2013年北京市海淀区高三二模数学(理科)试题及答案
（Ⅱ）曲线 W 上的点到原点距离的最小值为
用心 细心 专心
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) = 1 −
2sin( x − π ) 4
cos2 x
.
（Ⅰ）求 函数 f ( x) 的定义域； （Ⅱ）求 函数 f ( x) 的单调增区间.
16． （本小题满分 13 分） 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业， 现在福彩中心准备发行一 种面值为 5 元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（ 1 ） 该 福 利 彩 票 中 奖 率 为50 %； （2）每张中奖彩票的中奖奖金有 5 元，50 元和 150 元三种； （3）顾客购买一张彩票获 获得 50 元奖金的概率为 2 %. 得 150 元奖金的概率为 p ， （Ⅰ）假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求 p 的取值范围. 17． （本小题满分 14 分） 如图 1，在直角梯形 ABCD 中， ∠ABC = ∠DAB = 90° ，∠CAB = 30° ，BC = 2 ，
所以函数的定义域为 {x | x ≠ kπ+ , k ∈ Z} （II）因为 f ( x ) = 1 −
cos2 x − sin 2 x sin x − cos x
= 1 + (cos x + sin x) = 1 + sin x + cos x
π = 1 + 2 sin( x + ) 4
分 又 y = sin x 的单调递增区间为 (2kπ − ,2kπ + ) ， k ∈ Z
10． c > b > a
11. (1, 3) 14．②③; 2 − 2
3 +1 2
13． [0,1]
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15． （本小题满分 13 分） 解： （I）因为 sin( x − ) ≠ 0 所以 x −
π 4
π ≠ kπ , k ∈ Z 4 π 4
……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分
…………………11 分 …………………12 分
8 725
8 时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13 分 725
17.解： （I）因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上 所以 PH ⊥ 平面 ABC ，所以 PH ⊥ AC …………………1 分
因为在直角梯形 ABCD 中， ∠ABC = ∠DAB = 90o ， ∠CAB = 30o ，
8．若数列 {an } 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 an +T = an 成立,则称数列 {an } 为周
⎧ ⎪an − 1, an > 1, 期数列,周期为 T .已知数列 {an } 满足 a1 = m( m > 0) , an +1 = ⎨ 1 , 0 < an ≤1. ⎪ ⎩ an
用心 细心 专心
参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分） 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 B
2013.5
8 D
二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分， 共 30 分）
9． 2 12． 2;
BC = 2 ， AD = 4
所以 AC = 4 ， ∠CAB = 60o ，所以 ∆ADC 是等边三角形， 所以 H 是 AC 中点， 所以 HE / / PC 同理可证 EF / / PB 又 HE I EF = E , CP I PB = P 所以平面 EFH / / 平面 PBC （II）在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线 如图建立空间直角坐标系， 则 A(0, −2,0) ， P(0,0,2 3) ， B( 3,1,0) …………………6 分 …………………5 分 …………………2 分 …………………3 分
……………………8
π 2
π 2
π π π < x + < 2kπ + 2 4 2 3π π < x < 2kπ + 解得 2kπ − 4 4 π 又注意到 x ≠ kπ+ , 4
令
2 kπ −
……………………11 分
所以 f ( x ) 的单调递增区间为 (2kπ −
3π π ,2kπ + ) ， 4 4
H ，A ，F 四点的距离相等?请说明理 使得 M 到 P ， （Ⅲ） 在棱 PA 上是否存在一点 M ，
由.
D C A A 图1 B F E
P
H B 图2
C
用心 细心 专心
18． （本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) = e ，A( a, 0) 为一定点，直线 x = t (t ≠ 0) 分别与函数 f ( x) 的图象
用心 细心 专心
且 F2 恰好为抛物线 y = 4 x 的焦点， 设双曲线 C 与 7．双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 ，F2 ，
2
若 ∆AF1 F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形， 则双曲线 C 的离心 该抛物线的一个交点为 A ， 率为 A. 2 B. 1 + 2 C. 1 + 3 D. 2 + 3
6
“ ∃l ∈ R ， 使得 AD = l BC ，AD = l BC ” 5．在四边形 ABCD 中， 是“四边形 ABCD 为平行四边形”的
uuu r
uur
uuu r
uur
主视图 6 6
左视图
俯视图
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6．用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，且 5 不排在百位，2，4 都不排在个 位和万位，则这样的五位数个数为 A.32 B.36 C.42 D.48
2， 则b =
；S ∆ABC =
.
若动点 P 在线段 BD1 上运动， 则 DC ⋅ AP 的取值 13．正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 的棱长为 1 ， 范围是 .
uuu r uur
记 14．在平面直角坐标系中， 动点 P ( x, y ) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离， 点 P 的轨迹为曲线为 W . （Ⅰ）给出下列三个结论： ①曲线 W 关于原点对称； ②曲线 W 关于直线 y = x 对称； ③曲线 W 与 x 轴非负半轴， y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 其中，所有正确结论的序号是 ； .
−1 2 2， 则a
1 1 ， b = sin ， c= 2 2
， b， c 按照从大到小 排列为 ．．．
11．直线 l1 过点（ −2 ， 0 ）且倾斜角为 30° ，直线 l2 过点（ 2 ， 0 ）且与直线 l1 垂直，则直 线 l1 与直线 l2 的交点坐标为 .
12．在 ∆ABC 中， ∠A = 30° ， ∠B = 45° ，a =
x
和 x 轴交于点 M ，N ， 记 ∆AMN 的面积为 S (t ) . （Ⅰ）当 a = 0 时，求函数 S (t ) 的单调区间； （Ⅱ）当 a > 2 时，若 ∃t0 ∈ [0, 2] ，使得 S (t0 )≥e ，求 a 的取值范围.
19． （本小题满分 14 分） 已知椭圆 M :
2 x 2 + y = 1 (a > b > 0) 的四个顶点恰好是一边长为 2 ， 一内角为 60° a 2 b2
P
5 50%
0
−45 2%
−145
p
…………………8 分
50% − 2% − p
所以 ξ 的期望为 Eξ = 5 × 50% + 0 × (50% − 2% − p ) + ( −45) × 2% + ( −145) × p
= 2.5 − 90% − 145 p
所以当 1.6 − 145 p > 0 时，即 p < 所以当 0 < p <
3．如图， 在边长为 a 的正方形内有不规则图形 W ．向正方形内随机撒豆子， 则图形 W 面积的估计 若撒在图形 W 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ， 值为 A.
W
ma n
B.
na m
C.
ma 2 nBiblioteka D.na 2 m5
4．某空间几何体的三视图如右图所示， 则该几何体的表面积为 A. 180 C. 276 B. 240 D. 300
AD = 4 .把 ∆DAC 沿对角线 AC 折起到 ∆PAC 的位置， 如图 2 所示， 使得点 P 在平面
ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上， 连接 PB ， 点E， F 分别为线段 PA ， PB 的中
点. （Ⅰ）求证： 平面 EFH ∥平面 PBC ； （Ⅱ）求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值；
的菱形的四个顶点. （Ⅰ）求椭圆 M 的方程； （Ⅱ）直线 l 与椭圆 M 交于 A ，B 两点，且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, − ) ，求
1 2
∆AOB (O 为原点 ) 面积的最大值.
