟器、自动驾驶系统等领域有广泛应用。
它可以帮助工程师和研究人员了解车辆的基本运动特性，评估车辆的操控稳定性、行驶安全性等方面的性能。
然而，需要注意的是，二自由度模型是一种简化的模型，它忽略了许多实际情况中的复杂因素，如悬挂系统、轮胎特性、空气动力学等。
在实际应用中，可能需要使用更复杂的多自由度模型或考虑更多的因素来更准确地描述汽车的运动。
总的来说，汽车二自由度动力学模型提供了一个简单而有用的工具，用于初步研究和理解汽车的运动行为，但在具体应用中，需要根据实际需求进行适当的修正和扩展。
如果你对汽车动力学模型有更深入的问题或需要进一步的讨论，我将很愿意提供帮助。
05-3 线性二自由度汽车模型
业 ¾ 输出、输入的幅值比是频率 f 的函数，称幅频特性。 工 ¾ 相位差也是 f 的函数，称为相频特性。
¾ 两者统称为频率特性。
车
汽
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = B1δ + B0δ
B0δ 0 ω02
= uL 1+ Ku2
δ0
=
ωr δ
⎞ ⎟
δ0
⎠s
工业 即稳态横摆角速度
ωr0
=
ωr δ
⎟⎞ ⎠s
δ
0
车对应的齐次方程为 汽ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = 0
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
其通解可由如下特征方程求得
业 式中
工 ζ = h 2ω0m′
汽车 B1
=
b1 m′
ω02
=
c m′
ζ—阻尼比。
B0
=
b0 m′
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
前轮角阶跃输入的数学表达式为
版
t < 0,δ = 0 ⎫
转 向
院 t
≥
0,δ
=
δ
0
⎪ ⎬
盘 转 角
学 t > 0,δ = 0 ⎪⎭
ω r = C e−ζω0tsin ω 0 1 − ζ 2 t + Φ
车辆二自由度模型状态空间方程
车辆二自由度模型状态空间方程一、车辆二自由度模型状态空间方程车辆二自由度模型是车辆动力学中常用的简化模型之一，它将车辆简化为一个在平面上运动的质点。
在这个模型中，车辆可以做平面上的平移和转动运动，因此被称为车辆的二自由度模型。
而状态空间方程则是描述这一模型运动规律的数学工具。
在车辆二自由度模型中，通常采用平移运动的位置和速度以及转动运动的姿态角和角速度作为描述车辆状态的变量。
通过对车辆动力学和控制理论的研究，可以得到描述车辆二自由度模型的状态空间方程。
这些方程包括车辆的位置、速度、姿态角和角速度之间的动态关系，可以用来描述车辆在不同行驶状态下的运动规律。
二、深度分析车辆二自由度模型状态空间方程车辆二自由度模型状态空间方程的深度分析需要从车辆动力学和控制理论的角度进行。
我们需要深入了解车辆的平移和转动运动规律，包括车辆在不同速度和转角条件下的运动特性，以及外部环境对车辆运动的影响。
我们需要探讨车辆控制系统对车辆状态的影响，包括如何通过控制输入来影响车辆的运动状态。
我们需要分析车辆二自由度模型状态空间方程的数学推导和物理意义，以深入理解车辆状态空间方程的结构和参数含义。
在具体的分析过程中，我们可以通过建立车辆运动的动力学模型和控制模型，使用数学工具进行模型分析和仿真验证，从而深入理解车辆二自由度模型状态空间方程的动态性质和稳定性。
三、撰写高质量车辆二自由度模型状态空间方程文章基于以上的深度分析，我们可以着手撰写一篇高质量的文章。
我们可以介绍车辆二自由度模型的基本原理和概念，然后逐步展开对车辆状态空间方程的分析和推导，包括车辆运动学和动力学的描述，以及状态空间方程的数学结构和物理意义。
在文章中，我们可以多次提及车辆二自由度模型状态空间方程的关键词，以加强文章的专业性和知识性。
我们还可以结合个人的观点和理解，对车辆二自由度模型状态空间方程进行综合性的总结和回顾，为读者提供全面、深刻和灵活的理解。
一篇关于车辆二自由度模型状态空间方程的高质量文章需要具备深度和广度兼具的分析能力，结合个人观点和实践经验，以及对读者的引导和启发。
汽车二自由度运动学模型