20． （本小题满分 13 分） 设 A 是由 m × n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之
因为 E (0, −1, 3) ， HE = (0, −1, 3) 设平面 PHB 的法向量为 n = ( x, y , z )
A F x
uuur
z P E H B C y
数学_2013年北京市海淀区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 集合A ={x|(x −1)(x +2)≤0}，B ={x|x <0}，则A ∪B =( ) A (−∞, 0] B (−∞, 1] C [1, 2] D [1, +∞)2. 已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1⋅a 3=4，a 4=8，则a 1+q 的值为（ ） A 3 B 2 C 3或−2 D 3或−33. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（ ）Ama nB nam Cma 2nDna 2m4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 180B 120C 276D 3005. 在四边形ABCD 中，“∃λ∈R ，使得AB →=λDC →，AD →=λBC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件6. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ） A 32 B 36 C 42 D 487. 双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A √2 B 1+√2 C 1+√3 D 2+√38. 若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T ．已知数列{a n }满足a 1=m(m >0)，a n+1={a n −1，a n >1，1an，0<a n ≤1，则下列结论中错误的是( )A 若a 3=4，则m 可以取3个不同的值B 若m =√2，则数列{a n }是周期为3的数列 C ∀T ∈N ∗且T ≥2，存在m >1，使得{a n }是周期为T 的数列 D ∃m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为________．10. 已知a =ln 12，b =sin 12，c =2−12，则a ，b ，c 按照从大到小排列为________．11. 直线l 1过点(−2, 0)且倾斜角为30∘，直线l 2过点(2, 0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为________．12. 在△ABC 中，∠A =30∘，∠B =45∘，a =√2，则b =________；S △ABC =________． 13. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若动点P 在线段BD 1上运动，则DC →⋅AP →的取值范围是________．14. 在平面直角坐标系中，动点P(x, y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1, 1)的距离，记点P 的轨迹为曲线为W ． (I)给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12；其中，所有正确结论的序号是________；(II)曲线W 上的点到原点距离的最小值为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. 已知函数f(x)=1−√2sin(x−π4)．（1）求函数f(x)的定义域； （2）求函数f(x)的单调增区间．16. 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p ，获得50元奖金的概率为2%．（1）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率； （2）为了能够筹得资金资助福利事业，求p 的取值范围．17. 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠DAB =90∘，∠CAB =30∘，BC =2，AD =4．把△DAC 沿对角线AC 折起到△PAC 的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点E ，F 分别为线段PA ，PB 的中点．（1）求证：平面EFH // 平面PBC ；（2）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．18. 已知函数f(x)=e x，A(a, 0)为一定点，直线x=t(t≠0)分别与函数f(x)的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S(t)．（1）当a=0时，求函数S(t)的单调区间；（2）当a>2时，若∃t0∈[0, 2]，使得S(t0)≥e，求a的取值范围．19. 已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点．（1）求椭圆M的方程；（2）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0,−12)，求△AOB（O为原点）面积的最大值．20. 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；表2（3）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. C4. B5. C6. A7. B8. D9. 210. c>b>a11. (1,√3)12. 2,√3+1213. [0, 1]14. ②③,2−√215. 解：（1）∵ sin(x−π4)≠0，∴ x−π4≠kπ，k∈Z，则函数的定义域为{x|x≠kπ+π4, k∈Z}；（2）∵ f(x)=1−cos 2x−sin2xsinx−cosx =1+(cosx+sinx)=1+sinx+cosx=1+√2sin(x+π4)，又∵ y=sinx的单调递增区间为(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，令2kπ−π2<x+π4<2kπ+π2，解得：2kπ−3π4<x<2kπ+π4，又注意到x≠kπ+π4，则f(x)的单调递增区间为(2kπ−3π4, 2kπ+π4)，k∈Z．16. 解：（1）设至少一张中奖为事件A，则P(A)=1−0.52=0.75…（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，−45，−145…故ξ的分布列为所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×(50%−2%−p)+(−45)×2%+(−145)×p=2.5−90%−145p…所以当1.6−145p>0时，即p<8725…所以当0<p<8725时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…17. 解：（1）∵ 点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，∵ 在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90∘，∠CAB=30∘，BC=2，AD=4，∴ AC=4，∠CAB=60∘，∴ △ADC是等边三角形，故H是AC的中点，∴ HE // PC同理可证EF // PB，又HE∩EF=E，CP∩PB=P，∴ 平面EFH // 平面PBC；（2）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A(0, −2, 0)，P(0, 0, 2√3)，B(√3, 1, 0)因为E(0, −1, √3)，HE →=(0, −1, √3)，设平面PHB 的法向量n →=(x, y, z)， ∵ HB →=(√3, 1, 0)，HP →=(0, 0, 2√3)，∴ {HP →⋅n →=0˙，即{√3x +y =0z =0，令x =√3，则y =−3， ∴ n →=(√3, −3, 0)…8分 cos <n →，HE →>=|n →|⋅|HE →|˙=32×2√3=√34∴ 直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值为√34 （3）存在，事实上记点E 为M 即可因为在直角三角形PHA 中，EH =PE =EA =12PA =2在直角△PHB 中，PB =4，EF =12PB =2，所以点E 到P ，H ，A ，F 四点的距离相等 18. 解：（1） 因为S(t)=12|t −a|e t ，其中t ≠a…当a =0，S(t)=12|t|e t ，其中t ≠0当t >0时，S(t)=12te t ，S′(t)=12(t +1)e t ，所以S ′(t)>0，所以S(t)在(0, +∞)上递增，… 当t <0时，S(t)=−12te t ，S′(t)=−12(t +1)e t ，令S′(t)=−12(t +1)e t >0，解得t <−1，所以S(t)在(−∞, −1)上递增令S′(t)=−12(t +1)e t <0，解得t >−1，所以S(t)在(−1, 0)上递减 …综上，S(t)的单调递增区间为(0, +∞)，(−∞, −1)，S(t)的单调递增区间为(−1, 0) （2）因为S(t)=12|t −a|e t ，其中t ≠a 当a >2，t ∈[0, 2]时，S(t)=12(a −t)e t因为∃t 0∈[0, 2]，使得S(t 0)≥e ，所以S(t)在[0, 2]上的最大值一定大于等于e ， S′(t)=−12[t −(a −1)]e t ，令S ′(t)=0，得t =a −1…当a −1≥2时，即a ≥3时S′(t)=−12[t −(a −1)]e t >0对t ∈(0, 2)成立，S(t)单调递增，所以当t =2时，S(t)取得最大值S(2)=12(a −2)e 2令12(a −2)e 2≥e ，解得 a ≥2e +2， 所以a ≥3…当a −1<2时，即a <3时S′(t)=−12[t −(a −1)]e t >0对t ∈(0, a −1)成立，S(t)单调递增，S′(t)=−12[t −(a −1)]e t <0对t ∈(a −1, 2)成立，S(t)单调递减， 所以当t =a −1时，S(t)取得最大值S(a −1)=12e a−1，令S(a −1)=12e a−1≥e ，解得a ≥ln2+2，所以ln2+2≤a <3… 综上所述，ln2+2≤a… 19. 解：（1）因为椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点，∴ a =√3，b =1，椭圆M 的方程为：x 23+y 2=1...4分（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，因为AB 的垂直平分线经过点(0, −12)，显然直线AB 有斜率， 当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线为y 轴，则x 1=−x 2，y 1=y 2， 所以S △AOB=12|2x 1||y 1|=|x 1||y 1|=|x 1|⋅√1−x 123=√x 12(1−x 123)=√13x 12(3−x 12)，∵ √x 12(3−x 12)≤x 12+(3−x 12)2=32，∴ S △AOB ≤√32，当且仅不当|x 1|=√62时，S △AOB 取得最大值为√32...7分 当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y =kx +t ， 所以{y =kx +tx 23+y 2=1，代入得到(3k 2+1)x 2+6ktx +3t 2−3=0， 当△=4(9k 2+3−3t 2)>0，即3k 2+1>t 2①，方程有两个不同的实数解； 又x 1+x 2=−6kt3k 2+1，x 1+x 22=−3kt3k 2+1...8分所以y 1+y 22=t 3k 2+1，又y 1+y 22+12x 1+x 22−0=−1k ，化简得到3k 2+1=4t②代入①，得到0<t <4，…10分 又原点到直线的距离为d =√k 2+1，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√4(9k 2+3−3t 2)3k 2+1，所以S △AOB =12|AB||d|=2√k 2+1√1+k 2⋅√4(9k 2+3−3t 2)3k 2+1，化简得：S △AOB =14√3(4t −t 2)...12分∵ 0<t <4，所以当t =2时，即k =±√73时，S △AOB 取得最大值为√32． 综上，S △AOB 取得最大值为√32...14分法3：改变第1列得：改变第4列得：（写出一种即可） …（2） 每一列所有数之和分别为2，0，−2，0，每一行所有数之和分别为−1，1；则第一行之和为2a −1，第二行之和为5−2a ，{2a −1≥05−2a ≥0，解得a =1，a =2．… ②如果操作第一行则每一列之和分别为2−2a ，2−2a ，2a −2，2a 解得a =1 … 综上a =1 …（3） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1−(−1)=2， 但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于∑∑|nj=1m i=1a ij |， 可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …。
北京市海淀区2013届高三下学期期末练习数学理试题(Word解析版)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B = A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞ 【答案】B【解析】{}|(1)(2)0{21}A x x x x x =-+≤=-≤≤，所以A B = {1}x x ≤，即选B.2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3- 【答案】D【解析】由134a a ⋅=，48a =得2214a q =，318a q =，解得2q =±。
当2q =时，11a =，此时13a q +=。
当2q =-时，11a =-，此时13a q +=-。
选D.3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m【答案】C【解析】设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2ma S n =,所以选C.4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为666左视图5俯视图主视图A.180B.240C.276D.300【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。
上部分为四棱锥。
四棱锥的底Ω面为正方形，边长为6.侧面三角形的斜高为5.所以该几何体的表面积为21656542402⨯+⨯⨯⨯=，选B.5.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】若,AB DC AD BC λλ== ，则//,//AB DC AD BC ，即//,//AB DC AD BC ,所以四边形ABCD 为平行四边形。
数学_2013年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1. 集合A ={x|(x −1)(x +2)≤0}，B ={x|x <0}，则A ∪B =( ) A (−∞, 0] B (−∞, 1] C [1, 2] D [1, +∞)2. 已知a ＝ln 12，b ＝sin 12，c =2−12，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A a <b <cB a <c <bC b <a <cD b <c <a3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（ ）Ama nB nam Cma 2nDna 2m4. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 180B 120C 276D 3005. 下列函数中，为偶函数且有最小值的是（ ）A f(x)＝x 2+xB f(x)＝|lnx|C f(x)＝xsinxD f(x)＝e x +e −x6. 在四边形ABCD 中，“∃λ∈R ，使得AB →=λDC →，AD →=λBC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件7. 双曲线C 的左右焦点分别为F 1，F 2，且F 2恰为抛物线y 2＝4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若△AF 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ） A √2 B 1+√2 C 1+√3 D 2+√38. 若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T ．已知数列{a n }满足a 1=m(m >0)，a n+1={a n −1，a n>1,1an，0<a n ≤1则下列结论中错误的是（ ）A 若m =45，则a 5=3 B 若a 3=2，则m 可以取3个不同的值 C 若m =√2，则数列{a n }是周期为3的数列 D ∃m ∈Q 且m ≥2，数列{a n }是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 复数2i1−i=________．10. 甲、乙两名运动员在8场篮球比赛中得分的数据统计如图，则甲乙两人发挥较为稳定的是________．11. 已知数列{a n}是等比数列，且a1．a3=4，a4=8，a3的值为________．12. 直线y=x+1被圆x2−2x+y2−3=0所截得的弦长为________．13. 已知函数f(x)=sin(2ϖx−π6)(0<ϖ<1)在区间[0, π]上的单调递增区间为________．14. 设变量x，y满足约束条件{y−1≥0 x+y−4≤0y−1≤k(x−1)其中k∈R，k>0（1）当k=1时，yx2的最大值为________；（2）若yx2的最大值为1，则实数k的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n（1）若a1=1，S10=100，求{a n}的通项公式；（2）若S n=n2−6n，解关于n的不等式S n+a n>2n．16. 已知点D为△ABC的边BC上一点．且BD=2DC，∠ADB=75∘，∠ACB=30∘，AD=√2．（1）求CD的长；（2）求△ABC的面积．17. 如图1，在直角梯形ABCD中，AD // BC，∠ADC=90∘，BA=BC把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示，点E，F 分别为线段PC，CD的中点．（1）求证：平面OEF // 平面APD；（2）求直线CD⊥与平面POF（3）在棱PC上是否存在一点M，使得M到点P，O，C，F四点的距离相等？请说明理由．18. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=−ax(a>0)（1）当a=1时，若曲线y=f(x)在点M（x0, f(x0)）处的切线与曲线y=g(x)在点P（x0, g(x0)）处的切线平行，求实数x0的值；（2）若∀x∈(0, e]，都有f(x)≥g(x)+32，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线y＝kx交椭圆C于A，B两点，在直线l:x+y−3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求k的值．20. 设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；（3）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. A3. C4. B5. D6. C7. B8. D9. −1+i10. 乙11. ±412. 2√213. 当0<ϖ<13时，增区间为[0, π]；当1>ϖ≥13时，增区间为[0, π3ϖ]．14. 1，(0, 2]15. 解：（1）设{a n}的公差为d因为a1=1，S10=a1+a102×10=100，所以a10=19所以d=a10−a110−1=19−19=2所以a n=a1+(n−1)d=1+2(n−1)=2n−1；（2）因为S n=n2−6n当n≥2时，S n−1=(n−1)2−6(n−1)所以a n=S n−S n−1=n2−6n−[(n−1)2−6(n−1)]=2n−7，n≥2又n=1时，a1=S1=−5适合上式，所以a n=2n−7．所以S n+a n=n2−4n−7所以不等式S n+a n>2n化为n2−4n−7>2n，即n2−6n−7>0所以n>7或n<−1，所以n>7，n∈N．则不等式S n+a n>2n的解集为{n|n>7, n∈N}．16. 解：（1）因为∠ADB=75∘，∠ACB=30∘，所以∠DAC=45∘，在△ACD中，AD=√2，根据正弦定理有ADsin30∘=CDsin45∘，…所以CD=2．…（2）由BD=2DC，可得BD=4．…又在△ABD中，∠ADB=75∘，sin75∘=sin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=√6+√24，…所以S△ADB=12⋅AD⋅BD⋅sin75∘=√3+1，…所以S△ABC=32S△ADB=3√3+32．…17. 解：（1）∵ 点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，∴ PO⊥平面ABC，∴ PO⊥AC．∵ AB=BC，∴ O是AC的中点，∴ OE // PA．同理OF // AD．又OE∩OF=O，PA∩AD=A，∴ 平面OEF // 平面PDA．（2）∵ OF // AD，AD⊥CD，∴ OF⊥CD，又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，∴ PO⊥CD，又OF∩PO=O，∴ CD⊥平面POF．（3）存在，事实上记点E为M即可，∵ CD⊥平面POF，PF⊂平面POF，∴ CD⊥PF，又M为PC中点，∴ EF=12PC，同理，在直角三角形POC中，EP=EC=OE=12PC，∴ 点E到四个点P，O，C，F的距离相等．18. 解：（1）把a=1代入得，g(x)=−1x，则f′(x)=1x ，g′(x)=1x2∵ f(x)在点M（x0, f(x0)）处的切线与g(x)在点P（x0, g(x0)）处的切线平行，∴ 1x0=1x02，解得x0=1，所以x0=1，（2）由题意设F(x)=f(x)−g(x)−32=lnx+ax−32，∵ ∀x∈(0, e]，都有f(x)≥g(x)+32，∴ 只要F(x)在(0, e]上的最小值大于等于0即可，则F′(x)=1x −ax2=x−ax2，由F′(x)=0得，x=a，F(x)、F′(x)随x的变化情况如下表：当a≥e时，函数F′(x)在(0, e)上单调递减，F(e)为最小值，∴ F(e)=1+ae −32≥0，得a≥e2，∴ a≥e当a<e时，函数F(x)在(0, a)上单调递减，在(a, e)上单调递增，则F(a)为最小值，所以F(a)=lna+aa −32≥0，得a≥√e，∴ √e≤a<e 综上，a≥√e．19. （I）因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60∘的菱形的四个顶点，所以a＝2cos30∘=√3，b＝2sin30∘＝1，所以椭圆C的方程为x 23+y2=1；(II)设A(x1, y1)，则B(−x1, −y1)，AB的垂直平分线就是y轴，y轴与直线l:x+y−3＝0的交点为P(0, 3)，又因为|AB|＝2√3，|PO|＝3，所以∠PAO＝60∘，所以△PAB 是等边三角形，所以直线AB 的方程为y ＝0；当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB 的方程为y ＝kx(k ≠0)，由{x 23+y 2=1y =kx，得(3k 2+1)x 2＝3，所以|x 1|=√33k 2+1，则|AO|=√1+k 2√33k 2+1=√3k 2+33k 2+1，设AB 的垂直平分线为y =−1k x ，它与直线l:x +y −3＝0的交点记为P(x 0, y 0)，所以{y =−x +3y =−1k x ，解得{x 0=3kk−1y 0=−3k−1 ，则|PO|=√9k 2+9(k−1)2， 因为△PAB 为等边三角形，所以应有|PO|=√3|AO|， 代入得到√9k 2+9(k−1)2=√3⋅√3k 2+33k 2+1，解得k ＝0（舍），k ＝−1， 此时直线AB 的方程为y ＝−x ，综上，k 的值为0或−1．改变第4列得：改变第2行得：法2：改变第2行得：改变第4列得：（2） 每一列所有数之和分别为2，0，−2，0，每一行所有数之和分别为−1，1；{2a −1≥05−2a ≥0，解得a =1，a =2．… ②如果操作第一行则每一列之和分别为2−2a ，2−2a ，2a −2，2a 解得a =1 … 综上a =1 …（3） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和） 由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1−(−1)=2， 但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn 个数之和必然小于等于∑∑|nj=1m i=1a ij |， 可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …。