汽车二自由度运动学模型汽车是我们日常生活中常见的交通工具之一，而了解汽车的运动学模型是研究汽车运动的重要基础。
汽车的运动学模型可以简化为二自由度模型，即在平面上的前进方向和转向方向。
在汽车二自由度运动学模型中，我们假设汽车的前进方向和转向方向是独立的。
这意味着汽车可以同时进行前进和转向的运动。
前进方向是汽车沿着道路直线行驶的方向，而转向方向是指汽车绕垂直于道路的轴线旋转的方向。
在分析汽车的运动学模型时，我们需要考虑一些重要的参数和变量。
首先是汽车的速度，即汽车在前进方向上的运动速度。
其次是汽车的转角，即汽车在转向方向上的偏转角度。
还有汽车的转向半径，即汽车在转向方向上曲线行驶时所描述的圆的半径。
在汽车二自由度运动学模型中，我们可以通过一些基本方程来描述汽车的运动。
其中，前进方向的运动可以用速度方程来描述，转向方向的运动可以用转角方程来描述。
速度方程描述了汽车在前进方向上的运动速度。
根据速度方程，汽车的速度可以通过前进方向的位移和时间的比值来计算。
速度方程可以用来描述汽车在直线行驶时的运动。
转角方程描述了汽车在转向方向上的运动。
根据转角方程，汽车的转角可以通过转向方向的位移和时间的比值来计算。
转角方程可以用来描述汽车在转弯时的运动。
在实际应用中，我们可以通过测量汽车的速度和转角来推导出汽车的运动学模型。
通过分析汽车在不同条件下的运动，我们可以研究汽车的操控性能和驾驶行为。
汽车二自由度运动学模型的研究对于汽车工程和交通规划具有重要意义。
通过深入理解汽车的运动学特性，我们可以设计出更安全、更高效的汽车操控系统，提高汽车的行驶性能和驾驶舒适性。
同时，我们还可以通过运动学模型来预测汽车的运动轨迹，优化交通流量，提高道路的通行能力。
汽车二自由度运动学模型是研究汽车运动的重要工具。
通过对汽车的速度和转角进行分析，我们可以推导出汽车的运动方程，深入理解汽车的运动特性。
这对于汽车工程和交通规划具有重要意义，可以为我们设计更安全、更高效的汽车系统和交通系统提供参考。
二自由度车辆动力学模型
二自由度车辆动力学模型一自由度车辆动力学模型和二自由度车辆动力学模型是当前车辆动力学研究的重要部分。
一自由度车辆动力学模型只有一个转动扭矩，而二自由度车辆动力学模型则是加入了驱动车辆惯性转动扭矩和启动车辆非惯性转动扭矩。
在安全驾驶领域，二自由度车辆动力学模型可以更准确地模拟真实车辆的驾驶行为，这在事故分析和行车安全方面具有重要意义。
二自由度车辆动力学模型描述了建立汽车动力学模型所必需的参数，这些参数表征了汽车的运动特性。
根据不同的车辆结构，二自由度车辆动力学模型可以分为简化模型和综合模型，其中简化模型只包括车辆惯性特性和质量结构，而综合模型则需要将不同的惯性项和质量参数、转向设置参数和车轴系数包含在动力学模型中。
二自由度车辆动力学模型的总体模型如下：\begin{matrix}M_{1}\ddot{X}+D_{1}\dot{X}+U_{1}=K*F_{1}+U_{2} \\\M_{2}\ddot{Y}+D_{2}\dot{Y}+U_{3}=F_{2}\end{matrix}其中，$M_1$和$M_2$分别表示横向与纵向的动力质量；$D_1$和$D_2$分别表示横向与纵向的阻尼系数；$U_1$、$U_2$和$U_3$分别表示横向惯性扭矩、横向转动非惯性扭矩和纵向弹性力；$K$表示倾斜系数，用于模拟车轮对地面的抓地力；$F_1$和$F_2$表示制动转动非惯性扭矩和纵向弹性力。
通过二自由度车辆动力学模型可以计算汽车的动态行为，从而分析安全驾驶问题。
此外，这一模型也可以用于驾驶辅助系统的设计和仿真，帮助提高汽车的驾驶安全然而，二自由度车辆动力学模型实际上是基于简化参数建立的，模型参数与真实参数之间会存在一定程度的误差，因此当需要更加精确地模拟车辆行为时，这一模型可能不够准确。
另外，这种模型的可靠性也受到模型参数的设置和计算过程的限制，因此在实际应用中还需要对其进行适当的修正。
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6
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 ¾ζ >1，称为大阻尼，ωr（t）单调上升；ωr（t）趋