2013北京海淀高考二模数学理(含解析)
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科）2013．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，{}0B x x =<，则A B =U （ ）． A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ． [1,2] D ．[1,)+∞2．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为（ ）． A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3．如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为（A ．ma nB ．na mC ． 2ma nD ． 2nam4．某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．180B ．240C ．276D ．3005．在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ）．A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ）．A ． 32B ． 36C ． 42D ． 48俯视图左视图主视图7．双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F △是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）．A ．B ．1C ．1D ．2+8． 若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ． 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是（ ）． A ． 若34a =，则m 可以取3个不同的值 B． 若m ={}n a 是周期为3的数列C ．*N T ∀∈且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D ．Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______．10．已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______．11．直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30o ，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为________．12．在ABC∆中，30,45,A B a ∠=∠==o o b =_____；C AB S ∆=—_____．13．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅uuu r uu u r的取值范围是__________．14．在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ． （I ）给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是_____；（Ⅱ）曲线W 上的点到原点距离的最小值为______．三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数cos 2()1π)4x f x x =--．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=o ，30CAB ∠=o ，2BC =， 4AD =．把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． （Ⅰ）求证：平面EFH ∥平面PBC ；（Ⅱ）求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA 上是否存在一点M ，使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明 理由．图2图1DCB AHFAEFCB已知函数()e x f x =，点(,0)A a 为一定点，直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ，N ，记ABC △的面积为()S t ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()S t 的单调区间；（Ⅱ）当2a >时， 若0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥， 求实数a 的取值范围．已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB △（O 为原点）面积的最大值．设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”． （Ⅰ）数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；（Ⅱ）数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使 表1得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；（Ⅲ）对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之 表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．22221212a a a a a a a a ------海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理）参考答案及评分标准 2013．5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分， 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）9．2 10．c b a >> 11．(112．2 13．[0,1] 14．②③；2三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为πsin()04x -≠，所以ππ,4x k -≠Z k ∈， ……………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠}k ∈Z ． …………………4分（Ⅱ）解：因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x -=-- ……………………6分 = 1+(cos sin )x x +π= 1)4x +， ……………………8分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 令πππ2π2π242k x k -≤+≤+， 解得3ππ2π2π44k x k -≤≤+， ……………………11分 又注意到ππ+4x k ≠，所以()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．…………13分16．（Ⅰ）解：设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-=， …………………4分（Ⅱ）解：设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5,0,45,145--， …………………6分 ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为()550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =--， …………………11分所以当 1.61450p ->时，即8725p < ， …………………12分 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．…………13分 17．（Ⅰ）证明：因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC ， …………………1分 因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=o ，30CAB ∠=o ， 2BC =，4AD =，所以4AC =，60CAB ∠=o ，所以ADC ∆是等边三角形， 所以H 是AC 中点， .....................2分 所以HE PC ∥， (3)分 同理可证EF PB ∥，又,HE EF E CP PB P ==I I ，所以EFH PBC ∥平面PBC ．…………………5分 （Ⅱ）解：在平面ABC 内过H 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P，B ， ………6分因为(0,E -，(0,1HE =-u u u r， 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z =r，因为,0)HB =u u u r，HP =u u u r ， 所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uu u r r ，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =- 所以 3,0)n =-r， …………………8分Acos ,||||n HE n HE n HE ⋅<>==⋅r uuu rr uuu r r uuuu r ， …………………10分所以直线HE 与平面PHB …………………11分（Ⅲ）证明：存在，事实上记点E 为M 即可， …………………12分因为在直角三角形PHA 中，122EH PE EA PA ====， …………………13分在直角三角形PHB 中，点4,PB =122EF PB ==，所以点E 到四个点,,,P O C F 的距离相等． …………………14分 18．（Ⅰ）解：因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠， …………………2分 当0a =，1()||e 2tS t t =，其中0t ≠，当0t >时，1()e 2t S t t =，1'()(1)e 2tS t t =+，所以'()0S t >，所以()S t 在(0,)+∞上递增， …………………4分当0t <时，1()e 2t S t t =-，1'()(1)e 2tS t t =-+，令1'()(1)e 02tS t t =-+>， 解得1t <-，所以()S t 在(,1)-∞-上递增，令1'()(1)e 02tS t t =-+<， 解得1t >-，所以()S t 在(1,0)-上递减， …………7分综上，()S t 的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-，()S t 的单调递增区间为(1,0)-．（Ⅱ）因为1()||e 2t S t t a =-，其中t a ≠， 当2a >，[0,2]t ∈时，1()()e 2t S t a t =-，因为0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，所以()S t 在[0,2]上的最大值一定大于等于e ，1'()[(1)]e 2t S t t a =---，令'()0S t =，得1t a =-， …………………8分当12a -≥时，即3a ≥时，1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,2)t ∈成立，()S t 单调递增，所以当2t =时，()S t 取得最大值21(2)(2)e 2S a =-，令21(2)e e 2a -≥ ，解得 22ea ≥+，所以3a ≥， …………………10分 当12a -<时，即3a <时，1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增，1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减，所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=，令11(1)e e 2a S a --=≥ ，解得ln 22a ≥+，所以ln 223a +≤<． …………………12分 综上所述，ln 22a +≤ ． …………………13分 19．（Ⅰ）解：因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o的菱形的四个顶点，所以1a b =，椭圆M 的方程为2213x y += …………………4分（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，因为AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时，则AB 的垂直平分线为y 轴，则1212,x x y y =-=，所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ==△2211(3)322x x +-=，所以AOB S ≤△1||x =AOB S △………6分 当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y kx t =+，所以2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x kt t +++-=， 当224(933)0k t ∆=+->， 即2231k t +>， ① 方程有两个不同的解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+， …………………9分所以122231y y tk +=+，又1212112202y y k ++=--，化简得到2314k t +=， ②代入①，得到04t <<， …………………10分又原点到直线的距离为d =12|||AB x x =-=，所以1=||||2AOB S AB d ∆，化简得到AOB S △ …………………12分 因为04t <<，所以当2t =时，即k =AOB S △综上，AOB△ …………………14分 20．（Ⅰ）解：法一：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法二：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法三：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分 （Ⅱ）解：每一列所有数之和分别为2,0,2,0-，每一行所有数之和分别为1-，1；①如果首先操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以 12a ≤或52a ≥， 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行，22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a ---， 必有2220a -≥，解得0,1a =-， 当52a ≥时，则接下来操作第二行， 22221212a a a a a a a a ------此时第4列和为负，不符合题意． …………………6分 ②如果首先操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a ，当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉， 当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =-， 经检验，0a =或1a =-符合要求．综上：0,1a =-． …………………9分（Ⅲ）证明：能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数．证明如下：记数表中第i 行第j 列的实数为ij c （1,2,,;1,2,,i m j n ==L L ），各行的数字之和分别为12,,,m a a a L ，各列的数字之和分别为12,,,n b b b L ，12m A a a a =+++L ，12n B b b b =+++L ，数表中m n ⨯个实数之和为S ，则S A B ==． 记{}112211221min 11(1,2,,)0|i i n in l i i n in i mK k c k c k c k l n k c k c k c ≤≤=+++=-=+++≠L L L 或且{}112211221min 11(1,2,,)0|j j m mj s j j m mj j nT t c t c t c t s m t c t c t c ≤≤=+++=-=+++≠L L L 或且{}min ,K T λ=．按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A （和 B ）增大，从而也就使得S 增加，增加的幅度大于等于2λ，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S 必然小于等于最初的数表中m n ⨯个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止．终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S 就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立． ……13分北京市海淀区高三统一测试 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：因为{}21A x x =-≤≤，所以A B =U {}1x x ≤． 故选B ．2．【答案】D【解析】解：由题意得22111231214428a q a a q q q a q ⎧===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或112a q =-⎧⎨=-⎩．故选D ．3．【答案】C【解析】解：由几何概型的知识可知S m S n Ω=正，所以2mS ma S n nΩ==正． 故选C ．4．【答案】B【解析】解：画出直观图可知该立体图形为正方体与正四棱锥组成，所以1566465180602402S =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．故选B ．5．【答案】C【解析】解：当1λ=时，可知,AB DC AD BC ==uu u r uuu r uuu r uu u r，故四边形ABCD 为平行四边形；四 边形ABCD 为平行四边形，则,AB DC AD BC ==uu u r uuu r uuu r uu u r，此时1λ=，故λ∃∈R ，使得 ,AB DC AD BC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r ． 故选C ．6．【答案】A【解析】解：由题可知2,4都不排在个位和万位共有233336A A ⋅=种，其中5排在百位的 有22224A A ⋅=种，所以满足条件的共有36432-=． 566故选A ．7．【答案】B【解析】解：由题可知作图，过点A 做抛物线准线的垂线，交于点B ，由抛物线的定义可知2AB AF =，因为抛物线方程为24y x =，所以1222F F AF ==；综上可知四边形12ABF F 为正方形，所以1AF =由双曲线的定义可知1222a AF AF =-=，即1a ，1c =，所以1e =．故选B ．8．【答案】D【解析】解：A ．34a =可以经过两次减1得到，也可以经过先减1，再取倒数得到，还 可以是先取倒数，然后减1得到，但是不可能经过两次取倒数得到．因此m 可以取3个 不同的值：6，54，15．B ．21a =，31a ，4a =……，周期为3．C ．设(0,1)α∈满足11T αα=-+，即1α=<．此时一个周期之内的所有项为：1,2,,T T ααα-+-+L ．可以取m 为其中除了α以外的任意一个值． D ．若数列{}n a 是周期数列，则必有小于1的项．而(0,1)α∀∈且α∈Q ，1αα-不可能是正整数，故1α不能写成n α+的形式，*n ∈N ，故数列{}n a 不是周期数列．（假设1n αα-=为正整数，则α=(,)p p q q =∈*N 是有理数，则222(4)p n q=+，由于24n +是正整数，故可设1q =，于是()()4p n p n +-=，无解．故α不是有理数）注：①对于正实数轴上的点，设数轴上的点A 1，点B 所表示的实数是点A 1．考虑一个点P 1出发，1在1的左边，因此点P 随后跳到11处．在此之后，只要该点在1的右边，就往左移动1个单位；只要该点在1的左边，就移动到其倒数所表示的点的位置．因为1)1)2-=是整数，因此此时的{}n a 是周期数列，且周期为213+=．现将A 点向()0,0点移动，与此同时，点B 会相应地向右移动（保持乘积为1），于是,A B 两点 之间的距离逐渐增大．*T ∀∈N ，4T ≥，在此过程中必定存在有某个时刻，,A B 两点 之间的距离恰为1T -，此时{}n a 是周期数列，且周期为T ，而m 的值可以取点P 经过的且在1的右边的任何一个点．周期为2 ② 由于实数是连续的，而有理数不是，因此①只能说明C 选项是正确的，而不能说明 D 选项是正确的． 故选D ．二、 填空题 9．【答案】2【解析】解：由cos 22x ρθ=⇒=，极点()0,0所以距离为2． 故答案为2．10．【答案】c b a >>【解析】解：因为()1ln ,02a =∈-∞，()1sin 0,12b =∈，()1221,c -==+∞，所 以c b a >>．故答案为c b a >>．11．【答案】(【解析】解：1tan 30k ==o )1:2l y x =+ ①121k k ⋅=-得2k =)2:2l y x =- ②由①②解得，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故答案为(．12．【答案】2【解析】解：sin 45b=o，所以2b =，sin sin()C A B =+=，1sin 2ABC S ab C ==△． 故答案为213．【答案】[]0,1【解析】解：建立如图A xyz -的空间直角坐标系，则点()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，因为点在线段1BD 上，可以设点()1,,1P a a a -+，所以()0,1,0DC =u u u r，()[]()1,,10,1AP a a a a =-+∈u u u r ，所以DC AP a ⋅=u u u r u u u r，故 []0,1a ∈．故答案为[]0,1．14．【答案】②③；2-【解析】解：（Ⅰ）① 错误．显然点(1,0)在曲线W 上，点(1,0)-不在曲线W 上． ② 正确．设点1P 和2P 关于直线y x =对称，则点1P 和2P 到两条坐标轴的距离之和相等， 到点(1,1)的距离也相等，因此点1P 和2P 要么都在曲线W 上，要么都不在曲线W 上． ③ 正确．设(,)P x y ，只考虑第一象限内（包括x 轴非负半轴，y 轴非负半轴）的轨迹，由条件可知x y +(1)(1)2x y ++=．它的轨迹是曲线 2(12)xy x =≤≤向左向下各平移一个单位得到的．面积显然小于12，因为原点，点(0,1) 和点(1,0)构成的三角形的面积为12，而题中的封闭图形在三角形的内部．（Ⅱ）对||||x y + ||1xy x y =--．分别对点P 在四个象限进行讨论可知，曲线W 在第二象限的轨迹是1(0)y x =<，在第四象限的轨迹是1(0)x y =<，在第三象限的轨迹是(1)(1)2(1,1)x y x y ++=<-<-．因此曲线W 上的点到原点距离最小的点在第一象限．根据(1)(1)2x y ++=可得1xy x y ++=，到原点的距离最小的点为11)，到原点的1)2=故答案为②③；2-。