于ωr0 ，但当u > ucr ，ωr趋于无穷大；
院 ¾ζ=1，称为临界阻尼， ωr（t）单调上升趋于ωr 0； 学 ¾ζ<1，称为小阻尼， ωr（t）是一条收敛于ωr 0的减
幅正弦曲线。
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
（3）反应时间τ
权 版
院 学一般为横摆角速度稳
定值的0.63或0.9倍
业
⎡
⎤
汽车工τ
= −Φ
=
arctan
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎛ ⎜ ⎝
−
1−ζ muaω0
Lk2
2
−
ζ
⎥ ⎥ ⎞⎥ ⎟⎥ ⎠⎦
北
ω
ω0 1− ζ 2
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=
I Z ω r
−
1 u
a2k1 + b2k2 ωr + ak1δ
北汽 ak1 − bk2
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2
第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
将上式写成以ωr为变量的形式
院版 m′ωr + hωr + cωr = b1δ + b0δ
学 ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = B1δ + B0δ
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
版权 （4）达到第一个峰值ωr1的时间ε
arctan ω −Φ
⎡ arctan ⎢
院 ε =
ζω0
=
⎢⎣
1−
ζ
ζ
2
⎤ ⎥ ⎥⎦
+τ
学 ω
ω0 1− ζ 2
业
物理含义：评价横摆角
工
车 速度瞬态反应快慢。 汽 轿车：0.23-0.59 s
商用车：0.94~1.72 s
工
车
汽
北
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j
工 = B(ω)+ C(ω)j
车 幅频特性为 A(ω) = [B(ω)]2 + [C(ω)]2
汽 相频特性为 北
Φ
(ω
)
=
arctan
C B
(ω (ω
) )
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 频率响应要
求：四个字
院 学“平”：频响曲线要平
业 “高”：共振频率要高
权
（2）阻尼比ζ
版
( ) 院 ζ = h = − ⎡⎣m a2k1 + b2k2 + IZ (k1 + k2 )⎤⎦
学 2ω0m′
( ) 2mIZ L
k1k2 mI Z
1+ Ku2
业 ( ) −m
=
a2k1 + b2k2
− IZ (k1 + k2 )
车工( ) 2L mIZk1k2 1+ Ku2
汽一般在：0.5~0.8
工 应小一点； ４）f =0.1Hz 时的相位滞后角，
车
∠Φf =0.1 这个数值应该接近于零；
汽
５） ∠Φf =0.6 ，f = 0.6Hz 时的相位 滞后角，其数值应当小些。
北
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第三节 线性二自由度汽车模型
权
版
作业:
院
业学 习题 5.10、5.11、5.12、 5.13
第三节 线性二自由度汽车模型
权
院版 Chpt 5 汽车操纵稳定性
学 §5-3 线性二自由度汽车模型及稳定性分析
业 ♦ 线性二自由度汽车模型 工 ♦ 汽车稳态响应分析
♦ 汽车瞬态响应分析
汽车 ♦ 汽车频率响应特性
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
D、汽车瞬态响应分析
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 H (jω)ωr −δ
=
ωr (ω) δ (ω)
=
B1 jω + B0
− ω 2 + 2ω0ζjω + ω02