北京市海淀区2013届高三下学期期末练习理科数学含解析
海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （理科） 2013.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 【答案】B{}|(1)(2)0{21}A x x x x x =-+≤=-≤≤，所以AB ={1}x x ≤，即选B.2.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为 A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3- 【答案】D由134a a ⋅=，48a =得2214a q =，318a q =，解得2q =±。
当2q =时，11a =，此时13a q +=。
当2q =-时，11a =-，此时13a q +=-。
选D.3. 如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为A.ma nB.na mC. 2ma nD. 2na m【答案】C设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2ma S n =,所以选C.4.俯视图A.180 B.240 C.276 D.300【答案】B由三视图可知，该几何体的下面部分是边长为6的正方体。
上部分为四棱锥。
四棱锥的底面为正方形，边长为 6.侧面三角形的斜高为 5.所以该几何体的表面积为21656542402⨯+⨯⨯⨯=，选B.5.在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C若,AB DC AD BC λλ==，则//,//A B D C A D B C，即//,//A B D C A D B C,所以四边形A B C D 为平行四边形。
【解析版】北京市海淀区2013届高三二模数学理试题
2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.2．（5分）（2013•海淀区二模）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，则3．（5分）（2013•海淀区二模）如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（）B=×4．（5分）（2013•海淀区二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）××5．（5分）（2013•海淀区二模）在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四6．（5分）（2013•海淀区二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不22×7．（5分）（2013•海淀区二模）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，B由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以e==1+8．（5分）（2013•海淀区二模）若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n 成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是（），因为，，，，所以；所以可知当二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•海淀区二模）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为2．10．（5分）（2013•海淀区二模）已知，，，则a，b，c按照从大到小排列为c＞b＞a．a=ln＜b=sin≈＜，=＞，11．（5分）（2013•海淀区二模）直线l1过点（﹣2，0）且倾斜角为30°，直线l2过点（2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为．x3y+2﹣x+y=012．（5分）（2013•海淀区二模）在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则b=2；S△ABC=．=2=absinC==13．（5分）（2013•海淀区二模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1]．建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、的坐标，再由，可得所在的直线为轴，以轴，以=上运动，∴λ•=++=14．（5分）（2013•海淀区二模）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W．（Ⅰ）给出下列三个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是②③；（Ⅱ）曲线W上的点到原点距离的最小值为．；=；三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2013•海淀区二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．）﹣≠，﹣=1+sinx+cosx=1+sin x+，﹣＜+＜，+﹣）16．（13分）（2013•海淀区二模）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．时，即时，福彩中心可以获取资金资助福利事业17．（14分）（2013•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．的法向量，由可赋值，可求得（＜，EH=PE=EA=PA=2EF=2，，，的法向量=，，），即，则=，﹣，=所成角的正弦值为EH=PE=EA=EF=PB=218．（13分）（2013•海淀区二模）已知函数f（x）=e x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，求a的取值范围．先求，因为，其中，时，，，时，，，，其中时，，令时，解得对）单调递增，对）取得最大值19．（14分）（2013•海淀区二模）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．a=（Ⅰ）因为椭圆=1，的方程为：，﹣）|2x=≤=，当且仅不当时，取得最大值为所以=所以，又，化简得到d=，=|AB||d|=…±取得最大值为．取得最大值为20．（13分）（2013•海淀区二模）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（Ⅰ）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；（Ⅱ）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与a的所有可能值；（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．数之和必然小于等于个数之和必然小于等于。
2013年海淀区高三二模文数试卷和答案
2013年海淀区高三二模文数试卷和答案D海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （文科）参考答案及评分标准 2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D C B D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}na 的公差为d因为11a=，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分9． 1i -+ 10．乙 11. 16-或 16 12．2213．1π2π;(,)233-14．1;02k <≤所以1101,19a a == ……………………4分所以2d = 所以21n a n =-……………………6分 （II ）因为26nS n n=-当2n ≥时，21(1)6(1)n S n n -=---所以27na n =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以27n a n =- ……………………10分所以247nn S a n n +=--所以2472nn n-->，即2670nn -->所以7n >或1n <-， 所以7n >，Nn ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，2AD = 根据正弦定理有sin45sin30CD AD=……………………4分所以2CD = ……………………6分（II ）所以4BD = ……………………7分又在ABD ∆中， 75ADB ∠=，62sin75sin(4530)+=+= (9)分所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅= ……………………12分所以33332ABC ABD S S ∆∆+== ……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin105sin30ACAD =而62sin105sin(4560)+=+=……………………8分所以31AC =……………………10分又4BD =，6BC = ……………………11分所以1333sin302ABC S AC BC ∆+=⋅⋅= ……………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上 所以PO ⊥平面ABC，所以PO ⊥AC…………………2分因为AB BC =，所以O是AC中点，…………………3分所以OE PA//…………………4分同理//OF AD又,OE OF O PA AD A==所以平面//OEF平面PDA…………………6分（II）因为//⊥OF AD，AD CD所以⊥OF CD…………………7分又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC所以PO⊥CD…………………8分又OF PO O=所以CD⊥平面POF…………………10分(III)存在，事实上记点E为M即可 (11)分因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC = …………………12分同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分 所以点E到四个点,,,P O C F的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =,211'(),()f x g x x x==…………………2分若函数()f x 在点0(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点0(,())P x g x处的切线平行， 所以211x x =，解得01x=此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x =…………………4分（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f x g x ≥+记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x aF x x x x-=-=…………………6分则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：x (0,)a a (,)a +∞ '()F x - 0+ ()F x 极大值…………………8分当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e2a ≥ 所以ea ≥…………………10分当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得ea所以e ea <………………12分综上，e a≤………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点, 所以3,1a b ==,椭圆C的方程为2213x y += ………………4分(II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x += 所以123||31x k =+，则2222333||13131k AO kk k +=+++………………8分设AB的垂直平分线为1y xk=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为0(,)P x y所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则2299||(1)k PO k +=-………………10分因为PAB ∆为等边三角形， 所以应有||3|PO AO =代入得到222299333(1)31k k k k ++=-+解得0k =（舍），1k =-……………13分此时直线AB 的方程为y x =-综上，直线AB的方程为y x=-或y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法3：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列（写出一种即可）…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==.