[( ) [( ] [( ) ) 院] ] =
(B1 jω + B0 ) ω02 − ω 2 − 2ζω0ωj
业 当t > 0时
δsw0 时间 t
工 ωr + 2ω0ζωr +ω02ωr = B1δ + B0δ
汽车 ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = B0δ
北 这是二阶常系数非齐次微分方程
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
其特解为
版
学院 ωr (t) =
版
院 1. 前轮角阶跃输入下横摆角速度的瞬态响应
二自由度汽车运动微分方程式
学 (k1
+
k2 )β
+
1 u
(ak1
− bk2 )ωr
− k1δ
=
m(v
+ uωr )
( 工业) (ak1 − bk2 )β
+1 u
a2k1 + b2k2
ωr − ak1δ
= IZωr
（1） （2）
由式（2）得
车 ( ) β
业 式中
工 ζ = h 2ω0m′
汽车 B1
=
b1 m′
ω02
=
c m′
ζ—阻尼比。
B0
=
b0 m′
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
前轮角阶跃输入的数学表达式为
版
t < 0,δ = 0 ⎫
转 向
院 t
≥
0,δ
=
δ
0
⎪ ⎬
盘 转 角
学 t > 0,δ = 0 ⎪⎭
(−ζω0 −ω0 ζ 2 −1)t
r
3
4
( ) 业学 ω02 =
ak1 − bk2 IZ
+ k1k2L2 mu 2 I Z
⎜⎝⎛ − ζω 0 ±
(ζω 0
)2
−
ω
2 0
⎟⎠⎞
<
0
才收敛，即 ω02应为正值。
工 =
k1k2 L2 mI Z
(K
+
1 u2
)
( ) ω02
K
=
m L2
⎜⎜⎝⎛
a k2
−
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版
院
学
业
工
车
汽
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版
院
学
业
工
车
汽
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 表征响应品质好坏的4个瞬态响应的参数
北汽 令ω02
=
(ak1 − bk2 ) + k1k2L2
IZ
mu 2 I Z
=0
ucr =
−1 K
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
版 四、横摆角速度频率响应特性
院 ¾ 一个线性系统，当输入为一正弦函数，达到稳定状态
学 时的输出也为具有相同频率的正弦函数，但两者的幅
B0δ 0 ω02
= uL 1+ Ku2
δ0
=
ωr δ
⎞ ⎟
δ0
⎠s
工业 即稳态横摆角速度
ωr0
=
ωr δ
⎟⎞ ⎠s
δ
0
车对应的齐次方程为 汽ωr + 2ω0ζωr + ω02ωr = 0
北
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
其通解可由如下特征方程求得
ω r = C e−ζω0tsin ω 0 1 − ζ 2 t + Φ
⎫ ⎪
( ) ω r = C 1 + C 2 t e − ω 0t
⎪ ⎬
( ) ( ) ω ⎪ − ζ ω 0 + ω 0 ζ 2 −1 t
−ζω0 −ω0 ζ 2 −1 t
= C e + C e ⎭⎪ r
3
4
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汽 当ζ≤1时，齐次微分方程的解均收敛而趋于0。
北ωr (t ) = Ce−ζω0t sin(ω0 1− ζ 2 t + φ)
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第三节 线性二自由度汽车模型对前轮角输入的响应
权
当ζ≥1时汽车稳定性：
版
当ζ≥1时，特征根必须为负值，齐次微分方程的解才收敛趋于0。
( ) 院 ω t = C e + C e (−ζω0 +ω0 ζ 2 −1)t