…………………6分② 如果操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a 解得1a =…………………9分综上1a =…………………10分(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于11||mniji j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。
2013年北京市海淀区高考数学二模试卷(文科)(附答案解析)
（1）先求出 ，根据正弦定理有 ，由此求得 的值．
（2）又在 中， ，利用两角和的正弦公式求得 的值，可得 的值，再由 求得结果．
【解答】
解：（1）因为 ， ，所以 ，在 中， ，
根据正弦定理有 ，…
所以 ． …
（2）由 ，可得 ． …
又在 中， ， ，…
所以 ，…
所以 ． …
【答案】
解：（1）∵ 点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上，
＝ 是偶函数，但没有最小值，故排除 ；
＝ ＝ ，所以 是偶函数，
又 ，当且仅当 ＝ 时 取得最小值，
6.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．
【解答】
由在四边形 中，“ ，使得 ， ”，得出 ， ，
所以
所以
所以 ；
（2）因为
当 时，
所以 ，
又 时， 适合上式，
所以 ．
所以
所以不等式 化为 ，即
所以 或 ，
所以 ， ．
则不等式 的解集为 ．
【答案】
解：（1）因为 ， ，所以 ，在 中， ，
根据正弦定理有 ，…
所以 ． …
（2）由 ，可得 ． …
又在 中， ， ，…
所以 ，…
所以 ． …
【考点】
正弦定理
（2）如图所示，题中不等式组表示的平面区域为图中直线 上方、直线 的下方，且 下方的区域．由此将直线 绕 旋转，观察斜率的变化并计算 的值，可得实数 的取值范围．
【解答】
解：（1）当 时，作出不等式组 ，
2013年北京市海淀区高三二模文科数学试卷及答案(B版)
2013年北京市海淀区高三二模文科数学试卷及答案(B版)海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （文科） 2013.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，B ={}0x x <，则A B =A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,)+∞ 2. 已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A.a b c<< B.a c b << C.b a c <<D.b c a <<3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为 A.manB.na mC.2ma nD.2na m4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为6665俯视图A.180B.240C. 276D.3005.下列函数中，为偶函数且有最小值的是 A.2()f x xx=+ B.()|ln |f x x =C.()sin f x x x =D.()e e xxf x -=+ 6.在四边形ABCD 中，“R λ∃∈，,AB DC AD BC λλ==”是“四边形ABCD 为平行四边 形”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为A.2B.12C.13D.238.若数列{}na 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tnaa +=成立，则称数列{}na 为周期数列，周期为T . 已知数列{}na 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是 A.若45m =，则53a =B.若32a=，则m 可以取3个不同的值三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分） 已知等差数列{}na 的前n 项和为nS .(I) 若1101,100a S==，求{}na 的通项公式；(Ⅱ)若26nS n n=-，解关于n 的不等式2nn Sa n+>.16.（本小题满分13分）已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点，且2BD DC =，75,30ADB ACD ∠=∠=，2AD =（I ） 求CD 的长； （II ）求ABC ∆的面积.17.（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，BA BC=. 把BAC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置，使得P 点在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上, 如图2所示. 点,E F 分别为棱,PC CD 的中点. （I ） 求证：平面//OEF 平面APD ； （Ⅱ）求证：CD ⊥平面POF ；(Ⅲ) 在棱PC 上是否存在一点M ,使得M 到点,,,P O C F四点距离相等？请说明理由.18.（本小题满分13分）已知函数()ln ,()(0)a f x x g x a x==->. （I ）当1a =时， 若曲线()y f x =在点0(,())M x f x 处的切线与曲线()y g x =在点0(,())P x g x 处的切线平行，求实数0x 的值；（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f x g x ≥+，求实数a 的取值范围.图2EOADPCDBA 图119. （本小题满分14分）已知椭圆:C22221(0)x ya ba b+=>>的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点. （I）求椭圆C的方程；（II）若直线y kx=交椭圆C于,A B两点，且在直线:30l x y+-=上存在点P，使得PAB∆为等边三角形，求k的值.20.（本小题满分13分）设A是由m n⨯个整数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”.(Ⅰ) 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行1 2 37-2-1 0 1的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表1(Ⅱ) 数表A 如表2所示，若经过任意．．一次“操作”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的值；表2(Ⅲ) 对由m n ⨯个整数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.海淀区高三年级第二学期期末练习数 学 （文科）参考答案及评分标准 2013．5说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数.一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）22221212a a a a a a a a ------题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D C B D 二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）注：11题少写一个，扣两分，错写不给分 13题开闭区间都对三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}na 的公差为d因为11a=，1910101002a a S +=⨯= ……………………2分所以1101,19a a == ……………………4分所以2d =9． 1i -+ 10．乙 11. 16-或 16 12．2213．1π2π;(,)233-14．1;02k <≤所以21n a n =-……………………6分 （II ）因为26nS n n=-当2n ≥时，21(1)6(1)n Sn n -=---所以27nan =-，2n ≥ ……………………9分又1n =时，11527a S ==-=-所以27n a n =- ……………………10分所以247n n S a n n +=--所以2472nn n-->，即2670nn -->所以7n >或1n <-， 所以7n >，Nn ∈ ……………………13分16. 解：（I ）因为75ADB ∠=，所以45DAC ∠=在ACD ∆中，2AD =根据正弦定理有sin45sin30CD AD=……………………4分所以2CD = ……………………6分（II ）所以4BD = ……………………7分又在ABD ∆中， 75ADB ∠=，62sin75sin(4530)+=+= (9)分所以1sin75312ADB S AD BD ∆=⋅⋅= ……………………12分所以33332ABC ABD S S ∆∆+== ……………………13分同理，根据根据正弦定理有sin105sin30ACAD=而62sin105sin(4560)+=+=……………………8分所以31AC =……………………10分又4BD =，6BC = ……………………11分所以1333sin302ABC S AC BC ∆+=⋅⋅= ……………………13分17.解：（I ）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上 所以PO ⊥平面ABC，所以PO ⊥AC…………………2分因为AB BC =，所以O是AC中点，…………………3分所以OE PA//…………………4分同理//OF AD又,OE OF O PA AD A==所以平面//OEF平面PDA…………………6分（II）因为//⊥OF AD，AD CD所以⊥OF CD…………………7分又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC所以PO⊥CD…………………8分又OF PO O=所以CD⊥平面POF…………………10分(III)存在，事实上记点E为M即可 (11)分因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF 所以CD PF ⊥又E 为PC 中点，所以 12EF PC = …………………12分同理，在直角三角形POC 中，12EP EC OE PC ===， …………………13分 所以点E到四个点,,,P O C F的距离相等 …………………14分18.解：（I ）当因为1a =,211'(),()f x g x x x==…………………2分若函数()f x 在点0(,())M x f x 处的切线与函数()g x 在点0(,())P x g x处的切线平行， 所以211x x =，解得01x=此时()f x 在点(1,0)M 处的切线为1y x =-()g x 在点(1,1)P - 处的切线为2y x =-所以01x =…………………4分（II ）若(0,e]x ∀∈，都有3()()2f x g x ≥+记33()()()ln 22a F x f x g x x x =--=+-， 只要()F x 在(0,e]上的最小值大于等于0221'()a x aF x x x x-=-=…………………6分则'(),()F x F x 随x 的变化情况如下表：x (0,)a a (,)a +∞ '()F x - 0+ ()F x 极大值…………………8分当e a ≥时，函数()F x 在(0,e)上单调递减，(e)F 为最小值所以3(e)102a F e =+-≥，得e 2a ≥所以ea ≥…………………10分当e a <时，函数()F x 在(0,)a 上单调递减，在(,e)a 上单调递增 ，()F a 为最小值，所以3()ln 02a F a a a =+-≥，得ea ≥所以e ea ≤<………………12分综上，e a………………13分19.解：(I)因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60 的菱形的四个顶点, 所以3,1a b ==,椭圆C的方程为2213x y += ………………4分 (II)设11(,),A x y 则11(,),B x y --当直线AB 的斜率为0时，AB 的垂直平分线就是y 轴，y轴与直线:30l x y +-=的交点为(0,3)P ,又因为||3,||3AB PO ==，所以60PAO ∠=，所以PAB ∆是等边三角形,所以直线AB 的方程为0y = ………………6分当直线AB 的斜率存在且不为0时，设AB的方程为y kx =所以2213x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，化简得22(31)3k x += 所以123||31x k =+，则2222333||13131k AO kk k +=+=++………………8分设AB 的垂直平分线为1y xk=-，它与直线:30l x y +-=的交点记为0(,)P x y所以31y x y x k =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得003131k x k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩,则2299||(1)k PO k +=-………………10分因为PAB ∆为等边三角形， 所以应有||3|PO AO =代入得到222299333(1)31k k k k ++-+解得0k =（舍），1k =-……………13分此时直线AB 的方程为y x =- 综上，直线AB的方程为y x=-或y = ………………14分20.解：（I ）法1：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法2：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列（写出一种即可）…………………3分(II) 每一列所有数之和分别为2，0，2-，0，每一行所有数之和分别为1-，1; ①如果操作第三列，则22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -，210520a a -≥⎧⎨-≥⎩,解得1,2a a ==. …………………6分② 如果操作第一行22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a 解得1a =…………………9分综上1a =…………………10分(III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn 个数之和增加，且增加的幅度大于等于1(1)2--=，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于11||mniji j a ==∑∑，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …………………13分。
2013年高三数学二模理科试卷B版(海淀区附答案)
2013年高三数学二模理科试卷B版（海淀区附答案）海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2013.5本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.集合，，则A．B．C．D．2.已知数列是公比为的等比数列，且，，则的值为A．B．C．或D．或3.如图，在边长为的正方形内有不规则图形.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，则图形面积的估计值为A.B.C.D.4.某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A.B.C.D.5.在四边形中，“，使得”是“四边形为平行四边形”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为A.B.C.D.7.双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为A.B.C.D.8.若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为.已知数列满足，则下列结论中错误的是A.若，则可以取3个不同的值B.若，则数列是周期为的数列C.且，存在，是周期为的数列D.且，数列是周期数列二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在极坐标系中，极点到直线的距离为_______.10.已知，则按照从大到小排列为______.11.直线过点且倾斜角为，直线过点且与直线垂直，则直线与直线的交点坐标为____.12.在中，，则13.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.14.在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点的轨迹为曲线.(I)给出下列三个结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是_____;(Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的定义域；(Ⅱ)求函数的单调递增区间.16.（本小题满分13分）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为.(I)假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（II）为了能够筹得资金资助福利事业,求的取值范围.17.（本小题满分14分）如图1，在直角梯形中，，，，.把沿对角线折起到的位置,如图2所示,使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，连接,点分别为线段的中点．(I)求证：平面平面；(II)求直线与平面所成角的正弦值；(III)在棱上是否存在一点,使得到点四点的距离相等？请说明理由. 18.（本小题满分13分）已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为. （I）当时,求函数的单调区间；（II）当时,若,使得,求实数的取值范围.19.（本小题满分14分）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点. （I）求椭圆的方程；（II）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.20.（本小题满分13分）123101设是由个实数组成的行列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”. (Ⅰ)数表如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；表1(Ⅱ)数表如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数的所有可能值；(Ⅲ)对由个实数组成的行列的任意一个数表，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由.海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2013.5一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）题号12345678答案BDCBCABD9．210．11.12．13．14．②③;二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）三、解答题(本大题共6小题,共80分)15．（本小题满分13分）解：（I）因为所以……………………2分所以函数的定义域为……………………4分（II）因为……………………6分……………………8分又的单调递增区间为，令解得……………………11分又注意到所以的单调递增区间为，…………………13分16.解：（I）设至少一张中奖为事件则…………………4分(II)设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为则可以取…………………6分的分布列为…………………8分所以的期望为…………………11分所以当时，即…………………12分所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13分17.解：（I）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上所以平面，所以…………………1分因为在直角梯形中，，，，所以，，所以是等边三角形，所以是中点，…………………2分所以…………………3分同理可证又所以平面平面…………………5分（II）在平面内过作的垂线如图建立空间直角坐标系，则，，…………………6分因为，设平面的法向量为因为，所以有，即，令则所以…………………8分…………………10分所以直线与平面所成角的正弦值为…………………11分(III)存在，事实上记点为即可…………………12分因为在直角三角形中，，…………………13分在直角三角形中，点所以点到四个点的距离相等…………………14分18.解:(I)因为，其中…………………2分当，，其中当时，，，所以，所以在上递增，…………………4分当时，，，令，解得，所以在上递增令，解得，所以在上递减……………7分综上，的单调递增区间为，的单调递增区间为（II）因为，其中当，时，因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于，令，得…………………8分当时，即时对成立，单调递增所以当时，取得最大值令，解得，所以…………………10分当时，即时对成立，单调递增对成立，单调递减所以当时，取得最大值令，解得所以…………………12分综上所述，…………………13分19.解:(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点,所以,椭圆的方程为…………………4分(II)设因为的垂直平分线通过点，显然直线有斜率，当直线的斜率为时,则的垂直平分线为轴,则所以因为，所以，当且仅当时，取得最大值为………………7分当直线的斜率不为时,则设的方程为所以，代入得到当,即方程有两个不同的解又，…………………8分所以，又，化简得到代入，得到…………………10分又原点到直线的距离为所以化简得到…………………12分因为，所以当时，即时，取得最大值综上，面积的最大值为…………………14分20.（I）解：法1：法2：…………………3分(II)每一列所有数之和分别为2，0，，0，每一行所有数之和分别为，1;①如果首先操作第三列，则则第一行之和为，第二行之和为，这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数，所以或当时，则接下来只能操作第一行，此时每列之和分别为必有，解得当时，则接下来操作第二行此时第4列和为负，不符合题意.…………………6分②如果首先操作第一行则每一列之和分别为，，，当时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉当时，，至少有一个为负数，所以此时必须有，即，所以或经检验，或符合要求综上：…………………9分（III）能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。